图15-2国债收益率曲线
a)上升收益曲线
b)峰形收益曲线
c))平坦收益曲线
资料来源：
VariouseditionsofTheWallStreetJournal.
零息票债券的到期收益率有时也称作点利率（spotrate），即今日对应于零期时的
利率。它的收益率曲线就是表
15-2中的最后一栏，此栏中有四个不同时期的点利率。
应注意的是每期的点利率或收益率与各年中的一年期利率不一样。
未来各年中的短期利率与不同到期日的点利率的这种差别请见图
15-3。图中的第
一条线代表每一年度的短期利率，以下各条线是各期的点利率，或说是从现在起到各
不同相关时期的到期收益率。
两年期债券的收益率很接近于一年期与两年期短期债券利率的平均值。这是有道
理的，因为如果明年、后年的利率分别为
8%和10%，则（不计复利情况下）连续两年
的投资可带来
18%的累加收入回报率，每年平均为
9%。这与表15-2中的8.995%非常接
近。由于收益率测度的是债券生命期的平均回报率，所以，它本应由债券第一年与第
二年两年的市场利率共同决定。
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第15章利率的期限结构
371
年
每年短期利率
当前点利率
(到期收益率)
对于不同到期日
1年投资
2年投资
3年投资
4年投资
图15-3短期利率与点利率
实际上，我们可以解释得更细致些，将
15-1式与15-2式合并，我们有
841.75＝1000/(1.08×1.10)＝1000/(1＋y2)2
所以
(1＋y2)2＝1.08×1.10
1＋y2＝(1.08×1.10)1/2＝1.08995
同理有，
1＋y3＝[(1＋r1)(1＋r2)(1＋r3)]1/3
和
1＋y4＝[(1＋r1)(1＋r2)(1＋r3)(1＋r4)]1/4(15-3)
余此类推，可见到期收益率实际上是每一时期利率的平均值。但由于复利的因素，
使得这种关系不是算术平均值，而是几何平均值。
15.1.2持有期回报
表15-2中的四种债券一年持有期的回报各为多少？也许你会以为较高收益率的债
券提供的一年回报率也较高，但情况并不是这样。在一个简单的没有不确定性因素的
世界中，任何期限的债券一定会提供同一的回报率。否则的话，提供较低回报率的债
券将不再有投资者，它的价格将下降。实际上，尽管它们有不同的到期收益率，每一
种债券提供的未来一年的回报率将等于这一年的短期利率。
为证明这点，我们做个各债券到期利率的计算。一年期债券今天的价格为
925.93
美元，一年后的本息为
1000美元。由于这是零息票债券，所以总收入只有
1000美元
925.93美元＝74.07美元。回报率为
74.07美元/925.93美元＝8%。二年期债券今天的价
格为841.75美元，明年的利率上升为
10%，债券还只剩一年就到期，一年后它的卖价
应为1000美元/1.10＝909.09美元。因此，持有期的回报率为
(909.09美元-841.75美
元)/841.75美元＝
8%，你看，还是
8%的回报率。同样的，三年期债券今日购买价为
758.33美元，一年后售出价为
1000美元
/(1.10×1.11)＝819.00美元，其回报率为
（819.00美元-758.33美元）/758.33美元＝0.08，仍是8%的回报率。
概念检验
问题1：证明四年期债券回报率仍为
8%。
372第四部分固定收益证券
下载
我们由此可知，如利率期限确定，且所有债券按公平价格销售，则所有债券的一
年期回报率相等。较长期债券的较高收益率仅仅反映了这样一个事实，即未来利率高
于当前利率及较长时期的债券在较高利率时期仍在继续生利。短期债券持有者只得到
较少的到期收益率，但他们可将其所得做再投资，或待今后利率上升时将其以前所得
“再投入”，以获得更高收益。最终，长期债券与短期但再投资两种策略的回报率在整
个持有期相等，至少在利率确定情况下是这样的。
