1020304050
期权收益/美元
0001020
低波动性的情况
股票价格/美元
2025303540
期权收益/美元
000510
如果每种结果出现的可能性都相同，概率都为
0.2，高波动性情况下期权的期望收
益为6美元，而低波动性情况下的期权的期望收益只有一半——
3美元。
尽管在上述两种情况中，股票的平均价格都是
30美元，但是，高波动性情况中期
权的平均收益要高。这一额外价值源于期权持有者本身所承受的损失是有限的，或者
说是看涨期权的波动性价值。不管股价会从
30美元跌至何处，持有者得到的均为零。
显然，对期权持有者而言，股票价格表现不好时，跌多跌少没有什么不同。
但是，如果股价上扬，在到期时看涨期权就会变成实值期权，股价越高，期权的
收益就越大，所以，好的股价带来的收益是无限的，差的股价带来的收益也不会低于
零．这种不对称性意味着标的股票价格的波动性的增加使期权的期望收益增加，从而
增加了期权的价值。
概念检验
问题1：看跌期权的价值会随着股价波动性的增加而增加吗？
同样地，到期期限越长，看涨
期权的价值也越大。期限越长，发表21-1看涨期权价值的决定因素
生不可预测的未来事件的机会就越如果该变量增加看涨期权价值的变化
多，从而导致股票价格增长的范围股票价格S增加
就越大。这与波动性增加的效果是执行价格X降低
相似的，而且，随着期限的延长，波动性增加
执行价格的现值下降，这也有利于到期时间T增加
看涨期权的持有者，亦增加了期权利率rf增加
价值。由此可以推出，利率上升时，红利支付降低
看涨期权价值增加
(假定股价保持不
550第六部分期权、期货与其他衍生工具
下载
变)，因为高的利率水平降低了执行价格的现值。
最后，公司的红利支付政策也影响期权价值。高额红利会大大减缓股价的增长，
对股票的预期收益率来说，高额红利率的背后是低的资本收益率。对股票价格的抑制
降低了看涨期权的潜在收益，从而降低了其价值。表
21-1是对以上这些关系的总结。
概念检验
问题2：如果S、X、
、T、rf与红利支付增加，看跌期权的价值会发生怎样的变
化？准备一个类似表
21-1的表格，说明看跌期权价格与这些决定因素之间的关系。
21.2期权价值的限制
关于期权定价理论有很多数学模型，在本章中我们将考察其中一部分模型。所有
这些模型均建立在简化的假设基础之上，期权价值的性质中哪些具有普遍意义？哪些
依赖于特殊的简化呢？首先，我们将探讨期权价格重要的一般性质，其中某些对于理
解股票红利对期权价值的影响及美式期权提前行使的可能收益将起关键的作用。
21.2.1看涨期权价值的限制
看涨期权价值最为明显的限制是其价值不可能为负。因为期权并不一定行使，它
不会给持有人带来任何义务或负债；进一步讲，只要行使期权有可能带来收益，期权
就会具有一个正的价值。其收益最少为零，而且有可能为正，所以投资者是乐意支付
一笔钱去购买看涨期权的。
我们可以为看涨期权划定一个更小的范围，假定股票将在到期日之前的时间
T(现
时为0时刻)支付数量为
D的红利，现在比较两个资产组合，一个包括一份股票看涨期
权，而另一个则是由股票与数额为
(X+D)/(1+rf)T的借款构成的杠杆化股权头寸，在
期权到期日那天，借款偿付额为
(X+D)美元。举例来说，一个执行价格为
70美元的半
年期期权，在此期间公司将向股东持有的每一股股票支付红利
5美元，有效年利率为
10%，那么购买股票的同时，须借一笔数额为
75美元
/(1.10)1/2=71.51美元的借款，六
个月后当借款到期时偿还
75美元。
到期日杠杆化股权头寸的收益如下：
项目一般表达式数字
股票价值
ST+DST+5
减：货款偿还额
-(X+D)-75
总计
ST-XST-70
其中ST指股票在期权到期日的价格。我们发现股票的收益为无红利股票价值加上
所收到的红利，股票加借款头寸的总收益是正还是负，取决于
ST是否超过X。建立这
种资产组合的净现金流出量为
S0-71.51美元，或用公式表示为
S0-(X+D)/(1+rf)T，也就
是说，0时刻股票的价格减去初始借款额。
如果期权在实值状态被执行，其收益为
ST-X，否则为零。所以在期权收益与杠杆
化股权头寸收益均为正时，两者收益相等，后者收益为负时，前者收益高于后者。因
为期权的收益总是大于或等于杠杆化股权头寸的收益，所以期权价格要超过建立该头
寸的成本。
于是，看涨期权的价值大于
S0-(X+D)/(1+rf)T，更一般地表示为：
