ABC各边已知。求各角。三角形的边可以相等或不相等，先
令
AB等于
AC。与两倍
AB和
AC相对的半弦显然也相等。令这些半弦为
BE
和
CE。它们会相交于
E点，这是因为它们与位于
DE（它们的圆的交线）上
的球心是等距的。这从欧氏著作，Ⅲ，定义
4及其逆定义中明显可知。但
按欧氏著作，Ⅲ，3，角
DEB是平面
ABD上的一个直角，DEC也是平面
ACD
上的一个直角。因此，按欧氏著作，Ⅺ，定义
4，角
BEC是这两个平面的
交角。角
BEC可按下列方法求得。它与直线
BC相对。于是有平面三角形
BEC·它的边可由已知的弧求得。BEC的各角也可知，于是由前述可得所求
的角
BEC（即球面角
BAC）及其他两角。
图
1—27
但是如第二图所示，三角形可能是不等边的。显然，与两倍边相对的
半弦不会相交。令弧
AC大于
AB，并令
CF为与两倍
AC相对的半弦。于是
CF从下面通过。但如果弧
AC小于
AB，半弦会高一些。这按欧氏著作，Ⅲ，
15，视这些线距中心较近抑或较远而定。画
FG使之平行于
BE。令
FG与圆
的交线
BD相交于
G点。连接
CG。于是角
EFG显然为直角，它当然等于角
AEB。因为
CF是两倍
AC所对的半弦，角
EFC也是直角。于是角
CFG为
AB
和
AC两圆的交角。因此角
CFG也可得出。由于三角形
DFG与三角形
DEB
为相似三角形，DF比
FG等于
DE比
EB。因此
FG单位与
FC相同。但
DG与
DB也有同一比值。取
DC为
100，000，DG也可用同样单位表出。此外，角
GDC可从弧
BC求得。因此，按关于平面三角形的定理二，边
GC可用与平
面三角形
GFC其余各边相同的单位表示。按平面三角形的最后一条定理，
可得角
GFC，此即所求球面角
BAC，然后按球面三角形的定理十一可以求得
其余的角。
十四十四
如果将一段圆弧任意地分割为两段短于半圆的弧①，若两段弧的两倍所
对半弦之比已知，则可求每段弧长。
令
ABC为已知圆弧，D为圆心。令
ABC被
B点分割成任意两段，但须
使它们都短于半圆。令两倍
AB与两倍
BC所对半弦之比可用某一长度单位
表出。我要说明弧
AB和
BC都可求。
图
1—28
画直线
AC，它与直径相交于
E点。从端点
A和
C向直径作垂线。令这
些垂线为
AF和
CG，它们应为两倍
AB和
BC所对的半弦。于是在直角三角
形
AEF和
CEG中，在
E的对顶角相等。因此两三角形的对应角都相等。作
为相似三角形，它们的与相等角所对的边成比例：AF比
CG等于
AE比
EC。
于是
AE和
EC可用与
AF或
GC相等的单位表出。由
AE和
EC可得用相同单
位表示的整个
AEC。但是作为弧
ABC所对弦的
AEC，可用表示半径
DEB的单
位求得。还可用同样单位求得
AK（AC的一半）以及剩余部分
EK。连接
DA
和
DK，它们可以用与
DB相同的单位求出。DK是从半圆减去
ABC后余下的
弧所对弦长的一半。余下的这段弧包含在
DAK角内。因此可得
ADK为包含
一半
ABC弧的角。但是在三角形
EDK中，因为两边已知，而角
EKD为直角，
角
EDK也可求得。于是可得整个
EDA角。它包含弧
AB，由此还可求得剩余
部分
CB。这即是我们所要证明的。
十五(177)
如果三角形所有的角都已知，即使它们都非直角，各边仍均可求。
图
1—29
令三角形为
ABC，其各角均已知，但都不是直角。求各边。从任一角，
例如
A，通过
BC的两极画弧线
AD。它与
BC正交。除非
B、C两底角中一为
钝角，另一为锐角，否则
AD将落到三角形之内。要是情况如此，就须从钝
角作底边的垂线。完成象限
BAF、CAG和
DAE。以
B和
C为极作弧
EF和
EG。
因此角
F和角
G也是直角。于是在两个直角三角形中，两倍
AE和
EF所对
半弦之比等于球的半径与两倍
EAF角所对半径之比。与此相似，在三角形