15.1.3远期利率
不幸的是，投资者不知未来年份的短期利率的变化情况，他们真正能够知道的是
报纸上列出的债券价格与到期收益率。他们能够从现有数据中推断出未来的短期利率
吗？
假设我们对未来三年的利率感兴趣，而掌握的资料仅限于表
15-2的数据。我们来
比较两个投资方案的选择，见图
15-4：
1)投资于三年期零息票债券。
2)投资于两年期零息票债券，两年后再将收入所得投资于一年期的债券。
3年投资
时间线
选择1：购买并持有3年
零息证券
选择2：购买2年零息证
2年投资1年投资
券再投资1年零息证券
图15-4两个三年的投资方案
假定投资100美元，在方案
1下，三年期零息票债券有一个
9.660%的到期收益率，
我们的投资最后得到的本息为
100(1.0966)3＝131.87美元；在方案
2的情况下，100美
元投资于两年期的债券，两年后得到本息为
100(1.08995)2＝118.80美元，然后在第三
年再投资一年，其资金会再增长
1＋r3。
在一个确定的世界中，这两种方案的最终结果是完全一样的。如果方案
1优于方
案2，则没有一个人愿意持有两年期债券，则这种债券的价格将下降，它们的收益率
将上升。反之，如果方案
2优于方案1，则无人愿意持有三年期债券。所以，我们可得
出结论：131.87美元＝118.80美元(1＋r3)，这即意味着
(1＋r3)＝1.11，或r3＝11%，这
就是三年期的利率，如表
15-1所示。这样，我们获得三年期利率的方法就有效地解决
了确定条件下的方案比较问题。
更一般地说，以上的比较提供了一个三年期债券回报率与两年期债券的回报再投
资，其各自的总收益相等的策略：
100(1＋y3)3＝100(1＋y2)2(1＋r3)
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第15章利率的期限结构
373
所以有1＋r3＝(1＋y3)3/(1＋y2)2。一般来说，在利率变化确定的情况下，可从零息
票债券的收益率曲线中推出未来短期利率的简便算法，其计算公式如下：
1＋rn＝(1＋yn)n/(1＋yn－1)n－1(15-4)
式中n为期数，yn为n期零息票债券在第n期的到期收益率。
此式有一简单解释。等式右边分子的含义是
n期零息票债券到期的总增长因素，
同理，分母的含义是
n-1期投资的总增长因素。由于前者比后者的投资期限多一年，
其增长量的差别一定是将
n-1年的回报再投资一年。
当然，当未来利率不确定时，如现实中的那样，无法推断未来“确定”的短期利
率。今天无人得知将来的利率是什么，我们至多能设想它的预期值，并与不确定性相
联系。但人们通常仍旧用
15-4式来了解未来利率的收益率曲线情况。由于认识到未来
利率的不确定性，人们将以这种方式推断出的利率称为远期利率（forwardinterest
rate）而不是未来短期利率，因为它不必是未来某一期间的实际利率。
如果n期的远期利率为fn，我们可用下式定义
fn
1＋fn＝(1＋yn)n/(1＋yn－1)n－1
经整理有
(1＋yn)n＝(1+yn－1)n－1(1+fn)(15-5)
在这里，远期利率被定义为“收支相抵”的利率，它相当于一个
n期零息票债券
的收益率等于
(n-1)期零息票债券在第
n期再投资所得到的总收益率。如果在
n期的点
利率等于fn，投资于
n期的选择与先投资于
(n-1)期，然后再投资于下一期的选择，结
果是一样的。
需要指出的是，未来的实际利率并不必然等于远期利率，它只是我们今天根据已
有的资料计算得出的。甚至不必要求远期利率等于未来短期利率的预期值。这是一个
我们大大简化了的论点。在这里，我们强调的是远期利率在利率确定的条件下一定等
于未来短期利率。
15.2期限结构的测度
到目前为止，我们的分析仅限于无违约风险下的零息票债券，由于它们的到期日
是给定的，只有单一支付，所以最易于分析。但在实际生活中，多数债券采用息票付
