可以十分方便地使用狄拉克引进的记号，用某种带角形的括号诸如|
ψ＞，|x＞，|ψ＞，|1＞，|2＞，|3＞，|n＞，|↑＞，|↓＞，|→＞，
|‰＞等等表示被当作态矢量的希尔伯特空间元素。这样，这些符号现在表
示量子态。我们把两个态矢量的叠加写作
|ψ＞+|x＞，
而带复数权重w，z 的求和写作
w|ψ＞＋z|x＞
（这里w|ψ＞表示w×|ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψ
+ψ，ψ -ψ，ψ +iψ 分别写为|ψ＞+|ψ＞，|ψ＞-|ψ＞，|ψ
t b t b t b t b t b t
＞+i|ψ＞。我们还可以将一个单独态|ψ＞乘上一个复数w 得到
b
w|ψ＞。
（这是前面的一个特例，即z＝0。）
我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w 和 z 不必要是真正的概
率幅度，只要是和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零
复数去乘整个态矢量而物理态不变的规则。（这会改变w 和 z 的实际的值，
但是w ∶z保持不变。）下面的每一矢量|ψ＞，2|ψ＞，-|ψ＞，i|ψ
＞， 2 | ψ＞，π| ψ＞，（1- 3i）| ψ＞等等，正如z| ψ＞一样，代表同
一个物理态 （z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢
量。 （亦即希尔伯特空间的原点）。
图6.19 在希尔伯特空间中的矢量加法和矢量乘以标量，可以用通常
① 按照更标准的分析的描述，我们的每一个螺旋 （也就是动量态）由表达式ψ=eipx/h=cos(ipx/h)+isin(ipx/h)
给出 （见第三章102 页）这里p 是问题中动量的值。
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的方式，正如对在平常空间中的矢量那样摹想
为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑 “实”矢。量的
更通常的概念。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上
的一个箭头。利用平形四边形定律可得到两个箭头的和 （图6.19）。用一
个 （实）数乘一个矢量的运算，按照“箭头”的图像就是简单地将此箭头
的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数为负的，那么箭头
的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。 （矢量O 表
示零长度的 “零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例
子。而经典速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾
处考虑的动量四矢量那是在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希
尔伯特空间中的矢量具有更高维数 （事实上，通常是无限维的，但这一点
在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也用箭头来表示矢量—
—那一定是非常高维的。相空间的 “维数”不代表通常的空间的方向，希
尔伯特空间的 “维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应
于量子系统的不同的独立的物理态。
图6.20希尔伯特空间中的整射线代表物理量子态。
由于|ψ＞和z|ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯
特空间中通过原点的整条直线或射线 （表述成某一矢量的所有的倍数），
而不是这条线上的某一特殊的矢量。这射线包含特定态矢量|ψ＞的所有可
能的倍数。 （请记住，这些是复的倍数，所以直线实际上是复的线，但是
现在最好不去忧虑它！） （参见图6.20）。我们将很快找到二维希尔伯特
空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极端
情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空
间。粒子所有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空
间中定义一个完整的 “座标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在
希尔伯特空间中就有无限多不同的独立的方向 （或“维数”）。动量态也
可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位置态的组合，每一动
量态对应于一个 “对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动量态的
集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯
特空间中的一个旋转。
图6.21位置态和动量态在同一个希尔伯特空间中提供了正交轴的不
同选取。
人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通
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常的欧几里德几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直
到现在考虑过的轴 （所有的位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互
正交的，也就是相互夹角为 “直角”。射线之间的“正交性”是量子力学
