相等的偏离角，并暂时不考虑偏离，则在求得倾角纬度之前我们的论证较
为简易。
图
6—6
我们首先应当阐明，这个纬度的偏离角在偏心圆切点附近达到极大，
而经度行差的峰值也在此点出现。令黄道面与偏心圆（无论为金星或水星
的偏心圆）的平面相交于通过[行星的]远地点和近地点的直线。在此交线
上取
A为地球的位置，而
B为倾斜于黄道的偏心圆
CDEFG的中心。于是[在
偏心圆上]画出的与CG垂直的任何直线所成角度，都等于[偏心圆对黄道的]
倾角。画偏心圆的切线
AE，而
AFD为一条任意的割线。此外，从
D、E、F
各点向
CG作垂线
DH、EK、FL，并作
DM、EN和
FO与黄道水平面垂直。连
结
MH、NK和
OL，以及
AN与
AOM。AOM为一直线，因为它的三个点是在两
个平面（即黄道面和与之垂直的
ADM平面）上。于是，对所取倾角而言，
HAM与
KAN两角分别包含该两行星的经度行差，而它们的纬度偏离角由
DAM
和
EAN两角决定。
我首先要指出，最大的纬度角为在切点形成的
EAN，而此点的经度行
差也几乎为其极大值。角
EAK为最大的[经度角]。因此
KE∶EA＞HD∶DA
和
LF∶FA。但是
EK∶EN=HD∶DM=LF∶FO，因为，我已说过，[这些比率的
第二项]所张的角相等。此外，M、N和
O均为直角。由此可知，NE∶EA＞
MD∶DA及
OF∶FA。DMA、ENA与
FOA也都是直角。因此角
EAN大于
DAM以
及按这个方式形成的一切[其他]角。
于是由这一倾角所引起的经度行差的极大值，显然也出现在靠近
E点
的最大距角处。由于[在相似三角形中]角度相等，HD∶HM=KE∶KN=LF∶LO。
它们的差值[HD-HM，KE-KN，LF-LO]也具有相等的比值。因此差值
EK-KN
与
EA之比大于其他差值与
AD等边长之比。于是也清楚可知，最大经度行
差与极大纬度偏离之比等于偏心圆分段的经度行差与纬度偏离之比。KE与
EN的比值等于和
LF及
HD相似的一切边与和
FO及
DM相似的一切边之比
值。证讫。
第七章金星与水星这两颗行星的倾角数值
第七章金星与水星这两颗行星的倾角数值
南
5°，相反的方
向由其在轨道上的位置决定。在偏心圆的远地点和近地点，金星的偏离比
5°大或小都只差一个微不足道的量，而水星与
5°相差
1/2°左右。
图
6—7
和以前一样，令
ABC为黄道与偏心圆的交线。以
B为心画行星轨道，
它倾斜于黄道面的情况已[在前面]阐明。从地球中心画直线
AD，与[行星]
轨道相切于
D点。从
D向
CBE作垂线
DF，并向黄道的水平面作垂线
DG。连
结
BD、FG和
AG。在取
4直角=360°时，还对两颗行星都假设角
DAG，即上
述纬度差之半，=2
1/2°。对两颗行星需要求出的是平面的倾角，即角
DFG
的大小。
对金星而言，在取轨道半径=7193
p的单位中，已经求得出现在远地
点处的行星[与地球的]最大距离=10，208°，而在近地点的最小距离
=9792p[V，21—22：10，000±208]。此两数目的平均=10，000
p，即是我
为这一论证所采用的数值。托勒密考虑到计算的浩繁，希望尽可能地寻求
捷径[《大成》，Ⅷ，3，末尾]。在两个极端数值不会引起显著差异的场合，
最好采用平均值。
由此可知，AB∶BD=10，000
p∶7193p，而
ADB为直角。于是可得
AD边
的长度=6947
p。与此相似，BA∶AD=BD∶DF，并有
DF边长=4997
p(24)。再次
取角
DAG=2
1/2°，而
AGD为直角。于是在三角形[ADG]中，各角已知，在取
AD=6947p时，DG=303
p。于是[在三角形
DFG中]DF与
DG两边己知[=4997，303]，DGF为直角，倾角
DFG=3°29′。角
DAF超出
FAG的量为经度视差之
差。于是此差值应当可由[各该角的]已知数量推算出来。
在取
DG=303
p的单位中，已经求得斜边
AD=6947
p和
DF=4997
p，并有
(AD)2-(DG)2=(AG)2及
(FD)
2-(DG)2=(GF)2。于是可得边长
AG=6940p和
FG=4988p。在取
AG=10，000
p的单位中，FG=7187
p(25)，于是角
FAG=45°57′。用
AD=10，000
p的单位表示，DF=7193
p(26)，于是角
DAF≌46°。因此
在倾角为最大时，视差行差减少约
3′[=46°-45°57′]。然而在中拱点，
两圆之间的倾角显然为
2
1/2°。可是它在此处增加了几乎一整度[达
3°29
