247日中，行度达
110°52′。把这个数值与奥林
匹克会期起点的数值相加，其和=138°10′，此为在埃及历元旦中午亚历
山大纪元开始时的数值。这个方法对任何其他历元也适用。
第十四章木星视差及其相对于地球
运转轨道的高度的测定
第十四章木星视差及其相对于地球
运转轨道的高度的测定
(86)中午前.. 6小时很仔细观测了它的位置。我通过仪器在天蝎前额第
一颗较亮恒星西面.. 4°31′处看见木星。因为该恒星的位置=209°40′，
显然可知木星的位置=恒星天球上.. 205°9′。从基督纪元开端至这次观测
时刻，历时.. 1520均匀年.. 62日.. 15日一分.. (87)。由此推导出太阳的平均行度
=309°16′，以及[平均]视差近点角=111°15′。于是定出木星的平位置
=198°1′[=309°16′-111°15′]。现在已求得偏心圆高拱点的位置=159°[Ⅴ，11]。因此木星偏心圆的近点角=39°1′[=198°1′-159°]。
图.. 5—16
为了说明这一情况，以.. D为心和.. ADC为直径描出偏心圆.. ABC。令远地
点在.. A，近地点在.. C，因此令地球周年运动轨道的中心.. E在.. DC线上。取弧
AB=39°1′。以.. B为心，以.. BF= 1/3DE=两个圆心之间的距离为半径，描小本
轮。令角.. DBF=ADB。画直线.. BD、BE和.. FE。
在三角形.. BDE中两边已知：取.. BD=10，000 p时，DE=687 p。它们所夹已
知角.. BDE=140°59′[=180°-(ADB=39°1′)]。处此可得底边.. BE=10，..
543p，而角.. DBE=2°21′=ADB-BED。因此整个角.. EBF=41°22′[=(DBE=2°
21′)+(DBF=ADB=39°1′)]。于是在三角形.. EBF中，已知角.. EBF以及形成
该角的两边：在.. BD=10，000 p时，EB=10，543 p和.. BF=229 p=1/3(DE=两中心的
距离)。由此可推求出其余的边.. FE=10，373 p以及角.. BEF=50′。直线.. BD与
FE相交于.. X点。于是交点角.. DXE=BDA-FED=平均行度减真行度。
DXE=DBE+BEF[=2°21′+50′]=3°11′。把此数从.. 39°1′[=ADB]减去，
余量=角.. FED=35°50′=偏心圆高拱点与行星之间的角度。但是高拱点位置
=159°[Ⅴ，11]。两角合在一起为.. 194°50′。此为木星对于中心.. E的真
位置，但看起来该行星是在.. 205°9′[Ⅴ，14，见上]。因此，差值=10°
19′属于视差。
现在绕中心.. E画地球轨道.. RST，其直径.. RET平行于.. BD，而.. R为视差远
地点。按[在Ⅴ，14开端所述]平均视差近点角的测定，取弧 RS=111°15′。穿过地球轨道两边延长直线.. FEV。V为行星的真远地点。REV=平均远地
点与真远地点的角度差=DXE，由此得整个弧VRS=114°26′[=RS+RV=111°
15′+3°11′]，而由180°减去.. SEV=114°26′的余数=65°34′。但上面
刚求得视差.. EFS=10°19′，于是在三角形.. EFS中剩余的角.. FSE=104°7′。
因此三角形.. EFS各角已知。可得边长比值为：FE∶ES=9698∶1791 (88)。于
是取.. BD=10，000，在 FE=10，373 p时，ES=1916。然而托勒密在取偏心圆
半径=60 p[《大成》，Ⅺ，2]时，求得ES=11 p30′(89)。这几乎是与.. 1916∶
10，000相同的比值。因此在这方面我与他似乎并无差异。于是直径.. ADC∶
直径.. RET=5 p13′∶1p(90)。与此相似，AD∶ES或.. RE=5 p13′9″∶1p。用同
样办法可得.. DE=21′29″.. (91)和.. BF=7′10″。因此，若取地球轨道半径=1 p，
则当木星在远地点时，整个.. ADE-BF=5 p27′29″[=5p13′9″+21′29″-7′19″]；当该行星在远地点时，余量 EC+BF[=5 p13′9″-21′29″+7′9
″]=4p58′49″；而当该行星位于远地点与近地点中间时，有一个相应的
数值。由这些数字可得出下面的结论。木星在远地点时的最大视差=10°35′，在近地点为
11°35′，而这两个极端值之差=1°。这样一来，木星的
均匀行度及其视行度均已定出。
第十五章火星
第十五章火星
于是在第一次与第二次冲之间有 4埃及年 69日加上 20小时=50日一
分(92)，而除整圈运转外行星的视行度=67°50′[=142°10′-74°20′]。
由第二次至第三次冲历时.. 4年.. 96日.. 1小时.. (93)，行星的视行度=93°44′
[=235°54′-142°10′]。但是在第一时段中。除整圈运转外平均行度=81°44′；而在第二时段为.. 95°28′。于是在取偏心圆半径=60 p时，托勒密
求得[《大成》，Ⅹ，7]两个中心之间的全部距离=12 p；但在取半径=10，..