C≥S0-PV(X)-PV(D)
其中PV(X)为执行价格的现值，PV(D)指期权到期所支付的红利的现值。一般而言，
可定义
PV(D)为到期日之前所有红利的累计现值。由于已知看涨期权价值为非负，所
以，可知C大于max[0,S0-PV(X)-PV(D)]。
我们还可以定义出一个看涨期权价值的上限：显然应当是股票价值
S0。没有人会
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第21章期权定价
551
支付高于S0的价值去购买实际价值为
S0的股票的期权，所以，有
C≤S0。
图21-2给出了看涨期权价值所处的范围。根据我们得到的对期权价值的限定，期
权的价值不可能在阴影区域以外。在到期日之前的任一时点，看涨期权价值在阴影区
域之内，但是不会到达上下边界，如图
21-3所示。
看涨期权价值
下限＝可调整的内在价
值＝S0-PV(X)-PV(D)
图21-2看涨期权价值可能的范围
给定股票价格的
看涨期权的价值
图21-3看涨期权价值与股票现价之间的函数关系
21.2.2提前行使期权与股息
想取消交易的看涨期权持有者有两个选择，执行期权或将其售出。如果持有者在
t
时间执行期权，获得赢利
St-X(假定为实值期权
)。我们已经知道，期权最低可以
StP
V(X)-PV(D)的价格卖出，所以对于不付红利的股票期权而言，
C大于St-PV(X)，因
为X的现值小于X，所以，有
C≥St-PV(X)≥St-X
这意味着以价格
C出售期权的收益一定大于执行期权的收益，所以出售期权使其
仍继续存在比执行期权而结束它在经济上更有吸引力。换句话说，不付红利的股票期
权继续有效比结束它更有价值。
552第六部分期权、期货与其他衍生工具
下载
如果在到期日之前执行期权无法带来收益，那么提前执行毫无意义。由于美式期
权不会提前执行，所以提前执行的权利也就不相关了。于是我们可以认为美式看涨期
权与欧式看涨期权对不付红利的股票是相同的。如果我们发现欧式看涨期权有价值，
那么同样地，美式看涨期权也有价值。既然，定价模型适用于欧式看涨期权，也同样
适用于美式看涨期权，那么，情况就简化多了。
由于大多数股票是支付红利的，那么这一结果是否只具有理论价值呢？并不是的。
如果仔细加以考虑，你会发现实际上我们仅要求在期权到期日之前股票不支付红利。
对大多数期权来说，实际情况确实如此。
21.2.3美式看跌期权的提前执行
对于美式看跌期权而言，肯定会有提前执行而达到最优的可能性。我们下面通过
一个简单的例子来加以说明。假定你购买了一份股票看跌期权，不久，公司破产，股
票价格变为零，这时你肯定会立即执行期权，因为股票价格已经不可能再跌了。立即
执行会获得执行价格，可以重新投资获利。推迟执行则意味着损失资金的时间价值，
在到期日之前执行看跌期权的权利是有价值的。
现在假定公司只是面临破产，股票跌至几美分，马上执行期权仍是最优选择，虽
然股票价格仍会下降，但仅仅是几美分而已，将来执行不过比现在执行多得到几美分
的收益。要在可能多获得的很少的收益与推迟执行带来的资金时间价值的损失之间进
行权衡。显然，当股票价格低于某些值时提前执行是最优选择。
从以上论述可知，美式看跌期权比欧式看跌期权的价值高，美式看跌期权允许在
到期日之前的任一时点执行，因为提前执行在某些情形下极为有用，会在资本市场上
获得正的价格。于是，在其他条件相同时，美式看跌期权的价格高于欧式看跌期权。
图21-4a)给出了美式看跌期权的价值与股票现价
S0之间的函数关系。一旦股价跌破
临界值(图中记作S*)，执行就是最优决策。在这一点，期权价值曲线与代表期权内在价
值的直线相切。当股价达到S*时，看跌期权被执行，其收益等于期权的内在价值。
a)美式看跌期权价值
看跌期权价值
时间价值
b)欧式看跌期权价值
图21-4看跌期权价值与股票现价之间的函数关系
作为比较，欧式看跌期权的价值画在图
21-4b中，内在价值线并不是其渐近线。
因为欧式期权不允许提前执行，所以欧式看跌期权的最大值是
PV(X)，发生在
S0=0时。
显然，时间越长，PV(X)越小。
概念检验
问题3：根据以上讨论，解释为什么看跌
-看涨期权平价关系只对不支付红利的股
票的欧式期权成立。如果股票不支付红利，为什么美式期权不满足该平价关系？
21.3二项式期权定价
21.3.1两状态期权定价
没有深厚的数学背景，要完全理解通常使用的期权定价公式是很困难的。但是，我
