39 50 64056 224 43 40 69046 210
40 0 64279 223 43 50 69256
40 10 64501 222 44 0 69466 209
40 20 64723 44 10 69675
40 30 64945 221 44 20 69883 208
40 40 65166 220 44 30 70091 207
40 50 65386 44 40 70298
41 0 65606 219 44 50 70505 206
41 10 65825 45 0 70711 205
41 20 66044 218 45 10 70916
41 30 66262 45 20 71121 204
41 40 66480 217 45 30 71325
41 50 66697 45 40 71529 203
42 0 66913 216 45 50 71732 202
42 10 67129 215 46 0 71934
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
46 10 72136 201 50 0 76604
46 20 72337 200 50 10 76791 186
46 30 72537 50 20 76977
46 40 72737 199 50 30 77162 185
46 50 72936 50 40 77347 184
47 0 73135 198 50 50 77531
47 10 73333 197 51 0 77715 183
47 20 73531 51 10 77897 182
47 30 73728 196 51 20 78079
47 40 73924 195 51 30 78261 181
47 50 74119 51 40 78442 180
48 0 74314 194 51 50 78622
48 10 74508 194 52 0 78801 179
48 20 74702 52 10 78980 178
48 30 74896 52 20 79158
48 40 75088 192 52 30 79335 177
48 50 75280 191 52 40 79512 176
49 0 75471 190 52 50 79688
49 10 75661 53 0 79864 175
49 20 75851 189 53 10 80038 174
49 30 76040 53 20 80212
49 40 76229 188 53 30 80386 173
49 50 76417 187 53 40 80558 172
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
53 50 80730 57 40 84495 155
54 0 80902 171 57 50 84650
54 10 81072 170 58 0 84805 154
54 20 81242 169 58 10 84959 153
54 30 81411 58 20 85112 152
54 40 81580 168 58 30 85264
54 50 81784 167 58 40 85415 151
55 0 81915 58 50 85566 150
55 10 82082 166 59 0 85717
55 20 82248 165 59 10 85866 149
55 30 82413 164 59 20 86015 148
55 40 52577 59 30 86163 147
55 50 82741 163 59 40 86310
56 0 82904 162 59 50 86457 146
56 10 83066 60 0 86602 145
56 20 83228 161 60 10 86747 144
56 30 83389 160 60 20 86892
56 40 83549 159 60 30 87036 143
56 50 83708 60 40 87178 142
57 0 83867 158 60 50 87320
57 10 84025 157 61 0 87462 141
57 20 54182 61 10 87603 140
57 30 84339 156 61 20 87743 139
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
61 30 87882 65 20 90875 121
61 40 88020 138 65 30 90996
61 50 88158 137 65 40 91116 120
62 0 88295 65 50 91235 119
62 10 88431 136 66 0 91354 118
62 20 88566 135 66 10 91472 118
62 30 88701 134 66 20 91590 117
62 40 88835 66 30 91706 116