中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒子所有可能不同的
位置态都相互正交，所有可能不同的动量态也是如此。但是位置态并不和
动量态垂直。这种情形已在图6.21 上被非常梗概地表达出来。
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测 量
测量 （或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同地放
大到经典水平的以及之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。对
于一次完整的测量，可选取的不同选择的集合组成正交基矢量的集合，表
明希尔伯特空间中的每一矢量都能 （唯一地）按照它们线性地表达出来。
对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了我们刚刚考
虑的位置轴。对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类
完整的测量，还相应有其他的集合。测量之后，该系统的态跃迁到这些测
量所决定的集合的一个轴上去——其选择只由概率来制约。没有任何动力
学定律能告诉我们大自然会在已挑出的轴中选择哪一个。其选择是随机
的，其概率为概率幅度的平方模。
图6.22 态｜Ψ＞在轴｜0＞，｜1＞，｜2＞，……上的正交投影的大
小提供了所需要的幅度z ，z ，z ，……。
0 1 2
假定我们对一个具有态｜ψ＞的系统进行了完整的测量，所选择的测
量的基为：
｜0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，……。
由于它们组成了完全集，任何态矢量，特别是｜ψ＞可以按照它们而线性
①
地 表示为：
丨ψ＞=z 丨0＞+z 丨1＞+z 丨2＞+z 丨3＞+……。
0 1 2 3
在几何上，分量 z ，z ，z ，……是矢量｜ψ＞的在不同的轴｜0＞，｜1
0 1 2
＞，｜2＞……上的正交投影的大小的测度 （见图6.22）。
我们能将复数 z ，z ，z ，……解释作所需要的概率幅度，这样它们
0 1 2
的平方模就提供了在测量之后该系统处于相应的｜0＞，｜1＞，｜2＞，……
等态的不同概率。然而，这还不完全，因为我们还未固定住不同的基矢量｜
0＞，｜1＞，｜2＞，……等等的 “尺度”。为此我们必须指明它们在某一
种意义上是单位矢量 （亦即具有单位“长度”的矢量），用数学的术语，
6
它们组成了所谓的正交基 （相互垂直的并归一化为单位矢量） 。如果｜
2 2
ψ＞也被归一化成单位矢量，那么所需的相应的概率｜z ｜，｜z ｜，｜
0 1
2
z ｜……。如果｜ψ＞不是单位矢量，则这些数就分别和所需的概率幅度
2
成比例。实际的幅度就为：
z z z
0 ， 1 ， 2 ，等等
y y y
并且实际概率为：
① 在更通常的量子力学描述中，将此和除以归一化因子——此处为 杂。
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2 2 2
z z z
0 ， 1 ， 2 ，等等，
2 2 2
y y y
这里｜ψ｜是态矢量｜ψ＞的 “长度”。每一态矢量都具有正实数的 “长
度” （除了O 具有零长度），而且如果｜ψ＞为单位矢量则｜ψ｜=1。
完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测量
需要我们能在宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的
测量是我们简单地问是或非的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的
左边或右边？”或 “该粒子的动量是在某一个范围内吗？”等等。是或非
的测量真正是测量的最基本类型。 （例如，人们可以只用是或非测量把粒
子的位置或动量收缩到任意小的范围。）假定是或非测量的结果为是。那
态矢量必须在希尔伯特空间的 “是”的我称之为Y 的区域内。另一方面，
如果测量的结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的 “非”的我称之为N
的区域内。区域Y 和N 是完全相互正交的，任何属于Y 的态矢量必须和属
于N 的任何矢量正交 （反之亦然）。此外，任一态矢量都能以唯一的方式
表达成分别来自Y 和N 的两个矢量之和。用数学的语言讲Y 和N 是相互正
交互补的。这样，｜ψ｜可唯一地表达成
｜ψ＞= ｜ψ＞+ ｜ψ＞，
Y N
这里｜ψ ＞属于Y，而｜ψ ＞属于N。｜ψ ＞称为态｜ψ＞在Y 的
Y N Y
正交投影，相应地｜ψ ＞为｜ψ＞在N 上的正交投影 （见图6.23）。
N
图6.23 态矢量的减缩。可以按照一对相互正交互补的子空间Y 和N
来描述是或非测量。测量后，态｜ψ＞跃迁到它在其中一个子空间的投影，
而态矢量长度平方在投影中减少的因子给出跃迁概率。
在测量时，态｜ψ＞跃迁并成为 （比例于）｜ψ＞或｜ψ ＞。如果
Y N
结果为是，则它跃迁到｜ψ ＞；如果为非，则跃迁到｜ψ ＞。如果｜ψ
Y N
＞是归一化的，则发生这些的相应概率为这些投影的态的长度平方
2 2
｜ψ ｜，｜ψ ｜。
Y N
2
如果｜ψ＞不是归一化的，我们必须将这些表示式除以｜ψ｜ 。（“毕达
2 2 2
哥拉斯定理”，｜ψ｜ = ｜ψ ｜+ ｜ψ ｜断言，这些概率之和为1，正
Y N
如所预想的那样！）请注意，从｜ψ＞跃迁到｜ψ ＞的概率由在投影中的
Y
长度平方的减少的比所给出。
关于作用于量子系统的 “测量动作”还有最后一点要弄清。不管对于
任何态——譬如态｜x＞——总存在一个可在原则上进行的是或非测量
7。如果被测量的态是 （比例于）｜x＞，其答案则为是；如果垂直于｜x
＞则为非。这样上面的区域Y 可包含任何选定的态所有的倍数。这似乎隐
含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。不管物理系统的态是什么，
我们可称之为｜x＞。存在一种原则上可实行的测量，在此测量下｜x＞为
