756第八部分附录
表A-3股票及长期国债
(到期溢价
)的超额收益
(风险溢价)
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年份股权风险溢价债券到期溢价年份股权风险溢价债券到期溢价
19268.354.50196319.68-1.91
192734.375.81196412.94-0.03
192840.37-3.1419658.52-3.22
1929-13.17-1.331966-14.82-1.11
1930-27.312.25196719.77-13.40
1931-44.41-6.3819688.58-5.47
1932-9.1515.881969-15.08-11.66
193353.69-0.381970-2.525.57
1934-1.609.8619719.928.84
193547.504.81197215.141.84
193633.747.331973-21.59-8.04
1937-35.340.081974-34.47-3.65
193831.145.55197531.403.39
1939-0.435.92197618.7611.67
1940-9.786.091977-12.30-5.79
1941-11.650.871978-0.62-8.34
194220.072.9519798.06-11.60
194325.551.73198021.18-15.19
194419.422.481981-19.62-12.86
194536.1110.40198210.8729.81
1946-8.42-0.45198313.71-8.12
19475.21-3.131984-3.585.58
19484.692.59198524.4423.25
194917.695.35198612.3118.28
195030.51-1.141987-0.24-8.16
195122.53-5.43198810.463.32
195216.71-0.50198923.129.74
1953-2.811.811990-10.98-1.63
195451.766.33199124.9513.70
195529.99-2.8719924.164.54
19564.10-8.0519937.0915.34
1957-13.924.31
195841.82-7.64样本均值
8.571.62
19599.01-5.21标准差
20.908.50
1960-3.1311.12最小值
-44.41-15.19
196124.76-1.16最大值
53.6929.81
1962-11.464.16
资料来源：芝加哥大学证券价格研究中心。
理解这些数据的一种方法是把它们画在图上，一般是作成柱状图或频率分布图。
表A-3中68个观测值被作成了如图
A-4所示的频率分布图。这节我们要根据以下步骤及
原则来得到频率分布图：
.随机变量取值的值域一般被平均分成几个相对较小的子值域。间隔的多少取决
于可得观测值的数量。表
A-3提供了68个数据，因此
10分法（即
10个间隔值域）看来
已经足够。
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附录A定量计算的复习
757
.在第一个间隔值域中作出一个长方形，长方形的高度表示在该值域内观察值出
现次数的多少。
.如果观测大多都集中在整个值域中的一小部分，那么该值域就可以被分成不相
等的间隔。在这种情况下，各间隔观测值的频率大小就由间隔中所作长方形的面积来
表示（但这并不是我们这里所要讨论的例子）。
.如果样本是具有代表性的，那么该频率分布图的形状就可以揭示随机变量真实
的概率分布了。我们所有的
68个观测值并不是一个大样本，但是频率分布图的大致形
状确实说明了收益率大致服从一个正态或对数正态的分布。
另外一个通过作图把样本信息体现出来的方法是盒式描点法。图
A-5就是盒式描
点的例子，它使用的同样是表
A-3的数据。盒式描点是一种能体现样本分布离散性质
的好方法。一个通常使用的散布性质指标是“内四分值域”。我们可以回忆一下值域
这种最原始的散布指标，它是观测值中最大值与最小值之间的差。由于它很可能会由
两个最极端的观测值所决定，因此这个指标并不可靠。
内四分值域是关于值域概念的一个较令人满意的简单变体，它由样本排序后最低
1/4与最高
1/4两者之间的差来确定。对于最低
1/4的观测值来说，样本中有
25%的观测
值小于它；同样，在最高
1/4的观测值上面，存在
25%的大于它的观测值。于是内四分
值域就是样本中间
50%观察值所组成样本的值域。样本散布度越高，这两个值之间的
差距就越大。
a)
b)
图
A-4
a)股权风险溢价的历史数据柱状图
b)债券到期溢价的历史数据柱状图
资料来源：
TheWallStreetJournal,October15,1997.
