空间的 “直角”。此处正交的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，
而不是两个方向夹直角。）
什么是｜‰＞在空间中所决定的方向和两个复数w 和 z 的几何关系
呢？由于｜‰＞给出的物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，
所以只有 z和w 的比才有意义。将这个比写作
q=z/w。
q 只是某个复数，除了为了和w=0 的情形相一致而 “q=∞”，也就是当自
旋方向垂直向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平
面上的一点，正如我们在第三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于
空间中，按上面的描述实轴的方向 “向右”（亦即在自旋态｜→＞的方向
上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样点 l，i，-1，-i
都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影，
这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应
唯一的点q，它可由这两点必须和南极联成直线而得的 （图6.25）。这一
对应称之为立体角投影。它具有美丽的几何性质 （亦即它保持角度并将圆
映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞一起，也就是所有可能的比q 的
集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球面称作黎曼球
面。
① 大卫·希尔伯特，我们已在前面的章节中遇到了他的名字，在量子力学发现以前很久，他在无限维的情
况下，并为了完全不同的数学上的目的，引进了这个重要的概念！
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黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜‰＞=w ｜↑＞+z ｜↓＞的
自旋方向和由从中心到黎曼球面上标记有q=z/w 点的实际方向一致。我们
注意到，北极对应于态｜↑＞，它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜
↑＞，标记作w=0 亦即q=∞。最右的点标记着q=1，它提供｜→＞= ｜↑＞
+ ｜↓＞，而最左的点q=-1 提供了｜←＞= ｜↑＞- ｜↓＞。绕过球面最远
的点标作q=i，相应于态｜↑＞+i ｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，
而最近的点为q=-i，对应于｜↑＞-i ｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一
般的标记为q 的点对应于｜↑＞+q ｜↓＞。
图6.25此处用黎曼球面来表示自旋为1/2的粒子的物理上不同的自旋
态。球面从它的南极 （∞）被立体地投影到通过其赤道的复平面上去。
所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢 10？在空间
选取某一个方向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为
是表明电子 （现在）的确以右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向
和α相反。
假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为｜α＞。如果我们简单
地重复此测量，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百
分之百的概率为是。但是如果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新
的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态｜β＞上去的概率小了。还有答
案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率。如何计算此概率呢？答案
是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为
1
(1+ cos θ) ，
2
这里θ是两个方向α，β之间的夹角 11。相应地，第二次测量为非的概率
为
1
（1-cos θ）。
2
我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两
种结果的概率都为百分之五十 （cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随
机的！如果两次测量的夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如
果为钝角。则非的可能性更多。在β和α相反的极端情形下，答案为是的
概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第二次测量的结果一定
是和第一次相反。 （参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。）
黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子
态 （准确到一个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。
对于半自旋的粒子，它的几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋
轴的可能的空间方向。在其他很多情形，难以看到黎曼球面的作用。考虑
刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。光子态为某个描述两
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个完全不同位置的双态｜ψ ＞和｜ψ ＞的诸如｜ψ ＞+ ｜ψ＞，｜ψ
t b t b t
＞- ｜ψ＞或｜ψ ＞+i ｜ψ＞等等的线性组合。黎曼球面仍然描述物理
b t b
上一系列不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。态｜ψ ＞由北极
t
（“顶”），｜ψ＞由南极 （“底”）分别代表。而｜ψ＞+ ｜ψ＞，｜
b t b
ψ＞- ｜ψ＞以及｜ψ ＞+i ｜ψ＞由赤道上的不同的点代表。一般地，
t b t b
w ｜ψ＞+z ｜ψ＞为点q=z/w 所代表。在很多情况下，正像这个例子，“黎
t b
曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有清楚的关系。
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客观性和量子态的可测量性
尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关
于量子力学的态似乎有某些客观的东西。人们经常断言，态矢量只为了方
便描述 “我们已知”的物理系统——或者，态矢量也许实际上并不描述一
个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的类似系统在 “系综”方面的概
率信息。在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面，我觉得这种意
见过分胆怯。
有关态矢量的 “物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，
物理上可测量的东西严格地受到限制这个事实引起的。让我们考虑上述的
电子自旋态。假定自旋态刚好是｜α＞，但是我们不知道这些，也就是说
我们不知道电子自旋的方向 α。我们能否用测量来决定此方向呢？不，我
们不能。我们最多能做的只是提取 “部分”信息——就是简单的是或非问
题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子自
旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋
方向的信息。答案为是的话，我们知道现在这个态和｜β＞成比例；答案
为非的话，则现在的态在和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们
测量之前态的方向α，它仅仅是给出了关于α的某种概率的信息。
另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之
①
前 “刚好沿着这个方向自旋”。由于我们也许选定了在方向α上测量电
子的自旋——而电子必须肯定地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！
无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际上必须给出的这个答案的 “信
息”。
我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将
什么是 “客观的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实
验时，不能准确地 （除了比例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的
态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量似乎的确（又是除了比例系数外）
是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验的结果所完全表征。
在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子自旋被
精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不