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唯一的 （只差一个比例系数）肯定得到是的结果的态。这种测量对于某些
态｜x＞也许是极其困难、甚至在实际中是“不可能”实现的。但是，根据
这个理论，这样的测量在原则上能实现的事实，将会在本章后面产生某些
惊人的推论。
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自旋和态的黎曼球面
量子力学中称为“自旋”的量有时被认为所有物理量中最“量子力学”
的。这样，我们对之稍微多加注意是明智的。什么是自旋？它本质上是粒
子旋转的度量。 “自旋”这个术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。让
我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动量一样，它是守恒的 （见第五
章 190页和266 页）。只要物体不受摩擦力或其他力的干扰，它的角动量
就不随时间改变。量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里开心的是单
独粒子的 “自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运
动 （这正是板球的情形）。物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多
数粒子在这种意义下的确是在 “自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的
8
大小 。然而，正如下面要看到的，单独量子力学粒子的自旋有一种我们
绝不能从自旋着的板球等等的经验所能预料到的某种特殊的性质。
首先，对于每一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。只有自
旋的轴的方向可以 （以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。这和
板球的情形形成全然的对比，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意
方向的自旋！对于电子、质子或中子，自旋大小总为h/ 2，刚好是玻尔
原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一半。 （我们记得这
些值为0 ，h，2h，3h，……）我们在这里需要基本单位的一半——
而在某种意义上，h/ 2本身是更基本的单位。只包括一些公转的粒子而
每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值。它只能是由自旋为粒
子自身的固有的性质而引起的 （也就是说，不是因为它的“部分”围绕某
种中心的公转引起的）。
具有自旋为h/ 2 的奇数倍（如h / 2，3h/ 2或5h/ 2等等）的粒子
称为费米子。它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360°
的旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子
的确是费米子。它们古怪的形式，对我们自身的存在是如此之关键——我
们在后面还要讲到。余下的自旋为h/ 2 的偶数倍，也就是h的整数倍（即
0，h，2h，3h，……）的粒子称作玻色子。在360°的旋转下，玻
色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。
考虑一个半自旋也就是自旋值为h/ 2 的粒子。为了确定起见，假定
粒子为电子，但质子、中子或甚至某种原子的情形也是一样的。（一个“粒
子”可以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定
义得很好的角动量就可以了。）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自
旋态。现在量子态空间 （希尔伯特空间）只有二维，所以我们可以采用只
有两种状态的基。我把这些态标成｜↑＞和｜↓＞。其中｜↑＞表示按右
手定则垂直向上的自旋，｜↓＞表示向下的自旋 （图6.24）。态｜↑＞和
2 2
态｜↓＞是相互正交的，我们并将它们归一化 （｜↑｜= ｜↓｜=1）。电
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子任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑＞和｜↓＞也就是向
上和向下的态的线性叠加，譬如w ｜↑＞+z ｜↓＞。
图6.24 电子自旋态的基由两种状态组成。它们可取作自旋向上和自
旋向下的两种态。
关于 “向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。我们可以一样
便利地选择在任何其他方向的自旋，譬如向右 ｜→＞和相反的向左 ｜←＞
的态去描述。然而， （对于｜↑＞和｜↓＞的适当的复数比例的选取，我
们发现 ｜→＞= ｜↑＞+ ｜↓＞以及｜←＞= ｜↑＞—｜↓＞。
这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→＞和｜←
＞也就是向右的和向左的态的线性叠加。我们可以另外选择完全任意的方
向，譬如态矢量｜‰＞指定的方向。这又是｜↑＞和｜↓＞的某种复线性
叠加，譬如
｜‰＞=w ｜↑＞+z ｜↓＞，
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而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜A＞ （指向和｜‰＞相反 ）的线
性叠加。 （注意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常
