形外接圆的直径=10，000 p，边长FE=9428 p(111)和.. ES=5757 p(112)。于是在取
BD=10，000 p时，已知.. EF=10，776 p，应有.. ES≌6580 p(113)。这与托勒密得
出的结果[《大成》，X，8；39 1/2：60]也相差甚微，并与之几乎完全相符..
[391/2：60=6583 1/3：10，000 p]。但用同样单位表示，整个.. ADE=11，..
460p[=AD+DE=10，000+1460]，而余量EC=8540 p[ADEC=20，000 p]。在.. A=偏
心圆的高拱点，小本轮减少.. 500 p，而在低拱点增加同一数量，于是在高拱
点为
10，960
p[=11，460-500]而在低拱点为
9040
p[8540+500]。因此，取
地球轨道半径=1
p，则火星远地点及最大距离=1
p39′57″(114)，其最小距
离=1
p22′26″(115)，而平均距离=1
p31′11″[1p39′57″-1p22′26″=17′31″；17′31′÷2≌8′45″；8′45″+1
p22′26″≌1p39′57″-8′
45″]。因此对火星而言，其行度的大小和距离也已用地球的运动通过可靠
的计算加以解释。
第二十章金星
第二十章金星
他所采用的第一项观测是[斯密尔纳(Smypna)的？]天文学家西翁.. (116)
作出的。这次观测于哈德里安.. 16年埃及历.. 8月.. 21日之后的夜间第一小时
进行。按托勒密所说[《大成》，X，1]，这个时刻=公元.. 132年.. 3月.. 8日黄
昏。那时金星呈现其最大黄昏距角=距太阳平位置.. 47 1/4°，并可算出太阳
的该平位置=在恒星天球上.. 337°41′处.. (117)。托勒密把这次观测与另一次
相比，而他说进行另一次观测的时间为[皮厄斯]安东尼厄斯.. 4年.. 1月.. 12
日破晓时=公元.. 140年.. (118)7月.. 30日黎明。他对此又一次指出金星的最大
清晨距角=47°15′=以前与太阳平位置的距离，该平位置≌恒星天球上
119°处.. (119)，而在过去曾经=337°41′。显然可知，在这两个位置之间的
中点处为彼此相对的两个拱点，其位置为48 1/3°和228 1/3°[337°41′-119
°=218°41′；218°41′÷2≌109°20′；109°20′+119°=228°20′；
228°20′-180°=48°20′]，由于二分点岁差，这两个数目都应加.. 6 2/3。
于是正如托勒密所说[《大成》， X，1]，两个拱点分别位于金牛宫内.. 25
°[55°=481/3°+62/3°]及天蝎宫内.. 25°[=235°=228 1/3°+62/3°]处。在这
两个位置上的金星高、低拱点，应当是正好相对。
再进一步，为了更强有力地证实这一结果，他采用西翁的另一次观测。
此次观测的时间为哈德里安12年3月20日破晓=公元127年.. (120)10月 12
日清晨。那时又一次发现金星是在其最大距角处=与太阳平位置相距.. 47°..
32′=119°13′(121)。除此而外，托勒密还加上自己在哈德里安.. 21年=公
元.. 136年所作的一次观测，这是在埃及历6月.. 9日=罗马历.. 12月.. 25日，在
下一个夜晚的第一小时，当时又一次求得黄昏距角=距平太阳.. 47°32′..
