视差近点角中减掉它，并把它与偏心圆近点角相加。求得的和或差即为视
差和偏心圆的归一化近点角，而比例分数可留下来供下面即将阐明的一个
目的使用。
然后在前面〔两栏〕的公共数中查此归一化的视差近点角，并由第五
栏求得与之相应的视差行差，以及最后一栏所载的其超出量。按比例分数
可得此超出量的比例部分。我们随时把此比例部份与行差相加。其和为行
星的真视差。如果近点角小于半圆，应从归一化视差近点角中减去这一和
数；要是近点角大于半圆，则把近点角与之相加。按此方法可求得行星在
太阳平位置两面的真距离与视距离。从太阳〔的位置〕减去此距离，则余
量为所求的行星在恒星天球上的位置。最后，如果把二分点岁差与行星位
置相加，便可求得行星与春分点的距离。
对于金星与水星，我们不用偏心圆的近点角而用高拱点与太阳平位置
的距离。前面已经说明，用此近点角可使视差行度和偏心圆近点角归一化。
但若偏心圆行差及归一化视差是在同一方向上或为同一类，则把它们与太
阳平位置同时相加或相减。然而如果它们非为同一类，则从较大量减去较
小量。按我刚才对较大量的相加或相减性质的说明，用余量进行运算，则
结果为所求的行星视位置。
第三十五章五颗行星的留与逆行
第三十五章五颗行星的留与逆行
动
①，怎样理解行星的留、回和逆行以及这
些现象出现的位置、时刻和限度，在这两者之间显然有联系。天文学家们，
尤其是佩尔加的阿波罗尼斯，对这些课题进行了大量的讨论〔托勒密，《大
成》，ⅪⅠ，1〕。但是他们认为行星运动时似乎只有一种不均匀性，此即
为对太阳出现的不均匀性，而我称之为由地球大圆运动所产生的视差。
假设地球的大圆与各行星的圆周都是同心的，而一切行星在各自的圆
周上以互不相等的速率都在同一方向上，即向东运行。还假设在大圆内的
行星，即金星与水星，在其自身轨道上的运动比地球较快。从地球画一条
与行星轨道相交的直线。把在轨道内的线段二等分。此一半线段与从我们
的观测点（即地球）到相交轨道的下凸圆弧的距离之比，等于地球与行星
的速度之比。直线与行星圆周近地点弧段的交点使逆行与顺行划分开来，
于是当行星位于该处时，它看来静止不动。
三颗外行星的运动比地球慢，它们的情况是类似的。一条通过我们眼
睛的直线与大圆相交，在该圆内的一半线段与从行星到位于大圆上较近凸
弧上人眼的距离之比，等于行星与地球的速率之比。我们的眼睛得到的印
象是，行星在该时刻和位置停止不动。
但若在上述〔内〕圆里的一半线段与剩余的外面线段之比，超过地球
与金星或水星速率之比，或超过三颗外行星中任何一个与地球速率之比，
则行星会向东前进。在另一方面，如果〔第一〕比值〔较第二比值〕小一
些，则行星会向西逆行。
为了证明上述论断，阿波罗尼斯引用了一条辅助定理(228)。虽然它遵
循地球静止的假设，但与我根据地球可动提出的原则并无抵触，因此我也
将采用它。我可以按下列方式来说明它。假设在一个三角形中一条长边分
为两段，其中某一段不小于邻边。该段与另一段之比应大于被分割一边的
两角之比的例数〔另一段的角∶邻边的角〕。在三角形
ABC中，令较长边