AEG中，G为直角，两倍
AE和
EG所对半弦之比等于球的半径与两倍
EAG
角所对半弦之比。因为这些比值相等，两倍
EF和
EG所对半弦之比等于两
倍
EAF角和
EAG角所对半弦之比。作为从直角减掉
B和
C角的余量，FE和
EG是已知的弧。于是从
FE和
EG可得角
EAF与角
EAG两角之比，这即是它
们的对顶角
BAD与
CAD之比。但整个
BAC角已知。因此按上述定理，BAD
和
CAD两角可求。于是按定理五，可得
AB、BD、AC、CD各边以及整个
BC
边。
就满足我们目标的需要来说，为三角形所作偏离主题的讨论至此已足
够了。如果作更加充分的讨论，就需要有一部专著(178)。
①英译本原文为两段弧之和小于半圆，有误，现据俄文本改正。
第二卷引言
第二卷引言
(1)。对于昼夜的不等长以及太阳和黄道十二宫的出没（这些都是这种运转
的效果），我只想谈很少一点看法，这主要是因为关于这些课题许多人已
经做了充分论述，并与我的观点协调一致。虽然他们的解释以地球不动和
宇宙旋转为基础，而我持相反的论点(2)并同样能说明这些现象，实际上二
者并无差异。情况就是这样，相互有关联的现象显示出一种正反两面都成
立的一致性。可是我不会忽略任何重要的事情(3)。如果我仍然单纯地谈到
太阳和恒星的出没以及类似现象，但愿谁也不要感到惊奇。与此相反，应
当承认我用的是每个人都能接受的常用词汇，然而我随时牢记在心(4)①。
大地载我辈，
日月经天回。
星辰消逝后，
终将再返归。..
①原诗为两句，现改译为四句。
第一章圆圈及其名称
第一章圆圈及其名称
接着要谈到的是所谓的“水平圈”。罗马人称之为“分界线”，因为
它把宇宙划分为我们看得见的和隐而不见的两部分(5)。一切上升的天体似
乎都在地平圈上升起，而一切下落的天体似乎都在地平圈上沉没。它的中
心是在地面上，而极点在我们的天顶。但是天穹比地球大得无可比拟。照
我的看法，甚至日月之间的整个空间也不能和浩瀚的天穹相提并论。正如
我在前面说明过的[Ⅰ，6]，地平圈就像一个通过字宙中心的圆面，把天穹
划分为两等分。但是地平圈与赤道斜交。于是在赤道两边，地平圈也与一
对纬圈相切。在北边，这是一年到头都可以看见的星星的边界圆圈，而在
南边是永远隐而不见的星星的边界圆圈。普罗克拉斯(Proclus)
①和大多数
希腊人把前者称为“北极圈”
(6)。而后者为“南极圈”
(6)。这两个圆圈随
地平圈的倾角或北极星的高度而变大或缩小。
剩下的是穿过地平圈的两极，也穿过赤道两极的子午圈。因此子午圈
同时垂直于这两个圆圈。当太阳到达子午圈时，它指示出正午或午夜。这
两个圆圈（我指的是地平圈和子午圈）的中心都在地面上。他们完全由地
球的运动和我们（无论在何处）的视线而定。在任一地点，眼睛都是在各
方向可见天球的中心。因此，正如埃拉托西尼(Eratosthenes)
②、蒲西多尼
奥斯（Posidonius）以及其他宇宙结构与地球形状研究者已经明确证明过
的，假定在地球上的一切圆圈也是它们在天穹中的对应体以及类似圆圈的
基础(7)。这些圆圈也有专门的名称，而其他的可以用无穷无尽的方式来命
名。
①古希腊哲学家（
410？—485）。
②公元前三世纪的希腊天文学家和地理学家。
第二章黄道倾角、回归线间的距离
以及这些量的测定法
第二章黄道倾角、回归线间的距离
以及这些量的测定法
(8)。把它分成
90个相等的度。然后再把一度分为
60分，或一度所
能容纳的任何分度。在中心安装一个精密加工的圆柱形栓子。栓子垂直于
矩尺表面，并略为突出，约达一个手指头的宽度。
在这件仪器已经这样制成后，它可装在地板上用于测量子午线。地板
应当用水准器尽可能精确地校准，使之位于水平面上而不致在任何方向上
倾斜。在这个地板上画一个圆圈，并在圆心竖一根指针。在上午任一时刻
观察指针的影子落在圆周的什么地方，我们在这一点作记号。下午作类似
观测，并平分已作记号的两点之间的圆弧。用这个方法由圆心通过平分点
