AGF角约为
69°23
1/2′。它的对顶角与此相等。在一切其他
情况下，我们都将沿用这个例子。
图
2—2
然而我们不应忽视这一事实，即在黄道与回归线相切的点，子午圈与
黄道正交。这是因为，我已经谈过，在那些时候子午圈通过黄道的两极(16)。
但是在两分点，子午圈与黄道的交角小于直角，并随黄赤交角偏离直角愈
多，上述交角比起直角就愈小，因此现在子午圈与黄道的交角为
66°32′。还应提到，从两分点或两至点量起的在黄道上的相等弧长，与两个三
角形的相等角或相等边同时出现。画赤道弧
ABC，黄道弧
DBE，二者相交于
B。令它为一个分点。取
FB和
BG为相等弧。通过周日旋转极点
K和
H画两
条象限
KFL和
HGM
(17)。于是有
FLB和
BMG两个三角形。它们的边
BF和
BG
相等，在
B点有对顶角，而在
L和
M有直角。因此，按球面三角形的定理
六，这两个三角形的对应边与角都相等。于是赤纬
FL和
MG以及赤经
LB
和
BM都各自相等，并且角
F等于角
G。
图
2—3
当相等弧是从一个至点量起时，情况可用相同方法说明。令
AB和
BC
为在
B点两侧的相等弧，而
B为回归线与黄道的相切点。从赤道的极点
D
画象限
DA和
DC
(18)，并连接
DB。同样可得两个三角形
ABD和
DBC。它们的
边
AB和
BC相等，BD是共有边，而在
B点有两个直角。用球面三角形的定
理八，可以证明这两个三角形的相应边与角均相等。于是显然可知，如果
对黄道上一条象限造出这些角与弧的表，它们对整个圆周其他的象限均适
用。
在下面对表的说明中，我要举出一个关于这些关系的例子。第一栏所
载为黄道度数，第二栏为与这些度数相应的赤纬，而第三栏为在黄道倾角
极大时出现的赤纬超过这些局部的赤纬的分数；最大差值为
24′。我对赤
经与子午圈角度表也同样编制。当黄道倾角改变时，与它有关的一切都应
当变化。但是赤经的变化非常小，因为它不超过一个“时间”的
1/10，而在
一小时的过程中只有它的
1/150。古代人用“时间”这个词来表示与黄道分
度一道升起的赤道分度。我已经多次说过[例如见Ⅰ，12]，这两个圆都有
360单位。然而为了区分它们，许多人都把黄道的单位称为“度”，而赤
道的单位为“时间”。这也是我在下面要采用的名称。我已经说过，这种
变化小到完全可以忽略，但我还是要把它也加进去(19)。从这些变化显然可
以对黄道的任何其他倾角得到同样结果(20)但要假定对每一栏可用相应的
分数，而这与黄道最大倾角与最小倾角之差成(，) 正比。举例来说，取倾角为
23°34′，如果我想知道黄道上从一个分点量起的
30°的赤纬有多大，就
可从表一查到
11°29′，差值为
11′。当黄道倾角为极大时，应当加上这
个差值。我已经说过，黄道倾角极大值曾达
23°52′。但是在目前的例子
中可取为
23°34′，这比极小值大
6′。这
6′是最大倾角超过最小倾角
的
24′的四分之一。按同样比值可得
11′的部分约为
3′。对
11°29′加
上这个
3′，便得从至点量起黄道为
30°时的赤纬为
11°32′。对子午圈
角和赤经，可用同样办法，只是对后者随时应加上差值，而对前者应减去
差值，这样才能对一切与时间有关的数量得到更精确的结果。
黄道度数的赤纬表黄道度数的赤纬表
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
度度分分度度分分度度分分
1 0 24 0 31 11 11 11 61 20 23 20
2 0 48 1 32 12 12 12 62 20 35 21
3 1 12 1 33 12 12 12 63 20 47 21
4 1 36 2 34 12 13 13 64 20 58 21
5 2 0 2 35 13 13 13 65 21 9 21
6 2 23 2 36 13 14 14 66 21 20 22
7 2 47 3 37 13 14 14 67 21 30 22
8 3 11 3 38 14 14 14 68 21 40 22
9 3 35 4 39 14 14 14 69 21 49 22
10 3 58 4 40 14 14 14 70 21 58 22
11 4 22 4 41 15 15 15 71 22 7 22
12 4 45 4 42 15 15 15 72 22 15 23
13 5 9 5 43 15 16 16 73 22 23 23
14 5 32 5 44 16 16 16 74 22 30 23
15 5 55 5 45 16 16 16 75 22 37 23
16 6 19 6 46 16 17 17 76 22 44 23
17 6 41 6 47 16 17 17 77 22 50 23
18 7 4 7 48 17 17 17 78 22 55 23
19 7 27 7 49 17 18 18 79 23 1 24
20 7 49 8 50 17 18 18 80 23 5 24
21 8 12 8 51 18 18 18 81 23 10 24
22 8 34 8 52 18 18 18 82 23 13 24
23 8 57 9 53 18 19 19 83 23 17 24
24 9 19 9 54 18 19 19 84 23 20 24
