CFI=[CF+FI=524
p+212p]≌7361/2(182)。
与此相似，在三角形
HEF中（H为直角）还已知
HEF=23
1/4。(183)。于
是在取
EF=10，
000p时，显然可得
FH=3947
p。但在取
CE=10，
000p时，EF=10，
014p，此时
FH=3953
p(184)。然而上面已求得
FH[在Ⅴ，27开头，该处所用
符号为
DF]=3573
p。令
FK=3573
p。于是
HK=[此
FH-FK=3953
p-3573p的]余量
=380p=行星与
F的距离的最大变化，而
F=行星轨道中心。[当行星运动时，]
轨道由高、低拱点延伸到平拱点。由于有这个距离及其变化，行星绕其轨
道中心
F描出不相等的圆。这些圆随不同的距离而变。最短的距离
=3573p[=FK]，而最长距离=3953
p[=FH]。它们的平均值应当=3763
p[380p÷
2=190p，190
p+3573p，3953
p-190p]。证讫。
第二十八章为什么水星在六角形一边[离近地点为.. 60°]附近的距
角看起来大于在近地点的距角
进而言之，在一个六角形的边与[一个外接]圆的交点附近，水星的距
角比在近地点处为大，这于是就不足为奇了。[这些在离近地点
60°处的
距角]甚至超过我[在
V，27末尾]已经求得的距角。因此古人
(185)相信，在
地球运转一周时水星轨道有两次最靠近地球。
作角
BCE=60°。因为假定
F在
E（=地球）运转一周时转了两周，故角
BIF=120°。连结
EF和
EI。当取EC=10，
000p时，[在V，27]已求得CI=736
1/2p，
而角
ECI已知=60°。因此在三角形
ECI中，其余的边
EI=9655
p，而角
CEI≌，3°47′。CEI=ACE-CIE。但已知
ACE=120°[按图形=BCE（=60°）的
补角]。因此
CIE=116°13′[=ACE-CEI=120°-3°47′]。但同样由图形可
知
FIB=120°=2×ECI[=60°]。[与
FIB=120°]合成一个半圆的
CIF=60°。
EIF=[CIE-CIF=116°13′-60°的]余量=56°13′。但在取
EI=9655
p[V，
28，上面]时[在
V，27]已求得
IF=212
p。此两边夹出已知角
EIP[=56°13′]。由此可得角
FEI=1°4′。CEF=[CEI-FEI=3°47′-1°4′的]余量=2°43′=行星轨道中心与太阳平位置之差值。[在三角形
EFI中]其余的边
EF=9540p。
现在绕中心
F画水星轨道
GH。从
E画
EG和
EH与此轨道相切。连结
FG
及
FH。我们应当首先确定在这个情况下半径
FG或
FH的大小。这可用下述
方法办到。当
AC=10，000
p时，作一个直径
KL=380
p[=最大变化；V，27]
的小圆。沿此或与之相当的直径，设想行星在直线
FG或
FH上接近或离开
圆心
F，其情况与前面所谈的二分点岁差[Ⅲ，4]相似。按假设
BCE截出的
弧段=60°，取
KM=同样分度的
120°。画
MN垂直于
KL。MN=与
2×KM或
2×ML所对之弦的一半。由欧几里得《几何原本》Ⅷ，12与
V，15相结合可
以证明，MN所截出的
LN=直径的
1/4=95p[=1/4×380p]。于是
KN=直径的其余
3/4=285p[=380-95]。这与行星的最短距离[=3573
p；V，27]相加=在本例中
所求线段
FG或
FH=3858
p[=3573p+285p]，此时同样有
AC=10，000
p并已求
得
EF=9540
p[V，28前面]。因此在直角三角形
FEG或
FEH中，[EF与
FG或
FH]两边已知。于是角
FEG或
