GI再次与
ED线重合。从这里看来，太阳是在天秤座的秋分点上。由同样
过程继续下去，H
(140)逐渐转向太阳，于是又出现与我在开头时谈到的相同
的情况。
图
1—4
也可用另一种方式来解释。令
AEC
(141)为我们所讨论的平面（黄道面）
上的一条直径，也就是黄道面同与之垂直的平面的交线。在
AEC线上，绕
A点和
C点（相当于巨蟹宫和摩羯宫）各画一个通过两极的地球经圈。令
这个经圈为
DGFI，地球自转轴为
DF，北极在
D，南极在
F，而
GI为赤道的
直径。当
F转向靠近
E点的太阳时，赤道向北的倾角为
IAE，于是周日旋
转使太阳看来沿南回归线运动。南回归线与赤道平行，位于赤道南面，它
们之间的距离为
LI，直径为
KL。或者更确切地说，从
AE
(142)方向看来，
周日自转产生一个以地心为顶，以平行于赤道的圆周为底的锥面。在相对
立的
C点，一切与此相似，但方向相反，谈到这里就很清楚了，两种运动
（我指的是地心的运动和倾斜面的运动）怎样结合起来，使地轴保持固定
方向和几乎一样的位置，并使这一切现象看起来似乎是太阳的运动。
但是我说过，地心和倾斜面的周年运转几乎相等。如果它们刚好相等，
两分点和两至点以及黄道倾角，相对于恒星天球都不会有变化。可是有微
小的偏差，不过要经过长时间，当它变大时才能发现。从托勒密时代到现
在，两分点岁差总计接近
21°。由于这个缘故，有些人相信恒星天球也在
运动，因而设想了一个超越一切之上的第九重天球。这已经证实是不当的，
近代学者添上了第十重天球。然而，他们一点也不能达到我希望用地球运
动所能达到的目的。我将把这一点作为证明其他运动的一个原理和假设。
[哥白尼原拟在此处加入两页稍多的手稿，但后来从原稿中删去了。这
部分删掉的材料在《天体运行论》前
4版（1543、1566、1617、1854）中
没有印出，但在哥白尼原稿恢复后出版的版本（1873、1949、1972）中都
包含在内。这一部分内容如下。]
我承认，太阳和月亮的运动也可以用一个静止的地球来说明。然而，
这对其他的行星是不适宜的。费罗劳斯(143)由于这些和类似的缘故相信地
球在运动。这是有道理的，因为萨摩斯（
Samos）的阿里斯塔克
（Aristarchus）也持相同的观点
(144)。他和别的一些人没有被亚里士多德
所提出的论据[《天穹篇》，Ⅱ，13—14]所说服。但是只有用敏锐的思考
和坚持不懈的研究才能理解这些课题。因此当时大多数哲学家对它们都不
熟悉。柏拉图并不讳言那时只有少数人精通天体运动理论这一事实(145)。
即使费罗劳斯或毕达哥拉斯的任何信徒掌握这些知识，大概也不会把它们
传给后代。因为毕达哥拉斯学派的惯例是不把哲学奥秘诉诸文字或向公众
泄露，而是只传授给忠实的朋友和亲属，并由他们一代一代传下来。莱西
斯给喜帕恰斯的一封至今尚存的信件，就是这种习惯作法的一个证据。考
虑到这封信有出色的见解并对哲学有重大的意义，我决定把它插入这里并
用它作为第一卷的结尾。下面就是我从希腊文译出的这封信件
虑到这封信有出色的见解并对哲学有重大的意义，我决定把它插入这里并
用它作为第一卷的结尾。下面就是我从希腊文译出的这封信件。
莱西斯向喜帕恰斯致意问候
我决不会相信，在华达哥拉斯逝世后他的信徒们的兄弟情谊会消失。
但既然我们已经出人意料地彼此离散。似乎我们的船舶已经遭难沉没，追
忆他的神圣的遗教并不让那些还没有想到过灵魂涤罪的人们获得哲学的宝
藏。这仍然是一件虔诚的行为。把我们花费巨大劳力才取得的成果泄露给
公众，这样做是卑劣的。正如伊柳西斯（Eleusis）女神的秘密不能暴露给
未入教门的人。犯有任何这些罪行的人都应受到谴责，他们都是同样地邪
恶和不虔诚。在另一方面值得想想，经过