62 50 88968 133 66 40 91822 115
63 0 89101 132 66 50 91936 114
63 10 89232 131 67 0 92050 113
63 20 89363 67 10 92164
63 30 89493 130 67 20 92276 112
63 40 89622 129 67 30 92388 111
63 50 89751 128 67 40 92499 110
64 0 89879 67 50 92609 109
64 10 90006 127 68 0 92718
64 20 90133 126 68 10 92827 108
64 30 90258 68 20 92935 107
64 40 90383 125 68 30 93042 106
64 50 90507 124 68 40 93148 105
65 0 90631 123 68 50 93258
65 10 90753 122 69 0 93358 104
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
69 10 93462 103 73 0 95630
69 20 93565 102 73 10 95715 84
69 30 93667 73 20 95799 83
69 40 93769 101 73 30 95882 82
69 50 93870 100 73 40 95964 81
70 0 93969 99 73 50 96045
70 10 94068 98 74 0 96126 80
70 20 94167 74 10 96206 79
70 30 94264 97 74 20 96285 78
70 40 94361 96 74 30 96363 77
70 50 94457 95 74 40 96440
71 0 94552 94 74 50 96517 76
71 10 94646 93 75 0 96592 75
71 20 94739 75 10 96667 74
71 30 94832 92 75 20 96742 73
71 40 94924 91 75 30 96815 72
71 50 95015 90 75 40 96887
72 0 95105 75 50 96959 71
72 10 95195 89 76 0 97030 70
72 20 95284 88 76 10 97099 69
72 30 95372 87 76 20 97169 68
72 40 95459 86 76 30 97237
72 50 95545 85 76 40 97304 67
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
76 50 97371 66 80 40 98676 47
77 0 97437 65 80 50 98723 46
77 10 97502 64 81 0 98769 45
77 20 97566 63 81 10 98814 44
77 30 97630 81 20 98858 43
81 30 98902 42 77 40 97692 62
77 50 97754 61 81 40 98944
78 0 97815 60 81 50 98986 41
78 10 97875 59 82 0 99027 40
78 20 97934 58 82 10 99067 39
78 30 97992 82 20 99106 38
78 40 98050 57 82 30 99144
82 40 99182 37 78 50 98107 56
79 0 98163 55 82 50 99219 36
79 10 98218 54 83 0 99255 35
79 20 98272 83 10 99290 34
79 30 98325 53 83 20 99324 33
79 40 98378 52 83 30 99357
79 50 98430 51 83 40 99389 32
80 0 98481 50 83 50 99421 31
80 10 98531 49 84 0 99452 30
80 20 98580 84 10 99482 29
80 30 98629 48 84 20 99511 28
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
84 30 99539 27 87 20 99892 13
84 40 99567 87 30 99905 12
84 50 99594 26 87 40 99917
85 0 99620 25 87 50 99928 11
85 10 99644 24 88 0 99939 10
85 20 99668 23 88 10 99949 9
85 30 99692 22 88 20 99958 8
85 40 99714 88 30 99966 7
