个较大的风险，这取决于其他投资项目方差系数的值。
但方差系数远非随机变量散布性质的理想指标。假设某一可能的随机变量具有零
期望。在这种情况下，不管标准差有多大，方差系数都将趋于无穷。很显然，这个指
标并不适用于任何情况。一般来讲，分析者必须根据手中特定的决策问题来挑选一个
关于散布性质的指标。在金融界，许多情况下我们一般考虑整体风险，此时标准差就
是较好的指标（对于某一单独的资产来说，我们使用本文中介绍的
指标）。
偏度：到现在，我们通过对平均“惊奇”（特定意义下）程度的描述，分析了一
些关于散布性质的指标。实际上标准差并不等于平均“惊奇”度，因为我们先把偏差
平方，然后再求偏差平方均值的方根，这样做就会加大对“大偏差”的权重。另外，
标准差也只是一个告诉我们关于偏差“预期”的指标。
许多决策者都认为期望值与标准差是随机变量最重要的两个统计量。但是，一
旦我们需要回答关于风险的另一个永恒的问题（风险是指随机变量对其期望的偏差）：
如果出现较大的偏差，是不是极有可能是正的？风险厌恶者比较担心负的偏差（即
“惊奇”），但标准差并没有把好情况与坏情况分离开来。如果某个随机变量具有易发
生的小的负偏差和不易发生但很大的正偏差，那么对于另一种具有相反特征的随机
变量（即具有易发生的小的正偏差和不易发生但大的负偏差）来说，许多风险厌恶
者都偏好于前者。因为不管怎么说，风险一般都被认为是发生灾难（大的坏结果）
的可能性。
能对好、坏结果可能性进行分离的一个指标是三阶矩。它仍然是建立在随机变量
对其期望的偏差d之上。如果把三阶矩记为
M3，则有：
M3＝E(d3)＝E[ri-E(r)]3＝.Pr(i)[ri-E(r)]3(A-5)
相对于小偏差来说，对每个
d进行立方就强化了大偏差的程度。奇次幂仍能保持
其各自的符号。人们回忆起所有偏差加权（以发生概率为权重）之和为零，因为正负
偏差正好互相抵消。但现在当偏差的立方乘以各自的发生概率然后加和之后，较大的
偏差会占据优势。最终结果的符号会告诉我们究竟是正偏差明显（
M3为正）还是负偏
差明显（M3为负）。
显然，之所以把偏度称为三阶矩，是因为在计算过程中我们使用了立方。同样的，
方差通常被称为二阶矩，因为我们通过平方得到了方差。
回到表A-1中的投资决策。由于收益的期望值为
34%，那么三阶矩就是：
M3＝0.2(0.20-0.34)3＋0.5(0.30-0.34)3＋0.3(0.50-0.34)3＝0.000648
三阶矩的正号告诉我们在此例中正偏差比较明显。你当然也可以通过考察偏差
d
及其概率而猜到这个结果：此例中，
30%的收益率是最有可能实现的收益结果，它将
会使投资者产生一个小的负“惊奇”，另一个负惊奇（
20%-34%＝-14%）的程度要小
于正惊奇的程度（
50%-34%＝16%），而且负惊奇发生的概率要小于正惊奇的概率
（0.3）。但是差别看上去确实很小，而且我们也不知道在安休瑟
-布希公司股票的投资
决策中，三阶矩到底是不是一个很重要的考虑因素。
如果没有一个比较的标准，我们就很难判断
0.000648这个三阶矩值的重要性。利
用我们处理标准差的方法，我们可以取
M3的三次方根（我们把其计为
m3），然后把三
次方根与标准差进行比较。计算结果为
m3=0.0865=8.65%，与11.14%的标准差相比，
其并不是可有可无的。
A.1.3另一个例子：关于安休瑟
-布希公司股票的期权
假设安休瑟
-布希公司股票的当前价格为
30美元，现在有这一股票的看涨期权，
其期权价格为
60美分，还有这一股票的看跌期权，其期权价格为
4美元，它们都有相
同的期权执行价格
42美元。当然只有当最后看涨期权处于“实值”，即股价高于执行
价格时你才会选择这样做，其中你的赢利就是期末股价与执行价格之间的差再减去看
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附录A定量计算的复习
749
涨期权的成本。有时就算你执行了看涨期权，你的赢利还是有可能为负，因为有时执
行期权所得的利润并不足以弥补初始购买看涨期权的成本。假如最终看涨期权处于
“虚值”状况，也就是说股价低于执行价格，这时你就会任由该看涨期权过期，而只
承担初始购买看涨期权的成本。
看跌期权允许你用执行价格卖掉股票。只有当到期时看跌期权处于“实值”，即
股价低于执行价格时，你才会选择卖掉股票，现在你的赢利就是执行价格与股价之间
的差再减去看跌期权的成本。同样地，如果从执行看跌期权所得的赢利并不足以弥补
看跌期权的成本，投资者就会蒙受损失。当到期看跌期权处于“虚值”状态时，你肯
定还会放弃看跌期权。这样你的损失就锁定在期初时购买看跌期权的成本之上。
这种投资方式的情景分析如下表..A-2所示。
看涨期权与看跌期权的收益率期望分别为：..