在盒式描点图中，水平的虚线表示中位数，中间的方盒表示内四分值域，垂直线则
表示从方盒延伸出去的幅度。垂直线所表示的延伸值域一般只限制于内四分值域的1.5倍。
这样许多极端的观测值（图中以分离的点表示）就只能被视为远离中心的非常规点。
作为一次概念检验，验证一下表
A-3的原始数据与图
A-5的方盒描点作图，并与下
列数字作比较。
第八部分附录
758
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收益率(%)
股票债券
图A-5年股权风险溢价与长期债券
(到期)风险溢价的盒式描点图
股权风险溢价债券到期溢价
最低的极端点
-44.41-15.19
-35.34-13.40
-34.47-12.86
-27.31-11.66
-21.59-11.60
-19.62-8.34
-15.08-8.16
-14.82-8.12
-13.92-8.05
-13.17-8.04
-12.30-7.64
-6.38
-5.79
-5.47
-5.43
-5.21
最低1/4的分界点
-4.79-3.33
中位数
8.771.77
最高1/4的分界点
22.685.64
最高的极端点
29.998.84
30.519.74
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附录A定量计算的复习
759
(续)
股权风险溢价债券到期溢价
31.149.86
31.4010.40
33.7411.12
34.3711.67
36.1113.70
40.3715.34
41.8215.88
47.5018.28
51.7623.25
53.6929.81
内四分值域
27.478.97
内四分值域的
1.5倍
41.2013.45
从：
-11.84-4.95
到：
29.378.49
最后就是第三种作图方法：时间序列描点法，它能够揭示经济变量随时间变化的运
动规律。图A-6是根据表A-3作的股票及债券超额收益时间序列点图。尽管我们的眼睛已
经习惯于看到由时间序列生成的随机形状，但考察一般长时期内时间序列的变化趋势却
能给我们提供一个有用的信息。有时通过一些正规的统计分析，这样的检验就会奏效。
a)
b)
图
A-6
a)股权风险溢价
(1926~1993年）
b)债券到期溢价
(1926~1993年）
760第八部分附录
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A.2.2样本统计量
假设从1926年至1993年这68年中，股票收益的概率分布一直没有变化。现在我们
希望能从表A-3这68个股票年超额收益的观测值中得到关于概率分布的某些信息。
表中的样本值是否为特定概率分布下的独立观测值，这是一个很关键的中心问题。
如果它们确实是，那么所得的统计分析结果就比较正确。我们的分析都建立在这个假
设之上。在许多情况下，金融市场上的实证研究能证实这个前提假设。
从样本均值来估计期望收益：期望收益的定义告诉我们，样本均值应该可以作为
样本期望值的一个较好的估计。事实上，在期望值的众多定义中，有一个定义就是当
观测值个数趋于无穷时的样本均值。
假定表A-3中的收益样本为Rt，t=1，.，T=68，那么年超额收益期望值的估计即为
R=
1.Rt=8.57%
T
R上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看，样本容量越大，样本均值作
为期望估计值的可靠性也就越大；而随机变量的的标准差越大，均值作为期望估计期
的可靠性也越小。下面我们将更详细地讨论这个性质。
估计高阶矩：以样本均值来估计期望的原理同样也适用于对更高阶矩所进行的估
计。回忆一下，高阶矩的定义就是随机变量对期望偏差若干次方的期望。比如说，方
差（二阶矩）是偏差二次方的期望。于是，样本观测值对样本平均的偏差进行平方后，
平方的平均值S2即为方差的估计。
2112
s=.(Rt-R)2=.(Rt-0.0875)=0.04368(s=20.90%)
T-167
其中R即为样本均值。偏差平方取平均值时分母采用了
T-1＝67，这纯粹是一个
技术上的原因。如果我们除以
T，那么方差的估计就会偏小，偏小因子为
(T-1)/T。同
时，对高阶矩来说，样本容量越大，真实标准差越小，估计值的可靠性也就越大。
A.3多随机变量的统计分析
资产组合的构建需要将许多随机变量进行加总。资产组合的收益率就是各个体资
