于.. DK比.. BI。因为BI垂直于半径.. CF，BI是.. CB的倍弧所对的半弦。同样可
知，BG是.. BA的倍边所对的半弦；DK是.. DE的倍边或.. A的倍角所对的半弦；
而.. DF是球的半径。因此显然可知，AB的倍边所对的弦与.. BC的倍边所对的
弦之比，等于直径与A的倍角或.. DE的倍弧所对的弦之比。这个定理的证明
对后面是有用的。
角，按垂线的定义.. GIB也是直角。相似三角形的边长成比例，DF比.. BG等
于.. DK比.. BI。因为BI垂直于半径.. CF，BI是.. CB的倍弧所对的半弦。同样可
知，BG是.. BA的倍边所对的半弦；DK是.. DE的倍边或.. A的倍角所对的半弦；
而.. DF是球的半径。因此显然可知，AB的倍边所对的弦与.. BC的倍边所对的
弦之比，等于直径与A的倍角或.. DE的倍弧所对的弦之比。这个定理的证明
对后面是有用的。
在任何三角形中，一角为直角，若另一角和任一边已知，则其余的角
和边均可求(162)。
图.. 1-21
令三角形.. ABC中.. A为直角，而其余两角之一（例如.. B）也已知。至于
已知边，可分.. 3种情况。它与两已知角都相邻，即为.. AB；仅与直角相邻，
为.. AC；或者为直角的对边，即.. BC。
先令已知边为.. AB。以.. C为极，作大圆的弧.. DE。连接象限.. CAD和.. CBE·延
长.. AB和.. DE，使之相交于F点。因为A和.. D都是直角，F也是.. CAD的极。如
果球面上的两个大圆相交成直角，它们彼此平分并都通过对方的极点，因
此.. ABF和.. DEF都是象限。因.. AB已知，象限的其余部分.. BF也可知，EBF角
等于其对顶角.. ABC，而后者已知。按前面的定理，与两倍.. BF所对的弦同与
两倍.. EF所对的弦之比，等于球的直径同与两倍.. EBF角所对的弦之比。因为
它们之中有.. 3个量（即球的直径，BF和.. EBF角一倍或它们的一半）已知。
因此，按欧氏著作，Ⅵ，15，与.. EF的倍弧所对的半弦也可知。按表，EF
弧已知。因此，象限的其余部分.. DE，即所求的角.. C可知。
反过来，同样可得DE和.. AB的倍弧所对弦之比等于.. EBC与.. CB之比。但
已有.. 3个量已知，即.. DE、AB和象限.. CBE。因此第四个量（即二倍.. CB所对
的弦）可知，于是所求边.. CB也可知。就倍弧所对弦来说，CB与.. CA之比等
于.. BF与.. EF之比。这两个比值都等于球的直径与两倍.. CBA角所对弦之比。
两个比值都等于相同比值，它们彼此相等。因此，既然.. BF、EF和.. CB等三
个量已知，第四个量.. CA可以求得，而.. CA为三角形.. ABC的第三边。
令.. AC是假定为已知的边，需要求的是.. AB和.. BC两边以及其余的角.. C。
如果作反论证，两倍.. CA所对弦与两倍.. CB所对弦之比等于两倍.. ABC角所对
弦与直径之比。由此可得.. CB边以及象限的剩余部分.. ① AD和 BE。于是再次
得两倍 AD所对弦与两倍.. BE所对弦之比等于两倍.. ABF所对弦（即直径）与
两倍.. BF所对弦之比。因此可得弧.. BF，而其余边为.. AB。用与上述相似的推
理过程，从两倍.. BC、AB和.. FBE所对的弦，可得两倍.. DE所对的弦，即余下
的角.. C。进而言之，如果BC已知，可仿前述求得.. AC以及余边.. AD和.. BE。正
如已经多次谈到的，用这些量并通过所对直线和直径，可得弧.. BF及余边
AB。于是按前述定理，由已知的.. BC、AB和.. CBE，可得ED，这即是我们要求
的余下的角.. C。
于是又一次在三角形.. ABC中，A和.. B两角已知，其中.. A为直角，三边..
