海森堡关系相一致就可以了。图 6.14 画出了这种情形的ψ曲线和相应的
～
y 曲线（相互的福里哀变换）。我们注意到只在非常小的范围内每一曲
线到轴的距离明显地不为零。曲线在远处非常紧密地环抱着轴。这样，不
管是在位置空间还是在动量空间中都只有在一个非常有限的区域平方模才
有可觉察到的大小。因此，粒子在空间可以相当定域，但有一定的弥散，
类似地，动量也是相当确定，粒子以相当确定的速度运动，而可能的粒子
位置的弥散不随时间增加太大。这样的粒子态被称作波包，经常将它作为
一个经典粒子的量子论的最好近似。但是动量 （或速度）值的弥散表明波
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包将随时间弥散。原先开始的位置越定域，则弥散开得越快。
6.14 波包。这些波包在位置空间和动量空间中都是定域的。
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U 和 R 演化步骤
在描述波包的时间发展中隐含着薛定谔方程，它告诉我们波函数在时
间中的实际演化。薛定谔方程实际上是说，如果我们将ψ分解成动量态（“纯
粹乐音”），那么每一个单独的分量将以问题中具有此动量的经典粒子速
2
度去除c 而得到的速度离开。薛定谔数学方程在实质上是以更加紧凑的形
式写下这些。下面我们再看它的精确形式。它有点像哈密顿或马克斯韦方
程 （和两者有紧密关系）。和那些方程一样，一旦波函数在某一时刻定好，
则给出它的完全确定的演化！ （见332 页。）
我们如果将ψ当作 “世界实在”的描述，只要ψ是由决定性的薛定谔
演化所制约，就根本不存在被认为是量子力学固有的特征的不决定性。让
我们将这种演化过程称为U。然而，只要我们 “进行一次测量”，将量子
效应放大到经典水平，我们就改变了规则。现在我们不用U，而是用完全
4
不同的我称作R 的步骤，取量子幅度的平方模以得到经典概率 ！正是步
骤 R 也只有 R 在量子理论中引进了不确定性和概率。
决定性的过程U 似乎是作量子理论工作的物理学家关心的主要部分；
而哲学家则对非决定性的态矢量减缩 R （或者，正如有时形象化描述的：
波函数的坍缩）更感兴趣。我们是否简单地将R 认为是关于一个系统的“知
识”的改变，还是认为 （正如我认为）是“真正地”发生了什么。我们的
确得到了物理系统的态矢量随时间变化的两种完全不同的数学方式。U 是
完全决定性的，而R 是概率定律；U 保持量子复叠加原则，但是 R 显著地
违反之；U 的作用是连续的，而R 公然是不连续的。按照量子力学的标准
过程，不存在以任何方式将R “归结”为U 的复杂的情况的含义。它干脆
是和U 不同的过程，提供了量子力学的另一 “半”的解释。所有的非决定
性都是从R 而不是从U 来的。为了使量子理论和已有的观测事实美妙地协
调，U 和 R 两者都是需要的。
让我们回到波函数ψ上来。假定它为一个动量态。只要此粒子不和任
何东西相互作用，它就会在其余的时间里快乐地维持在那个动量态上。（这
是薛定谔方程告知我们的。）无论我们什么时候去 “测量其动量”都会得
到同一确定的答案。此处不存在概率。和经典理论一样，可预言性在这里
是非常清楚的。然而，假定在某一个阶段我们胆敢去测量 （也就是放大到
经典水平）粒子位置，这回我们就得到了一系列的概率幅度，我们必须将
它们平方求模。那时候有许许多多的概率。完全无法肯定测量会产生什么
结果。其不确定性和海森堡原理相一致。
另一方面，让我们假定ψ从一个位置态开始 （或几乎为一个位置态）。
现在，薛定谔方程告诉我们，ψ不再停留在位置态上，它会很快地弥散开
来。尽管如此，其弥散的方式完全由此方程所固定的。它的行为没有任何
不确定性或随机性。原则上存在去检查此事实的实验。（下面还要讲到）。
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但是，如果我们不明智地决定去测量动量，就会发现所有可能的不同的动
量值的幅度平方模相等。实验的结果则是完全的不确定性，这又和海森堡
原则相一致，而概率是由幅度的平方模给定。
这无疑是非常奇怪和神秘的。但是它不是不可理喻的世界图像。关于
这个由许多非常清楚和准确的定律制约的图像还有许多可说的。然而，关
于何时应该祈求随机性的规则R 去取代宿命论的U 尚没有清楚的规则。“进
行一次测量”是什么含义？为何（何时）对幅度平方取模使之“成为概率”？
“经典水平”能被量子力学地理解吗？这些都是在本章后头要讨论的深刻
的令人困惑的问题。
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粒子同时在两处？
我在上面的描述中采取了也许比通常的量子物理学家们更 “现实”的
