降低光强度，则人们可断定，其亮度分布的确是由单独的斑点组成——和
粒子图像相一致——是单独的光子打到屏幕上。亮度光滑的表观是由于大
量的光子参与的统计效应 （见图6.4）。 （为了比较起见，一个60 瓦的电
灯泡每一秒钟大约发射出 100000000000000000000个光子！）光子在通过
狭缝时的确被随机地弯折——弯折角不同则概率不同，就这样地得到了所
观察到的亮度分布。
图6.4 只有一个缝隙打开时屏幕上的强度模式——分立小点的分布。
然而，当我们打开另一条缝隙时就出现了粒子图像的关键问题！假设
光是来自于一个黄色的钠灯，这样它基本上具有纯粹的非混合的颜色——
用技术上的术语称为单色的，也即具有确定的波长或频率。在粒子图像
-7
中，这表明所有光子具有同样的能量。此处波长约为5×10 米。假定缝
隙的宽度约为0.001 毫米，而且两缝相距0.15 毫米左右，屏幕大概在一米
那么远。在相当强的光源照射下，我们仍然得到了规则的亮度模式。但是
现在我们在屏幕中心附近可看到大约三毫米宽的称为干涉模式的条纹的
波动形状 （图6.5）。我们也许会期望第二个缝隙的打开会简单地把屏幕
的光强加倍。如果我们考虑总的照度，这是对的。但是现在强度的模式的
细节和单缝时完全不同。屏幕上的一些点——也就是模式在该处最亮处—
—照度为以前的四倍，而不仅仅是二倍。在另外的一些点——也就是模式
在该处最暗处——光强为零。强度为零的点给粒子图像带来了最大的困
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惑。这些点是只有一条缝打开时粒子非常乐意来的地方。现在我们打开了
另一条缝，忽然发现不知怎么搞的光子被防止跑到那里去。我们让光子通
过另一条途径时，怎么会在实际上变成它在任何一条途径都通不过呢？
图6.5 两个缝隙同时打开时屏幕上的强度模式——分立小点的波动状
分布。
在光子的情形下，如果我们取它的波长作为其 “尺度”的度量，则第
二条缝离开第一条缝大约有300倍 “光子尺度”那么远（每一条缝大约有
两个波长宽） （见图6.6），这样当光子通过一条缝时，它怎么会知道另
一条缝是否被打开呢？事实上，对于 “对消”或者“加强”现象的发生，
两条缝之间的距离在原则上没有受到什么限制。
当光通过缝隙时，它似乎像波动而不像粒子那样行为！这种抵消——
对消干涉——是波动的一个众所周知的性质。如来两条路径的每一条分别
都可让光通过，而现在两条同时都开放，则它们完全可能会相互抵消。我
在图 6.7 中解释了何以致此。如果从一条缝隙来的一部分光和从另一条缝
隙来的 “同相”（也就是两个部分波的波峰同时发生，波谷也同时发生），
则它们将互相加强。但是如果它们刚好 “反相”（也就是一个部分波的波
峰重叠到另一部分的波谷上），则它们将互相抵消。在双缝实验中，只要
屏幕上到两缝隙的距离之差为波长的整数倍的地方，则波峰和波峰则分别
在一起发生，因而是亮的。如果距离差刚好是这些值的中间，则波峰就重
叠到波谷上去，该处就是暗的。
图6.6从光子的观点看缝隙！大约在 300倍 “光子尺度”外的第二条
缝是开还是闭，对它而言怎么会有影响呢？
6.7在纯粹波动图像中，我们可按照波动的干涉来理解屏幕上亮的和
暗 （虽然不是分立）的模式。
关于通常宏观的经典波动同时以这种方式通过两个缝隙没有任何困惑
之处。波动毕竟只是某种媒质 （场）或者某种包含有无数很小点状粒子的
物体的一种 “扰动”。扰动可以一部分通过一条缝隙，另一部分通过另一
条缝隙。但是这里的情况非常不同；每一个单独光子自身是完整的波动！
在某种意义上讲，每个粒子一下通过两条缝隙并且和自身干涉！人们可将
光强降得足够低使得保证任一时刻不会有多于一个光子通过缝隙的附近。
对消干涉现象，因之使得两个不同途径的光子互相抵消其实现的可能性，
是加在单独光子之上的某种东西。如果两个途径之中只有一个开放，则光
子就通过那个途径。但是如果两者都开放，则两种可能性奇迹般地互相抵
消，而发现光子不能通过任一条缝隙！
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读者应该深入思考一下这一个非同寻常事实的重要性。光的确不是有
时像粒子有时像波那样行为。每一个单独粒子自身完全地以类波动方式行
为；一个粒子可得到的不同选择的可能性有时会完全相互抵消！
光子是否在实际上分成了两半并各自穿过一条缝隙呢？大多数物理学
对这样的描述事物的方式持否定态度。他们坚持说，两条途径为粒子开放
时，它们都对最后的效应有贡献。它们只是二中择一的途径，不应该认为
粒子为了通过缝隙而被分成两半。我们可以考虑修正一下实验，把一个粒
子探测器放在其中的一条缝隙，用来支持粒子不能分成两部分再分别通过
两缝隙的观点。由于用它观测时，光子或任何其他种类的粒子总是作为单