′]，这是由我提到过的第一天平运动增添的。
对水星可用同样方法论证。在取轨道半径=3573
p的单位中，轨道与地
球的最大距离=10，948
p，最小距离=9052
p，而此两值之平均=10，000
p[V，
27]。AB∶BD=10，000
p∶3573p。于是[在三角形
ABD中]可得第三边为
AD=9340p。AB∶AD=BD∶DF，因此
DF的长度=3337
p(27)。假定
DAG=纬度角=2
1/2
°。于是在取
DF=3337
p时，DG=407
p。因此在三角形
DFG中，该两边之比
已知，而
G为直角，可得角
DFG≌7°。此为水星轨道对黄道面的倾角。然
而已经求得在[与远地点和近地点的距离为]一个象限的中间经度区，倾角
=6°15′[Ⅵ，5]。因此，由第一天平运动增加了
45′[=7°-6°15′]。
与此相似，为了确定行差角及其差值，可以提到在
AD=9340
p和
DF=3337DF=3337时已知直线
DG=407
p。(AD)
2-(DG)2=(AG)2，以及(DF)
2-（DG）
2=(FG)2。于是可得长度
AG=9331
p和
FG=3314
p。由此可得
GAF=行差角=20°18′，而
DAF=20°56′。与倾角有关的
GAF比
DAF约小
8′。
图
6—8
对我们来说，剩下的问题是与轨道[距地球]的极大和极小距离有关的
倾角以及黄纬，是否与由观测得出的数值相符。为解决此问题，在同一图
形中的第一位置，对金星轨道[与地球]的最大距离处，再次假设
AB∶
BD=10，208
p∶7193p。因为
ADB为直角，在同样单位中
AD的长度=7238
p。
AB∶AD=BD∶DF。于是在该单位中
DF的长度=5102
p(28)。但已求得倾角
DFG=3°29′[在Ⅵ，7前面]。当取
AD=7283
p时，剩余的边
DG=309
p。于是在取
AD=10，000
p的单位中，DG=427
p(29)。由此可知，在[行量]与地球的最大距
离处，角
DAG=2°27′
(30)。然而，在[行星与地球的]最小距离处，用
BD=
轨道半径=7193
p的单位，则
AB=9792
p[10，000—208]。与
BD垂直的
AD=6644p。AB∶AD=BD∶DF。与此相似，在该单位中可知边长
DF=4883
p(31)。
但是已取角
DFG=3°29′。因此在取
AD=6644
p时，可知
DG=297
p。于是在
三角形[ADG]中，各边已知，可得角
DAG=2°34′。然而，无论
3′还是
4′[2°30′=3′+2°27′=2°34′-4′]，用星盘这样的仪器来测量都不够
大。因此，前面对金星所取的最大纬度离角值仍然有效。
用同样方法假定水星轨道[离地球]的最大距离与水星轨道半径之比为
AB∶BD=10，
948p∶3573p[V，27]。于是按与上面相似的论证，可得
AD=9452
p
和
DF=3085
p。但此处再次求得[水星轨道与黄道面的]倾角=7°，并且由于
这个缘故在取
DF=3085
p或
DA=9452
p时，直线
DG=376
p。于是在各边已知的
直角三角形
DAG中，可知角
DAG≌2°17′=最大纬度偏离角。
然而，在[轨道离地球的]最小距离处，可取
AB∶BD=9052
p∶3573p。于
是按此单位有
AD=8317
p及
DF=3283
p。然而，由于倾角相同[=7°]，在
AD=8317p时可取
DF∶DG=3283
p∶400p。因此角
DAG=2°45′。
在此也取和[水星轨道与地球距离的]平均值有关的纬度偏离角=
21/2°。在远地点为极小的纬度偏离角与此值相差
13′[=2°30′-2°17′]。然而在近地点达极大的纬度偏离角[与平均值]相差
15′[=2°45′-2°30′]。我在计算中不使用这些[远地点与近地点的]差值，而用在平均值
上下的
1/4°。这在观测中不会引起可以察觉的差异。
由于上述论证，并因为最大经度行差与最大纬度偏离角之比等于在轨
道其余部分的局部行差与几个纬度偏离角之比，我们可以求得由于金星和
水星轨道相互倾斜所引起的一切黄纬数量。但是我已说过[Ⅵ，5]，我们所
能得到的只是在远地点与近地点中间的黄纬。已经求得这些纬度的极大值
=21/2°[Ⅵ，6]，此时金星的最大行差=46°。而水星的最大行差≌22°[Ⅵ，
5∶45°57′，21°16′]。从它们的非均匀行度表[在Ⅴ，33后面]可以对
轨道的个别部分查出行差。考虑到每个行差值比最大值小多少，可以对每
颗行星取
2
1/2°的相应部分。我将在下面的表[见Ⅵ，8末尾]中列出这个部
