学 （也许是唯一的学科）最令人印象深刻的特征！假定一个数学论证不含
错误，当它完全被理解时，若能使一位数学家信服，就同样能使另一位信
服。这也适用于哥德尔型的命题。如果第一位数学家准备接受一个特定形
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①
式系统中所有的公理和步骤法则只能给出真的命题，那么他 ？也应该准
备接受这系统的哥德尔命题是描述一道真的命题。这对第二位数学家也完
2
全相同。关键在于，建立数学真理的论证是可传递的 。
因此，我们不是在谈论盘旋于不同的数学家头脑中各种难解的算法。
我们是在谈论一个普适的形式系统，它等效于所有不同数学家用来判断真
理的算法。永远不可能知道，这个假想的 “普适”系统或算法是不是数学
家用来决定真理的那一种！因为如果能知道，那我们就能建立起它的哥德
尔命题，并且知道那也是数学真理。这样，我们被迫得出结论，数学家实
际上用以决定数学真理的算法是如此复杂难解，使得我们永远不知道其有
效性。
但这违反数学的宗旨！我们数学传统和训练的主旨是不向我们无望理
解的法则权威低头。至少在原则上我们必须了解，一个论证的每一步都能
分解成简单明白的步骤。数学真理不是可怕复杂而且其正确性超出我们理
解能力的教条。它是从如此简单明白的要素建立起来的，而且当我们理解
这些要素时，它们的真理性一目了然，并且所有人都会同意。
按照我的想法，在缺乏一个真正的数学证明时，这是我们能期望得到
最明白的反证法！其含义应该非常清楚。数学真理不是我们仅仅用算法决
定的东西。我相信意识是我们赖以理解数学真理的关键因素。我们必须“看
见”数学论证的真理性，它的有效性才能使人信服。这种 “看见”正是意
识的精髓。每当我们直接知觉到数学真理时，它就应该呈现。当我们使自
己相信哥德尔定理有效时，我们不仅 “看见”了它，而且在这么做之时，
我们揭露了 “看见”过程本身非算法的性质。
① 至少对于现代电脑技术而言 （参见第一章关于图灵试验的讨论）。
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灵感、洞察和创造性
我应该对偶尔闪现的新洞察 （我们称作灵感）作一些评论。这些思想
以及想象是神秘地从无意识的精神中来呢，还是在重要意义上是意识本身
的产物呢？人们可以引用许多思想家记载的这类经验。作为数学家．我特
别关心其他数学家灵感和创见的思想。但是我想象，在数学和其他科学与
艺术中有许多共通之处。我介绍读者阅读非常杰出的法国数学家佳奎斯 ·哈
达玛写的一本薄书 《数学发明的心理学》，这是一本非常优秀的经典名著。
他引用了许多著名数学家和其他人描述灵感的经验。其中最著名者是由亨
利·彭加莱提供的。彭加莱首先描述他着意寻求他称为弗希函数一段紧张
的努力，结果陷入绝境。然后：
……我离开我从前居住的坎城，继续进行矿业学校主办的地质学术考
察发现。这次旅行使我忘怀自己的数学研究。一到达康坦斯，我们要
登上去别的什么地方的公共汽车。正在我的脚踏上阶梯的那一瞬间，
和先前的思路毫不相关地，我忽然得到一个发现：我用来定义弗希函
数的变换和非欧几何中的变换完全一样。我没有证实这个思想。我坐
在汽车里继续原先开始的交谈，那时没有时间去证实，但是我觉得十
分确定。在我回坎城的归程中，我利用空闲之便把它证实了。
这个例子 （以及其他许多哈达玛引用的例子）的惊人之处在于，彭加
莱在一闪念之间得到了这个复杂而高深的思想，那时他的意识思维正专注
于完全不同的地方，而且在获得这一思想时还肯定感觉它是正确的，正如