①即余边。
中有一边已知，则第三角与其他两边可以求得。证讫。
中有一边已知，则第三角与其他两边可以求得。证讫。
(163)
如果三角形的角都已知，其中一个为直角，则各边可知。
仍用前图。在图中，因角.. C已知，弧.. DE可知，于是象限的剩余部分
EF也可知。因为.. BE是从.. DEF的极画出的，BEF为直角。EBF为一个已知角
的对顶角。因此按前述定理，三角形.. BEF有一个直角 E、另一已知角 B和
已知边 EF，则它的边和角均可知。于是 BF可知，象限的剩余部分.. AB
也可知。按前述，在三角形ABC中同样可以证明其余的边.. AC和.. BC都可知。
六(164)
图.. 1—22
如果在同一球面上有两个三角形，它们各有一直角，一个相应角和一
个相应边彼此相等，则无论该边与相等的角相邻或相对(165)，余下的两个
相应边以及一个相应角均彼此相等。
令.. ABC为半球。在它上面作两个三角形.. ABD和.. CEF。令.. A和.. C为直角。
进一步令角.. ADB等于角.. CEF，并令各有一边相等。先令相等边为相等角的
邻边，即令AD=CE。还有AB边等于.. CF边，BD等于.. EF和余下的角.. ABD等于
余下的角.. CFE。以.. B和.. F为极，画大圆的象限GHI与.. IKL。连接ADI和.. CEI。
它们应在半圆的极（即I点）相交，这是因为A和C为直角，而.. GHI与CEI
都通过圆.. ABC的两极。因.. AD和.. CE已取为相等边，则它们的余边.. DI和.. IE
应相等，角.. IDH和角.. IEK是取为相等角的对顶角，也应相等。H和.. K为直
角。等于同一比值的两个比值应当相等。两倍.. ID所对弦与两倍.. HI所对弦
之比，等于两倍.. EI所对弦与两倍.. IK所对弦之比。按上述定理三，这些比
值中每一个都等于球的直径与两倍.. IDH角所对弦（或与之相等的两倍.. IEK
角所对弦）之比。两倍.. DI弧所对弦等于两倍.. IE所对弦。因此，按欧几里
得《几何原本》，Ⅴ，14，两倍.. IK和.. HI所对弦也相等。在相等的圆中，
相等的直线截出相等的弧，而分数在乘以相同的因子后保持相同的比值。
因此，单弧.. IH与.. IK相等。象限的剩余部分.. GH和.. KL也相等。于是.. B与.. F
两角显然相等。因此两倍.. AD所对弦与两倍.. BD所对弦之比以及两倍.. CE所对
弦与两倍.. BD所对弦之比，都等于两倍EC所对弦与两倍.. EF所对弦之比。按
定理三的逆定理，这两个比值都等于两倍.. HG（或与之相等的.. KL）所对弦与
两倍.. BDH所对弦（即直径）之比。AD等于.. CE。因此，按欧几里得《几何原
本》，Ⅴ，14，由两倍.. BD和.. EF所对直线，可知这两段弧相等。
已知.. BD和.. EF相等，我将用同样方法证明其余的边与角均各自相等。
如果把.. AB和.. CF改设为相等边，则由比值的相等关系可得同样结论。
七(166)
如果没有直角，假如相等角的邻边等于相应边，则相同的结论可予证
明。
在.. ABD和.. CEF两个三角形中，令任意两角B和.. D等于两相应角.. E和.. F。
还令与相等角相邻的边
BD等于边
EF。则这两个三角形的边和角都相等。
又一次以
B和
F为极，画大圆的弧
GH和
KL。令
AD和
GH延长时相交
于
N，而
EC和
LK相似延长时相交于
M。于是在两个三角形
HDN和
EKM中，
角
HDN和角
KEM作为假定为相等角的对顶角，也是相等的。H和
K都通过
极点，因此是直角。进一步说，边
DH和
EK相等。因此按上一条定理，两
三角形的角和边各自相等。
图
1—23
因为假设
B和
F两角相等，GH和
KL又一次是相等的弧。按相等量相
加后仍然相等这一公理，整个
GHN等于整个
MKL。因此此处两三角形
AGN
和
MCL也有一边
GN等于一边
ML，角
ANG等于角
CML，并有直角
G和
L。根
据这一理由，这些三角形的边与角都各自相等。从相等量减去相等量后，
其差仍相等，因此
AD等于
CE，AB等于
CF，角
BAD等于角
ECF·证讫。
八(167)
进而言之，如果两三角形有两边等于两相应边，还有一角等于一角（无
论为相等边所夹角还是底角），则底边也应等于底边，其余两角各等于相
应的角(168)。
在上图中，令边
AB等于边
CF，AD等于
CE。先令相等边所夹角
A等于
角
C。求证底边
BD也等于底边
EF，角
B等于角
F，而角
BDA等于角
CEF。
我们有两个三角形
AGN和三角形
CLM，它们的角
G和
L都是直角，而角
GAN
和角
MCL作为相等角
BAD和
ECF的补角也相等；GA等于
LC。因此两个三角
形的相应角与边都相等。AD和
CE相等，DN和
ME也相等。但已经证明角
DNH等于角