FEH也已知。取
EF=10，000
p，则
FG或
FH=4044p(186)，其所张的角=23°52
1/2′。因之整个
GEH[=FEG+FEH=2×23
°521/2′]=47°45′。但在低拱点只看到
46
1/2°；而在平拱点，与此相似
为
46
1/2°[V，27]。由此可知，在此处角度比该两种情况都大
1°14′[≌
47°45′-46°30′]。原因并非行星轨道比在近地点时更靠近地球，而是
在此处行星描出比在该处更大的圆周。这一切结果都与过去及现在的观测
相符，并都由均匀运动产生。
图
5—30
第二十九章水星平均行度的分析
第二十九章水星平均行度的分析
斯
21年埃及历
1月
19日破晓时，水星是在穿过
天蝎前额第一和第二颗星直线东面两个月亮直径和第一星北面一个月亮直
径处(187)。已知第一颗星的位置=黄经
209°40′，北纬
1
1/3°；第二颗星
的位置=黄经
209°，南纬
1°
1/2°1/3°=15/6°(188)。由此可推求出水星的位
置=经度
210°40′[=209°40′+（2×
1/2°）]，≌北纬
1
5/6°[=11/3+1/2°]。
自亚历山大之死历时
59年17日
45日一分；按我的计算，太阳的平位置=228°8′；而行星的清晨距角=17°28′。在此后的四天中
(189)，发现距角仍
在增加。因此行星肯定尚未达到其最大清晨距角，也还没有到其轨道的切
点，而仍在靠近地球的低弧段上运行。因为高拱点=183°20′[V，26]，它
与太阳平位置的距离=44°48′[=228°8′-183°20′]。
接着和前面[V，27]一样，令
ACB=大圆的直径。从
C=[大圆的]中心，
画太阳的平均运动线
CE，使角
ACE=44°48′。以
I为心，画负载偏心圆中
心
F的小圆。按假设取角
BIF=2×ACE[=2×44°48′]=89°36′。连结
EF
与
EI。
在三角形
ECI中两边已知：在取
CE=10，
000p时，CI=736
1/2(190)[V，27]。
这两边夹出已知角
ECI=135°12′=ACE[=44°48′]的补角。余下的边
EI=10，534
p，而角
CEI=2°49′=ACE-EIC。因此可知
CIE=41°59′[=44°48′-2°49′]。但
CIF=BIF[=89°36′]的补角=90°24′。于是整个
EIF=[CIP+EIC=90°24′+41°59′]=132°23′。
在三角形
EFI中，夹出
31EIF的也是已知边，即为假设
AC=10，000
p
时的
EI=10，
534p和
IF=211
1/2p。由此可知角
FEI=50′，而其余的边
EF=10，
678p。CEF=[CEI-FEI=2°49′-50′的]余量=1°59′
现在画小圆
LM。在取
AC=10，000
p时，其直径
LM=380
p(191)。按假设令
弧
LN=89°36′。画它的弦
LN以及与
LM垂直的
NR。于是（LN）
2=LM×LR。
按此已知比值；在取直径
LM=380
p时，可得
LR的长度≌189
p。行星在沿此
[LR]或与之相当的直线上运动时，已经偏离其轨道中心
F，此时直线
EC扫
出角
ACE。于是当这段长度[189
p]与
3573
p=最短距离[V，27]相加时，在这
种情况下其和=3762
p。
因此以
F为心，取半径=3762
p画一个圆。画直线
EQ，与[水星轨道的]
凸圆周相交于
G点，使角
CEO=17°28′=行星离太阳平位置的视距角[=228°8′-210°40′]。连结
FG以及与
CE平行的
FK。从整个角
CEG中减去
CEF，
余量
FEG=15°29′[=17°28′-1°59′]。于是在三角形
