①达达尼尔（
Dardanelles）海峡的古名。
时，按平面三角形的定理三，角
ACB即测投影时太阳的高度也可求得。用
这样的方法，古人在他们对地球上那些地区的描述中，不仅在二分日，还
在二至日对每一地区确定了日影的长度。
第七章如何相互推求最长的白昼、
第七章如何相互推求最长的白昼、
角；白昼之间的余差
我在下面要对天球或地平圈的任何倾角，同时说明最长和最短的白昼
以及各次日出的间距，还有白昼间的余差。日出之间的间距是在冬、夏二
至点的日出在地平圈上所截出的弧长，或者这两次日出与分点日出之间的
距离。
图
2-6
令
ABCD为子午圈。在东半球，令
BED为地平圈的半圆，AEC为赤道的
半圆。令赤道的北极为
F。假定在夏至日日出是在
G点。画大圆弧
FGH。因
为地球绕赤道的极点
F旋转，G和
H两点应当一齐到达子午圈
ABCD。这两
点的纬圈是绕相同的两极画出的，于是通过这些极点的一切大圆都在那些
纬圈上截出相似的圆弧。因此从
G点升起到正午的时间等于弧
AEH的长度，
而地平圈下面半圆的剩余部分
CH的长度等于从午夜到日出的时间。AEC是
一个半圆，而
AE和
EC都是从
ABCD的极点画出的象限。所以
EH是最长白
昼与分日白昼之差的一半，而
EG为分日与至日日出的间距。因此在三角形
EGH中，球的倾角
GEH可由弧
AB求得。角
GHE为直角。边
GH为夏至点与
赤道的距离，也可知。因此，按球面三角形的定理四，还可求得其他的边，
即分日白昼与最长白昼之差的一半
EH以及日出之间的间距
GE。进一步说，
如果除边
GH外，边
EH（最长白昼与分日白昼之差的一半）
(24)或
EG已知，
则球的倾角
E可知，因此极点在地平圈上的高度
FD也可知。
图
2—6
其次，假设黄道上的
G不是一个至点，而是其他任何点。然而
EG和
EH两弧均已知。从前面列出的赤纬表，可以查出与该黄道度数相应的赤纬
弧
GH，而用同样的证明方法可得其他一切数量。于是还可知，在黄道上与
至点等距的两个分度点在地平圈上截出与分点日出等距并在同一方向上的
圆弧。它们也使昼夜等长。这种情况的出现是由于黄道上的这两个刻度点
都在同一纬圈上，它们的赤纬相等并在同一方向上。然而，如果从与赤道
的交点往两个方向上取出相等的圆弧，日出处之间的距离仍然相等，但方
向相反，而按相反次序昼夜是等长的。这是因为它们在两边扫出纬圈上的
相等弧长，正如黄道上与一个分点等距的两点从赤道算起的赤纬是相等
的。
图
2-7
现在在同一图形中画两条纬圈弧。令它们为
GM和
KN。它们与地平圈
BED相交于
G和
K两点。从南极点
L也画一条大圆象限
LKO。于是赤纬
HG
等于
KO。在
DFG和
BLK两个三角形中有两边各等于两相应边：FG等于
LK，
而极点的高度
FD等于
LB。B和
D都是直角。因此第三边
DG等于第三边
BK。
它们的剩余部分
GE和
EK（即日出点之间的距离）也相等。于是此外的
EG
和
GH两边也等于
EK和
KO两边。在
E点的对顶角相等。于是其余的边
EH
和
EO相等。用这些相等量加上相等量，得到的和为整段圆弧
OEC等于整段
圆弧
AEH。但因为通过极点的大圆在球面的平行圆周上截出相似圆弧，GM
和
KN相似和相等。证讫。
图
2-8
然而，这一切都可用另一种方法说明。同样画子午圈
ABCD。令它的中
心为
E。令赤道与子午圈截面的直径为
AEC。令子午面上地平圈的直径为
BED，球的轴线为
LEM，可见天极为
L，隐而不见的天极为
M。假设夏至点
的距离或任何其他赤纬为
AF。在这个赤纬处画纬圈，其直径为
FG，纬圈与
子午面的交线也是
FG。FG与轴线相交于
K，与子午线相交于
N。按蒲西多
尼奥斯的定义(25)，平行线既不会聚也不发散，但可使它们的垂直线处处相
等。因此直线
KE等于两倍
AF弧所对的半弦。与此相似，对于半径为
FK
的纬圈来说，KN是表示分点日与昼夜不等长日之差的圆弧所对的半弦。理
由是以这些线为交线，即是以这些线为直径的一切半圆（即倾斜地平圈
BED、正地平圈
LEM、赤道
AEC和纬圈
FKG）都垂直于圆周
ABCD的平面。按
欧几里得《几何原本》，Ⅺ，19，这些半圆的相互交线在
E、K、N各点都
垂直于同一平面。按同书定理
6，这些垂线相互平行。K为纬圈的中心，而
E为球心。因此
EN为代表纬圈上日出点与分日日出点之差的地平圈弧的两
倍所对的半弦。赤纬
AF和象限的剩余部分
FL均已知。于是两倍
AF和
FL
弧所对半弦
KE和
FK可以
AE为
100，000的单位得出。但是在直角三角形
EKN中，角
KEN可由极点的高度
DL得知；而余角
KNE等于角
AEB，因为作
为斜球上的纬圈，它们与地平圈的倾角相等。因此各边均可以球半径为
100，000的相同单位得出。KN也可以纬圈半径
FK为
100，000的单位得出。
作为分日与相应于纬圈之日的整个差值所对的半弦，KN可以纬圈圆周为
360的单位同样得出。于是
FK与
KN之比显然包含两个比值，这就是两倍
FL和两倍
AF所对弦之比（即
FK∶KE）以及两倍
AB和两倍
DL所对弦之比。
后一比值等于
EK∶KN，此外
EK自然为
FK与
KN的比例中项。与此相似，
BE与
EN的比值也可由
BE∶EK和
KE∶EN两个比值求得。托勒密用球面弧
段对此作了详细说明〔《大成》，Ⅰ，13〕。我相信，昼夜之差可用这个
方法求得。但是对月球或任何恒星，如果纬度也已知，它们在地平圈上面
由周日旋转所扫出的纬圈弧段可以和地平圈下面的弧段区分开来。从这些
弧段容易得知它们的出没(26)。
斜球经度差值表斜球经度差值表
纬
天极高度
31
32
33
34
35
36
度度分度分度分度分度分度分
1
36
37
39
40
42
44
2
1
12
1
15
1
18
1
21
1
24
1
27
3
1
48
1
53
1
57
2
2
2
6
2
11
4
2
24
2
30
2
36
2
42
2
48
2
55
5
3
1
3
8
3
15
3
23
3
31
3
39
6
3
37
3
46
3
55
4
4
4
13
4
23
7
4
14
4
24
4
34
4
45
4
56
5
7
8
4
51
5
2
5
14
5
26
5
39
5
52
9
5
28
5
41
5
54
6
8
6
22
6
36
10
6
5
6
20
6
35
6
50
7
6
7
22
11
6
42
6
59
7
15
7
32
7
49
8
7
12
7
20
7
38
7
56
8
15
8
34
8
53
13
7
58
8
18
8
37
8
58
9
18
9
39
14
8
37
8
58
9
19
9
41
10
3
10
26
15
9
16
