道倾斜于大圆。
图
6—1
令
FGKL为轨道的平均和永久赤纬，F在其纬度的北面极限处，而
K为
南限。G为交线的降交点，而
L为升交点。令[行星轨道与地球大圆的]交
线为
BED。把
BED沿直线
GB和
DL延长。除掉对拱点的运动外，这四个极
限点不会移动。然而可以认为，行星的经度运动并非出现在
FG圆的平面
上，而是在与
FG同心并与之倾斜的另一个圆
OP上面。令这些圆周在同一
条直线
GBDL上相交。因此，当行星在
OP圆上运转时，此圆有时与
FK平面
相合，由于天平动在两个方向上穿过，并且这个缘故使纬度看来在变化。
首先令行星在其黄纬为最大北纬处的
O点，并距位于
A的地球最近。
此时行星的黄纬会按角
OGF（=轨道
OGP的最大倾角）而增加。它的运动为
一种进退运动，这是因为按假设它与视差运动相适应。于是若地球在
B，O
会与
F相合，并且行星黄纬看起来比以前在同一位置时为小。如果地球是
在
C点，它看起来会小得更多。O会跨越到它振动的最外相对部位，其纬
度仅为超过北纬相减天平动的部分，即等于角
OGF。随后在整个剩下的半
圆
CDA中，位于
F附近的行星的北黄纬会增加，直至〔地球〕回到它由之
出发的第一点
A为止。
当行星位于南面
K点附近时，如果认为地球运动是从
C开始，则行星
的情况和变化是一样的。但假定行星在某一交点
G或
L，与太阳相冲或合。
尽管此时
FK与
OP两圆间的倾角为最大，仍察觉不出行星的黄纬，这是因
为它位于两圆的一个交点。由于上述论证容易了解（我相信如此），行星
的北黄纬如何由
F至
G减少，从
G到
K增加，并在穿过
L往北时完全消失。
三颗外行星的情况已如上述。正如在经度上金星和水星与它们不一
样，在纬度上的差异也不小，这是由于内行星轨道[与大圆]在远地点及近
地点相交。此外，与外行星相似，它们在中拱点的最大倾角也由振动而变。
然而内行星还呈现出一种与上述情况不同的额外的振动。可是两者都随地
球运转而变，但变化情况不同。第一种振动具有下列性质。每当地球回到
内行星的某一拱点时，振动以上面提到的通过远地点和近地点的固定交线
为轴运转两次。其结果是，每当太阳的平均运动线是在行星近地点或远地
点时，倾角达到其极大值，而在中经度区它总为极小。
为轴运转两次。其结果是，每当太阳的平均运动线是在行星近地点或远地
点时，倾角达到其极大值，而在中经度区它总为极小。
于是，举例来说，假定太阳的平均运动是在金星的远地点，并且行星
也在同一位置。显然可知，因为此时行星位于其轨道与黄道面的交点，它
不会由于单纯赤纬或第一振动而具有纬度。但是交线或轴线是在偏心圆横
向直径上的第二振动，却使行星具有最大偏离，这是因为它与通过高、低
拱点的直径相交成直角。在另一方面，假设行星是在[与其远地点的]距离
为一象限的两点中任何一点，并在其轨道的中拱点附近。此时这个[第二]
振动的轴会与太阳的平均运动线相合。金星的最大偏离与向北偏离相加，
而向南偏离由于减掉最大偏离而变小。这样一来，偏离的振动与地球的运
动协调一致。
[早期版本：
于是，当太阳平均运动线通过行星远地点或近地点时，无论行星位
于其轨道上哪一部位，它的偏离都为最大；而〔当太阳平均运动线是〕
在[行星]中拱点附近，它没有偏离。]
为使以上论证更容易了解，重画大圆
ABCD，金星或水星的轨道
FGKL（它为
ABC的偏心圆，并以一个平均倾角与
ABC斜交），以及它们的交线
FG。此线通过轨道的远地点
F及近地点
G
(3)。为便于论证，让我们先取偏
心轨道
GKF的倾角为单纯的和固定的，或者取作极小值与极大值之间，例
外情况为交线
FG随近地点与远地点的运动而飘移。当地球是在交线上，即
在
A或
C，并且行星也在同一线上，此时它显然没有纬度。它的整个纬度
是在半圆
GKF与
FLG的两侧。已经谈到过[在Ⅵ，2前面]，行星在该处向
北或南偏离，这视圆