EFG中已知两边：
EF=10，678
p和
FG=3762
p，以及角
FEG=15°29′。由此得出角
EFG=33°46′。EFG-EFK（=[内错角]CEF）=KFG=弧
KG=31°47′[=33°46′-1°59′]。
此为行星与其轨道平均近地点=K的距离。如果
KG与一个半圆相加，其和
=211°47′[=180°+31°47′]=在这次观测中视差近点角的平均行度。证
讫。
第三十章水星运动的最近观测
第三十章水星运动的最近观测
(192)。水星在白羊宫和双鱼宫升起时，以及在另一端，
即在室女宫及天秤宫沉没时，我们都看不见。进而言之，即使在晨昏时刻，
它也不会在巨蟹宫或双子宫的任何一处露面。除非太阳已进入狮子宫，它
从来不会在夜晚出现。由此可知，我们在研究这颗行星的运行时，往往困
惑难解并耗费大量劳力。
因此我从在纽伦堡(193)精细观测的位置中，借用其中的三个。第一个
为瑞几蒙塔纳斯的学生贝恩哈德·瓦耳脱（BernhardWalther）所测定。时
间为公元.. 1491年.. 9月.. 9日午夜后.. 5个均匀小时。他用环形星盘.. (194)指向毕
宿五①观测。他看见水星在室女宫内.. 13 1/2°[=1631/2°](195)、北纬1°50′
处。当时该行星开始晨没，而在这以前若干日内它在清晨出现的次数逐渐
减少(196)。从基督纪元开始以来，共有1491埃及年.. 258日.. 12 1/2日-分.. (197)。
太阳自身的平位置=149°48′。但从春分点算起为在室女宫内.. 26°47′..
[=176°47′](198)。于是水星的距角≌13 1/4°[176°47′-163°50′=13°
17′]。
第二个位置是约翰·熊奈尔（Johann Sch .ner）.. (199)于公元.. 1504年.. 1
月.. 9日.. (200)午夜后.. 6 1/2小时测定的，那时天蝎座内.. 10°正在纽伦堡上空的
中天位置。他看见行星是在摩羯宫内3 1/3°和北纬.. 0°45′处。可以算出从
春分点量起的太阳平位置=摩羯宫.. 1/2(201)内.. 27°7′[=297°7′]，而清晨
时水星在西面.. 23°47′处。
第三次观测也是约翰[·熊奈尔]于同一年即.. 1504年.. 3月.. 18日.. (202)进
行的。他测出水星是在白羊宫内.. 26°55′.. (203)、北纬约.. 3°处，当时巨蟹
宫里.. 25°正在过纽伦堡的中天·他的浑仪于午后.. 7 1/2小时指向同一颗星，
即毕宿五。那时太阳相对于春分点的平位置=白羊宫内.. 5°39′，而水星于
黄昏离太阳的距角=21°17′[≌26°55′-5°39′]。
从第一至第二位置的测定历时.. 12埃及年125日.. 3日-分45日-秒.. (204)。
在此时期内太阳的简单行度=120°14′.. 1/2(205)，而水星的视差近点角=316
°1′(206)。第二段时期有.. 69日.. 31日-分.. 45日-秒.. (207)，太阳的平均简单
行度=68°32′.. (208)，而水星的平均视差近点角=216°。
我希望根据这三次观测来分析目前水星的运动。我认为应当承认，在
这些观测中从托勒密到现在测定的各圆周的大小仍然正确。这是因为并未
发现早期研究者对其他行星在这方面走入歧途。如果除这些观测外我还求
得偏心圆拱点的位置，则对这颗行星的视运动不再缺少什么东西了。我已
经假定高拱点的位置=211 1/2°，即在天蝎宫内.. 18 1/2°(209)。我无法使它变
得小一些而不影响观测。于是可得在第一次测定时偏心圆的近点角，我指
的是太阳平位置与远地点的距离，=298°15 (210)；在第二次，=58°29′..