85 50 99736 21 88 40 99973 6
86 0 99756 20 88 50 99979
86 10 99776 19 89 0 99985 5
86 20 99795 18 89 10 99989 4
86 30 99813 89 20 99993 3
86 40 99830 17 89 30 99996 2
86 50 99847 16 89 40 99998 1
87 0 99863 15 89 50 9999 0
87 10 99878 14 90 0 100000 0
第十三章平面三角形的边和角
第十三章平面三角形的边和角
一
图.. 1-12
已知三角形的角，可求各边。
令三角形为.. ABC。按欧氏著作第四卷问题.. 5，对它作外接圆，于是在
360°等于两个直角的系统内，AB、BC和.. CA三段弧都可求得。在弧已知时，
内接三角形的边可按上面的表当作弦求出。取直径为.. 200，000，由此确定
边长的单位。
二
图.. 1-13
已知三角形的一角和两边，则另一边和两角可求得。
已知的两边可以相等或不等，已知的角可以是直角、锐角或钝角(156)，
而已知角可以是或不是已知两边的夹角。
二甲
首先，令三角形ABC中已知两边.. AB和.. AC相等。该两边夹已知角.. A.于
是其他的角，即在底边.. BC两侧的角可以求得。该两角相等，各等于两直角
减去.. A角后的一半。如果底边的一角原来已知，于是与之相等的角已知，
两直角减掉它们后，另一角也求得了。当三角形的角与边都已知时，底边
BC可由表查得。取半径.. AB或.. AC等于.. 100，000，或直径等于.. 200，000。
二乙
图.. 1-14
如果.. BAC为两已知边所夹的直角，可得同样结果。
很清楚，AB和.. AC的平方之和等于底边.. BC的平方。因此.. BC的长度可
以求出，于是各边的相互关系也求得了。与直角三角形外接的是一个半圆，
其直径为底边.. BC。取.. BC为.. 200，000单位，便可得.. B、C两角所对弦.. AB和
AC的长度。已知.. B、C两角的度数（180度等于两直角.. (157)），便可用它们
查表。如果 BC和夹直角两边中的一边已知，也可得到相同结果。我认为，
这一点现在完全清楚。
二丙
现在令已知角.. ABC为锐角，夹它的两边.. AB和.. BC都已知。从.. A点向.. BC
作垂线，需要时延长BC线。（是否需要，视垂线落在三角形内或外而定。）
令垂线为.. AD。由它形成两个直角三角形.. ABD和.. ADC。D是直角，而按假设B
角已知，因此三角形.. ABD的角都已知。于是.. A、B两角所对的弦.. AD和.. BD
可由表查出，用直径.. AB为.. 200，000的单位表示。AD、BD、以及CD的单位
都与.. AB相同。BC超过.. BD的长度为.. CD。因此在直角三角形.. ADC中、AD和
CD两边可知，所求的边.. AC和角.. ACD也都可按上述方法得出。
令垂线为.. AD。由它形成两个直角三角形.. ABD和.. ADC。D是直角，而按假设B
角已知，因此三角形.. ABD的角都已知。于是.. A、B两角所对的弦.. AD和.. BD
可由表查出，用直径.. AB为.. 200，000的单位表示。AD、BD、以及CD的单位
都与.. AB相同。BC超过.. BD的长度为.. CD。因此在直角三角形.. ADC中、AD和
CD两边可知，所求的边.. AC和角.. ACD也都可按上述方法得出。
二丁
假如.. B角是钝角，结果是一样的。从.. A点向.. BC的延长线作垂线.. AD，
由此形成三个角均已知的三角形 ABD。ABD角是.. ABC角的补角，而.. D是直
角。于是.. BD和.. AD都可以用 AB为 200，000的单位表示。因为.. BA和.. BC (158)
的相互比值已知，BC也可用与.. BD相同的单位表示，于是整个.. CBD也如此。
直角三角形.. ADC的情况与此相同，因为.. AD和.. CD两边已知，于是所需的边
AC以及.. BAC和.. ACB两角都可求出。
二戊
图.. 1-16
现在令已知两边之一与已知角.. B相对。令这个对边为.. AC，而另一已知
边为.. AB，于是.. AC可由表查出，三角形.. ABC的外接圆的直径为.. 200，000。
由.. AC与.. AB的已知比值，AB可用相同单位表示。查表可得.. ACB角和剩下的
BAC角。用后面这一角度，弦.. CB也可求得。当这一比值已知时，边长可用
任何单位表示(159)。
三
如果三角形各边已知，各角均可求得。
对于等边三角形，每个角都是两直角的三分之一。这一事实尽人皆知。
等腰三角形的情况也很清楚。两等边与第三边之比等于半径与弧所对
弦之比。通过弧，可以由表查出两等边所夹的角。角度的单位为.. 360°中
心角等于.. 4个直角。在底边旁边的两个角各为从两直角减去两等边所来角
所余量的一半。
图.. 1-17
尚待研究的是不等边三角形。它们也可以分解为直角三角形。令.. ABC