FKG与黄道面的倾角而定。一些天文学家把行星的这
种偏离叫做“倾角”，另一些人则称之为“反射角”。
①在另一方面，当地
球是在
B或
D，即在行星的中拱点，则被称作“赤纬”的
FKG和
GLF分别
为在上面或下面的相等的纬度。因此它们与前者的区别是在名称而非实质
上，而在中间位置上时，甚至名称也互换了。
图
6—2
然而这些圆周的倾斜度就倾角而言比“赤纬”大。于是可以想到，这
种差异是由前面谈过的〔在Ⅵ，2中〕以交线
FG为轴的振动产生的。因此，
当两边的交角已知时，从其差值容易求得从极小到极大的振动量。
现在设想倾斜于
GKFL的另一个偏离圆。对金星而言，令它为同心圆；
而后面将指出[在Ⅵ，2中]，对水星来说为偏偏心圆。取它们的交线
RS为
①英文原词为“
reflexion”。
振动的轴线，此轴线按下列规则在一个圆周内运动。当地球在
A或
B时，
行星在其偏离的任一极限处，例如在
T点。随着地球离开
A前进，可以认
为行星离
T移动了相应的一段距离。与此同时，偏离圆的倾角减少了。其
结果是，当地球扫过象限
AB时，可以认为行星已经到达该纬度的交点，即
R。然而此时两平面在振动的中点重合，并各自往相反方向运动。因此原来
在南面的偏离半圆，此时向北转移。当金星进入这个半圆时，它离开南面
向北移动，并由于这个振动不再转向南面。与此相似，水星在相反方向上
运动，并留在南面。还有一点差异为水星不在偏心圆的一个同心圆上，而
在一个偏偏心圆上振动。在说明它的黄经行度的不均匀性时我使用过一个
小本轮[Ⅴ，25]。然而该处考虑它的经度时不顾纬度；此处不管它的经度
而考虑纬度。它们都包含在同一运转中，并一道变化。因此，完全清楚，
这两种变化可以由一个简单的运动和相同的振动产生，此运动既是偏心的
也是倾斜的。除我刚才描述的外，没有其他图象。下面我将作进一步的讨
论[Ⅵ，5—8]。
第三章土星、木星和火星轨道的倾斜度有多大？
第三章土星、木星和火星轨道的倾斜度有多大？
让我们再一次由三颗外行星谈起。按托勒密的表[《大成》，Ⅶ，5]，
当它们在冲点而纬度为最南极限时，土星偏离.. 3°5′，木星2°7′，而火
星为.. 7°7′.. (4)。另一方面，在相反位置，即当它们与太阳相合时，土星偏
离.. 2°2′，木星1°5′，而火星仅为5′.. (5)。于是它几乎掠过黄道。这些
数值可从托勒密在行星消失和初现时刻前后所测纬度推求出来。
既然已经提出上面的主张，令一个与黄道垂直的平面通过黄道中心，
并与之相交于.. AB。但令它与三颗外行星中任何一颗的偏心圆的交线为.. CD，
此交线通过最南和最北的极限。令黄道中心为.. E，地球大圆直径为FEG，南
纬为.. D，而北纬为.. C。连结.. CF、CG、DF和.. DG。
[早期版本：
现在我用火星作例，因为它的黄纬超过其他一切行星。于是，当它
位于冲点.. D时，地球在.. G[从.. F改正过来]，已知角.. AFC=7°7′。但是已
知.. C为火星在远地点的位置。由前面确定的圆周大小，在取.. FG[为.. FE之
误]=1 p时，CE=1 p22′20″(6)。在三角形.. CEF中，CE与.. EF两边之比以
及角.. CFE均已知。于是按平面三角学还可知角.. CEF=偏心圆的最大倾角=5°11′。然而当地球是在相反位置，即在.. G[应改正为.. F]，而行星仍在.. C
时，CGF=视纬度角=4′。]
[印刷版本：
对每一颗行星而言，在上面已经对任何已知的地球和行星位置求得地
球大圆[半径]EG与行星偏心圆[半径]ED的比值。而最大黄纬的位置也由观
测给出。因此可知最大南纬角.. BGD，即为三角形.. EGD的外角。按平面三角
定理，还可求得与之相对的内角.. GED，即为偏心圆对黄道面的最大南面倾
角。用最小南黄纬，例如用.. EFD角，同样可求得最小倾角。在三角形.. EFD
