C+-C-
H=
S+-S-
这里，
C+或者C-分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而
S+与S-分别
是两状态下的股票价格。套期保值率为
H，是期权与股票在期末可能的价值变动范围
的比率。如果投资者出售一份期权并且持有
H股股票，那么该资产组合的价值将不受
股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值
等于已知收益的现值。
用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：
1)给定可能的年末股票价格，
S+=200与S-=50，执行价格为
125美元，计算
C+=75
与C-=0。股票价格的变动范围为
150美元，而期权价格的波动范围是
75美元。
2)套期保值率为75/150=0.5。
3)由0.5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为
25美元。
4)年利率为8%、25美元的现值为23.15美元。
5)让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：
0.5S0-C0=23.15美元
50美元-C0=23.15美元
6)解出看涨期权的价值，
C0=26.85美元。
如果期权的价值被高估，譬如
30美元，那么会怎样呢？会获得套利利润。以下是
套利的具体做法：
(单位：美元)
做法
对每个可能的股票价格，一年后的现金流
初始现金流
S=50S=200
1.出售两份期权
600-150
2.购买1股股票
-10050200
3.以年利率8%借入40美元
40-43.2-43.2
总计
06.806.80
虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低
估了，我们只要采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。记住，
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第21章期权定价
555
用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的..2倍。利率..8%、6.80美元
的现值是6.30美元。因为该套利策略包含..2份期权，每一个期权的赢利为..3.15美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即..30美元减去公平价值26.85美元。
概念检验
问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为
24美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得
3.08美元的无风险现金流。
21.3.2两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个..6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长..10%或者将下降5%，股票的初始价
格为每股100美元，在一年中价格可能的路径为：
121
110
100
104.50
95
90.25
中间价为..104.50美元，可通过两条路径获得：先增加..10%，再降低5%；或者先降
低5%再增加10%。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。
C++
C+
C-+
C
C
C-
使用类似前面采用的方法，我们可以从..C++与C+-得到C+，然后从..C-+与C--得到C-，
最后再从C+与C-得到C。而且我们也没有理由就停止在..6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个..3个月，或者..12个1个月，或者..365天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。
当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，
并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票
事件树的分析中看出：
S+++
s++
S++
S+
S-+
S
S--+
S
S-
S--
首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S+++或者S---是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像..S++-能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价..S++-。
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556第六部分期权、期货与其他衍生工具
因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomialmodel）。
例如，初始股票价格为100美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股
票价格可能增加5%而减少3%，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时
期内股票价格的变动有八种组合：
+++，++-，+-+，-++，+--，-+-，--+，---。
每个都有1/8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：
事件概率
股票价格
3升
1/8100×(1.05)3=115.76
2升1降
3/8100×(1.05)2×0.97=106.94
1升2降
3/8100×1.05×(0.97)2=98.79
3降
1/8100×(0.97)3=91.27
中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图21-5a)是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图
21-5b)所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布
[1]。
假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。
在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21-5概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，
在下一个时间间隔末，在到达下注：a)三个时期后股票价格可能的结果及其概率。
一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为
100美元，在每个时期，股票价格或上涨
5%，或下跌3%。
期保值率，对资产组合的构成进
b)每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票
行更新。通过不断改变套期保值
价格或上涨2.5%，或下跌1.5%。随着期间数的增加，股票
头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。
[1]
实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：
JohnC.CoxandStephenA.Ross,“The
ValuationofOptionsforAlternativestochasticProcesses”,JournalofFinancialEconomics3(January-
March1976),PP.145-66,或者RobertC.Merton,“OptionPricingwhenUnderlyingstockReturnsAre
Discontinuous,”
JournalofFinancialEconomics3(January-March1976),PP.125-44.
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b)
a)
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第21章期权定价
557
概念检验
问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？
(提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？)
21.4布莱克-舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。
21.4.1布莱克-舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯[1]与默顿[2]发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了
1997年诺贝
尔经济学奖
[3]。现在，布莱克-舒尔斯定价公式(Black-Scholespricingformula)已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：
C0=S0N(d1)-XeN(d2)
(21-1)
-rT
其中
1n(s0/X)+(r+2/2)T
d1=
T
d2=d1-
T
式中
C0—当前的看涨期权价格；
S0—当前的股票价格；
N(d)—标准正态分布小于
d的概率，图
21-6的阴影部分；
X—执行价格；
e—2.71828，自然对数的底；
r—无风险利率(与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益
率，与离散时间的收益率
rf不同)；
T—期权到期时间；
ln—自然对数函数；
—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格
的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克
-舒尔斯公式假定股票不
支付红利。
尽管你会觉得布莱克
-舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
N(d)部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下
21-1式，假设
两个N(d)均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为
S0-Xe-rT，
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，
S0-PV(X)。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以
S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为
PV(X)的债
[1]
3FischerBlackandMyronScholes,ThePricingofOptionsandCorporateLiabilities,JournalofPolitical
Economy81(May-June1973).
[2]
RobertC.Merton,TheoryofRationalOptionPricing,BellJournalofEconomicsandManagement
Science4(Spring1973).
[3]布莱克于1995年去世。
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558第六部分期权、期货与其他衍生工具
务，或以连续复利计算为
Xe-rT的债务。
现在再看21-1式，如果N(d)趋于零，意味着期权不会被执行，该等式说明看涨期
权价值为零。对于
N(d)在0与1之间时，21-1式告诉我们，可把看涨期权价值看作是经
过到期时处于实值的概率调整后的潜在未来收益的现值。
那么，N(d)又是如何表示风险
调整概率的呢？这需要用到高级统
计学的知识。注意
ln(S0/X)，在d1和
d2的分子中都出现了，它近似表示
N(d)=阴影区
期权现在实值与虚值的百分比。例
如，如果S0=105，X=100，期权实值
的百分比是5%，ln(105/100)=0.049，
同理，如果S0=95，则期权虚值的百
分比是5%，ln(95/100)=-0.051，分
母
T，用股票价格在剩余期限中的
标准差对期权的实值与虚值的百分
比进行调整。如果股价变动很小，
并且距到期的时间也所剩无几的时
候，给定比例的实值期权一般会保持原实值状态，因此，N(d1)与N(d2)代表期权到期时处
于实值的概率。
布莱克
-舒尔斯公式很容易应用，假设想对一个看涨期权进行定价，已知条件如
下：
股票价格
S0=100利率r=0.10(每年10%)
执行价格X=95期权期限T=0.25(3个月)
=0.50(每年50%)
首先计算：
ln(100/95)
+(0.10+0.52/2)′0.25
d1=
=0.43
0.5
0.25
d2=0.43-0.50.25=0.18
接下去查N(d1)与N(d2)，在统计书中可以查到正态分布表，如表
21-2，查得
N(0.43)=0.6664，
N(0.18)=0.5714。