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第21章期权定价
553
们仍然可以通过一个简单的特例，来对期权定价进行有价值的考察。假定在期权到期时
股票价格只有两种可能：股票价格或者涨到给定的较高水平，或者降到给定的较低的价
格。虽然这可能看起来是太简单了，但是这可以帮助我们进一步理解更复杂与现实的模
型。而且，我们可以用这种方法来描述股票价格行为的更合理的特性。实际上，几个大
的财务公司已经使用这种简单模型的变型来对期权与具有期权特点的证券进行定价。
假定现在股票价格为
100美元，年底的股票价格可能升至
200美元，或者降至
50美
元。该股票的看涨期权的执行价格为
125美元，有效期为一年。利率是
8%。如果年底
的股票价格下跌了，看涨期权持有者的收益将会是
0；如果股票价格涨到了
200美元，
期权持有者将会获得75美元的收益。
可用以下的“二叉树”加以说明：
200
75
100
C
50
股票价格看涨期权价值
将看涨期权的收益与一个由一股股票与以
8%的利率借46.30美元组成的资产组合
的收益进行比较，这一资产组合的收益也取决于年末的股票价格：
(单位：美元)
年末的股票价值
50美元
200美元
减：贷款的本金与利率
-50美元
-50美元
总计
0150美元
我们知道，建立资产组合的现金支出是
53.70美元：股票
100美元，减去46.30美元
的借款。因此，这一组合的价值树为：
150
53.70
不管年底股票的价格是何值，这一资产组合的收益都是看涨期权收益的两倍。换句
话说，两份看涨期权正好可以复制出资产组合的收益。因此，两份看涨期权的价值应该
与建立资产组合的成本相同。于是，两份看涨期权应以相同的价格卖出。所以，有
2C=53.70美元
即每份看涨期权的价格应为
C=26.85美元。因此，给定股票价格、执行价格、利
率与股票价格的波动性
(即股票价格上下波动的幅度
)，我们就能够得出看涨期权的公
平价值。
这种定价方法主要依赖复制的概念，由于股票年底有两种可能的价值，利用杠杆
的股票资产组合的收益复制了两份看涨期权的收益，因此，它们才具有相同的市场价
格。复制概念已成为大部分期权定价公式的后盾。对价格分布更复杂的股票来说，复
制技术相应地也更加复杂，但原理是相同的。
我们也可以从另一个角度来考察复制的作用。仍用前面的例子，我们发现，由一
股股票与出售两份看涨期权构成的资产组合，得到了完全的套期保值，它的年末价值
不受股票价格的影响：
(单位：美元)
股票价值
50美元
200美元
减：出售两份看涨期权的所得
-0-150美元
净收益
50美元
50美元
554第六部分期权、期货与其他衍生工具
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投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为
50美元。它的价值一定等于
50
美元的现值，即50美元/1.08=46.30美元。资产组合的价值等于股票多头
100美元减去2
份出售的看涨期权的价值
2C，应该等于46.30美元，因此100-2C=46.30美元，C=26.85
美元。
创造完全套期保值的能力是关键。套期保值锁定了年末的收益，它可用无风险收
益率来折现。用股票的价值来获得期权的价值，不需要知道期权或者股票的贝塔值或
者期望收益率。完全套期保值或者复制，使我们可以用不包含这些信息的股票现价来
表示期权价值。通过套期保值头寸，最终的股票价格就不会影响投资者的收益，所以
股票的风险与收益参数也不会受任何影响。
这个例子中的套期保值率是一股股票对两份看涨期权，或者说是半股股票对一份
看涨期权。对所出售的每份看涨期权来说，资产组合中必须保持半股股票以进行套期
保值。这个比率在这里简单解释如下，它是期权价值范围与股票价值范围的比率。期
权的价值可能为0，也可能为75美元，所以变动范围为75美元。股票价值可能为50美元，
或者200美元，变动范围为150美元。这个比率为75/150，即1/2，这正是套期保值率。
套期保值率等于范围的比率，因为在这个两状态的例子中，期权与股票具有完全
相关性。当期权与股票的收益完全相关时，完全套期保值要求期权与股票的比例仅由
相对波动性来决定。
对其他两状态期权问题，套期保值率的一般公式为：