EMK。已知
H和
K为直角，三角形
DHN和三角形
EMK的相应角与
边也都相等。则
BD等于
EF，GH等于
KL。两三角形的角
B与角
F相等，角
ADB和角
FEC也相等。
但如果不取边
AD和
EC，而令底边
BD和
EF相等。这些底边与相等角
相对，其余一切都与前面一样，证明可以同样进行。作为相等角的补角，
角
GAN与角
MCL相等。G和
L是直角。AG等于
CL。于是与前述相同，三角
形
AGN和三角形
MCL的相应角与边都相等。对它们所包含的三角形
DHN和
MEK来说，情况是一样的。H和
K为直角；角
DNH等于角
KME；DH和
EK都
是象限的剩余部分，这两边相等。从这些相等关系，可以得出已阐明的相
同结论。
九(169)
在球面上也是这样，等腰三角形底边的两角相等。
图
1—24
令三角形
ABC的两边
AB和
AC相等。求证两底角
ABC和
ACB也相等。
从顶点
A画一个与底边垂直的（即通过底边之极的）大圆。令此大圆为
AD。
于是在
ABD和
ADC两三角形中，边
BA等于边
AC；AD为两三角形的共同边；
在
D点的两角为直角。因此很清楚，按上述定理角
ABC和角
ACB相等。证
讫。
推论
根据本定理和上述定理明显可知，从等腰三角形顶点画的与底边垂直
的弧使底边平分，同时使相等边所夹角平分，反之亦然。
根据本定理和上述定理明显可知，从等腰三角形顶点画的与底边垂直
的弧使底边平分，同时使相等边所夹角平分，反之亦然。
(170)
相应边都相等的两任意三角形，其相应角也各自相等。
在这两种情况下，三段大圆形成角锥体，其顶点都在球心。但它们的
底是由凸三角形的弧所对直线形成的平面三角形。按立体图形相等和相似
的定义，这些角锥体是相似和相等的。可是当两个图形相似时，它们的相
应角也应相等。尤其是对相似形体作更普遍定义的人们要求，具有相似构
形的任何形体，它们的相应角都是相等的。我想从这些道理显然可知，相
应边相等的球面三角形是相似的，这与平面三角形的情况是一样的。
十一(171)
若任何三角形的两边和一角已知，则其余的角和边都可知(172)。
如果已知边相等，则两底角相等。按定理九的引理，从直角顶点画垂
直于底边的弧，可使待证命题自明。
但在三角形
ABC中已知边可以不相等。令
A角和两边已知。该两边可
夹或不夹已知角。
先令已知角为已知边
AB和
AC所夹。以
C为极，画大圆弧
DEF。完成
象限
CAD和
CBE。延长
AB，使之与
DE相交于
F点。于是在三角形
ADF中，
边
AD是从象限减去
AC的剩余部分
①，也已知。则角
BAD等于两直角减去角
CAB②，角
BAD也已知。角度及其大小的比值与从直线和平面相交所得比值
相同。D为直角。因此按定理四，三角形
ADF为各角与边都已知的三角形。
又一次在三角形
BEF中，F角已求得；E角的两边都通过极点，因此是直角；
边
BF是整个
ABF超出
AB的部分，也是已知的。因此按同一定理，BEF也
是一个各角和边都已知的三角形。于是从
BE可求得象限的剩余部分，即所
求边
BC。从
EF可得整个
DEF的剩余部分
DE，这即是
C角。从
EBF角可求
得其对顶角
ABC，此即所求角。
图
1—25
但是，如果假定为已知的边不是
AB，而是已知角所对的边
CB，仍会得
出相同结果。AD和
BE作为象限的剩余部分，都已知。按与前面相同的论
证，ADF和
BEF两三角形的各角和边都可知。正如前面提出的，从这两个
三角形可求得主题三角形
ABC的各边和角。
十二(173)
进而言之，如果任何两角和一边已知，可得同样结果(174)。
仍用前面的图形，在三角形
ABC。中令角
ACB和角
BAC以及与它们都
①即
AC的余边。
②即
CAB的补角。
相邻的边
AC均已知。此外，若已知角中任一个为直角，则按前述定理四的
论证，其他一切均可求得。然而我要论证的为已知角都不是直角。于是
AD
为象限
CAD减去
AC的剩余部分；角
BAD等于两直角减去
BAC；而
D是直角。
因此按前面定理四，三角形
AFD的角与边均可知。但因
C角已知，弧
DE
可知，剩余部分
EF也可知。角
BEF为直角，F是两个三角形共有的角。按
前述定理四，同样可求得
BE和
FB，由此可以求得其余的边
AB和
BC。
在另一情况下，已知角中的一个与已知边相对。例如，已知角不是角
ACB而是角
ABC，而其他一切不变，则与前面相同的论证可以说明整个三角
形
ADF是各角和边都可知的三角形。对次级三角形
BEF来说，情况是一样
的。F角是两三角形的公共角；角
EBF为一已知角的对顶角；而
E为直角。
因此，正如前面已证明的，该三角形各边均可知。最后，由这些边可以得
出与我所阐明的相同的结论。所有这些性质之间随时都有一种不变的相互
关系，有如球形所满足的关系。
十三(175)
最后，如果三角形各边已知，其角均可知。
图
1—26
令三角形