=265°(122)。但在西翁的上次观测时，太阳的平位置=191°13′。这些位
置的中点[265°-191°13′=73°47′；73°47′÷2≌36°53′；36°53′+191°13′=228°6′；228°6′-180°=48°6′]又一次≌48°20′，
228°20′，而这些应当为远地点和近地点的位置。从二分点量起，这些点
=金牛宫与天蝎宫内.. 25°处。按下述[《大成》，X，2]，托勒密有另外两
次观测来区分这两个位置。
一次是西翁的观测，时间为哈德里安.. 13年.. 11月.. 3日=公元.. 129年.. 5
月.. 21日，在破晓时。当时他测得金星的清晨最大距角=44°48′.. (123)，而
太阳的平均行度=48 5/6°，金星出现在恒星天球上.. 4°[≌48°50′-44°48
′]处。托勒密自己进行了另一次观测，时间在哈德里安
21年埃及历
5月
2日，我查出这为罗马历公元
136年
11月
18日
(124)。在此之后夜晚第一
小时，太阳的平均行度=228°54′
(125)，由此可得金星的黄昏最大距角=47°16′，而行星本身出现在
276
1/6°[=228°54′+47°16′]。用这些观测
可使两个拱点区分开；即高拱点=48
1/3°。金星在该处的最大距角较小，而
低拱点=228
1/3°，此处最大距角大一些。证讫。
第二十一章地球和金星轨道直径的比值
第二十一章地球和金星轨道直径的比值
以
C为心画地球轨道
AB。通过两个拱点画直径
ACB，取它上面的
D为金星轨道中心，而金星轨
道对圆
AB而言是偏心的。令
A=远日点位置。当地球在远日点时，金星轨
道中心[距地球]最远。太阳的平均行度线
AB在
48
1/3°[的
A]处。而
B=金
星的近日点，在
228
1/3°。此外画直线
AE和
BF，它们与金星轨道相切于
E
和
F两点。连结
DE及
DF。
图
5—22
DAE是在圆心的角，它所对的弧=44
4/5°[=在西翁第三次观测中的最大
距角，见Ⅴ，20]，而
AED为直角。因此三角形
DAE各角均已知：于是可得
它的边长，即在取
AD=10，000
p时，DE=两倍
DAE所对弦的一半=7046
p(126)。
用同样方法，在直角三角形
BDF中，已知角
DBF=47°16′
(127)，以及当
BD=10，000
p时，弦
DF=7346
p。于是取
DF=DE=7046
p时，按这样的单位
BD=9582p(128)。于是整个ACB=19，
582
p[=BD+AD=9582p+10，
000
p]；
AC=1/2[ACB]=9791p，而
CD，即[从
BC(=AC)=9791减去
BD的]余量=209
p。在
取
AC=1
p时，DE=43
1/6′，而
CD≌1
1/4′(129)。取
AC=10，
000[时，DE=DF=7193
p，
而
CD≌208
p(130)。证讫。
第二十二章金星的双重运动
第二十二章金星的双重运动
绕
D点并非作简单的均匀运动。托勒密的两次观测[《大成》，
X，3]尤其可以证明此点。他进行其中一次观测的时间为哈德里安
18年埃
及历
8月
2日=罗马历公元
134年
2月
18日。那时太阳的平均行度=318
5/6
°(131)，金星于清晨出现在黄道上
275
1/4°(132)处。已经达到其距角的最大
极限=43°35′[+275°15′=318°50′]。在[皮厄护]安东尼厄斯
3年埃及
历
8月
4日=罗马历公元
140年
2月
19日清晨时，托勒密完成了第二次观
测。那时太阳的平位置也是=318
5/6°，金星离它为黄昏最大距角=48
1/3°，
并出现在经度
7
1/6°(133)[=48°20′+318°50′-360°]处。
图
5—23
在了解到这一情况后，在同一地球轨道上取地球所在点
G，使
AG=圆周
的一个象限。太阳在其平均运动中在两次观测时看来各在圆周的相对一
面，太阳在金星偏心圆远地点西面的距离即为
AG[48
1/3°+360°-90°=318
°20′≌3185/6°]。连结
GC，并作
DK与之平行。画
GE和
GF与金星轨道
相切。连结
DE、DF及
DG。
在第一次观测时，角
EGC
(134)=清晨距角=43°35′。在第二次观测时，
CGF=黄昏距角=48
1/3°。二者之和=整个
EGF=91
11/12°。因此
DGF=
1/2[EGF]=45
°571/2′。[把
DGF从
CGF=48
1/3°减去时，48
1/3°-45°571/2′=2°221/2′]
余量
CGD
≌2°23′。但
DCG为直角。因此在[直角]三角形