E(r看涨期权)＝0.2(-1)＋0.5(-1)＋0.3(4)＝0.5(或50%)
E(r看跌期权)＝0.2(0.5)＋0.5(-2.5)＋0.3(-1)＝-0.325(或-32.5%)
表A-2投资安休瑟-布希公司股票期权的情景分析法
项目情景1情景2情景3
概率..0.200.500.30
事件..
1.股票的收益(%)203050
股价（初始价格＝30美分..)/美元..363945
2.看涨期权所得现金流(执行价格＝..42美元..)/美元..003
看涨期权所得利润（初始价格＝..60美分）/美元..-0.60-0.602.40
看涨期权收益率..(%)-100-100400
3.看跌期权所得现金流(执行价格＝..42美分..)/美元..630
看跌期权所得利润（初始价格＝..4美分）/美元..2-1-4
看跌期权收益率..(%)50-25-100
上式中看跌期权的期望收益为负，这也许反映了看跌期权作为套利资产的本质，
因为在此例中安休瑟..-布希公司股票持有者需要购买它作为防止安休瑟..-布希公司股价
下跌的保值措施。两种投资方式的方差与标准差为：..
2＝0.2(-1-0.5)2＋0.5(-1-0.5)2＋0.3(4-0.5)2＝5.25
看涨期权
2＝0.2[0.5-(-0.325)]2＋0.5[-0.25-（-0.325)]2＋0.3[-1-(-0.325)]2＝0.2756
看跌期权
＝5.25＝2.2913(或229.13%)
看涨期权
看跌期权0.2756＝0.525(或52.5%)
＝
这些标准差是比较大的。把看涨期权收益的标准差与其期望相除，我们得到方差
系数，有..
CV看涨期权＝..
2.2913
=4.5826
0.5
回忆一下股票收益本身的方差系数仅为..0.3275，很显然该种投资工具具有很高的
标准差。这对于股票期权来说是很正常的，尽管看跌期权的期望收益为负，但其方差
系数仍然可以描述“惊奇”的程度。
现在我们考虑两种概率分布的三阶矩：..
M3(看涨期权)＝0.2(-1-0.5)3＋0.5(-1-0.5)3＋0.3(4-0.5)3＝10.5
M3(看跌期权)＝0.2[0.5-(-0.325)]3＋0.5[-0.25-(-0.325)]3＋0.3[-1-(-0.325)]3＝0.02025
两种投资工具都向正方向偏斜，这是期权的典型特征，并因此成为它们的吸引人
之处。在此例中看涨期权似乎比看跌期权偏斜的更厉害。为了说明这个事实，我们计..