合理的。 （然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”
图像会变得更奇怪得多——甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而
言也是如此。）
但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许
多情形下，它没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态
① 这里必须在允许矢量的无限求和的意义下才行。希尔伯特空间牵涉到了有关这种无限求和的规则 （由于
这些过于技术性了，所以我不详细论及）。
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一般地必须认为是一个和其他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在
特殊情形下，可以考虑电子本身 （至少就其自旋而言）。按照标准的量子
理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先 （也许未知的时刻）被测
量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义好的
自旋方向。
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复制量子态
电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在
使原先的态不被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的
自旋态｜α＞进行复制。若能复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系
统会在一个定义得非常好的方向上具有大的角动量。可由宏观测量把这个
方向｜α＞确定下来。这就违反了自旋态｜α＞的基本的不可测量性。
然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我
们有一处于未知的自旋态｜α＞的电子和另一处于另一个自旋态｜γ＞的
中子。将它们交换使中子自旋态为｜α＞而电子态为｜γ＞是完全合法
的。我们所不能做的是复制｜α＞， （除非我们预先知道 ｜α＞实际上为
何态）！ （还可参阅伍特斯和朱列克1982。）
我们记得在第一章 （29 页）讨论过 “远距运送机器”。这机器，原则
上依赖于在遥远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个
人的 “所知所闻”可以依赖于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴
趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止我们去复制 “所知所闻”而不破
坏原先的态。远距离搬运的 “矛盾”可望以这种方式得到解决。量子效应
和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。
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光子自旋
让我们在下面考虑光子的 “自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具
有自旋，但是因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一
个固定点；相反地自旋轴总在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是
“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。把两偏振片重叠在一起并透视之。
一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其中一片不动而旋转另
一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大，第二
偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可
使通过的光量减少到零。
按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克
斯韦的光波的振动电磁场描述。图6.26 画出了平面偏振的光。电场在一
个称为极化面的平面上上下振动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上
振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化面和偏振片结构相平行的光通
过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通过第一偏振片的
光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏振
片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为j
时，则第二偏振片让
2
cos j
部分的光通过。
图6.26 平面偏振的电磁波。
在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏
振片的行为像一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，
它就给出是的答案，并让光子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，
则答案为非，光子就被吸收。 （注意在希尔伯特空间中的“正交”并不对
应于通常空间中的 “夹直角”！）假定光子通过了第一偏振片，则第二偏
振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的夹角
为j，我们现在就有cosj2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片
的概率。
黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们
必须考虑圆的和椭圆的偏振。图 6.27 画出了经典波动的情形。圆偏振时
电场旋转，而不是振荡。磁场仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振
可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢量在空间划出一个椭圆。在量
子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式——光子自旋的态。
如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上
运动的光子。现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电
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场矢量以反时钟方向绕着垂直的轴旋转 （从上面看）。而南极代表左手自
旋的态｜L＞。（我们可以把光子想象成像来福枪子弹一样自旋，或是右旋
或是左旋。一般的自旋态｜R＞+q ｜L＞是这两种态的复线性组合，它对应
于黎曼球面上标出的一点。为了求出q 和偏振椭圆的关系，我们首先取q
的平方根 p：
p = q 。
然后在黎曼球面标出p 而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面
垂直于连接标上p 的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我
们将此圆周垂直投影就得了偏振椭圆 （图6.28） 。q 的黎曼球面仍然描述
了光子偏振态的总体，但是q 的平方根为之提供了空间实现。
图6.27 圆偏振电磁波。（椭圆偏振是介于图6.26和图 6.27之间的中
间情况。）
图6.28黎曼球面（现在是 q 的）也描述了一个光子的偏振态（指向
q 的矢量称为斯托克斯矢量。）
我们可同样地将用于电子的同一个公式 1/2 （1+cosθ）用于计算概
率，只要我们把它应用于q 而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方
向上，然后在另一和它夹j角的方向上测量光子的偏振。这两个方向对应
于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为 p 为q 的平方根，所以q
点在中心的张角为p 点张角的两倍：θ=2j 。这样，在第一测量结果为是
后第二测量结果亦为是 （亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振
2
片）的概率为1/2 （1+cos2）这正是前面断言的cos j… （可用简单的三角
验证之）。
乱这些描述。该因子是当我们要求｜→＞和｜←＞归一化时所引起的。
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大自旋物体
对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比
黎曼球面更复杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何
作用。考虑以下有质量的自旋为n ×h/ 2 的粒子或原子，让它处于静止。
这样自旋就定义了一个 n+1 态的量子系统。 （对于一个无质量的，也就是
以光速运动的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个
两态系统。但是对于有质量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我
们选择在某一个方向测量该自旋，会发现共有 n+1 不同的可能的结果，此
结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位h/2，在那个方向
自旋的可能结果为n，n-2，n-4，…，2-n 或-n。这样n=2 时其值为2，0