5年的学程，承蒙他的教诲，我
们花费了多少时间来擦拭我们心灵上所沾染的污垢。染匠们在清洗纺织品
后，除染料外还使用一种媒染剂，其目的是使色泽持久保存，防止轻易退
色。那一位神圣的伟人用同样的方式来培养哲学爱好者，以免使他为他们
中间任何人的才能所抱的希望落空。他不会把箴言当作商品出售。他不会
像许多诡辩家那样设置圈套，来迷惑青年的思想，因为这毫无价值。与此
相反，他传授的是神灵的和人性的教义。
然而有些人漫无边际地和大肆渲染地模仿他的传授方法。他们对年轻
人的教导采用一种紊乱的、不正当的方式，这使他们的学生不得要领并变
得轻浮鲁莽。这是因为他们把杂乱而腐朽的伦理与哲学的崇高箴言混为一
谈。其结果有如把干净新鲜的水倒进充满污垢的深井，污垢搅翻起来，清
水也浪费掉了。这就是那些用这种方式传授和被传授的人所遇到的情况。
厚而黑的木头堵塞了那些没有受到良好启蒙教育的人们的头脑和心灵，并
完全损害了他们优美的精神和理智。这些木头上有各式各样的缺陷，它们
繁殖起来会妨碍思想，并阻止它往任何方向发展。
我认为这种阻力的主要根源是纵欲和贪婪，而这两者都极为猖獗。纵
欲引起乱伦、酗酒、强奸、淫乐和某些暴力冲动，这些可以酿成死亡和毁
灭。事实上，有些人受情欲刺激到达顶峰时，竟可全然不顾自己的母亲和
女儿，甚至可以触犯刑律，背叛国家、政府和领袖。玩火自焚，他们终于
束手就擒，承受极刑。在另一方面，贪婪产生斗殴、凶杀、抢劫、吸毒以
及其他种种恶果。因此我们应当竭尽全力，用火和剑来根除这些木头上的
罪恶之穴。我们一旦发现解脱这些人欲的自然因素，就可以用它来培育最
美好、最丰硕的成果。
喜帕恰斯，你也满怀热情地学习过这些准则。可是，我的好心人，你
在领略了西西里的豪华生活之后就不再理睬它们了，而由于这种生活你本
来什么也不应当抛弃。许多人甚至说，你在公开讲授哲学，这种作法是毕
达哥拉斯禁止采用的，他把笔记本遗留给自己的女儿达摩（Damo），嘱咐
她不能让家庭成员以外的任何人翻阅。虽然她可以用高价出售这些笔记
本，她拒绝这样做。她认为清贫和父亲的命令比黄金更可贵。他们还说，
当达摩临终时，她把同样的职责交付给自己的女儿比塔丽（Bitale）。然
而我们这些男子汉却没有按自己导师的意愿办事，并背弃了自己的誓言。
如果你改正自己的作法，我会钟爱你。但要是你不这样做，那么在我看来
你已经死去了。
[哥白尼不怀疑上面这封信的真实性，他本来打算用这封信作为第一卷
的结尾。按照这个方案，在这封附有说明材料的信件后面，第二卷随即开
始。这份材料后来被删掉了。《天体运行论》前面
4版都没有印出这份材
料，但在哥白尼原稿复原后发行的各个版本把这一部分包括在内。这个说
明材料见下。]
对于我已经着手进行的工作，那些必不可少的自然哲学命题已有简略
描述。这些可用来作为原则和假设的命题是：宇宙是球形的、浩瀚的，与
无限相似，而包罗一切的恒星天球是静止的，其他一切天体都在作圆周运
动。我还假设地球在作某些旋转运动。我力求以此为基础来创立整个关于
星星的科学。
[《天体运行论》前
4版把原稿在此处被删掉材料的余下部分，印作下
列的Ⅰ，12的开头。]
在这几乎一整部著作中，我要作的论证采用平面和球面三角形的直线
与圆弧。虽然关于这些课题的许多知识在欧几里得（Eu-clid）的《几何原
本》中都可查到，但是那本著作却不包括对本书主要问题（即如何由角求
边和由边求角）的答案。
[第一版用“圆周中直线的长度？”作为Ⅰ、12的标题。《天体运行
论》后面的
3个版本重复了这一标题，但它在原稿中没有直接的依据。
在另一方面，在手稿中原拟作为第二卷第一章的起始部分还有以下一
段。]
弦的长度不能由角来量，而角的大小也不能由弦来量。应当用弧来量。