息方式，所以，我们需要从息票价格中发明一种计算现期利率与远期利率的方法。
15-4式与15-5式仅仅适合于零息票债券的远期利率计算，它们是在两种互相竞争
的投资策略结果相等的基础上推导出来的。如果在策略选择中也包括息票债券，就必
须要考虑投资期的付息与再投资问题，这会使问题复杂化。
如果息票利率不同，由此带来收益率不同，即便到期日相同也会使分析更为复杂。
例如，有两种债券，到期期限均为
2年，每年支付一次息票，债券
A的息票利率为
3%，
债券B的息票利率为12%。还用表15-1中的利率，债券A的卖价为
(30美元/1.08)＋[1030美元/(1.08×1.10)]＝894.78美元
在这一价格上，它的到期收益率为
8.98%，债券B的售价为
(120美元/1.08)＋[1120美元/(1.08×1.10)]＝1053.87美元
在这一价格上，它的到期收益率为
8.94%。由于债券B在利率较低时的第一年有一
较高的支付额，它的到期收益率也稍低。由于两种债券有相同的到期日但有不同的收
益率，我们可以得出结论，即与到期时间和收益相关的单一收益率曲线，不能适用于
所有的债券。
这一使用零息债券收益率曲线所产生的模糊结论，贯穿于我们分析的始终。我们
374第四部分固定收益证券
下载
有时也称它为纯收益率曲线。我们的目标就是计算这一纯收益率曲线，即便在不得不
使用更一般的息票债券数据时也是如此。
得到曲线的技巧是把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券。这
样息票债券就变成许多零息票债券的“组合”。我们在前述章节也确实看到，大多数
零息票债券产生于从息票债券中剥离出的息票支付，再将其与许多其他到期日相同的
证券重组。通过决定这些“零息的”各自的价格，可得出单一支付债券的到期收益率，
从而得到纯收益率曲线。
举例说明这种技巧，假定有一
1年期债券，每半年支付
8%的利息，价格为
986.10
美元；另一种
1年期债券，每半年支付
10%的利息，价格为
1004.78美元。为计算以后
两个半年的短期利率，首先要找出各自的支付现值，也即把它们当做微小的零息债券。
半年得到的1美元的现值为
d1，一年时得到的
1美元的现值为
d2（d代表折现价值；有
d1＝1/(1＋r1)，这里r1为前半年的短期利率）。这两种债券同时满足下式：
986.10＝d1×40＋d2×1040
1004.78＝d1×50＋d2×1050
在每一等式中，债券的价格等于它所有现金流的折现值。解这组等式，有
d1＝
0.95694，d2＝0.91137。因此，如果
r1是前半年的短期利率，则，
d1＝1/(1＋r1)＝
0.95694，所以r1＝0.045，d2＝1/[(1＋r1)(1＋f2)]＝1/[(1.045)(1＋f2)]＝0.911-37，所以，
f2＝0.05。因此，前半年的短期利率为
4.5%，后半年的短期利率为
5%。
概念检验
问题2：一面值10000美元的半年期国库券售价为
9700美元。一每半年按
4%利率
付息的一年期国库券售价
1000美元。试计算前半年的短期利率及后半年的远期利率。
当我们分析多种债券时，这种计算方式就更困难了。困难的原因在于债券的数量
大、期限多样，也在于并非所有债券都能计算
1美元的远期折现值。换句话说，定价
关系上有误差是明显的
[1]。但我们把这些误差看成是一些随机的偶差，这就可用统计
方法来推断收益率曲线中的远期利率模式。
为理解统计方法如何奏效，我们假定有多种债券，以
i为指数，卖价为
Pi，债券
i
在时间t的息票收益率与
/或本金的现金流为
CFit，1美元在时间t的折现值，即我们试图
解出的零息票债券价格为
dt。这样，对每一种债券我们有：
P1＝d1CF11＋d2CF12＋d3CF13＋.＋e1
P2＝d1CF21＋d2CF22＋d3CF23＋.＋e2
P3＝d1CF31＋d2CF32＋d3CF33＋.＋e3(15-6)
..