25 9 41 9 55 19 19 19 85 23 22 24
26 10 3 10 56 19 19 19 86 23 24 24
27 10 25 10 57 19 20 20 87 23 26 24
28 10 46 10 58 19 20 20 88 23 27 24
29 11 8 10 59 19 20 20 89 23 28 24
30 11 29 11 60 20 20 20 90 23 28 24
赤赤
黄
道
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
度度分分度度分分度度分分
1 0 55 0 31 28 54 4 61 58 51 4
2 1 50 0 32 29 51 4 62 59 54 4
3 2 45 0 33 30 50 4 63 60 57 4
4 3 40 0 34 31 46 4 64 62 0 4
5 4 35 0 35 32 45 4 65 63 3 4
6 5 30 0 36 33 43 5 66 64 6 3
7 6 25 1 37 34 41 5 67 65 9 3
8 7 20 1 38 35 40 5 68 66 13 3
9 8 15 1 39 36 38 5 69 67 17 3
10 9 11 1 40 37 37 5 70 68 21 3
11 10 6 1 41 38 36 5 71 69 25 3
12 11 0 2 42 39 35 5 72 70 29 3
13 11 57 2 43 40 34 5 73 71 33 3
14 12 52 2 44 41 33 6 74 72 38 2
15 13 48 2 45 42 32 6 75 73 43 2
16 14 43 2 46 43 31 6 76 74 47 2
17 15 39 2 47 44 32 5 77 75 52 2
18 16 34 3 48 45 32 5 78 76 57 2
19 17 31 3 49 46 32 5 79 78 2 2
20 18 27 3 50 47 33 5 80 79 7 2
21 19 23 3 51 48 34 5 81 80 12 2
22 20 19 3 52 49 35 5 82 81 17 1
23 21 15 3 53 50 36 5 83 82 22 1
24 22 10 4 54 51 37 5 84 83 27 1
25 23 9 4 55 52 38 6 85 84 33 1
26 24 6 4 56 53 41 6 86 85 38 1
27 25 3 4 57 54 43 6 87 86 43 0
28 26 0 4 58 55 45 6 88 87 48 0
29 26 57 4 59 56 46 6 89 88 54 0
30 27 54 4 60 57 48 6 90 90 0 0
赤赤
黄
道
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
黄
道
赤纬
差
值
度度分分度度分分度度分分
1 66 32 24 31 69 35 21 61 78 7 12
2 66 33 24 32 69 48 21 62 78 29 12
3 66 34 24 33 70 0 20 63 78 51 11
4 66 35 24 34 70 13 20 64 79 14 11
5 66 37 24 35 70 26 20 65 79 36 11
6 66 39 24 36 70 39 20 66 79 59 10
7 66 42 24 37 70 53 201 67 80 22 10
8 66 44 24 38 71 7 9 68 80 45 10
9 66 47 24 39 71 22 19 69 81 9 .9
10 66 51 24 40 71 36 19 70 81 33 9
11 66 55 24 41 71 52 19 71 81 58 8
12 66 59 24 42 71 8 18 72 82 22 8
13 67 4 23 43 72 24 18 73 82 46 7
14 67 10 23 44 72 39 18 74 83 11 7
15 67 15 23 45 72 55 17 75 83 35 6
16 67 21 23 46 72 11 17 76 84 0 6
17 67 27 23 47 73 28 17 77 84 25 6
18 67 34 23 48 73 47 17 78 84 50 5
19 67 41 23 49 73 6 16 79 85 15 5
20 67 49 23 50 74 24 16 80 85 40 4
21 67 56 23 51 74 42 16 81 86 5 4
22 68 4 22 52 75 1 15 82 86 30 3
23 68 13 22 53 75 21 15 83 86 55 3
24 68 22 22 54 75 40 15 84 87 19 3
25 68 32 22 55 76 1 14 85 87 53 2
26 68 41 22 56 76 21 14 86 88 17 2
27 68 51 22 57 76 42 14 87 88 41 1
28 69 2 21 58 77 3 13 88 89 6 1