为三边均已知的不等边三角形。对最长边（例如为.. BC）作垂线AD。按欧氏
著作、Ⅱ、B，一个锐角所对.. AB边的平方小于其他两边的平方之和，差额
为乘积.. BC×CD的两倍。C应为锐角，否则按欧氏著作、Ⅰ、17以及随后的
两条定理，AB会成为最长边，而这违反假设。因此.. BD和.. DC都已知；于是
和已经多次遇到的情况一样，三角形.. ABD和三角形.. ADC都为边与角均已知
的直角三角形。由此可求得三角形.. ABC的所求各角。
另一种作法是按欧氏著作、Ⅲ，也许更容易得出同样结果。令最短边
为.. BC。以.. C为中心，BC为半径画的圆会与其他两边或其中的一边相截。
先让圆与两边都相截，与.. AB截于.. E点，与.. AC截于.. D点。延长.. ADC线
到.. F点，使.. DCF的长度等于直径。用这一图形，由欧氏定理可知，乘积 FA×AD等于乘积 BA×AE。这是因为该两乘积都等于从.. A点对圆所作切线的
平方。AF的各段已知，整个.. AF也可知。CF和.. CD都是半径，自然均等于
BC。AD为.. CA超过.. CD的长度。因此乘积 BA×AE也已知。于是 AE的长度
以及 BE弧所对 BE弦的长度都可求得。联接.. EC，便得各边已知的等腰
三角形.. BCE。因此.. EBC角可求得。于是由前述可以得到三角形.. ABC的其他
两角.. C和.. A。
先让圆与两边都相截，与.. AB截于.. E点，与.. AC截于.. D点。延长.. ADC线
到.. F点，使.. DCF的长度等于直径。用这一图形，由欧氏定理可知，乘积 FA×AD等于乘积 BA×AE。这是因为该两乘积都等于从.. A点对圆所作切线的
平方。AF的各段已知，整个.. AF也可知。CF和.. CD都是半径，自然均等于
BC。AD为.. CA超过.. CD的长度。因此乘积 BA×AE也已知。于是 AE的长度
以及 BE弧所对 BE弦的长度都可求得。联接.. EC，便得各边已知的等腰
三角形.. BCE。因此.. EBC角可求得。于是由前述可以得到三角形.. ABC的其他
两角.. C和.. A。
图.. 1-19
现在如第二图所示，设圆不与.. AB相截，然而.. BE已知。进一步说，在
等腰三角形.. BCE中.. CBE角已知，它的补角.. ABC也可求出。按与前面完全相
同的推证程序，可得其他角。
上述各点（包括测量学的较多内容）可以满足平面三角形的需要。下
面讲述球面三角形。
第十四章球面三角形
第十四章球面三角形
下面我把凸面三角形认作在球面上由三条大圆弧围成的圆形。一个角
的大小以及各个角之差，用以角的顶点为极所画大圆的弧长度量.该弧在形
成该角的大圆上截出。这样截出的弧与整个圆周之比，等于相交角与.. 4个
直角之比。我所说的整个圆周和.. 4个直角都含.. 360个相等的分度。
一(160)
如果球面上有三段大圆的弧，其中任意两段之和比第三段长，它们显
然可以形成一个球面三角形。
关于圆弧的这段话在欧氏著作，Ⅺ，23已经对角度证明过。因为角之
比和弧之比相同，而大圆的面通过球心，成为弧的.. 3段大圆显然在球心形
成一个立体角，因此本定理成立。
二
三角形的任一边均小于半圆。
半圆在球心并不形成角度，而成一直线穿过球心。在另一方面，其余
两边所属的角在球心不能构成立体角，因此不能形成球面三角形。我认为，
这就是托勒密在论述这类三角形（特别是球面扇形）时规定各边均不能大
于半圆的理由（《大成》，Ⅰ，13）。
三
在直角球面三角形中，直角对边的.. 2倍弧所对弦同其一邻边.. 2倍弧的
弦之比，等于球的直径同另一邻边与对边所夹角的.. 2倍在大圆上所对弦之
比。
图.. 1-20
全球面三角形.. ABC中.. C为直角。我要说明，两倍.. AB所对的弦同两倍
BC所对的弦之比等于球的直径同两倍.. BAC角在大圆上所对弦之比。
取.. A为极，画大圆弧.. DE。作成ABD和.. ACE两象限。从球心F画下列各
圆面的交线：ABD和.. ACE的交线 FA； ACE和.. DE的交线.. FE；ABD和.. DE的交
线.. FD以及.. AC和.. BC两圆面的交线.. FC。然后画垂直于FA的直线.. BG，垂直于
FC的.. BI以及垂直于.. FE的.. DK。联接.. GI线。
如果一圆与另一圆相交并通过其两极，则两圆相交成直角。因此 AED
为直角。按假设，ACB也是直角。于是 EDF和 BCF二平面均垂直于.. AEF。
在后一平面上的.. K点作一条与交线.. FKE垂直的直线。按平面相互垂直的定
义，这条垂线与.. KD相交成另一直角。因此按欧氏著作，Ⅺ，4，KD也垂直
于.. AEF。用同样方法，作.. BI垂直于同一平面，于是按欧氏著作，Ⅺ，6，
DK和.. BI相互平行.. (161)。与此类似，因为.. FGB和.. GFD都是直角，GB平行于
FD。按欧几里得《几何原本》，Ⅺ，10， FDK角等于.. GBI角。但.. FKD是直
角，按垂线的定义.. GIB也是直角。相似三角形的边长成比例，DF比.. BG等