为
BC。在该边上取
CD，它不小于
AC。我说的是
CD∶BD＞角
ABC∶角
BCA。
图
5—36
证明如下。作平行四边形
ADCE。BA和
CE的延线相交于
F点。以
A为
心
AE为半径画圆。因
AE〔=CD〕不小于
AC，此圆会通过或超过
C。此处令
该圆过
C，并令它为
GEC。三角形
AEF大于扇形
AEG。但三角形
AEC小于扇
形
AEC。因此三角形
AEF∶〔三角形〕AEC
(229)＞扇形
AEG∶扇形
AEC。可是
三角形
AEF∶三角形
AEC=底边
FE∶底边
EC。因此
FE∶EC＞角
FAE：角
EAC。
但因角
FAE=角
ABC和角
EAC=角
BCA，故
FE∶EC=CD∶DB。因此
CD∶DB＞角
ABC∶角
ACB。进而言之，如果假定
CD（即
AE）不等于
AC，但取
AE大于
AC，则上列〔第一〕比值显然会大得多。
图
5—37
现在令以
D为心的
ABC为金星或水星的圆周。令地球
E在此圆周外绕
同一中心
D运转。从我们在
E的观察处通过圆周中心画直线
ECDA。令
A为
距地球最远，而
C为距地球最近的位置。假设比值
DC∶CE大于观测者与行
①指在经度方向上的运动。
星运动速率的比值。因此可以找到一条直线.. EFB，使.. 星运动速率的比值。因此可以找到一条直线.. EFB，使.. /2 BF∶FE=观测者的
运动∶行星的速率。当.. EFB离中心.. D而去时，它沿.. FB不断收缩而在.. EF段
伸长，直至所需条件满足为止。我要说明，当行星位于.. F点时，就我们看
来它是静止的。无论我们在.. F任一边所取弧段多么短，它在远地点方向上
是顺行的，而朝近地点是逆行的。
首先，取弧.. FG伸向远地点。延长.. EGK。连结.. BG、DG和.. DF。在三角形
BGE中，较长边.. BE的线段.. BF超过.. BG。于是.. BF∶EF＞角.. FEG∶角.. GBF。因
此1/2 BF∶FE＞角FEG∶2 ×角GBF=角GDF。但是.. 1/2 BF∶FE=地球运动∶行
星运动。因此角.. FEG∶角.. GDF＜地球速率∶行星速率。由此可知，若有一角，
其与角.. FDG之比等于地球运动与行星运动之比，则该角超过角.. FEG。令此
较大的角=FEL。于是当行星在圆周上通过弧GF时，可以认为我们的视线扫
过了在直线.. EF与.. EL之间的一段相反的距离。显然可知，当行星走过弧段
GF，即就我们看来它向西扫过较小角度.. FEG时，地球在同一时期内的运行
把行星拉回来，使它向东扫出较大角度.. FEL。结果是行星仍然后退了.. GEL
角，但似乎是前进了，也并未静止不动。
用同样方法显然可以论证相反的命题。在同图中假设取.. 1/2 GK∶GE=地
球运动∶行星速率。设弧.. GF从直线.. EK向近地点延伸。连结.. KF，形成三角
形.. KEF。在此三角形中.. GE长于.. EF。KG∶GE＜角.. FEG∶角.. FKG。还有.. 1/2KG∶..