产收益率的加权平均。因此对于资产组合分析来说，理解和量化各随机变量之间的独
立性是相当重要的步骤。
在本节中，我们首先回到情景分析法，然后再考虑如何从样本中获取信息。
A.3.1随机变量间关系的一个基本指标：协方差
在表A-4中，我们把安休瑟
-布希公司股票及其期权的收益率情况分析结果作了一
下总结。对于随机变量加一常数或乘以一个常数的情形，我们早已熟悉了。但当我们
把两个随机变量加在一起，结果会怎样呢？假如我们现在把股票收益加在看涨期权收
益之上，我们于是得到了一个新的随机变量，并把它记为
r（s＋c）＝r（s）＋r（c），
其中r（s）为股票收益，r（c）为看涨期权收益。
表A-4安休瑟-布希公司股票及期权收益的概率分布
项目情景1情景2情景3
概率
0.200.500.30
收益率（%）
股票
203050
看涨期权
-100-100400
看跌期权
50-25-100
E(r)2
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附录A定量计算的复习
761
(续)
项目情景1情景2情景3
股票
0.3400.11140.0124
看涨期权
0.5002.29135.2500
看跌期权
-0.3250.52500.2756
由定义可知，该合成随机变量的期望值为：
E[r(s＋c)]＝.Pr(i)ri(s＋c)(A-10)
把r(s+c)的定义代入等式A-10，我们有：
E[r(s＋c)]＝.Pr(i)[ri(s)＋ri(c)]＝.Pr(i)ri(s)＋.Pr(i)ri(c)
＝E[r(s)]＋E[r(c)](A-11)
也就是说，两个随机变量和的期望值等于两个随机变量期望值的和。对于方差，
这句话还适用吗？回答是“不”，这也是资产组合理论中最重要的事实。其原因就归
根于随机变量之间具体的联合性质的基本指标。尽管下面的表述看上去很深奥，但它
们最多不过是平方和而已，也就是
(a＋b)2＝a2＋b2+2ab和(a-b)2＝a2＋b2-2ab这两个最
基本的公式。其中的
a、b可能表示随机变量，也可以是它们的期望，或者它们对其期
望的偏差。由方差的定义，我们有：
s+c2=E[rs+c-E(rs+c)]2（A-12）
为了使式（A-12）到式（A-20）变得易于理解，我们以s、c脚标来表示随机变量，
然后以i来表示各种情景。在式（
A-12）中替换r(S+C)及其期望的定义式，有：
s+c2=E[rs+rc-E(rs)-E(rc)]2
（A-13）
在式（A-13）中交换各变量的顺序，有：
2=E[r-E(r)+r-E(r)]2
s+csscc
在平方的括弧里面，其实就是两个随机变量对其期望偏差的和，我们以d记之，即：
s+c2=E[(ds+dc)2]（A-14）
式（A-14）是一个完全平方和的期望。把平方展开，我们有：
s+c2=E(ds2+dc2+2dsdc)（A-15）
式（A-15)括号由三个随机变量的和组成。由于和的期望就是期望的和，我们可
以把式(A-15)写成：
s+c2=E(ds2)+E(dc2)+2E(dsdc)（A-16）
在式(A-16）中，右边的前两项就是股票收益的方差（即偏差平方的期望）加上
期权收益的方差。第三项就是协方差的两倍，该定义就在式
(A-17)（注意期望要乘以2，
是因为随机变量两倍的期望等于随机变量期望的两倍）。
换句话来说，随机变量和的方差是方差的和再加上协方差的两倍。我们这里记协
方差为：
Cov(rs，rc)＝E(dsdc)＝E{[rs-E(rs)][rc-E(rc)]}（A-17）
协方差的值与表达式括号中两个随机变量的顺序无关。由于乘法计算与字母的顺
序无关。由式(A-17)协方差的定义可知字母顺序的改变不会影响协方差的值。
我们利用表
A-4中的数据作为原始输入数据来计算协方差。计算过程及结果如表
A-5所示。
762第八部分附录
表A-5安休瑟-布希公司股票及期权收益相对于各自期望的偏差、
偏差平方及偏差加权积
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项目情景1情景2情景3概率加权和
概率
股票的偏差
-0.14-0.040.160.0124
偏差平方
0.01960.00160.0256
看涨期权的偏差
-1.50-1.503.505.25
偏差平方
2.252.2512.25
看跌期权的偏差
0.8250.75-0.6750.275628
偏差平方