中，两边之比.. EF∶ED (7)以及角.. EFD均已知。因此可得外角.. GED (8)，此为最
小南面倾角。这样一来，由两个倾角之差可以得出偏心圆相对于黄道的整
个振动量。进而言之，用这些倾角可以算出相对的北纬度，例如.. AFC与.. EGC。
如果所得结果与观测相符，就表明我们没有差错。
然而我将以火星为例，因为它的纬度超过一切其他行星。当火星在近
地点时，托勒密求得其最大南黄纬约为.. 7°，而在远地点的最大北黄纬为4°20′[《大成》，Ⅷ，5]。可是，在测出角.. BGD=6°50′之后，我求得相
应的角.. AFC≌4°30′。已知.. EG∶ED=1 p∶1p22′26″[Ⅴ， 19] ，由这两
边和角.. BGD可得最大南面倾角.. DEG≌1°51′。因为.. EF∶CE=1 p∶1p39′57″[Ⅴ，19]以及角.. CEF=DEG=1°51′，于是当行星在冲点时上面提到的外
角.. CFA=4 1/2°。
与此相似，当火星在相反位置即与太阳相合时，假定我们取角.. DFE=5′。由已知边.. DE和.. EF以及角.. EFD，可得角.. EDF与表示最小倾斜度的外角
DEG≌9′。由此还可知北纬度角.. CGE≌6′。于是，如果从最大倾角减去最
小倾角，即.. 1°51′-9′，则得余量≌1°41′。此为这个倾角的振动量，
于是[振动量的]
DEG≌9′。由此还可知北纬度角.. CGE≌6′。于是，如果从最大倾角减去最
小倾角，即.. 1°51′-9′，则得余量≌1°41′。此为这个倾角的振动量，
于是[振动量的] /2≌501/2′。
用同样方法可以定出其他两颗行星，即木星与土星的倾角及其纬度。
于是得木星的最大倾角=1°42′，最小倾角=1°18′；因此它的整个振动
量不超过.. 24′。在另一方面，土星的最大倾角=2°44′，最小倾角=2°16′，二者之间的振动量=28′.. (9)。因此，当行星与太阳相合时，由在相反
位置出现的最小倾角，可以得出对于黄道的纬度偏差值在土星为 2°3′，
木星为.. 1°6′.. (10)。这些数值应予测定并供编制后面的表[在Ⅵ，8末尾]
时使用。
第四章对这三颗行星其他任何黄纬值的一般解释
第四章对这三颗行星其他任何黄纬值的一般解释
在这种情况下我们先求偏心圆倾角.. ADC的大小。已经证明[Ⅵ，3]，当
地球在.. E点时它为极大。进一步说，由振动性质所要求的它的整个振动量
与地球在.. EF圆上的运转相适应，而.. EF圆由直径.. BE决定。因此，由于弧
EF已知，ED∶EG的比值可知，而这是整个振动量与由ADC角分离出的振动
之比。于是在目前情况下角.. ADC可知。
因此在三角形ADC中各角已知，其各边也可知。但由上述可以求得CD∶
ED之比。因此[CD与从.. ED减去.. EG的余量]DG[之比〕也可知。这样一来，
CD和.. AD二者与.. GD之比都已知。于是还可得出[由.. AD减去.. GD的]余量.. AG。
由此同样可得.. FG，因它为两倍.. EF所对弦之半。因此在直角三角形.. AGF中
[AG与.. FG]两边已知，于是斜边.. AF以及.. AF∶AC之比均可知。最后，在直角
三角形.. ACF中，[AF和.. AC]两边已知，则角.. AFC可知，此即所求的视纬度角。
我再次以火星为例来进行这一分析。令其在低拱点旁边出现的南纬最
大极限为在.. A附近。然而，令行星所在位置为.. C，则当地球在.. E点时，前
面已证明[Ⅵ，3]倾角.. ADC达到其极大值，即.. 1°50′.. (11)。现在我们把地
球置于.. F点，于是沿弧.. EF的视差行度=45°因此在取.. ED=10，000 p时，可
知直线.. FG=7071 p(12)，而由半径[=ED=10，000 p减去.. GD=FG=7071 p]所得余量..