GE(230)＜角.. FEG∶2×角.. FKG=角.. GDF。这一关系为上述论证的逆命题。用同
样的方法，可以证明角.. GDF∶角.. FEG＜行星速率：视线速率。由此可知，当
角.. GDF增大时，此两比值相等，于是行星向西运行会大于顺行所需要的量。
由这些想法还可以了解到，如果假设.. FC和.. CM (231)两弧段相等，第二
次留应在.. M点出现。画直线.. EMN。和.. 1/2BF∶FE一样，.. 1/2MN∶ME也=地球速
率∶行星速率。因此.. F与.. M两点都为留点，以它们为端点的整个弧.. FCM为
逆行段，而圆周其余部分为顺行的，还可以了解到，对无论任何距离处，
DC∶CE都不超过地球速率∶行星速率的比值，在任一条直线上所得比值都
不等于地球速率∶行星速率，于是在我们看来行星既非静止也不逆行。在
三角形.. DGE中，假定直线.. DC不短于.. EG，则角CEG：角.. CDG＜DC∶CE。但是
DC∶CE不超过地球速率∶行星速率的比值。因此角.. CEG∶CDG＜地球速率∶
行星速率。在这种情况出现时，行星向东运动，在行星轨道上任何弧段，
行星看起来都不会逆行。上述论证适用于在大圆之内的金星与水星。
对三颗外行星而言，可用同样方法和同样图形（只是符号改变）进行
论证。我们取.. ABC为地球大圆和我们的观测点的轨道。令行星位于.. E。行
星在其自身轨道上的运动慢于我们的观测点在大圆上的运动。在其他方
面，一切都可和前面一样进行论证。
第三十六章怎样测定逆行的时间、位置和弧段
第三十六章怎样测定逆行的时间、位置和弧段
我将以火星为例来论证这些命题。用火星也能阐明其他行星的逆行。
令大圆为.. ABC，我们的观测点在此大圆上。取行星位置为.. E点，从此点通
过大圆中心画直线.. ECDA。还画EFB和与之垂直的.. DG (232)。1/2BF=GF。 GF∶
EF=行星的瞬时速率∶观测点的速率。后一速率超过行星速率。
我们的任务是求.. FC=逆行弧段的一半，或.. ABF〔=180°-FC〕，其目的
为得出在行星静止不动时它与.. A的最大〔角〕距离以及角.. FEC的数量。由
此可以预测行星的这一现象出现的时间和位置。取行星位于偏心圆中拱点
附近，行星在此处的经度和近点角行度与均匀行度相差甚微。
对火星来说，当其平均行度=1 p8′7″=直线.. GF时，它的视差行度，即
我们的视线的运动为∶行星的平均行度=1 p=直线.. EF。于是整个.. EB=3 p16′
14″〔=2×1 p8′7″（=2 p16′14″）+1 p〕，而矩形BE×EF同样=3 p16′14″。但是我已求得〔V，19〕，在取.. DE=10，000 p时，半径.. DA=6580 p。
图.. 5—38
[早期版本∶
整个.. EA=16580〔=6580+10000〕，而〔在从.. EA=16580减去.. 2×DA=13160
时〕余量.. EC=3420。由.. AE×EC形成的矩形=56，703，600=由.. BE×EF形成
的矩形。但.. BE∶EF为已知比值，由此可求得矩形.. EB×EF[矩形.. AE×EC与
之相等，即为.. 56，703，600]与（EF）.. 2之比。因此在取.. DE=10000 p时，还
可得.. EF的长度=4164 p，和.. DF=6580 p，以及另一整条线EB=13618和余量.. GF
〔= 1/2（BF=13618-4164=9454）=4727 p]。在三角形DFG中，DF与.. FG两边已
知〔=6580，4727〕，而.. G为直角。于是可知角.. FDG=39°15′。在三角形
DEF中，各边已知〔DE=10000，DF=6580，EF=4164〕，两角FED=17°3′和
FDE=17°2′也已知。于是第一留点的近点角弧.. ABF=162°58′〔+17°2′
=180′〕。把此值与.. 2×FC〔=17°2′〕相加，即得从.. A量起的第二弧段
为.. 197°2′〔=162°58′+（2×17°2′=34°4′）〕。利用弧FG可以求
得，从第一留点至冲点.. C经历了多少时间。这段时间加倍，即为逆行的整
个时间。
上述情况出现在偏心圆的中间经度区。但是按对最大距离所作的计
算，约为.. 1°的行差使行星的异常行度与视线或视差近点角的异常行度之
比，即为线段.. GF：线段EF=1000：8917，并使〔（2×GF）+EF=〕整个BE∶
EF=28917∶8917。在取.. AD=6580 p时，已经求得 DE=10960 p〔V，19〕。因
此当.. DE=10000 p时，AD=6004 p〔6003，6〕。整个AE=〔=AD+DE=6004+10000〕
=16004。余量.. EC〔=DE-（DC=AD）=10000-6004〕=3996。内含的矩形〔AE×EC=16004×3996〕=63，951，984 (233)小于（EF）.. p，并与比值.. BE∶EF成
正比。于是在取DE=10000 p或.. DF=6004 p时，可得EF的长度=4441 p。因此又
一次在三角形.. DEF中各边已知，而角..]