后来计算所证明的。应该明白指出，这个思想并不容易用言词解释清楚。
如果为了使专家明白这思想，我想他需要做大约一个钟头的学术报告。很
明显，就是因为彭加莱先前已经有许多钟头蓄意的意识活动，使他完全熟
悉手中问题许多不同的角度，这个思想才能完全成形地进入他的意识。然
而，在某种意义上来讲，当彭加莱登上车之时所得到的，是在一瞬间内能
被完全理解的 “单个”思想。彭加莱确信其思想的真理性更令人惊奇，因
此他后来仔细的验证几乎是画蛇添足。
也许我应该试用我自己相仿的经验来做比较。事实上，我想不起来我
得到过像彭加莱那样完全从天外而来的妙思异想。 （或像其它许多被引用
的真正灵感的例子），我自己是必须有意识地思考手中的问题，也许思考
得很含糊，但也许脑中正处于低水平的意识。也可能我正进行其他精神相
当放松的活动；例如刮胡子即是一个好例子。也许我刚好开始思考搁置了
一段时间的问题。认真进行许多小时从容而清醒的活动肯定是必要的，而
且有时我要花一段时间才能重新熟悉一个问题。但是，我也有过经验在“瞬
间”得到思想，同时强烈感觉到它是正确的。
也许值得提到一个与此相关的特别奇怪的有趣的例子。1964年秋天，
我正为黑洞奇性问题感到烦忧。奥本海默和斯尼德在 1939年指出，大质量
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恒星完全球形的坍缩会导致一个处于中心的空间——时间奇点。广义相对
论的经典理论在该处失效 （见第七章386、390 页）。许多人觉得，如果他
们取消完全球对称 （不合情理的）的假设，则这种不愉快的结论就可避免。
在球形的情况下，所有坍缩的物质都指向一个中心点，或因为这种对称，
所以发生了具有无穷大密度的奇点是可以预料得到的。假设没有这样的对
称似乎更合理些，物质以更混乱的方式到达中心区域，不会产生无穷大的
密度。或许物质甚至会重新旋转出来，产生与奥本海默和斯尼德理想化黑
3
洞完全不同的行为 。
由于新近 （二十世纪六十年代初）发现了类星体，人们重新对黑洞问
题感兴趣，也因而激发了我的思想。这些遥远天体的物理性质使有些人猜
测，它们的中心可能是类似奥本海默—斯尼德黑洞的东西。另一方面，许
多人又认为奥本海默—斯尼德球形对称假设也许提供了完全误导的图像。
然而，从处理另一个问题的经验我想到也许会有一道待证明的数学定理（根
据标准的广义相对论）证明空间——时间奇点是不可避免的，并因此证明
黑洞的图像必须成立，只要坍缩达到类似“无归点”的条件。我不知道“无
归点” （不用球形对称）有任何数学定义的判据，更别说陈述或证明一个
适当的定理了。一位同事 （厄弗·罗宾逊）从美国来访；当我们沿街走向
我在伦敦比尔克贝克学院的办公室时，正滔滔不绝谈论一个完全不同的论
题。我们的交谈在跨越人行道时停止了一瞬间，到了另一边又重新开始。
就在这短暂的时刻，我显然得到一个思想，但是因为恢复交谈而把它在我
脑中遮盖了！
当天，在我的同事离开之后，我回到自己的办公室。我记得有种古怪
又难以解释的兴奋感觉。我开始把整天在我脑袋里发生的所有事情都想过
了一遍，试图找出引起这种感觉的原因。在排除了许多不足够充分的原因
后，最后想起了我跨过马路时得到的想法。这想法为我头脑中琢磨许久的
问题提供解答，并使我一瞬间欣喜万分。这想法显然正是我需要的判据，
后来我将之称作 “捕获面”。然后，没花很长时间我就得到了寻求中的定
理证明概要 （彭罗斯1965）。尽管如此，我花了一段时间才把该证明以完
全严格的方式写出，但是我穿越街道时所得到的思想是一个关键。 （有时
候我怀疑，如果那天我还经历了其它不重要的事，我也许就根本记不得捕