其事件相联系的概率相乘后
加和才得到的中间值。
.正态分布是关于期望面积=Pr(a≤r≤b)
值对称的。换句话说，绝对面积=Pr(r≥b)
值相同的正偏差与负偏差出=1-Pr(r≤b)
现的概率是相同的。对期望面积=Pr(r≤a)
值偏差越大，其事件发生的
可能性越小。事实上，正态
图A-1正态分布下的概率图
分布的关键之处就在于事件
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750第八部分附录
算三阶矩的三次方根：
m3(看涨期权)＝M3(看涨期权)1/3＝2.1898(或218.98%)
m3(看跌期权)＝（0.02）1/3＝0.2725(或27.25%)
把看涨期权的标准差
229.13%及看跌期权的标准差
52.5%与上述数字相比较，你能
看到期权标准差的大部分是由于正偏差引起的，这意味着好结果的幅度较大，而坏结
果虽然更可能发生，但幅度却很小
[1]。
至此，我们已经利用情景分析法描述了离散概率分布的问题。我们还会在
A.3节
“多随机变量的统计分析”中重新回到决策的情景分析法。
A.1.4连续分布：正态分布与对数正态分布
当一种经压缩的情景分析法既是可能的，又是可接受的时候，决策就显得很简单
了。但是许多情况下，我们必须分清楚的情形太多了，以致于在实际中应用情景分析
法变得不可能。甚至在安休瑟
-布希公司股票的例子中，尽管我们在确定情景时相当小
心，但实际上每个情景只能代表一个复合事件。
当必须考虑许多收益率的可能值时，我们就应该使用一个能刻画其概率分布的公
式。正如我们前面提到的那样，存在两种类型的分布：离散的与连续的，情景分析法
解决了离散分布的情形。但是，正态分布与对数正态分布这两种在投资中很有用的分
布却都是连续的。同时，它们经常被用在近似一些离散的随机变量分布，如股价上。
未来股价收益的概率分布是离散的—因为股票报价以1/8为单位。但是在习惯上，我
们一般用正态与对数正态分布来近似它们的分布。
标准正态分布：正态分布，也称为高斯
(Gauss)分布（以数学家高斯命名）或者钟
形分布。服从该分布的随机变量有如下的性质（见图
A-1）
.期望值是其众数（出现频率最高的基本事件），同时也是中位数（所有基本事件
从大到小排列后那个位于中间的数）。注意，期望值与中位数或众数都不同，它是与
的概率随着其偏差的增大而呈指数下降。
.一个正态分布可以由两个参数完全决定，即其期望值和标准差。正态分布一个
有利于资产组合分析的特征是正态分布随机变量的加权和仍服从正态分布。这个性质
被称作稳定性，如果你对服从正态分布的随机变量加一个常数或乘以一个常数，它也
是稳定的，即变换后的随机变量仍服从正态分布。
设n是一个任意的随机变量（并不必服从正态分布），其期望为，标准差为。正
如我们前面所说的那样，如果你在
n上加一个常数
c，那么其标准差不变，均值变为
+c。如果你把
n扩大b倍，它的均值与标准差也会相应变为
b和b。如果n是正态分布
的，转换所得的随机变量也服从正态分布。
稳定性，再加上正态随机变量完全由其期望及标准差确定的性质，意味着一旦我
[1]
注意，看跌期权的预期收益率为-32.5%，因此，最坏的结果为-67.5%，最好的结果为82.5%。中间情
景也有一个7.5%的正的偏差(它出现的概率有0.50)。这两个因素解释了看跌期权的偏度。
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附录A定量计算的复习
751
们知道了一个正态分布的期望及标准差，我们就知道其所有的信息了。
如果把随机变量减去期望值，然后除以标准差，我们就得到了标准正态分布。服
从标准正态分布的随机变量具有零期望，具其标准差与方差都等于
1的特性。正式地，
服从标准正态分布的随机变量
z与其概率f的关系。由下式给出：
1.-z2.
exp(A-6)
f(z)=.÷
2pè2.