CGD中各角已知，
各边的比值可知，于是在取
CG=10，000
p时，长度
CD=416
p(135)。然而上面
已求得，在同样单位中两圆心距离=208
p[Ⅴ，21]。现在它正好大了一倍。
于是当
CD等分于
M点时，同样可得
DM=208
p=整个这一进退变化。如果这
个变化再次等分于
N，此为这个运动的中点和归一化点。由此可知，与三
个外行星一样，金星的运动也由两个均匀运动合成。无论是在那些情况下
为偏心本轮[Ⅴ，4]，还是如前面所述的任何其他方式，情况都如此。
然而就运动的式样和度量而言，这颗行星与其他行星有所区别。而（按
我的看法）用一个偏心偏心圆可以更容易和更方便地说明这一点。于是，
假如以
N为心，DN为半径画一个小圆，而金星圆周[的中心]按下述规律在
此小圆上旋转和移动。每当地球接触到含有偏心圆高、低拱点的直径
ACB
时，行星圆周中心总是位于[距地球轨道中心
C]最近的地方，即是在
M点。
但当地球位于中间拱点（例如
G）时，[行星]圆周中心到达
D点，此时
CD
为[距地球轨道中心
C的]最大距离。于是由此可知，当地球在其自身轨道
上运行一周时，行星圆周的中心绕中点
N旋转两次，并且是在与地球运动
相同的方向上，即是向东。下面即将看清楚，通过对金星的这一假设，它
的均匀行度和视行度与每一种情况都相符。到此为止对金星求得的每项结
果都与现代数值吻合。只是偏心距减少了约
1/6。以前它为
416°[托勒密，
《大成》，X，3；2
1/2p：60
p=4162/3]，但是许多次观测表明它现在是
350p[416
×5/6=347]。
第二十三章金星运动的分析
第二十三章金星运动的分析
一次是托勒密于[皮厄斯]安东尼厄斯2年5月29日.. (136)破晓前进行的
观测。在月亮与天蝎前额最北面[三颗星中]第一颗亮星之间的直线上，托
勒密看见金星与月球的距离为与恒星距离的.. 1 1/2倍。恒星的位置已知，即
为[黄经]209°40′和北纬.. 1 1/3°。为了确定金星的位置，值得查明月亮被
观测到的地点。
从基督诞生至这次观测时在亚历山大城午夜后.. 4 3/4小时，历时.. 138埃
及年.. 18日，但在克拉科夫为地方时3 3/4h或均匀时.. 3 h41m=9dm23ds(137)。太阳
按其平均均匀行度当时在.. 255 1/2°(138)，按其视行度为在人马宫内.. 23°
[=263°]处。于是月亮离太阳的均匀距离=319°18′，其平均近点角=87°37′，而它距其北限的平均黄纬近点角=12°19′。由此可算出月球的真
位置=209°4′和北纬.. 4°58′。加上当时的两分点岁差=6°41′，这使月
亮位于天蝎宫内.. 5°45′[=215°45′=209°4′+6°41′]。用仪器可测
出，在亚历山大城室女宫内.. 2°位于中天，而天蝎宫里.. 25°正在升起。因
此按我的计算结果，月球的黄经视差为.. 51′，黄纬视差为16′。于是就在
亚历山大城观测到并经改正的数值而言，月亮的位置为.. 209°55′[=209°
4′+51′]和北纬.. 4°42′[=4°58′-16′]。由此定出金星的位置=209°
46′和北纬.. 2°40′.. (139)。
现在令地球轨道为.. AB，其中心在.. C，而通过两拱点的直径为.. ACB。设
从.. A点望去金星是在其远地点=48 1/3°，而.. B为相对的点=228 1/3°。取
AC=10，000，在直径上截出距离.. CD=312 p。以.. D为心，取半径.. DF= 1/3CD，即
104，画小圆。
因太阳的平均位置=255 1/2°，故地球与[金星]低拱点的距离=27°10
′[+2281/3°=2551/2°]。于是令弧.. BE=27°10′。连结 EC、ED和 DF，使
角 CDF= 2×BCE(140)。然后以.. F为心画出金星的轨道。直线.. EF与直径.. AB
相交于.. 0。令.. EF的延长线与金星的凹面圆周相交于.. L。还向这段圆周画平
行于.. CE的.. FK。设行星位于.. G点。连结.. GE与.. GF (141)。
图.. 5—24
既然这些准备都已完成，我们的任务是求弧.. KG=行星与其轨道平均远
地点.. K的距离，并求角.. CEO。在三角形.. CDE中，角.. DCE=27°10′，而在取
CE=10，000时，边.. CD=312 p。于是其余的边.. DE=9724，而角CED=50′.. (142)。
与此相似，在三角形.. DEF中两边已知，即当.. DF=104和.. CE=10，000时，..