获面的想法！）
上面轶事使我想到另外有关灵感洞察的论题，就是我们在形成判断
时，美学标准具有重大价值。美学标准对艺术来说是至高无上的。在艺术
中美学是门高深的课题，哲学家们奉献终身去研究它。可以说在数学和科
学中，美学标准仅是偶然的，而真理标准才是至高无上的。但是在人们考
虑灵感和洞察问题时，似乎不可能把两种标准分开。我的印象是，坚信瞬
间灵感是正确的 （我应该加一句，并非百分之百可靠，但至少比纯粹碰运
气可靠得多）与灵感的美学品质有很密切的关系。看起来漂亮的思想比看
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起来丑陋的思想对的机会更大得多。这至少是我自己的经验，其他人也表
达过类似的感想 （参阅强德拉塞卡1989）。例如，哈达玛 （1945，第31
页）写道：
……很显然若没有探索的意志，任何有意义的发现或发明都不会发
生。但是我们在彭加莱的经验中看到了一些别的什么，美感的干涉作
为一个不可或缺的探索手段。我们得到了两重结论：
发明是一种选择。
这种选择绝对是由科学的美感所控制的。
例如还有狄拉克 （1982）毫不羞愧地声称，正是他敏锐的美感使他预
知电子的方程式 （指的是333 页的 “狄拉克方程”），而其他人却无法找
到。
我自己的思维肯定可以证明美学品质之重要性，不管是指一种可以“坚
信”的 “灵感”，或是当一个人朝期望目标摸索时必须持续进行的一种“例
行”猜测。我曾在别处写过这相关的论题，特别是有关图 10.3和4.11 描
述的非周期性镶嵌。毫无疑问，这些镶嵌中第一个镶嵌的美学品质——不
仅是它的视觉外观，还有它迷人的数学性质——给了我一种直觉 （可能是
在”一瞬间”，但是大约只有百分之六十肯定！），它可以由合适的搭配
规则 （也就是锯齿式组合）排列出来。我们很快就要再看到这些镶嵌模式
（参阅彭罗斯1974。）
我对这一点是非常清楚的，美学标准的重要性不仅适用于灵感的瞬息
判断，而且也适用于我们在数学 （或科学）研究中更须经常做的判断。严
格的论证通常是最后的步骤！人们在此之前必须作许多猜测，美学信仰对
于这些是极重要的，它总是受逻辑论证和已知事实的约束。
我正是把这些判断当成意识思维的标志。我猜想，即使是突然闪现的
灵感，很显然也是由无意识的精神现成准备好了的。意识正是裁决者，如
果思想不是 “听起来不错”的话就会很快地被否决并忘掉。 （古怪的是，
我实际上的确忘记了我的捕获面，但是这不在我所指的同样水平的忘记。
该思想进入意识的时间足够长，因而留下永久的印象。）我是在假定，我
所指的 “美学”否决是完全禁止没有魅力的思想到达意识的相当永久的层
次。
那么在我的观点中，无意识在灵感思维中的作用是什么呢？我承认，
这题目不像我希望的那么清楚。无意识似乎的确在这范围扮演重要的角
色，我应该同意一个观点，无意识过程很重要。我还应该同意，无意识的
精神决非仅仅随机地吐出思想来。必须存在一种强有力的选择步骤，使得
意识精神只受 “有机会的”思想扰动。我提议，这些选择判据 （多半是“美
学”的）已经被意识迫切的希求所影响 （正如数学思想和已经建立的原理
不协调时，就会有丑恶感觉伴随而来）。
与此相关的问题是，什么才构成真正的创造性。我觉得它牵涉到两个
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因素，也就是 “提出”和“淘汰”过程。我想，“提出”过程大多是无意
识的，而 “淘汰”过程大多是有意识的。缺少有效的提出过程，根本就不