独整体而不是整体的一部分而出现，我们的探测器不是探测到整个光子，
就是根本什么也没探测到。然而，当把探测器放在其中的一条缝隙处，使
得观察者能说出光子是从哪一条缝隙通过时，屏幕上的波浪状的干涉花样
就消失了。为了使干涉发生，显然必须对粒子 “实际上”通过那一条缝隙
“缺乏知识”。
为了得到干涉，两个不同选择都必须有贡献，有时 “相加”——正如
人们预料的那样相互加强到两倍——有时 “相减”——这样两者会神秘地
相互 “抵消”掉。事实上，按照量子力学的规则，所发生的事比这些还更
神秘！两种选择的确可以相加 （屏幕上最亮的点），两者也的确可以相减
（暗点）；但它们实际上也会以另外奇怪的组合形式结合在一起，例如
“选择A”加上 i乘以 “选择B”，
这儿i是我们第三章的“负一的平方根”（= －1）（在屏幕上中等强
度的地方）。事实上任何复数都能在 “不同选择的组合”中起作用！
读者可能会记得在第三章时我的复数对于 “量子力学的结构是绝对基
本的”警告。这些数绝不仅仅是数学的精巧。它们通过令人信服的、使人
意外的实验事实来迫使物理学家注意。我们必须接受复数权重才能理解量
子力学。现在我们接着考虑它的推论。
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概率幅度
在上面的描述中利用光子并无任何特别之处。这里可以同样好地利用
电子或任何其他种类的粒子或者甚至原子。量子力学的规则坚持，甚至连
棒球和大象都应以这种古怪的方式行为，不同选择的可能性可用复数的组
合 “相加起来”！然而，我们从未在实际中看到棒球或大象这种奇怪方式
的叠加。为什么我们没有见到呢？这是一个困难的富有争议的问题，我现
在还不想去对付之。作为工作规则，现在让我们简单地假设物理描述有两
种不同可能的水平，我们将其称为量子和经典水平。我们只在量子水平上
利用这些古怪的复数组合。棒球和大象是经典水平上的对象。
量子水平就是分子、原子和次原子粒子的水平。这通常被认为是非常
“小尺度”现象的水平，但是这个“小”实际上并非是指物理尺度。我们
将会看到量子效应能在许多米甚至一光年的距离上发生。如果认为只牵涉
到非常小的能量差，这才有点接近于认为某种东西是 “处于量子水平上”
的特征。 （以后我将尽力弄得更精确些，尤其是在第八章的424 页）。经
典水平就是我们直接了解的 “宏观”水平。在这水平上，我们的“事物”
发生的通常图像是正确的，并且可以使用通常的概率观念。我们将看到在
量子水平上，我们必须使用的复数和经典概率有紧密的关系。它们并不真
正相同，但是为对付这些复数，先回顾一下经典概率的行为是有益的。
考虑一个不确定的经典情形，两种选择之中我们不知哪一种会发生。
可将这种情形描述作这些选择的 “加权”组合：
p× “选择A”加上q× “选择B”
此处p 为A 发生的概率，而q 是B 发生的概率。 （要记住，概率是在0 和
1之间的实数。概率 1表明 “一定发生”，而概率0 表明 “一定不发生”。
概率 1/2表明 “发生和不发生是同等可能的”。）如果A 和 B 是仅有的不
同选择，则两者概率的和必须是1：
P+q=1。
然而如果还有其他选择，则此和可以比 1小。那么，比率p ∶q 就给出了发
生A 和发生 B 的概率的比率。在只有两种选择时，发生A 和发生 B 的实际
概率分别为 p/ （p+q）和q/ （p+q）。如果p+q 比1大，我们还可以这样地
解释。 （这可能是有用的，例如，只要我们进行了多次的实验，p 为发生A
的次数，q 为发生B 的次数。）如果p+q=1，我们就说p和q 是归一化的，
这样它们就给出了实际的概率，而不仅仅是概率的比率。
在量子力学中我们将做一些显得与此非常相似的事，现在P和q 变成
为复数——我将使用w 和 z分别表示之
w× “选择A”加以z× “选择B”
我们如何解释w 和 z 呢？由于它们会各自独立地变为负数或者复数，它们
肯定不是通常的概率 （或概率比），但是在许多方面很像概率。它们被叫
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作 （适当地归一化之后——见后面）概率幅度，或简单地称作幅度。此外，
人们经常用这类暗示概率的术语，如： “发生A 的幅度为w 和发生 B 的幅
度为 z”。它们不是实际的概率，但是我们假装它们是——或宁愿说成概
率在量子水平上的相似物。
通常的概率如何起作用呢？考虑一个宏观对象将有助于理解，譬如说
打一个球使之穿过两个洞中的一个再到后面的屏幕去——正如上述的双缝
实验那样 （参见图6.3），但现在我们用经典的宏观球取代了前面讨论的
光子。从 s将球打到上洞的概率为 P （s，t），打到下洞的概率为P （s，b）。
而且，如果我们在屏幕上选取特定的一点p，只要球的确通过t，则到此