DE=9724p。ED与DF两边所夹角[EDF]已知。还有CDF=54°20′[=2×(BCE=27°10′)]以及.. FDB=半圆[减去.. CDF=54°20′]的余量=125°40′。因此整个..
FDE=153°40′(143)。于是可得在以上单位中.. EF边=9817，以及角.. DEF=16′。
整个.. CEF[=DEF+CED=16′+50′]=1°6′。此为平均行度与绕中心F的
视行度之差，即为BCE与.. EOB两角之差。因此便得.. BOE=28°16′[=27°10′+1°6′]，这是我们的第一项任务。
其次，角.. CEG=45°44′=行星与太阳平位置之间的距离[=255 其次，角.. CEG=45°44′=行星与太阳平位置之间的距离[=255 /2°-209°46′]。于是整个.. FEG[=CEG+FEC=45°44′+1°6′]=46°50′。但在取
AC=10，000时，已知EF=9817 p，并在上述单位中已求得.. FG=1193。于是在
三角形.. EFG中，可知.. EF和.. FG两边之比[9817∶7193]以及角.. FEG[=46°50′]。还可得角.. EFG=84°19′。由此可知外角 LFG=131°6′=弧.. LKG=行星
与其轨道的视远地点的距离。但前已阐明，角.. KFL=CEF=平拱点与真拱点之
差=1°6′。从.. 131°6′减去此角，余量=130°=由行星至平拱点的弧.. KG。
圆周的其余部份=230°=从.. K点量起的均匀近点角。于是我们对[皮厄斯]
安东尼厄斯.. 2年（=公元.. 138年）12月.. 16日午夜后.. 3小时.. 45分.. (144)，求
得在克拉科夫的金星均匀近点角=230°。此为我们所求的数量。]
一次为提摩恰里斯于托勒密·费拉德法斯(Ptolemy philadel-phus)13
年=亚历山大死后.. 52年，埃及历.. 12月.. 18日破晓时进行的观测。据报导，
在这次观测时看见金星掩食室女左翼四颗恒星中最偏西的一颗。按对该星
座的描述，此为第六颗星，其经度=151 1/2°(145)，纬度=北.. 1 1/6°，而星等
=3。于是金星的位置显然可知[=151 1/2°]。可算出太阳的平位置=194°23′。
情况如插图所示，A点在.. 48°20′处，弧.. AE=146°3′[=194°23′48°
20′]。BE=[从半圆减去.. AE=180°-146°3′的]余量=33°57′。此
外，角.. CEG=行星与太阳平位置的距离=42°53′[=194°23′-151 1/2°]。
在取.. CE=10，000 p时，线段CD=312 p[=208p+104p]。角.. BCE[=弧.. BE]=33°57′。于是在三角形CDE中其余的角为.. CED=1°1′[和.. CDE=145°2′]，而第
三边.. DE=9743 p。但角.. CDF=2×BCE[=33°57′]=67°54′。从半圆减去.. CDF，
余量=BDF=112°6′。三角形CDE的一个外角.. BDE[=CED+(DCE=BCE)=1°1′
+33°57′]=34°58′。于是整个EDF[=BDE+BDF=34°58′+112°6′]=147
°4′(146)。当.. DE=9743 p时，已知.. DF=104 p。此外，在三角形.. DEF中，
图.. 5—25
角.. DEF=20′。整个.. CEF[=CED+DEF=1°1′+20′]=1°21′，而边..