会有新思想。但若仅有提出过程，则它的价值非常小。人们需要一个形成
判断有效过程，使只有具备合理成功机会的思想留存下来。例如在睡觉中
非常容易涌现奇思异想，但是很少能在清醒意识的严厉批判下存活下来。
（我本人在睡梦状态就从未得到过成功的科学思想，而别人就幸运得多，
譬如化学家克库勒，发现了苯结构。）依我的意见，是意识的淘汰过程（也
就是判断）而不是无意识的提出过程作为创造力的问题中心，但是我知道
许多人持相反的观点。
在离开这令人相当不满意的状态之前，我应该提到灵感思维的另一个
特点，就是它的全局特征。上述的彭加莱轶事是个显著的例子，在极短暂
的时间内来到他头脑中的思想包含了大量的数学思维。非数学读者也许更
能立即接受，艺术家 （某些）把他们的创作整体一下子放到头脑中（虽然
毫无疑问一样地难理解）。莫扎特 （正如哈达玛 1945，第16页所引用的）
生动地提供了一个使人惊奇的例子：
当我感觉良好或处于风趣状态时，或者当我在美餐后驾车兜风或散步
时，或者在难以入眠的夜晚，思绪犹如潮水般地涌进我的头脑。它们
从何而来又如何来呢？我不知道，这与我无关。我把那些喜欢的留在
脑中，并且轻轻地哼唱；至少别人曾告诉我，我是这么做的。一旦我
得到了主旋律，其他曲调就依照整个乐曲的需要连接进来和旋律配
合，最后每一种乐器的配乐以及所有的旋律片断也参与进来，最后就
产生了一部完整的作品。此时灵感在我的灵魂中燃烧。作品渐渐成熟，
我不断地扩展它，把它孕育得越来越清晰，直到整个曲子在我的头脑
中完成，尽管它可能很长。该乐曲在我的精神中正如一幅美丽的图画
或一位英俊的少年在眼前闪现。它不是连续地来到我的头脑中，而是
我的想象使我完整地听到它，然后才完成细节部分。
我觉得这和提出／淘汰的方案一致。虽然 “提出”无疑是极有选择性
的，不过它看来是无意识的 （“它与我无关”）；而淘汰是有意识的品味
仲裁人 （“我把那些喜欢的留在脑中……”）。灵感思维的整体性在莫扎
特的引语中特别明显 （“它不是连续来到……而是完整地”）。也正如彭
加莱的例子一样 （“我没有证实这个思想。……，那时没有时间去证实”）。
此外，我还坚持，一般来说，我们意识思维已经呈现出明显的整体性。我
将很快回到这个问题上来。
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思维的非言语性
哈达玛研究创造性思维令人印象深刻的要点之一，是拒绝接受迄今仍
常听到的论题——言语是思维所必须的。引用爱因斯坦致哈达玛信中的一
段话就能把这问题解释得再好不过了：
词语或语言，无论是写的或说的，在我的思维机制中，似乎都不起任
何作用。似乎作为思维要素的精神实体是一些能够 “自动”复制与结
合的特定符号和一些大致还算清晰的图像……在我的情形中，上面提
到的要素有视觉的和肌肉之类型。只有在第二阶段，当所提到的联想
活动充分建立起来并能随意复制时，才须费心寻找习惯的词语或其他
符号。
杰出的遗传学家佛朗西斯·盖勒顿的一段话也值得引用：
写作是我的严重缺陷，言语表达的缺陷更严重。我用语言方式来思考
比用其他方式更不容易。经常发生这样的事，在经过辛苦的工作后得
到完全清楚和满意的结果，但当我试图用语言来表达时，我必须先使
自己位于另一个完全不同的智力层面。我必须把自己的想法翻译成和
它们不甚配合的语言。因此我在寻求合适的词汇和短语中浪费了大量
的时间。我意识到，当突然必须演讲时，经常仅因为言语笨拙而不是
因为缺乏清楚认知，使得我的演讲变得非常难懂。这是我生活中的小
烦恼。
哈达玛自己也写道：
我坚持，当我真正进行思考时，词语在我的头脑中根本不存在。我的