一次在三角形.. DEF中各边已知，而角..]
然而，若取.. DE=60 p，则在此单位中.. AD=39 p29′p(234)。〔DE+AD=60 p+39p29′=〕整个AE∶EC=99 p29′∶20p31′〔=60 p-39p29′=DE-DC〕。由这些〔线
段.. AE×EC〕形成的矩形=2041 p4′(235)，已知它=BE×EF。比较的结果，我
指的是.. 2041 p4′除以3 p16′14″〔=以前对.. BE×EF所取数值〕的商值=624 p4
′(236)，而它的一边〔=平方根〕=24 p58′52″=以.. DE等于.. 60 p为单位的.. EF
数值。然而在取.. DE=10，000 p时，EF=4163 p5′(237)，而.. DF=6580 p。
因为三角形.. DEF各边已知，可得角.. DEF=27°15=行星逆行角，以及.. CDF=
视差近点角=16°50′。在第一次留时，行星出现在直线.. EF上，而在冲时
是在.. EC上面。如果行星根本没有向东运动，则弧.. CF=16°50′应当包含由
角.. AEF求出的逆行量.. 27°15′。然而按已知的行星速率：观测点速率比值，
与.. 16°50′的视差近点角相应的行星经度约为.. 19°6′39″。把此量从27°15′中减去，余数=8°8′为从第二留点至冲点的距离，并约为.. 36 1/2日。
在这段时间中行星经过的经度距离为.. 19°6′39″，因此整个.. 16°16〔=2
×8°8′〕的逆行在.. 73日〔=2×36 1/2日〕内完成。
上述分析是为偏心圆的中间经度进行的。
[早期版本∶
但是按照对最大距离所作的计算，由使均匀行度减少的行差可得行星
异常行度与视线异常行度或视差近点角之比，即为直线.. GF∶直线.. EF=46
46￠ ￠￠ ￠￠￠ ∶1 2 GF=4620 ￠￠ ）=1 3240 ￠ ￠￠ ，+ （1 +EF ）= 〕整
206 p 〔×（￠ pp
个.. BE∶EF=2 p32′40″∶1p，而由 BE×EF形成的矩形也=2 p32′40″。当
取.. DA=6580 〔Ⅴ，p19〕时，已经求得在高拱点的.. DE=10960 p。于是若取.. DE=60 p，
可得.. DA=36 p1′20″(238)。因此整个.. AE〔=DE+DA=60 p+36p1′20″〕=96 p1′20″。余量=23p58′40″。而.. AE×EC=2302 p23
〔从.. AE减去.. 2×DA的〕〔=EC〕..
′58″(239)。用.. 2 p32′40″〔=BE〕除此〔乘积〕，商数为.. 904 p51′12″
〔应为.. 52′23″〕。此数的一边〔平方根〕=30 p4′51″，这是在取DE=60
单位时直线.. EF的长度。但以.. DE=100， 000时，EF=50135 (240)，而在同样
单位中.. DF=60037。因此三角形.. DEF各边已知，下列两角也可知：行星逆行
的行度为角.. DEF=27°18′40″，以及视线的视差近点角.. EDF=22°9′ 50″。与此有关的是按远地点比值求得的异常黄经=17°19′3″，而均匀行
度=20°59′3″。估计在大约.. 40日内逆行量之半= 9°59′ 37″，而在
80日内整个逆行量=19°59′14″〔=2×9°59′37″〕。
我们对近地点可作同样理解。对它可得行星异常行度∶视线异常行度
的比值=1 p50′40″∶1p= GF∶FE。于是由.. BE×EF形成的矩形=4 p41′21″
〔2×（GF=1 p50′40″）=3 p41′20″，3 p41′20″+1p=4p41′20″〕。但
在取.. AD=6580 p〔V，19〕时，已经求得直线DE=9040 p〔V，19〕。于是，以..