特定的 p 点的概率为P （t，p），而球通过b 到达p 的概率为P （b，p）。
如果只有上面的洞t 是开放的，则球通过t 到达p 的实际概率为将从s到
t 的概率乘上从t 到p 的概率：
（s，t）×P （t，p）。
类似地，如果只有下面的洞是开放的，则球从s到p 的概率为
P （s，b）×P （b，p）。
如果两个洞都开放的话，则从 s通过t 到达p 的概率仍为第一表达式P（s，
t）×P （t，p），正如只有t 洞开放时那样。而从 s通过 b 到p 的概率仍
为P （s，b）×P （b，p）。所以，从s到p 的总概率P （s，p）为两者之
和
P （s，p）=P （s，t）×P （t，p）+P （s，b）×P （b，p）。
在量子水平上，除了现在是奇怪的复的幅度起着我们前面的概率的作
用外，其规则和这一模一样。这样，在上面考虑的双缝实验中，光子从源
s到上缝t 我们有一幅度A （s，t），从上缝到达屏幕上p 点有一幅度A （t，
p），两者相乘得到从s通过t 到达p 的幅度
A （s，t）×A （t，p）。
作为概率，假定上缝是开的，不管下缝是否打开，这都是正确的幅度。类
似地，假定 b 是开的，则存在光子从s通过 b 到达p 的幅度 （不管t 是否
打开）
A （s，b）×A （b，p）。
如果两条缝隙都打开，我们可得到光子从 s到p 的总幅度
A （s，p）=A （s，t）×A （t，p）+A （s，b）×A （b，p）。
这一切都非常好。但是，我们在量子效应被放大达到经典水平从而知
道如何去解释这些幅度之前，它对我们并没有多大用处。我们可把一个光
子探测器或光电管放在p处，它提供了把量子水平的事件——光子抵达 p
——放大成经典的可辨别得出的发生，例如听得见的 “咔啦”一声。（如
果屏幕的作用相当于照相底版，使得光子留下可见的斑点，那么这也是一
样的。但为了清楚起见我们就用光电管好了。）必须存在产生 “咔啦”一
响的实际的概率，而不仅仅是这些神秘的 “幅度”！当我们从量子水平变
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到经典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽
而神秘的规则。
其规则是我们必须对量子的复的幅度取平方模以得到经典的概率。什
么是“平方模”？回忆一下我们在复平面上的复数的描述（第三章101页）。
2
复数z 的模|z|简单地就是 z 离开原点 （也就是点0）的距离。平方模|z|
即是这个数的平方。这样，如果我们写
z=x+iy，
这儿x 和y都是实数。由于从0 到z 的连线为直角三角形0，x，z 的斜边，
从毕达哥拉斯定理得知我们所需的平方模是
2 2 2
|z|=x +y
2
注意，为了使之成为一个真正的 “归一化的”概率，|z| 的值必须在
0 和 1之间。这表明对于适当归一化的幅度，在复平面上 z 必须处于单位
圆内的某处 （见图6.8）。然而，有时我们要考虑组合
w× “选择A”+z× “选择B”，
此处w 和 z仅仅是和概率幅度成比例，它们没必要在单位圆内部。它们归
一化 （并因此提供真正的概率幅度）的条件是平方模的和必须为1：
2 2
丨w 丨+ 丨z 丨=1。
图6.8用复平面上单位圆内的点 z来代表概率幅度。其与中心的距离
2
的平方|z| 可成为当效应被放大到经典水平时的实际概率。
如果它们不是归一化的，则A 和 B 的实际幅度应分别为
w / w 2 + z 2 和z / w 2 + z 2 ,
它们都处于单位圆内部。
现在我们看到，概率幅度根本不像真正的概率，而更像概率的 “复数
平方根”。当量子水平上的效应被放大到经典水平上时，这会发生什么影
响呢？我们记得，在进行概率和幅度运算时，我们有时要将它们相乘，有
时将它们相加。第一点值得注意的是，乘法运算在从量子过渡到经典规则
时没有什么问题。这是因为乘积的模数等于各自模数的乘积的这一显著的
数学事实
2 2 2
丨zw 丨= 丨z 丨 丨w 丨
（这个性质可由第三章的一对复数的乘积的几何描述立即得出；但是若按
照实部和虚部z=x+iy w=u+iv，这还算是一点奇迹。不妨试一下！）
此事实的含义是，如果只有一条通道对粒子开放，也就在双缝实验中
只有一条缝隙 （譬如t）开放，即可以 “经典地”论证，不管是否在中间
①
某点 （譬如在t）进行附加的粒子检测，出来的概率必须是一样的 。我们
① 也许我们可以说，波动方程和马克斯韦方程类似， （参阅215 页的注脚）也是一个相对论性方程。这样，
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可以在两个阶段或只在最后取平方模，也即
2 2 2