29 69 13 21 59 77 24 13 89 89 33 0
30 69 24 21 60 77 45 13 90 90 0 0
第四章对黄道外任一天体，若黄经、黄纬已知，
测定其赤经、赤纬和过中天时黄道度数的方法
第四章对黄道外任一天体，若黄经、黄纬已知，
测定其赤经、赤纬和过中天时黄道度数的方法
通过赤道和黄道的极点画圆周
ABCD。令
AEC为以
F为极的赤道半圆，
BED为以
G为极的黄道半圆，后者与赤道相交于
E点。从极点
G画通过一
颗恒星的圆弧
GHKL。令恒星位置已知在
H点，通过此点从周日旋转的极点
画象限
FHMN。于是显然可知，在
H的恒星与
M和
N两点一齐通过子午圈。
HMN弧是恒星从赤道算起的赤纬，而
EN为恒星在球面上的赤经。这些即是
我们所求的坐标。
图
2—4
在三角形
KEL中，边
KE和角
KEL已知，而角
EKL为直角。因此，按球
面三角形的定理四，KL和
EL两边以及角
KLE均可知。于是整个
HKL弧可
知。在三角形
HLN中，角
HLN已知，LNH为直角，边
HL也可知。则按球面
三角形的同一定理四，余下的边
HN（即恒星的赤纬）和
LN均可知。从
EL
减去
LN，余量为
NE。这是赤经，即天球从分点向恒星所转过的弧长。
另外一种办法是，从上述关系中取黄道的弧
KE作为
LE的赤经。这时
LE可从赤经表查出。LK是与
LE相应的赤纬。角
KLE由子午圈角度表给出。
已经证明，从这些量可以定出其余的量。于是，从赤经
EN可得
EM，即是
在恒星与
M点一同过中天时的黄道度数。
第五章地平圈的交点
第五章地平圈的交点
①把一切由周日旋转而形成的纬圈等分；
它自然通过纬圈的极。而在这些情况下我在讨论子午圈时〔Ⅰ，1，3〕所
解释过的现象就出现了。但是我们现在所说的白昼是从日出到日没，而不
是照一般人所理解的是从曙光出现到夜幕降临，即是从黎明到华灯初上。
后面在讨论黄道十二宫的出没时〔Ⅱ，13〕，我还要结合谈到这一问题。
在另一方面，在地轴垂直于地平圈的地方，就没有天体出没。此时每
个天体都转出一个永远可见或永远隐而不现的圆圈。像绕太阳周年运转那
样的运动，却会产生例外情况。这种运动的结果是白昼持续存在六个月，
而其余时间是黑夜。此外，在那种情况下赤道与地平圈重合，因此除冬夏
之差外也不会有其他差别。
然而对斜球来说，一些天体时出时没，而另一些永远可见或永远隐而
不现。同时，昼夜不等长。在这些情况下，倾斜的地平圈与两条纬圈相切，
纬圈的角度视地平圈的倾角而定。在这两条纬圈中，靠近可见天极的一条
是永远可见天体的界限；而另一条纬圈，即靠近不可见天极的纬圈，是永
远隐而不现的天体的界限。因此，把这两个极限之间的一切纬圈都延长，
就会发现地平圈把它们分为不相等的弧段。赤道是一个例外，因为它是最
大的纬圈，而大圆彼此等分。于是在北半球，倾斜的地平圈把纬圈切割成
两段圆弧，其中靠近可见天极的一段长于靠近不可见的南极的一段。对南
半球来说，情况相反。太阳在这些弧段上的周日视运动，产生了昼夜不等
长的现象。
①原文为地平圈，有误。
第六章正午日影的差异
第六章正午日影的差异
双影人的正午日影落在两侧。这些人居住在两条回归线之间，古代人
把这个区域称为中间区。在整个这一区域，每天有两次黄道正从头顶上通
过。欧几里得的《现象篇》的定理二
(21)证明了这一点。因此在同一区域，
日昝的影子两次消失，而当太阳移向这一边或那一边时，日昝之影有时投
向南面，有时投向北面。
我们是地球上其余的居民，居住在双影人和环影人之间。我们是异影
人，因为我们把自己在中午的影子只投向一个方向，即是北方。
古代数学家习惯于用通过不同地方的一些纬圈(22)把地球分为
7个地
区。举例来说，这些地方是梅罗（Meroe）、赛恩（Syene）、亚历山大
（Alexandria）、罗得斯（Rhodes）岛、赫列斯彭特（Hellespont）海峡
①、
黑海中央、第聂伯（Dnieper）河、君士坦丁堡（Constantinople）等。选
择这些纬圈的根据是以下
3点：一年中在一些特定地点最长白昼的长度之
差及其增加量；在两分日和两至日的正午用日昝观测到的日影长度；还有
天极的高度或每一地区的宽度。这些数量部分地随时间变化，现在与以前
已经并非完全一样了。正如我谈到过的〔Ⅱ，2〕，原因就是黄道倾角可以
改变，而以前的天文学家忽略了这一点。或者，说得更确切些，原因在于
赤道对黄道面的倾角可变。那些数量与这个倾角有关。但是天极的高度或
所在地的纬度(23)，以及在二分日日影的长度，都与古代观测记录相符。情
况应当是这样，因为赤道由地球的极而定。因此日影和白昼的任何非永久
性性质都不会以足够的精度使那些地区结合在一起。从另一方面说来，用
与赤道的距离可以更精密地确定各地区的界限，而与赤道的距离是永远不
变的。但是回归线的变化，尽管非常小，却能使南方各地的白昼和日影产
生微小的差异，而对向北走的人来说，这种差异变得更容易察觉。
图
2-5
谈到日昝的影子，则对太阳的任何高度显然可以得出影子的长度，反
过来也是这样。于是今日昝
AB的投影为
BC。因为竿子垂直于地平面，按
与平面垂直的直线的定义，ABC总是直角。连接
AC，便得直角三角形
ABC，
而对一个已知的太阳高度，角
ACB可求知。按平面三角形的定理一，竿子
AB与其影子
BC之比可知，BC的长度也可知。反过来说，在
AB和
BC已知