画的直线，肯定能为我们毫无差错地指示出南北方向。
以这条线为基线，把仪器的平面垂直竖立起来，并使它的中心指向南
方。从中心悬挂的铅垂线与子午线正交。这一操作的结果自然是仪器表面
包含子午线。
因此，在夏至和冬至这两天，应当在正午用那根栓子或圆柱体观测投
射在中心的日影。要设法用上面谈到过的象限弧更有把握地确定影子的位
置。我们需要尽可能精确地记下影子中包的度数和分数(9)。如果我们这样
做，从夏季和冬季两个影子的记录求得的弧长，就可以给出回归线之间的
距离以及黄道的整个倾角。取这个角度的一半，便得回归线与赤道的距离，
与此同时黄赤交角的大小也显然可知了。
托勒密测定了前面谈到的南北极限之间的间距，以圆周为
360°的度
数表示为
47°42′40″[《大成》，Ⅰ，12]。他还发现在他以前喜帕恰斯
和埃拉托西尼的观测结果与此相符。如果取整个圆周为
83单位，则上述测
定值为
11单位。。由这个间距的一半（即
23°51′20″
(10)可得回归线与
赤道的距离以及与黄道的交角。托勒密认为这是常数，永远不变。但是从
那时起到现在，人们发现这些数值不断减少。我们同时代的一些人(11)和我
都发现，回归线之间的距离现在大约不大于
46°58′，而黄赤交角不大于
23°29′。于是现在完全清楚，黄道的倾角也是可变的。我在后面[Ⅲ，10]
要更详细地讨论这一课题，我要说明按一个完全可信的推测，这个倾角过
去从未大于
23°52′，以后也决不会小于
23°28′
(12)。
第三章赤道、黄道与子午圈相交的弧和角；
赤经和赤纬对这些弧和角的偏离及其计算
第三章赤道、黄道与子午圈相交的弧和角；
赤经和赤纬对这些弧和角的偏离及其计算
在
24小时周期内，子午圈在黄道和赤道上
都扫过一遍。子午圈把黄道和赤道都分割开，截出由黄、赤道的交点（春
分点和秋分点）算起的圆弧。反过来说，子午圈又由与一个圆弧相截而分
割开。因为它们都是大圆，它们形成一个球面三角形。按定义，子午圈通
过赤道的两极，于是子午圈与赤道正交，所以该三角形为直角三角形。在
这个三角形中，子午圈的圆弧（或者在通过赤道两极的任一圆周上像这样
截出的圆弧）称为黄道弧段的“赤纬”。赤道的相应圆弧（它和与之有关
的黄道上的一段弧一同升起）称为“赤经”。
图
2—1
这一切在一个凸三角形上都容易看清。令
ABCD为既通过赤道两极又通
过黄道两极的圆。它通常称为“分至圈”。令
AEC为黄道的一半，BED为
赤道的一半，E为春分点，A为夏至点，而
C为冬至点。设
F为周日旋转的
极，并取黄道上的段长
EG为
30°。通过它的端点画出象限
FGH。于是在三
角形
EGH中，EG边显然已给定为
30°。角
GEH也已知。在它为极小时，取
360°=4直角的分度法，它等于
23°28′。这与赤纬
AB的极小值相符。GHE
为直角。因此，按球面三角形的定理四，EGH是一个各角和边均可知的三
角形。当然可以证明，两倍
EG和
GH所对弦之比等于两倍
AGE所对弦（即
球的直径）与两倍
AB所对弦之比。它们的半弦之间也有类似关系。取两倍
AGE的半弦（即半径）为
100，000，则用同样单位表示，两倍
AB和
EG的
半弦各为
39，822和
50，000
(13)。如果
4个数成比例，中间两数之积等于
首尾两数之积。于是可得两倍
GH弧的半弦为
19，911单位
(14)。在表中这
个半弦给出
GH弧的值为
11°29′，即为与
EG段相应的赤纬。因此在三角
形
AFG中，FG和
AG两边作为两条象限的剩余部分，可求得为
78°31′和
60°，而
FAG为直角。同样可知，两倍
FG、AG、FGH和
BH所对的弦（或它
们的半弦）成比例。现在既然它们中的三个量已知，便可得第四个（即
BH）
为
62°6′。这是从夏至点算起的赤经，或者从春分点算起为
HE，等于
27°54′。与此相似，从已知边
FG为
78°31′，AF为
66°32′
(15)以及一
个象限，可得