关于波函数的观点。我采取了单独粒子的 “客观实在”的状态的确是由它
的波函数所描述的观点。似乎许多人发现这个观点很难以严肃的方式予以
坚持。之所以这样的一个原因是，它牵涉到我们认为单独粒子在空间中弥
散开来，而不总是集中在单独的点上的事实。对于一个动量态，由于ψ在
整个空间范围内平均地分布，这弥散达到了极端。人们不认为粒子本身发
散到空间中去，而宁愿认为位置是完全不确定的。这样，人们关于位置所
能说的是粒子在任何一处正和在另一处同样的可能。然而，我们已经看到，
波函数不仅提供了不同位置的概率分布；它还提供了不同位置的幅度分
布。如果我们知道这个幅度分布 （亦即波函数ψ），则我们从薛定谔方程
就知道粒子的态从一个时刻向另一时刻演化的精确方式。为了这样地决定
粒子的 “运动”（也就是ψ随时间的演化），我们需要粒子的这一 “发散
开去”的观点；而如果我们的确采用这个观点，我们就会看到粒子的运动
的确是被精确地决定的。如果我们对粒子施加位置测量，那么关于ψ （x）
的 “概率观点”就很合适，因为那时仅仅使用ψ （x）的平方模的形式：|
2
ψ （x）| 。
看来必须接受这样的粒子图像，它会在空间的大范围内发散开去，并
会一直发散到下一次进行位置测量为止。甚至当一个粒子被定域为位置态
后，下一时刻就会开始发散开去。动量态似乎难于被接受为一个粒子存在
的 “实在”图像，但它也许更难被接受作刚穿过双缝出来的双峰态的 “实
在”图像 （图6.15）。在垂直的方向上，波函数ψ的形式在每一条缝隙处
都有尖锐的峰值。该波函数为上缝有峰值的波函数ψ 和在下缝有峰值的波
t
①
函数ψ 的和 ：
b
ψ(x)=ψ (x)+ψ (x)。
t b
如果认为ψ代表粒子态的 “实在”，那么我们必须接受粒子的确同时在两
处的图像！基于这一观点，粒子确实同时穿过两条缝隙。
回忆一下反对粒子 “同时穿过两条缝隙”这观点的标准说法：如果我
们在缝隙处作测量以确定它是否通过那一条缝隙，我们总是发现整个粒子
通过这条或那条缝隙。但是这是因为我们对粒子进行位置测量引起的，这
2
时ψ仅仅提供和按照平方模步骤一致的粒子位置的概率分布|ψ| ，而我们
的确发现它在这一处或那一处。但是在缝隙处我们还能进行不同于位置测
量的其他测量。为此，我们应该知道不同位置x 的双缝波函数ψ，而不仅
① 由于在一个准确点上找到一个粒子的概率为零，所以在这里产生了技术上的困难。我们把| ψ（x）|2 定义
为概率密度，它表示在我们定义的点附近的某个很小的固定尺度的间隔内找到该粒子的概率。这样，ψ （x）
定义了幅度密度，而不是一个幅度。
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2
是|ψ| 。这样的测量可以将上面给出的双峰态
ψ=ψ+ψ
t b
和另一双峰态，如
ψ－ψ
t b
φ －φ
t b
或
ψ+iψ
t b
区别开来。（见图6.16 中三种不同情形下的ψ曲线。）因为确实存在将这
些不同可能性区别开来的测量，所有它们必须是光子能存在的不同可能的
“实际”方式！
6.15 当光子波函数从一双缝隙出来时，它同时在两处到得峰值。
缝隙没有必要靠得很近使 “光子”同时穿过它们。为了演示不管它们
距离多么远量子粒子总能 “同时在两处”，考虑一个稍微和双缝实验不同
的实验装置。和以前一样，我们有一个发出单色光的灯泡。每一时刻只发
一个光子；但是这回不让光子通过两个缝隙，我们让它从一面倾斜角45°
的半镀银的镜面反射出来。 （半镀银镜子是一种刚好将射到它上面的光反
射一半，而让所余下的一半光直接穿透过去的镜子。）在它遭遇到镜子以
后，光子的波函数分裂成两个部分，一部分反射回来，另一部分继续原先
光子的方向。波函数又是双峰值的，但是这回双峰是更宽广地分离开了。
一个峰描述反射的光子，而另一峰描述透射的光子 （见图6.17）。此外，
两峰的分离随着时间流逝变得越来越大，并随着时间无限地增加。想象波
函数的这两部分跑到空间去，而我们整整等待了一年。那么光子波函数的
这两部分相距将超过一光年。光子不知怎么搞的发现自己同时出现在相距
比一光年还远的两地方！
图6.16 三种具有双峰的光子波函数的不同方式。
图6.17 双峰波函数的双峰可以分开到一光年那么远。这可以用半镀
银镜面做到。
是否有理由去认真地接受这样的图像呢？难道我们不能简单地认为光
子有百分之五十的机会在一个地方，而另外百分之五十的机会在另一处
呢？不，我们不能！不管旅行了多长时间，总能将光束折射回来，使之再
互相遭遇，得到两种不同选择的概率权重所得不到的干涉效应。假定光束
的两部分各遇到一面全镀银的镜子。我们调整好镜子的角度使之再次遭遇
在一起。在交会点放上另一面半镀银镜子，角度刚如和第一面一样。在两