因此，我们发现一种方法，可以求出任意弧所对应的弦长。利用这些线条，
可以求得对应于一个角度的弧长；而相反地，用弧长能够得到角度所截出
的直线长度。因此，在下卷中讨论这些线条以及平面和球面三角形中的边
与角（托勒密在个别例子中曾加以研究），这对我来说是适宜的。我在这
里要彻底弄清楚这些课题，这样才能阐明我在后面要讨论的问题。
第十二章圆周的弦长
第十二章圆周的弦长
按数学家的一般作法，我把圆分为
360度。但是古人将直径划为
120
等分（例如见托勒密《大成》，Ⅰ，10）。后人希望避免弦长（大部分是
无理数，甚至在平方时也如此）在乘除中出现分数的麻烦。有人采用
1，200，000等分；另一些人取
2，000，000；而在印度数码通行后，还有人
创立其他适用的直径体系。用这样的体系作快速运算，肯定超过希腊或拉
丁体系。由于这个缘故，我也采用直径的
200，000划分法，这已足够排除
任何大的误差，当数量之比不是整数比时，我们只好取近似值。我在下面
严格仿照托勒密的办法，用六条定理和一个问题(147)来说明这一课题。
定理一
给定圆的直径，则内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的
边长均可求得。
半径（直径的一半）等于六角形的边长。欧几里得《几何原本》
(148)
证明，三角形边长的平方为六角形边长平方的
3倍，而正方形边长的平方
为它的两倍。因此，取六角形边长为
100，000单位，则正方形边长为
141，422，三角形边长为
173，205。
图
1—5
令六角形边长为
AB。按欧几里得著作第二卷第十题（或Ⅵ，10），它
在
C点被分为呈平均和极端比值的两段
①。令较长的一段为
CB，把它再延
伸一个相等长度
BD。于是整条线
ABD也被分成平均和极端比值。延伸部分
BD是较短的一段，它是内接于圆内十角形的一边，而
AB是六角形的一边。
这从欧氏著作(149)，ⅩⅢ，5和
9可以了解到。
BD可按下列方法求出。等分
AB于
E点。从欧氏著作、ⅩⅢ、3可知，
EBD和平方为
EB平方的
5倍。已知
EB和长度为
50，000单位。由它的平
方的
5倍可得
EBD的长度为
111，803。如果把
EB的
50，000减掉，剩下
BD和
61，803单位，这就是我们所求的十角形的边长。
进而言之，五角形边长的平方等于六角形边长与十角形边长平方之
和。由此可得五角形边长为
117，557单位。因此，当圆的直径已知时，内
接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。证讫。
推论
因此，任意圆弧的弦已知时，半圆的剩余部分所对的弦长也可求得。
内接于一个半圆的角为直角。在直角三角形中，对应于直角的边（即
直径）的平方等于形成直角的两边的平方之和。十角形一边所对的弧为
36
度。定理一已证明它的长度为
61，803单位，而直径为
200，000单位。因
此可得半圆剩下的
144度所对的弦长为
190，211单位。五角形一边的长度
为
117，557单位，它所对的弧为
72度，半圆其余
108度所对弦长可求得
为
161，803单位。定理二（定理三的预备定理）
①即黄金分割
图
图
令圆内接四边形为
ABCD，我说的是对角线的乘积
AC×DB等于
AB×DC
和
AD×BC两个乘积之和。取
ABE角等于
CBD角。于是整个
ABD角等于整个
EBC角，而
EBD角为两者所共含。此外，ACB和
BDA两角相等，因为它们截
取圆周的同一段弧。因此两个相似三角形（BCE和
BDA）的相应边长成比例，
BC∶BD=EC∶AD，于是乘积
EC×BD等于乘积
BC×AD。因为