DE=60p，在此单位中.. AD=43 p40′21″(241)，整个.. AE〔=AD+DE=43 p40′21″..
+60p〕=103 p40′21″，而余量CE〔=AE-2×AD=103 p40′21″-87p20′42″〕..
=16p19′39″。于是由.. AE×EC〔=103 p40′21″×16p19′39″〕形成的矩
形=1672 p42′52″〔应为.. 1692 p〕。把此值除以.. 4 p41′21″〔=BE×EF〕，
商为360 p59′ 1″，而在取 DE= 60 p时，此数的一边〔平方根〕=EF=18 p59′58″。但若取.. DE=100，.. 000p，则在此单位中.. EF=31665 (242)以及.. DF=72787 p。
于是三角形
DEF各边已知，下列各角可求得为：DEF=25°45′16″=行星的
逆行视差，而视线与冲时逆行中点的角距为
EDF=10°53′13″。然而在视
线通过弧
FC=10°53′13″的时间中，行星按其异常行度扫过
19°44′58″，但按其均匀行度为
16°17′21″，即在
31
1/2日内越过逆行量之半≌6°，而在大约
62
1/6日中整个逆行量达
12°1′]。
[印刷版本∶
对其他位置而言，计算程序是类似的。但我已指出〔靠近
V，36开始
处〕，应当采用的总为由位置确定的行星瞬时速度。
因此，如果我们把观测点放在行星位置上并置行星于观测点处，则与
金星及水星一样，相同的分析方法对土星、木星和火星都适用。自然，在
被地球所围住的轨道上出现的情况，与环绕地球的轨道情况相反。因此，
可以认为上述论证已能满足需要，所以我不须一次又一次地老调重弹。
然而，由于行星行度随视线而变，对留而言由此产生很大的困难和不
确定性。阿波罗尼斯的假设[Ⅴ，35]也不能使我们解脱困境。因此我不知
道，用简单方法对最近位置研究留是否会好一些。与此相似，可以由行星
与太阳平均运动线相接触来求行星的冲，也可用行星运动的已知数量确定
任一行星的合。我把这个问题留给每一位读者，他可以继续钻研，直至自
己感到满意为止。
第六卷引言
第六卷引言
第一章五颗行星的黄纬偏离的一般解释
第一章五颗行星的黄纬偏离的一般解释
轾
①，
实际上因为它们是等同的，大圆与黄道面永远结合在一起。在另一方面，[我
采用大圆是]因为行星轨道倾斜于这一[黄道]平面，而倾角不是固定的，它
的变化与地球大圆的运动以及在其上面的运转有联系(1)。
然而土星、木星和火星这三颗外行星在经度上的运动规律，与其他两
颗[的经度运动规律]不一样。与此相同，就黄纬运动而言，外行星的差异
也不小。因此古人首先研究它们的北黄纬极限的位置及其数量。对于土星
与木星，托勒密发现这些极限是在天秤宫起点附近，而对火星为在巨蟹宫
终点旁边，靠近偏心圆的远地点〔《大成》，Ⅷ，1〕。
然而，到了现代，我对土星求得其北限是在天蝎座内
7°处，木星为
天秤座内
27°，火星为狮子座内
27°。在从那时到现在的时期内，远地点
也同样移动了〔Ⅴ，7，12，16〕，这是因为倾角和黄纬基点跟随行星轨道
一齐运动。那时无论地球位于何处，在与这些极限相距一个归一化或视象
限处，〔这些行星〕在纬度上似乎绝对没有偏离。于是，在这些中经度区，
可以认为这些行星是在它们的轨道与黄道的交点处，与月球在其与黄道交
