求得的弦长是否正确值得怀疑。这是因为没有找到它们之间的图形关系。
但是用另一种方法可以作到这一点，而不会有任何可以察觉的误差，只是
需要使用一个非常精确的数字。托勒密（《大成》，Ⅰ，10）也计算过.. 1°和.. 1/2°的弦长。他首先指出下列问题。
定理六
大弧和小弧之比大于对应两弦长之比。
令.. AB和.. BC为圆内两段相邻的弧，而.. BC较大。我要说明BC∶AB ①的比
值大于构成.. B角的弦的比值.. BC∶AB。令直线BD等分.. B角。联接AC线。令
它与.. BD相交于.. E点。联接AD和.. CD线。这两条线相等，因为它们所对的弧
相等。在三角形ABC中，角的等分线也与AC相交于.. E点，底边的两段之比
EC∶AE等于.. BC∶AB的比值。BC大于.. AB，EC也大于 EA。作 DF垂直于 AC。
DF等分.. AC于.. F点，此点应在较长的一段（即.. EC）内。在每个三角形中，
大角对长边。因此在三角形.. DEF中，DE边长于.. DF边。AD甚至长于.. DE。因
此以.. D为中心、DE为半径画的圆弧，会与.. AD相交并超出.. DF。令此弧与AD
相交于.. H，并令它与DF的延长线相交于.. I。于是扇形EDI大于三角形.. EDF。
但三角形.. DEA大于扇形.. DEH。因此三角形.. DEF与三角形.. DEA之比，小于扇
形.. EDI与扇形.. DEH之比。可是扇形与其弧或中心角成正比，而顶点相同的
三角形与其底边成正比。因此角度之比.. EDF∶ADE，大于顶边之比.. EF∶AE。
由相加可知，角度比.. FDA∶ADE大于边长比.. AF∶AE；同样可得，CDA∶ADE
大于.. AC∶AE。相减，CDE∶EDA也大于.. CE∶EA。然而.. CDE与.. EDA两角之比
等于弧长之比CB∶AB。底边CE∶ AE等于弦BC∶AB。因此，弧长之比CB∶
AB大于弦长之比.. BC∶AB。证讫。
图.. 1—10
问题
因为相同两端点之间直线最短，弧总比其所对的弦长。但随着弧长不
断减少，这个不等式趋于等式，以致直线和圆弧最终同时在圆上的最后切
点消失。在这种情况出现之前，它们的差必定小到难以察觉。
图.. 1—11
例如，令弧.. AB为.. 3°，弧.. AC为.. 1 1/2°。设直径长.. 200，000单位，按
定理四可得.. AB所对的弦为.. 5235单位，而.. AC所对弦长为.. 2618单位。AB弧
是.. AC弧的两倍，可是AB弦不到.. AC弦的两倍，后者比2617只大一个单位。..
①此外
BC和
AB均为弧长。
如果取
AB为
1
1/2°，AC为
3/4°，便得
AB弦为
2618单位，而
AC为
1309
单位。虽然
AC应当大于
AB弦的一半，但与一半似乎一样大，两弧之比与
两弦之比现在趋于一致。因此可知，我们现在接近于直线的弧线之差根本
无法察觉的状况，这时它们似乎已化为同一条线。因此我毫不犹豫地把
3/4°与
1309单位这一比值同样用于
1°或某些分度所对的弦。于是，
1/4°与
3/4°相加，可得
1°所对弦为
1745单位；
1/2°为
872
1/2单位；1/3°为
582
单位。
图
1—11
我相信在表中只列入倍弧所对的半弧就足够了。用这种简化方法，我
把以前需要在半圆内(150)展开的数值压缩到一个象限之内。这样做的主要
理由是在证题和计算时，半弦比整弦用得更多。我列出每六分之一度(151)
有一个值的表。它有
3栏。第一栏为度数（即圆周的分度）和六分之几度
(152)。第二栏为倍弧的半弦数值。第三栏列出这些数值每隔一度的差额。
用这些差额可以一度内的分数内插出相应的正比量。下面就是圆周弦长表
(153)。
10
15
20
圆周弦长表.. (154)
弧倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
291
582
583
1163
1454
1745
2036
2327
2617
2908
3199
3490
3781
4071
4362
4653
4943
5234
5524
5814
6105
6395
6685
291(155)
290
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
10
20
30
40
50
10
20
30
40
6975
7265
7555
7845
8135
8425
8715
9005
9295
9585
9874
10164
10453
10742
11031
11320
11609
11898
12187
12476
12764
13053
13341
289
288
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
7 50 13629 11 40 20222
8 0 13917 11 50 20507
8 10 14205 12 0 20791
8 20 14493 12 10 21076 284
8 30 14781 12 20 21360
8 40 15069 12 30 21644
8 50 15356 287 12 40 21928
9 0 15643 12 50 22212
9 10 15931 13 0 22495 283
9 20 16218 13 10 22778
9 30 16505 13 20 23062
9 40 16792 13 30 23344
9 50 17078 13 40 23627
10 0 17365 13 50 23910 282
10 10 17651 286 14 0 24192
10 20 17937 14 10 24474