EF=9831p。但是已经知道整个.. CEG=42°53′。因此[从.. CEG(=42°53′)减
去.. CEF(=1°21′)的]余量.. FEG=41°32′。当.. EF=9831 p时，FG=[金星]轨道
半径=7193 p。因此在三角形.. EFG中，通过已知的各边比值并通过角.. FEG，
可得其余两角，其中.. EFG=72°5′。把此值与半圆相加，其和=252°5′=
从[金星]轨道高拱点量起的弧KLG (147)。于是我们又一次确定；在托勒密·费
拉德法斯.. 13年.. 12月.. 18日破晓时，金星的视差近点角=252°5′。
我自己在日没后.. 1小时观测金星的另一位置，这是在公元.. 1529年.. 3
月.. 12日午后第.. 8小时之初。我看见金星开始被月亮两角之间的阴暗边缘所
掩食。这次掩星延续到该小时之末或稍迟一些，那时观察到行星从[月球的]
另一面，在两角之间弯曲边缘的中点向西闪现出来。因此显然可知，正在
该小时的当中或其前后，月亮与金星呈现中心会合，这是我在佛罗蒙波克
目睹过的景象。金星的黄昏距角仍在继续增加，还未达到与其轨道相切的
程度。从基督纪元开始算起，共有.. 1529埃及年.. 87日加上视时间.. 7 1/2小时..
(148)，但按均匀时间为7小时.. 34分钟。太阳在其简单行度中的平位置=332°11′，二分点岁差=27°24′，月球离开太阳的均匀行度=33°57′，它
的均匀近点角=205°1′，而它的黄纬[行度]=71°59′。由此可算出月亮
的真位置=10°，但相对于分点而言=金牛宫内.. 7°24′[=37°24′=10°
+27°24′]，其黄纬=北.. 1°13′。因为天秤宫内15°正在升起，月球的黄
经视差=48′，而黄纬视差=32′。于是它的视位置=金牛宫内.. 6°36′[=7°24′-48′]。但它在恒星天球上的经度=9°12′[=10°-48′]，其北纬
度=41′[=1°13′-32′]。金星在黄昏时的视位置是一样的，那时它与太
阳的平位置相距.. 37°1′[332°11′+37°1′=369°12′=9°12′]，地球
与金星高拱点的距离=西面.. 76°9′[+332°11′=408°20′-360°=48°
20′]。
的均匀近点角=205°1′，而它的黄纬[行度]=71°59′。由此可算出月亮
的真位置=10°，但相对于分点而言=金牛宫内.. 7°24′[=37°24′=10°
+27°24′]，其黄纬=北.. 1°13′。因为天秤宫内15°正在升起，月球的黄
经视差=48′，而黄纬视差=32′。于是它的视位置=金牛宫内.. 6°36′[=7°24′-48′]。但它在恒星天球上的经度=9°12′[=10°-48′]，其北纬
度=41′[=1°13′-32′]。金星在黄昏时的视位置是一样的，那时它与太
阳的平位置相距.. 37°1′[332°11′+37°1′=369°12′=9°12′]，地球
与金星高拱点的距离=西面.. 76°9′[+332°11′=408°20′-360°=48°
20′]。
现在仿照前面的结构模型再次绘图，不同之处只是弧.. EA或角.. ECA=76°9′。CDF=2×ECA=152°18′。在取CE=10，000 p时，按现在求得的结果，
偏心度.. CD=246 p，而.. DF=104 p。因此在三角形CDE中，我们有角DCE=[从.. 180°减去.. ECA=76°9′后的]余量=103°51′，为两已知边[CD=246 p，CE=10，..
000p]所夹。由此可得角.. CED=1°15′，第三边.. DE=10，056 p，而余下的角
CDE=74°54′[=180°-(DCE+CED=103°51′+1°15′)]。但是.. CDF=2×ACE[=76°9′]=152°18′。从.. CDF减去角.. CDE[=74°54′]，则余量为
EDF=77°24′[=152°18′-74°54′]。于是又一次在三角形DEF中，两边
（在取.. DE=10，056 p时，DF=104 p）夹出已知角.. EDF[=77°24′]。还已知角
DEF=35′以及其余的边.. EF=10，034 p。于是整个角.. CEF[=CED+DEF=1°15′
+35′]=1°50′。此外，整个角.. CEG=37°1′=行星离太阳平位置的视距
离。从.. CEG减去.. CEF时，余量FEG[=37°1′-1°50′]=35°11′。由此可
知，三角形EFG同样如此，即角E已知[=35°11′]，两边也已知：在FG=7193 p