①即金牛座
a星
(211)(211)(212)。
现在按前面的模型作图，不同之点是取角.. ACE=61°45′[=360°-298°15′]=在第一次观测时平太阳线在远地点西面的距离。令由此而出现的
一切都与假设相符。当取.. AC=10，000 p时，已知.. IC[Ⅴ，29]=736 1/2。在三
角形.. ECI中，还已知角.. ECI (213)[=180°-（ACE=61°45′）=118°15′]。
于是可知角.. CEI=3°35′，并在取.. EC=10，000 p时，边.. IE=10，369 p，以及..
IF=2111/2p[Ⅴ，29]。
图.. 5—32
于是在三角形.. EFI中也是这样，已知两边的比值[IE：IF=10，369 p∶..
2111/2p]。按图，角.. BIF=123 1/2°=2×ACE[=61°45′]。CIF=[BIF=123 1/2°
的]补角=56 1/2°。因此整个.. EIF[（CIF+EIC=56°30′+（EIC=ACE-CEI=61
°45′-3°35′=58°10′）]=114°40′。由此可知.. IEF=1°5′，而边
EF=10，371 p。于是角.. CEF=2 1/2°[=CEI-IEF=3°35′-1°5′]。
然而，为了确定进退运动可使以.. F为心的圆与远地点或近地点的距离
增加多少，画一个小圆，它由直径.. LM和.. NR在圆心.. O四等分。取角POL (214)=2
×ACE[=61°45′]=1231/2°。由.. P点作.. PS垂直于.. LM。于是，按已知比值，
OP（或与之相等的.. LO）∶OS=10，000 p∶5519p=190∶150(215)。当.. AC=10，..
000p时，这些数目相加成为LS=295 p，即为行星距中心.. F更远的限度。把..
295p与.. 3573 p=最短距离[Ⅴ，27]相加。其和=3868 p=现在的数值。
以此为半径，绕中心.. F画圆.. HG。连结.. EG，并延长.. EF成直线.. EFH。已
求得角.. CEF=2 1/2°。由观测得GEC=13 1/4°=[瓦耳脱观测到的]在清晨行星与
平太阳的距离。于是整个.. FEG [=GEC+ CEF=13°15′+ 2°30′]=15 3/4°。
但在三角形.. EFG中，EF∶FG=10，371 p∶3868p，而角.. E已知[=15°45′]。
我们由此还可知角.. EGF=49°8′。于是剩下的外角[GFH=EGF+GEF=49°8′
+15°45′]=64°53′。从整个圆减去这个数量，余量=295°7′=真视差近
点角。把此角与角.. CEF[=2°30′]相加，其和=平均和均匀[视差近点
角]=297°37′，此即我们所求。对此加上.. 316°1′[=第一次与第二次观
测之间的视差近点角]，于是可得第二次观测的均匀视差近点角=253°38′[=297°37′+316°1′=613°38′-360°]。我还将证明这是正确的并与
观测相符。
图.. 5—38
我们取角.. ACE=58°29′，作为在第二次观测时偏心圆的近点角。于
是，又一次出现这种情况，在三角形.. CEI中两边已知：当取.. EC=10，000 p
时，IC=736 p[以前和今后为.. 736 1/2p]还已知角.. ECI，即[ACE=58°29′的]补
角=121°31′。因此，用同一单位，第三边.. EI=10，404 p，而角CEI=3°28′。与此相似，在三角形EIF中，角.. EIF (216)=118°3′，而当IE=10，404 p
时，边.. IF=211 1/2p。因此，在同样单位中第三边.. EF=10，505 p，而角IEF=61
′。于是余量.. FEC[=CEI-IEF=3°28′-1°1′]=2°27′=偏心圆的行差。
把此量与平均视差行度相加，其和=真[视差行度]值=256°5′[=2°27′
+253°38′]。
图.. 5—34
现在我们在引起进退运动的小本轮上取弧
LP或角
LOP=2×ACE[=58°
29′]=116°58′(217)。于是，再次如此，在直角三角形
OPS中因已知两边