10 30 18223 14 20 24756
10 40 18509 14 30 25038 281
10 50 18795 14 40 25319
11 0 19081 14 50 25601
11 10 19366 285 15 0 25882
11 20 19652 15 10 26163
11 30 19937 15 20 26443 280
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
15 30 26724 19 20 33106
15 40 27004 19 30 33381 274
15 50 27284 19 40 33655
16 0 27564 279 19 50 33929
16 10 27843 20 0 34202
16 20 28122 20 10 34475 273
16 30 28401 20 20 34748
16 40 28680 20 30 35021
16 50 28959 278 20 40 35293 272
17 0 29237 20 50 35565
17 10 29515 21 0 35837
17 20 29793 21 10 36108 271
17 30 30071 277 21 20 36379
17 40 30348 21 30 36650
17 50 30625 21 40 36920 270
18 0 30902 21 50 37190
18 10 31178 276 22 0 37460
18 20 31454 22 10 37730 269
18 30 31730 22 20 37999
18 40 32006 22 30 38268
18 50 32282 275 22 40 38537 268
19 0 32557 22 50 38805
19 10 32832 23 0 39073
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
23 10 39341 267 27 0 45399 259
23 20 39608 27 10 45658
23 30 39875 27 20 45916 258
23 40 40141 266 27 30 46175
23 50 40408 27 40 46433
24 0 40674 27 50 46690
24 10 40939 265 28 0 46947
24 20 41204 28 10 47204 256
24 30 41469 28 20 47460
24 40 41734 264 28 30 47716 255
24 50 41998 28 40 47971
25 0 42262 28 50 48226
25 10 42525 263 29 0 48481 254
25 20 42788 29 10 48735
25 30 43051 29 20 48989 253
25 40 43313 262 29 30 49242
25 50 43575 29 40 49495 252
26 0 43837 29 50 49748
26 10 44098 261 30 0 50000
26 20 44359 30 10 50252 251
26 30 44620 260 30 20 50503
26 40 44880 30 30 50754 250
26 50 45140 30 40 51004
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
34 40 56880 30 50 51254
34 50 57119 238 31 0 51504 249
35 0 57358 31 10 54753
35 10 57596 31 20 52002 248
35 20 57833 237 31 30 52250
35 30 58070 31 40 52498 247
35 40 58307 236 31 50 52745
35 50 58543 32 0 52992 246
36 0 58779 235 32 10 53238
36 10 59014 32 20 53484
36 20 59248 234 32 30 53730 245
36 30 59482 32 40 53975
36 40 59716 233 32 50 54220 244
36 50 59949 33 0 54464
37 0 60181 232 33 10 54708 243
37 10 60413 33 20 54951
37 20 60645 231 33 30 55194 242
37 30 60876 33 40 55436
37 40 61107 230 33 50 55678 241
37 50 61337 34 0 55919
38 0 61566 229 34 10 56160 240
38 10 61795 34 20 56400
38 20 62024 34 30 56641 239
圆周弦长表圆周弦长表
倍弧所
对半弦
每隔1度
的差额
弦倍弦所
对半弦
每隔.. 1度
的差额度分度分
38 30 62251 228 42 20 67344
38 40 62479 42 30 67559 214
38 50 62706 227 42 40 67773
39 0 62932 42 50 67987 213
39 10 63158 226 43 0 68200 212
39 20 63383 43 10 68412
39 30 63608 225 43 20 68624 211
39 40 63832 43 30 68835