ABE和
CBD两角
是作成相等的，而
BAC与
BDC两角由于截取同一圆弧而相等，所以
ABE和
CBD两个三角形也相似。于是，和前面一样，AB∶BD=AE∶CD，乘积
AB×CD
等于乘积
AE×BD。但是已经证明乘积
AD×BC等于乘积
BD×EC。相加便得
乘积
BD×AC等于两个乘积
AD×BC与
AB×CD之和。此即所需证明。
定理三
由上述可知，如果在一个半圆中两段不相等的弧所对弦长已知，则可
求得两弧之差所对的弦长。
在直径为
AD的半圆
ABCD中，令相对于不等弧长的弦为
AB和
AC。我
们需要求弦长
BC。从上述（定理一的推论），可求相对于半圆中弧的弦
BD
和
CD。于是在半圆中形成四边形
ABCD。它的对角线
AC和
BD，以及三个边
AB、AD和
CD都已知。按定理二，在这个四边形中，乘积
AC×BD等于两个
乘积
AB×CD和
AD×BC之和。因此，从乘积
AC×BD中减去
AB×CD，剩下
的是乘积
AD×BC。如果除以
AD（这是办得到的），便可得我们所求的弦长
BC。
图
1—7
由上述，例如五角形和六角形的边长已知，于是它们之差
12°（=72°-60°）所对的弦长可用这个方法求得为
20，905单位。定理四已知任意
弧所对的弦，可求其半弧所对的弦长。
图
1—8
令圆为
ABC，其直径为
AC。令
BC为给定的带弦的弧。从圆心
E，作直
线
EF与
BC相垂直。于是，按欧氏著作Ⅲ，3，EF将
BC等分于
F点。延长
EF，它将弧等分于
D。画弦
AB和
BD。ABC和
EFC为直角三角形。进而言之，
因为有共同角
ECF，它们是相似三角形。因此，既然
CF为
BFC的一半，EF
为
AB的一半。但与半圆所余弧长相对的弦
AB可按定理一的推论求得。于
是
EF也可得出，而半径的剩余部分
DF也求得了。作直径
DEG。画
BG联线。
在三角形
BDG中，从直角顶点
B向斜边作的垂直线为
BF。因此乘积
GD×DF
等于
BD的平方。于是
BDG弧的一半所对的弦
BD的长度便求出了。
因为对应于
12°的弦长已求得（定理三），对应于
6°的也可得出为
10，467单位；3°为
5，235单位；1
1/2°为
2，618单位；和
3/4°为
1，309
单位。
定理五
更进一步，已知两弧所对的弦，可求两弧之和所对的弦长。
图
1—9
令圆内已知的两段弦为A和.. BC。我要说明对应于整个.. ABC弧的弦长
也可求得。画直径.. AFD和.. BFE以及直线.. BD和.. CE。因为.. AB和.. BC已知，而
DE等于.. AB，由前面的定理一的推论可得这些弦长。联接.. CD，完成四边形
BCDE。它的对角线.. BD和.. CE以及三个边.. BC、DE和.. BE都可求得。剩余的一
边（CD）也可由定理二求出。因此与半圆余下部分所对的弦.. CA可以得到，
这即是整个.. ABC弧所对的弦。这是我们所要求的结果。
令圆内已知的两段弦为A和.. BC。我要说明对应于整个.. ABC弧的弦长
也可求得。画直径.. AFD和.. BFE以及直线.. BD和.. CE。因为.. AB和.. BC已知，而
DE等于.. AB，由前面的定理一的推论可得这些弦长。联接.. CD，完成四边形
BCDE。它的对角线.. BD和.. CE以及三个边.. BC、DE和.. BE都可求得。剩余的一
边（CD）也可由定理二求出。因此与半圆余下部分所对的弦.. CA可以得到，
这即是整个.. ABC弧所对的弦。这是我们所要求的结果。
1/2°和.. 3/4°相对的弦长都已求得。取这样的间距，可以
制精确的表。可是如果需要增加一度或半度，使两段相加，或作其他运算，