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束光的直线方向上各放一个光电管 （见图6.18）我们会看到什么呢？如果
情况仅仅是，光子有一半的机会走一条途径，另一半机会走另一条，那么
我们应该发现其中一个检测器有一半的机会记录到光子，另一半机会是被
另一个检测器记录到。然而，事情并非如此。如果两个途径的长度完全相
同，则百分之一百的机会是光子抵达放在原先光子运动的方向上的检测器
A，而百分之零的概率是光子抵达另一检测器B——光子肯定打到检测器A
上去！ （正如在双缝实验中那样，我们可用上面的螺旋描述来看到这些。）
当然，这类实验从未在途径长度达到光年数量级以上被实现过，但所
叙述的结果从未被 （传统的量子物理学家）认真地怀疑过！实际上，这类
实验在途径长度为几米的情形下被实现过，其结果的确和量子力学的预言
相一致 （参阅惠勒1983）。关于光子在它第一次和最后一次和半反射镜遭
遇之间的存在的态的 “实在”，此结果告诉了我们什么呢？似乎不可避免
的是，在某种意义上光子实际上同时沿着两条途径旅行！因为如果将一吸
收屏幕放在任何一条途径上，则光子到达A 和 B 的概率将相等；但是当两
条途径同时打开 （并具有一样长度）则只能到达A！而堵住一条途径时却
实际允许到达B！两条途径都打开时，光子“知道”不允许它到达B，所
以它必须感觉到两条途径。
尼尔斯·玻尔关于在测量瞬息之间的光子存在没有客观 “意义”的观
点，依我看来是有关光子态实在的过于悲观的观点。量子力学让我们以波
函数来描述光子位置的 “实在”，而在半镀银镜子之间的光子波函数刚好
是双峰态，双峰之间的距离有时非常可观。
图6.18 双峰波函数的两个峰不能被简单地认为是光子在这一位置或
那一位置的加权概率。可使光子所采取的两个途径相互干涉。
我们还注意到，“同时处于两个指定的位置”不是光子态的完全描述：
譬如讲我们必须能把态ψ +ψ 从态ψ -ψ （或ψ＋iψ ）区别开来，这
t b t b t b
儿ψ 和ψ 是指分别处于两条途径中的光子（现在分别为“穿透的”和“反
t b
弹的”光子）。正是这种区别决定了光子到达半镀银镜子时，肯定到达A
或B （或以中等的概率到达A 或B）。
量子实在的令人困惑的特征，也就是我们必须认真地认为的粒子可以
各种 （不同！）的形式“同时处于两处”——这是因为必须允许用复数权
重把量子态加起来以得到其他量子态这个事实引起的。这种态的叠加是量
子力学称之为量子线性叠加的一般的、重要的特征。正是它允许我们从位
置态组成动量态，或从动量态组成位置态。在这些情形下，线性叠加被应
用到无限多的不同的态，也就是所有不同的位置态，或所有不同的动量
态。但是，正如我们已经看到的，只要把它仅仅应用于一对态就引起了这
样的困惑不解。其规则是不管任何两个态是多么不同，它们能在任何复线
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性叠加上共存。的确，任何自身由单独粒子构成的物理对象应当能以这种
在空间中分隔得很开的态的叠加的形式而存在，并因此“同时处于两处”！
量子力学的形式在这方面对于单独粒子还是许多粒子的复杂系统并没有差
别。那么为何我们从未经验过宏观物体， （譬如棒球或甚至人）同时处于
完全不同的地方？这是一个根本的问题，今日量子理论尚不能为我们真正
地提供一个满意的答案。对于像棒球这样的如此富有内容的对象，我们必
须认为这些系统处于 “经典水平”——或者，正如通常说的，“观察”或
“测量”将对该棒球进行的——而那时对我们的线性叠加进行加权的复概
率幅度必须已被平方求模，并当作描述实际不同选择的概率。然而，这正
好引起一个争议性问题：为何允许我们以这种方式改变U 到R 的量子规
则！以后我还要讨论这个问题。
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希尔伯特空间
我们记得在第五章为了描述经典系统引进了相空间的概念。相空间中
的单独的点代表整个物理系统的 （经典的）态。在量子力学中，其相应的
①
类似概念是希尔伯特空间 。现在希尔伯特空间中的单独的点代表整个系
统的量子态。我们需要浏览一下希尔伯特空间的数学结构。我希望读者对
此无所畏惧。我应该说，虽然其中的一些思想也许是非常陌生的，它不是
数学上非常复杂的东西。
希尔伯特空间的最基本的性质在于它是一种所谓的矢量空间——事
实上，是一个复的矢量空间。这表明允许我们把空间的任何两个元素加起
来得到另一个元素，也允许我们实行带有复杂权重的加法。因为这些是我
们刚刚考虑的量子线性叠加的运算，也就是对于上面光子给予我们ψ +ψ
t
，ψ -ψ，ψ ＋iψ 等等的各种运算。我们能做到这些。我们使用的术
b t b t b
5
语 “复矢量空间”的所有含义就是允许进行这类带权的求和 。