点处一样。托勒密[《大成》，Ⅷ，1]把这些相交处称为“交点”。从升交
点起，行星进入北天区；而在降交点，它跨入南天区。〔上述偏离的出现〕
不是由于地球大圆使这些行星有任何黄纬（地球大圆永远不变地位于黄道
面内）。与此相反，黄纬偏离完全来自交点，并在两交点的中间(2)位置达
到其峰值。当行星看来与太阳相冲并于午夜过中天时，行星在地球接近时
呈现的偏离比地球在其他任何位置时为大。在北天区为向北移动，而在南
天区向南。这种偏离比地球的进退运动所要求的大一些。此种情况使人认
识到，行星轨道的倾角不是固定的，而在与地球大圆运转相应的某种天平
动中飘移。本书稍后将对此加以阐述[Ⅵ，2]。
尽管金星和水星遵循一种与其中、高和低拱点有关的精确规律，它们
偏离的情况似乎不同。在它们的中经度区，即当太阳的平均运动线与它们
的高或低拱点相距一个象限时，亦即当行星本身于晨昏与同一条[太阳]平
均运动线的距离为行星轨道的一个象限时，古人发现行星与黄道无偏离。
古人由这一情况认识到，这些行星此时位于其轨道与黄道的交点处。因为
当行星距地球较远或较近时，此交点分别通过远地点和近地点，此时行星
呈现出明显的偏离。但是当行星距地球最远时，即在黄昏初现或晨没时（此
时金星看来最偏北，而水星最偏南），偏离为最大。
在另一方面，在一个距地球较近的位置上，当它们于黄昏沉没或于清
晨升起时，金星在南而水星在北。与此相反，当地球位于与此相对的位置
并在另一中拱点时，即当偏心圆的近点角=270°时，金星看来是在南面距
地球较远处，而水星在北面。在离地球较近的一个位置上，金星看起来在
北，而水星在南。
①此处英译本误为：[我]不〔采用大圆），是由于它与黄道面有所轩轾
但是当地球接近这些行星的远地点时，托勒密求得金星的黄纬早晨偏
北，而黄昏时偏南。水星的情况与此相反，它的黄纬为晨南夕北。在相反
的位置，即[当地球靠近这些行星的]近地点，这些方向都反转过来，于是
金星为晨星时在南边看见，而为昏星时在北；与此相反，早上水星在北，
而黄昏时在南。然而[当地球是]在[这些行星的远地点与近地点]这两个位
置上，古人发现金星的偏离是在北面比在南面大，而水星却是南大于北。
但是当地球接近这些行星的远地点时，托勒密求得金星的黄纬早晨偏
北，而黄昏时偏南。水星的情况与此相反，它的黄纬为晨南夕北。在相反
的位置，即[当地球靠近这些行星的]近地点，这些方向都反转过来，于是
金星为晨星时在南边看见，而为昏星时在北；与此相反，早上水星在北，
而黄昏时在南。然而[当地球是]在[这些行星的远地点与近地点]这两个位
置上，古人发现金星的偏离是在北面比在南面大，而水星却是南大于北。
”
①。第二种在高、低拱点出现，他们名之为“倾角”
②。最后一种与第二种有关，他们给它取名为“偏离”
③。对金星来说，它
总是偏北，而对水星是在南面。在[高拱点、低拱点和两个中拱点]这四个
极限之间，各种纬度相互混合，交替增减，并彼此退让。所有这些现象我
将在适当的场合进行描述。
①英文原词为“
declination”
②英文原词为“
obliquation”
③英文原词为“
deviation”。
第二章认为这些行星在黄纬上运动的圆周理论
第二章认为这些行星在黄纬上运动的圆周理论
为了说明这些情况，令
ABCD为在黄道面上以
E为心的大圆。令行星轨