=2929p。但已经求得振动角ADC之半=0°50 1/2′[Ⅵ，3]。在此情况下它的
增减量之比=DE∶GE≌50 1/2′∶15′(13)。从.. 1°50′减去后一数量，余数
=1°35′=在目前情况下的倾角.. ADC。因此三角形.. ADC的各角与边均可知。
当取.. ED=6580 p时，前面已求得.. CD=9040 p[Ⅴ，19]。于是在同样单位中..
FG=4653p(14)AD=9036p，[从.. AD=9036 p减去.. GD=FG=4653 p的]余量..
AEG=4383p，以及(，) AC=2491/2p。因此在直角三角形.. AFG中，垂边.. AG=4383 p，
底边.. FG=4653 p，于是斜边.. AF=6392 p。于是，最后，在三角形ACF中.. CAF为
直角，还已知.. AC与.. AF两边[=249 1/2p，6392 p]。于是可知角 AFC=2°15′
=当地球位于.. F时的视纬度。我们还将用同样方法对其他两颗行星，即土星
和木星，进行分析。
第五章金星和水星的黄纬
第五章金星和水星的黄纬
(15)时，以及[距地球]最近[而纬度为]6°22′时，对这
两种情况都可取轨道[倾角]弧长约为.. 2 1/2°。水星[距地球]最远，其纬度
=1°45′；以及它[距地球]最近，[其纬度=]4°5′，都要求轨道[倾角]
弧长为.. 6 1/4°。于是，在取.. 360°=4直角时，金星轨道倾角=2°30′，但
水星为.. 6 1/4°。我即将阐明，在这些情况下它们赤纬的每一个特定数值都
可予以解释。我首先谈金星。
取黄道为参考平面。令与之垂直并通过其中心的平面与之相交于
ABC。令[黄道]与金星轨道面的交线为.. DBE。令地球中心为.. A，行星轨道中
心为.. B，而轨道对黄道的倾角为.. ABE。以.. B为心，描出轨道.. DFEG。画垂直
于直径.. DE的直径.. FBG。设想轨道面与所取垂直面之间有关系，可使在垂直
面上所画垂直于.. DE的直线互相平行并与黄道面平行，但.. FBG为唯一的[这
样的垂线]。
用已知直线.. AB和.. BC以及已知的倾角.. ABE，可以设法求出行星在纬度
上的偏离有多大。例如令行星与最靠近地球的.. E相距.. 45°。我仿效托勒密
的作法[《大成》，Ⅷ，4]，选取此点，其目的为可以清楚地了解轨道倾斜
是否会使金星与水星的经度有任何变化。这些变化的极大值应当出现在基
点.. D、F、E与.. G之间约一半距离处。其主要理由为当行星位于这四个基点
时，它所呈现的经度与没有任何“赤纬”时是一样的，而此点不证自明。
因此，如前所述，我们可取弧EH=45°。向.. BE作垂线.. HK。画.. KL和.. HM，
它们都垂直于作为参考面的黄道。连结.. HB、LM、AM及.. AH。因为HK平行于
黄道面[而.. KL与.. HM已画成垂直于黄道]，故.. LKHM为有.. 4个直角的平行四边
形。[平行四边形的.. LM]边长为经度行差角.. LAM所封闭。但角HAM包含纬度
偏离，因为HM也与同一黄道面垂直。已知角HBE=45°。因此，当取EB=10，..