其中“exp”是指自然对数
e的幂函数。象p一样，e是一个很重要的数值，两者在
上述公式中都出现了。它们的重要性足以让你在你的金融计算器上特意留下它们的键
盘。因为它们经常在连续分布的计算中会被用到。
连续分布的概率函数通常被称为密度，记为
f，以区别于情景分析中的
Pr；原因是
因为随机变量的可能取值有无穷多个，于是其取每个值的概率必为无穷小。密度是一
种函数，我们可以通过对它在一段区间上的积分来得到这一区间里取值的概率。换句
话说，如果我们要计算一个标准正态分布变量落在区间
[a，b]上的概率，只要把随机
变量z从a到b的f（z）都加总起来就能得到。无论
a与b多相近，在该区间内必有无数多
的随机变量z，积分正是解决这个问题的数学操作方法。
我们先来考虑一个服从标准正态分布的随机变量
z小于等于a的概率，即z落在值域
[-∞，a]上的概率。我们应该对密度函数在区间
[-∞，a]上进行积分，所得结果称为
累积（正态）分布，以
N（a）表示。当a达到无穷大时，
z就可以取任何值；因此这时
z取值的概率接近于
1。任何一个密度函数都有这个性质，即当随机变量在整个取值范
围上进行积分时，累积分布就达到
1.0。
同样，一个服从标准正态分布的随机变量
z小于等于b的概率为N（b），于是，
z在
区间[a，b]上取值的概率就是N（b）与N（a）之间的差。正式地，我们有：
Pr（a≤z≤b）=N（b）-N（a）
图A-1列示了这些概念。图中画出了正态分布的密度函数。在图中我们可以看出
正态分布关于期望值的对称性（标准正态分布的期望为零，同时众数与中位数也为零），
以及偏差越大概率可能性越小的特性。跟任何一个密度函数一样，在密度函数线下的
所有面积加总为1.0。a和b正好为正值，因此它们在期望值的右侧。最左边的区域是密
度函数中z≤a的部分，因此这部分面积就是
a的累积分布，也就是
z≤a的概率。中间的
区域是a与b之间的密度面积。如果我们把这部分面积加上
a的累积分布，我们就得到
了到达b的总密度面积，也就是
z落在b左边的概率。于是a、b之间的面积即为z落在a和
b之间的概率。
利用相同的逻辑，我们找到了
z>b的概率。我们已经知道
z≤b的概率为N（b）。由
于复合事件“小于等于
b”和复合事件“大于
b”是互斥的而且是完全的（指两个事件
包含了所有可能的结果），因此他们的概率之和为
1.0；于是要计算z>b的概率，我们只
要简单地用
1减去z≤b的概率即可。正式地，我们有：
Pr（z>b）＝1-N（b）
让我们再来看图
A-1，密度函数下
b到正无穷之间的区域面积就是密度函数整个面
积（等于1）与负无穷到
b之间面积的差。
正态密度函数已经足够地复杂，以至于它的累积函数（即其积分）并没有一个很
精确的显式解。它必须求助于近似方法才能得到。就像本书中表
21-2那样，我们已经
把任何z值所对应的N（z）值求了出来，并制成表供查询。
为了进一步说明问题，下面我们计算标准正态分布的概率：
Pr(z≤-0.36)＝N(-0.36)＝z小于等于-0.36的概率
Pr(z≤0.94)＝N(0.94)＝z小于等于0.94的概率
Pr(-0.36≤z≤0.94)＝N(0.94)-N(-0.36)＝z落在区间[-0.36，0.94]之间的概率
Pr(z>0.94)＝1-N(0.94)=z大于0.94的概率
752第八部分附录
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利用表
21-2的标准正态累积函数（有时也称为正态分布面积）和图
A-2，我们得
到：
N（-0.36）＝0.3594
N（0.94）＝0.8264
如图A-2所示，-0.36和0.94之间的面积就是z落在[-0.36，0.94]之间的概率，因此
有：
Pr(-0.36≤z≤0.94)＝N(0.94)-N(-0.36)＝0.8264-0.3594＝0.4670
z大于0.94的概率就是图
A-2中0.94与正无穷大之间的面积。它等于整个面积与负
无穷大到0.94之间面积的差。因此有：
Pr（z>0.94）=1-N（0.94）＝1-0.8264＝0.1736
最后，还有一个问题，如果
z小于等于a的概率为p，那么a的值为多少？
我们假定得到a的函数为Ф(P)，于是就有：
如果
Ф(P)＝a，则P＝N（a）
(A-7)
比如说，假设现在的问题是：累积密度为
0.5的值为多少？只要看一下图
A-2，我
们就知道负无穷到零（即期望值）之间的面积为
0.5，于是我们就有：
Ф（0.5）＝0因为N(0)＝0.5
同样地
Ф(0.8264)＝0.94
因为
N(0.94)＝0.8264和Ф(0.3594)＝-0.36
我们可以验证一下。从表
21-2中得出Ф（0.6554）＝0.4，这意味着具有累积分布
密度为0.6554的值是z＝0.40。