Pn＝d1CFn1＋d2CFn2＋d3CFn3＋.＋en
以上各式都等于债券的现金流直到支付时为止的总现金流的价格。每一等式中最
后一项ei为误差项，它是对等式中债券预期价格的偏差。
统计系的学生知道用回归分析能估算出上式的值。其中的因变量是债券价格，自
变量为现金流，系数
dt可以从已有的数据资料中得到
[2]。dt的估计值就是我们所说的
1
美元在时间
t的折现值。不同时间支付的
dt被称为折现函数，因为它给出了
1美元作为
时间函数的折现值。从折现函数中可知，它是一系列不同到期日的零息票债券价格的
[1]
我们将在后面的篇幅中考虑形成这些误差项的一些原因。
[2]
实际上，称作“齿槽技术”的变量回归分析通常用来估计系数，这种方法是首先由
McCulloch在以下
文章中提出的：
J.HustonMcCulloch,“MeasuringtheTermStructureofInterestRates,”Journalof
Business44(January1971);and“TheTaxAdjustedYieldCurve,”JournalofFinance30(June1975).
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第15章利率的期限结构
375
等价物，我们可以计算纯零息票债券的收益率。在这个过程中为了避免不必要的复杂
性，我们把国债看作是无风险的债券。
在结束对收益率曲线的测度问题的讨论之前，有必要讨论一下误差项的问题。折现
函数确定了与现值相等的价格，但为什么并非所有债券的价格都与折现函数丝毫不差？
这里有两个相关的因素没有在15-6式的回归分析中加以考虑：税收和与债券相关的期权。
说税收影响债券价格是因为投资者关心他们的税后收入。因此，应把债券的利息
支付看作是净税收。同理，如债券未按面值出售，我们就可通过摊提价格与面值的差
来把它归于内部收益率。用数学公式表现这些非常困难，因为不同的投资者按不同的
等级纳税，这意味着每一债券的净税收现金流都决定于各自不同的债券所有者的背景。
而且，15-6式还含有持有债券直到期满的假设：它将所有息票和本金的支付都作折现。
这样处理肯定忽略了投资者在到期前售出债券的期权，从而忽略了可以从中得出不同
的收入流。再者，它还忽略了投资者进行税收安排期权的能力。例如，一个税收等级
将随时间改变的投资者，在税率最低时实现资本所得可能最为有利。
影响债券价格的另一因素是提前赎回债券条款。首先，如果债券是可赎回的，我
们如何知道15-6式中后续年份的第一回收期中是否含有息票支付？同理，本金偿还日
也变得模糊不清。更重要的是，我们应知道只有可赎回债券的发行者在赎回有利的时
候会行使赎回的期权。相反，提前赎回债券条款是将出售债券期权的价值从债券持有
人手中转移到债券的发行者手中变成赎回的期权。因此，赎回的特征将影响债券的价
格，并且带来了15-6式中的误差项。
最后，我们必须认识到，以报价为基础的收益率曲线通常不太准确，金融报刊上
的报价可能已失时效（如已过期），即便仅仅失效几个小时。而且，它们可能并不代
表交易者实际上愿意成交的价格。
15.3利率的不确定性与远期利率
我们现在开始讨论远期利率不确定条件下的期限结构问题，这是一个更为复杂的
分析。我们认为，在一个确定的世界中，有相同到期日的不同投资战略一定会提供相
同的报酬率。例如，两个连续的一年零息票投资提供的总收益率，应与一个等额的
2
年零息票投资的收益率一样。因此，在确定的条件下，我们有，
(1＋r1)(1＋r2)＝(1＋y2)2
