图A-2概率与累积正态分布
非标准正态分布：假定某种股票的月收益大致服从均值为
0.015(每月1.5%)、标准
差为0.127(每月12.7%)的正态分布。那么在某月中收益率小于零的概率为多大？注意
由于收益率为服从正态分布的随机变量，它的累积分布密度就可以用数字方法得到。
标准正态分布表可以应用于任何一个正态分布的变量。
任一个随机变量x，可以通过下式而替换成一个新的标准化的随机变量
x*：
x-E(x)
x*=A-8
(x)
注意，我们对
x所做的步骤是：（1）减掉期望；（
2）乘以标准差的倒数
1/[(x)]。
根据我们前面的讨论，对随机变量来说，加上和乘以一个常数的替换效果就是使替换
后的随机变量具有零均值和单位方差。
E(x)-E(x)
(x)
E(x*)==0;
(x*)==1
(x)
(x)
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附录A定量计算的复习
753
从正态分布的固有性质我们知道，如果
x服从正态分布，那么
x*也服从正态分布。
一个正态分布的随机变量可以由两个参数完全确定：它的期望与标准差。对于
x*来说，
它们分别为0与1.0。当我们对一个随机变量减去其期望然后再除以其标准差以后，我
们就把它标准化了。也就是说，我们把它转化成了一个服从标准正态分布的随机变量。
这个方法在对正态分布（近似正态分布）随机变量进行处理上应用得非常广泛。
回到我们先前考虑的股票。我们知道如果把月收益率减去
0.015，然后再除以
0.127，所得的随机变量就是服从标准正态分布的。我们现在可以确定某月收益率小于
等于零的概率。我们知道，有
r-0.015
z=
0.127
其中r为股票的收益率，z服从标准正态分布。所以，如果
r＝0，z就应该为：
0-0.015
z(r=0)==-0.1181
0.127
当r＝0时，相应的标准化随机变量
z＝-11.81%，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“z小于等于-0.1181”等价。计算后者的概率就能够解出我们要求的问题。它
的概率即为N（-0.1181），利用标准正态表我们得到：
Pr（r≤0）=N（-0.1181）＝0.5-0.047＝0.453
结果很有意义。回忆起r的期望值为1.5%。所以，由于r小于等于1.5%的概率为0.5，
r小于等于0的概率应该接近于
0.5，但可能会再低一些。
置信区间：由于我们的股票具有较大的标准差，因此我们有理由去怀疑月收益率
绝对数值的可靠性。对于这个问题，一种量化的回答方法可以解决：“如果某股票收
益率落在某区间的概率为
95%，那么该区间是什么？”这个区间也被称作
95%的置信
区间。
一种符合逻辑的区间是以期望值为其中心的，因为
r本身就是关于期望值对称的
正态分布随机变量。把所求区间记为
[E（r）-a，E（r）＋a]＝[0.015-a，0.015＋a]
它的区间长度为2a。r落在此区间内的概率可用下式表出：
Pr(0.015-a≤r≤0.015＋a)＝0.95
要解决这个问题，我们首先从标准正态分布的随机变量入手。服从标准正态分布
的随机变量具有零期望与单位方差。
标准正态分布随机变量
z的95%置信区间是什么？由于变量的分布关于零对称，因
此上面的计算式变为：
Pr（
-a*≤
z≤
a0）
=N（a*）-N（-a0）=0.95
图A-3有助于你对上式累
积分布差所代表的意义有更好
的了解。落于此区间外的概率
为1-0.95＝0.05。由于正态分
布的对称性，z小于等于-a*的
概率为
0.025，而且
z≥a*的概
率亦为
0.025。于是我们可以
用下式来解出a*：
-a*＝Ф（0.025），其等价于N（-a*）＝0.025
我们可以对这个解决思路作如下总结。如果我们要寻找一个置信水平为
95%的置
信区间，我们可以定义为
r落于置信区间之外的概率。由于具有对称性，
的一半就是
图A-3置信区间与标准正态分布
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第八部分附录
754
其落于置信区间右端的概率。同时其落于置信区间左端的概率亦为
/2。所以与P之间
的关系为：
=1-P＝0.05
/2＝(1-P)/2＝0.025
我们这里使用
/2的原因就是考虑到分布的两个尾部把
r以外的区域平分了。不含
r
值的任一尾部都具有
/2的面积。值
=1-P表示的是不含r值所有区域的面积。
为了确定标准正态分布随机变量的置信区间下边界
z＝Ф（a/2）。我们通过标准正
态累积分布值
0.025来确定
z值。查表得
z=-1.96，于是我们推断出
-a*＝-1.96，
a*=1.96，z的置信区间为：
é.
..
.ù
E(z)-F
ú=[-F(0.025),f(0.025)]=[-1.96,1.96]
êè.,E(z)+Fè.
.22.
为了得到非标准正态分布随机变量
r的区间边界，我们只要利用关系式
r＝z
(r)＋
E(r)＝Ф(
/2)(r)＋E(r)来转化z的边界即可。注意，我们迄今为止都是设期望值为置
信区间的中心，然后以其一定数量的标准差向两边拓展。标准差的数量取决于我们允
许其落于置信区间之外的概率（
），或者就是其落于置信区间的概率（
P）。通过加减
1.96(即z=±Ф（0.025）)，我们得到期望值两边的距离为±
1.96×0.127＝0.249，于是
我们得到了置信区间：
é.
.ù
E(r)-
(r)F
(r)F
ú=[E(r)-0.249,E(r)+0.249]=[-0.234,0.264]
ê
è.