分的数值。用此方法可以求得当地球位于这些行星的高、低拱点时每个倾
角纬度的精确数值。按相似方法，我记录了[当地球位于行星的远地点与近
地点之间]距离为一个象限处而[行星是]在中经度区时行星的赤纬。至于在
这四个临界点[高、低和两个中拱点]之间出现的情况，可以按所取坐标系
运用数学技巧推算出来，但计算甚为浩繁。然而托勒密在处理每一问题时
都力求简洁。他认为到[《大成》，Ⅷ，4，末尾]，就这两种纬度[赤纬和
倾角]本身而言，都与月球纬度相似。在整体上以及各部分成比例地增减。
因为它们的最大纬度=5°=1/12×60°，他把每一部分都乘以
12，并[把乘
积]作成比例分数。他认为这些比例分数不仅对该两行星，而且对三颗外行
星也可使用，解释见后[Ⅵ，9]。
第八章金星和水星的称为“偏离”的第三种黄纬
第八章金星和水星的称为“偏离”的第三种黄纬
1/6°，但水星为偏南.. 3/4°(32)。
可是古人是否认为圆周的这个倾角是固定不变的，这还不完全清楚。
他们认定总应取.. 1/6的比例分数为金星的偏离，而.. 3/4是水星的偏离[托勒
密，《大成》，Ⅷ，6]，这些数值表明了这一不变性。但这些分数值并不
属实，除非倾角永远不变，而这是以此角为依据的比例分数的分布所需要
的。进一步说，纵使倾角固定不变，仍然无法理解为什么行星的这一纬度
会突然从交点恢复它原来的数值。你会说这一恢复就像（在光学中）光线
的反射那样出现的。然而我们在这里讨论的运动并非瞬时的(33)，而按其本
质来说要求一个可以测定的(34)时刻。
图.. 6—9
因此应当承认，这些行星具有我已经阐明的天平动[Ⅵ，2]。这种运动
可使圆周的各部分[从一个纬度]变为反号的纬度。它也是它们的数值变化
（对水星而言为.. 1/5°）的一个重要结果。因此，如果按我的假设这个纬度
在变化，并非绝对常数，这不应令人感到惊异。然而它不会引起可以察觉
的不规则性，而这种不规则性在黄纬的各种变化中可以区分出来。
令水平面垂直于黄道。在[此两平面的]交线[AEBC]上，令.. A=地球中
心，而在距地球为最大或最小距离处令.. B=实际上通过倾斜轨道两极的圆周
CDF之中心。当轨道中心位于远地点或近地点，即在.. AB线上时，无论行星
是在与轨道平行的圆周上任何地方，它的偏离为最大。这个[与轨道]平行
的圆周的直径.. DF，与轨道的直径.. CBE相平行。此两[平行]圆周垂直于.. CDF
平面，并可取[DF和.. CBE]两直径为[与.. CDF的]交线。平分.. DF于.. G，此点为
[与轨道]平行的圆周之中心。连结.. BG、AG、AD与.. AF。和在金星最大偏离
时一样，取角.. BAG= 1/6°。于是在三角形.. ABG中，B为直角，可知两边之比
AB∶BG=10，000 p∶29p(35)。但在同样单位中整个 ABC=17，193 p[CB=CABA=
17，193 p-10，.. 000p=7，.. 193p，CE=2×7193 p=14，.. 386p]，而.. AE=[从.. AC=17，..
193p减去.. CE=14，386 p的]余量=2807 p。两倍.. CD或.. EF所对弦之半=BG。因
此角.. CAD=6′，而.. EAF≌15′。前者与BAG[=10′]相差仅.. 4′，后者为5′。
这些数量很小，因此一般可以忽略。于是当地球位于远地点或近地点时，
无论行星是在它的轨道上哪一部分，金星的视偏离度都只比.. 10′略大或略
小。
然而对水星而言，我们取角.. BAG= 3/4°AB∶BG=10，000 p∶131p(36)，
ABC=13，573 p，而余量AE=6427 p[=AB-BE=10，000 p-3573p]。于是角CAD=33′，而.. EAF≌70′。因此前者短少.. 12′[=45′-33′]，而后者多余.. 25′[=70′-45′]。然而在我们能够看见水星之前，这些差值实际上都被太阳的光
芒淹没了。因此古人只研究过水星可察觉的偏差，而它似乎是固定不变的。
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然而，如果有人不畏辛苦想对为太阳所淹没的偏离取得可靠的认识，
我在下面阐述如何做到这一点。
图
6—10
我取水星为例，因为它的偏差大于金星。令直线
AB是在行星轨道与黄
道的交线上。令地球位于
A，即行星轨道的远地点或近地点。和我对倾角
的做法一样[Ⅵ，7]，取直线
AB=10，000
p，此为在极大值与极小值之间没
有任何变化的长度。以
C为心画圆
DEF，此圆在距离
CB处与偏心轨道相平