000p时，HK=两倍.. HE所对弦之半=7071 p(16)。
与此相似，在三角形.. BKL中，已知角.. KBL=2 1/2°[Ⅵ，5，上面]，BLK
为直角，而在取.. BE=10，000 p时，斜边.. BK=7071 p。用同样单位，其余两边
为 KL=308 p和BL=7064 p。但是前面已求得[Ⅴ，21]，AB∶BE≌10，000 p∶..
7193p。因此，在相同单位中，其余的边为.. HK=5086 p；HM=KL=221 (18)以及..
BL=5081p(19)。于是[从.. AB=10，000 p减去.. BL=5081 p的]余量为.. LA=4919 p。现
在再次出现这一情况，即三角形.. ALM的两边.. AL和.. LM=HK均已知[=4919 p5086p]，而.. ALM为直角。于是可得斜边.. AM=7075 p，而角.. MAL=45°57′=金(，) 星的行差或大视差，这与计算结果相符。
与此相似，在三角形[MAH]中，已知边
AM=7075
p和边
MH=KL[=221
p]。
于是可得角
MAH=1°47′=赤纬。但应考虑金星这一赤纬能引起多大的经度
变化。如果这一问题并不令人厌倦，可取三角形
ALH，并认为
LH为平行四
边形
LKHM的一条对角线。当
AL=4919
p时，LH=5091
p。ALH为直角。由此可
得斜边
AH=7079
p。于是可知两边的比值，以及角
HAL=45°59′，但前已求
得
MAL（20）=45°57′。因此，多余的量仅为
2′。证讫。
我还将用与上面相似的图形再次推求水星的赤纬度数。设该图中的弧
EH=45°，于是在取斜边
HB=10，000
p时，可和前面一样得
HK和
KB两条直
线的每一条=7071
p。在此情况下，由前面求得的经度差[Ⅴ，27]可知半径
BH=3953p和
AB=9964
p。用这样的单位，BK与
KH二者都=2795
p(21)。取
360°=4直角，则上面已求得[Ⅵ，5前部]倾角
ABE=6°15′。于是在直角三
角形
BKL中各角已知。由此可知，在相同单位中底边
KL=304
p，而垂边
BL=2778p。因此〔从
AB=9964
p减去
BL=2778
p的〕余量
AL=7186
p。但是
LM=HK=2795p。于是在三角形
ALM中
L为直角，而
AL与
LM两边已知[=7186
p，
2795p]。因此可得斜边
AM=7710
p和角
LAM=21°16′=算出的行差。
与此相似，在三角形
AMH中已知两边：AM[=7710
p]及
MH=KL[=304
p]，
此两边夹出直角
M。于是可得角
MAH=2°16′=我们所求的纬度。值得问到，
[这个纬度]在多大程度上由真行差和视行差引起。画平行四边形的对角线
LH(21)。从边长可得它=2811
p，而
AL=7186
p。这表明角
LAH=21°23′=视行
差。这比原来的计算结果[角
LAH=21°16']超过约
7′。论讫。
第六章与远地点或近地点的轨道倾角有关的、金星和水星的二级黄
纬偏离角
第六章与远地点或近地点的轨道倾角有关的、金星和水星的二级黄
纬偏离角
托勒密观测到[《大成》，Ⅷ，4]，当行星位于由地球中心向其轨道所
画切线上时，这些在近地点与远地点的黄纬达其极大值。我已说过[Ⅴ，21，27]，这种情况发生在行星于晨昏时距太阳最远的时候。托勒密还发现[《大
成》，Ⅷ，3]，金星的北纬度比南纬度大
1/3°，而水星的南纬度比北纬度
约大
1
1/2°(23)。但是，考虑到计算的困难和劳累，他采取
2
1/2°°为黄纬
可变数值的一个平均值。他相信不会由此产生可以察觉的误差。我也即将
证明这一点[Ⅵ，7]。这些度数为在环绕地球并与黄道正交的圆周上的纬
度，而纬度正是在此圆周上度量。如果我们在黄道的每一边都取
2
1/2°为