.,E(r)+.
è.
.
22.
é
.
.
.ù
=prE(r)-(r)F≤r≤E(r)+
(r)F
以满足于P=1-
.è
.
2.
2.
ê
è.ú
对于我们的股票（期望值为
0.015，标准差为0.127）来说，也就是：
Pr[-0.234≤r≤0.264]＝0.95
注意到由于股票收益率的标准差较大，
95%的置信区间的宽度竟达到了
49%。
利用该例的一个变体，我们再复习一下计算过程。假设我们要求一个资产组合年
收益
90%的置信区间，其年收益率的期望值为
1.2%。标准差为5.2%。
该例的解为：
é.1-P.
.1-P.ù
PrE(r)-
(r)F≤rp≤E(r)+
(r)F
ê
è.
.
2
è2..ú
=Pr[0.012-0.052′1.645≤rp≤0.012+0.052′1.645]
=Pr[-0.0735≤rp≤0.0975]=0.90
因为该资产组合的风险较低，而且我们要求落于所求区间的概率为
90%（而非
95%），所以该置信区间的宽度仅为
2.4%
对数正态分布：采用正态分布来描述股价及收益率存在着两个不足。首先，尽管
正态分布允许随机变量取任何值（包括负值），但实际的股价不可能为负。其次，正
态分布不适于计算复利。而对数正态分布解决了这两个问题。
对数正态分布描述了一个不断增长的随机变量，它的增长率为一正态随机变量。
因此，一个对数正态分布随机变量的生成过程反映了连续计算复利的特征。
假定某股票以年连续复利（
AnnualContinuouslyCompounded，ACC）计算的收
益率服从正态分布，且其期望值为
＝0.12，标准差为
＝0.42，年初的股价为
P0＝10
美元，利用连续复利(参见第5章附录)，如果年复利rc＝0.23，则年末的股价应为：
P1＝P0exp(rc)＝10e0.23＝12.586美元
其等价的有效年利率为
r=
P1-P0=erc-1=0.2586(或25.86%)
P0
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附录A定量计算的复习
755
这就是服从对数正态分布的年利率
r的实际意义。注意，尽管年连续复利
rc可能为
负，但期末股价P1不可能为负。
服从对数正态分布的金融资产具有两个重要的特性：它们的期望收益以及考察期
长度的可变性。
服从对数正态分布资产的期望收益：一个对数正态分布股票的期望年收益为：
E(r)=exp(
+
2/2)-1=exp(0.12+0.422/2)-1=e0.2.82-1=0.2315(或23.15%)
这只是关于分布统计值的一个数学特性。鉴于此，一个有用的统计量
*定义如下：
2
*=
+=0.2082
2
当分析家们提到对数正态分布资产年复利的期望时，他们一般是指
*。通常这份
资产的年复利就被认为服从期望是
*、标准差为的正态分布。
考察期间长度的可变性：对数正态分布允许资产持有期的变动。假定我们希望能
计算月收益，而非年收益。我们用
t来表示我们要求的时间段，为方便起见，
t用分数
（以年为单位
1）来表示；那么在比例中我们就设
t=1/12。为了把年收益的分布转化成
t
时段收益的分布，我们只需要把原分布的期望与方差乘以
t即可（比例中t=1/12）。
在我们这个例子中，股票月连续复利的期望和标准差为：
(月)＝0.12/12＝0.01(或者说每月1%)
（月）＝0.42／
12＝0.1212（或每月12.12%）
*（月）＝0.2082／12＝0.01735（或每月1.735%）
注意我们在把年转化为月时，方差应除以
12；因此标准差应除以
12。
同样地，我们可以把一个非年利的分布转化为一个以年利计算的分布。例如，假
设股票周连续复利服从正态分布，且
*＝0.003，
＝0.07，于是年连续复利分布的各
项指标为：
*＝52×0.003＝0.156(或每年15.6%)
＝
52×0.07＝0.5048(或每年50.48%)
在实际应用中，为了得到标准正态分布的连续复利
R，我们通常取原始收益率加
1.0后所得和的对数：
R=log（1+r）
在短时期内，原始收益率很小，所以连续复利
R也会与原始收益
r非常相近。所以
对于一个月或短于一个月的期间来说，这个转换并不是必需的。也就是说，用正态分
布的股票收益率来近似已经足够精确了。但是对于一个较长的时期来说，这个转换还
是很有必要的。
A.2分析分布特征的统计方法
迄今为止我们的分析都是“向前看”，或者如系统经济学家所说的“以过去推知
未来”。我们已经讨论了概率、期望值与惊奇。如果我们假设决策结果的分布遵循一
个相对简单的公式，而且我们对该分布与参数也了如指掌，那么我们就能较容易、较
准确地进行分析了。
投资管理者必须让他们自己确信这些假设都是合理的，而他们是通过长时期对相
关随机变量观测值的积累来达到这一点的。为了做出最优决策，股票收益率在以前的
分布是他们必须知道的一个要素。确实，收益率的分布随着事件在不断改变。但是，
一个不太“古老”的样本应该能够对下一期的收益率分布及参数提供相关的信息。在
这一节中，我们介绍一些描述分布的统计量，它们也被称为历史样本的组织分析。
A.2.1柱状图、盒式描点与时间序列描点
表A-3列出了两种主要资产：标准普尔
500指数与长期政府债券资产组合在
1926年
到1993年的年超额收益（超过国库券收益部分）。