000p时，相应的距离=2，000 p。从第一冲点到高拱点的平均行度=41°33′；然后按次序在下一段，即由高拱点至第二冲点，平均行度=40°11′；
至于在第三冲点与低拱点之间，平均行度=44°21′。
图.. 5—17
然而按我的均匀运动假设，偏心圆和地球轨道的中心间的距离=1500 p=
托勒密的偏心度(=2000 p)的.. 3/4，而其余的.. 1/4=500p为小本轮的半径。现在
按这样的方式以.. D为心画偏心圆.. ABC。通过两个拱点画直径FDG，令此线上
的.. E点为周年运转圆周的中心。令.. A、B、C依次为各次观测到的冲点位置。
弧段.. AF=41°33′，FB=40°11′和.. CG=44°21′。绕.. A、B和.. C的每一点以
半径=距离.. DE的.. 1/3，描小本轮。连结.. AD、BD、CD、AE、BE及.. CE。在这些
小本轮中画.. AL、BM和.. CN，使角.. DAL、DBM和.. DCN=ADF、BDF和.. CDF。
在三角形.. ADE中，因已知角.. FDA[=41°33′]，可得角.. ADE=138°27′..
(94)。进而言之，有两边已知：在.. AD=10，000 p时，DE=1500 p。由此可知，
用同样单位，剩下的边.. AE=11，172 p，而角.. DAE=5°7′。于是整个
EAL[=DAE+DAL=5°7′+41°33′]=46°40′。在三角形.. EAL中情况也如
此，即已知角EAL[=46°40′]以及两边：在取AD=10，.. 000p时，AE=11，.. 172p
和.. AL=500 p。也可知角AEL=1°56′。与角.. DAE相加时，AEL给出.. ADF与.. LED
的整个差值=7°3′以及.. DEL=34 1/2°(95)。
与此相似，在第二次冲时，已知三角形.. BDE的角.. BDE=139°49′[=180°-(FDB=40°11′)]，而在.. BD=10，000 p时，边.. DE=1500 p。由此可得边
BE=11，188 p，角.. BED=35°13′，而其余的角.. DBE[=180°-(139°49′+35°13′)]=4°58′。因此由已知边.. BE与.. BM[=11，188，500]所夹的整个角..
EBM[=DBE+(DBM=BDF)=4°58′+40°11′]=45°9′(96)。于是由此可得角
BEM=1°53′，而剩下的角
DEM[=BED-BEM=35°13′-1°53′]=33°20′。
因此整个
MEL[=DEM+DEL=33°20′+34
1/2°]=67°50′=由第一次至第二次
冲时行星看起来移动的角度，这个数值与实测结果[=67°50′]相符。
图
5—18
在第三次冲时情况亦复如此。三角形
CDE的两边
CD与
DE已知[=10，
000p，1500
p]。它们所夹角
CDE[=弧
CG]=44°21′。于是在取
CD=10，000
p
或
DE=1500
p时，可得底边
CE=8988
p，角
CED=128°57′，以及剩余角
DCE=6
°42′[=180°-(44°21′+128°57′(97)]。于是又一次在三角形
CEN中整
个角
ECN[=（DCN=CDF=180°-44°21′=135°39′）+（DCE=6°42′）]=142°21′，而它由已知边
EC与
CN[8988
p，500
p]夹出。由此也可知角
CEN=1
°52′。因此在第三次冲时剩余的角
NED[=CED-CEN=128°57′-1°52′]=127°5′。但是已求得
DEM=33°20′。余量
MEN[NED-DEM=127°5′33°
20′]=93°45′=在第二次与第三次冲之间的视运动角。在此求得的数
值也与观测值符合得很好[93°45′与
93°44′相比较]。前面已说明，在
这次最后观测到的火星冲，
NEF]。于是火星偏心圆的远地点当时在恒星天球上的位置为
108°49′
[=235°54′-127°5′]。
现在绕中心
E描地球的周年轨道
RST，其直径
RET平行于
DC。须使
R
为视差远地点和
T为近地点。沿
EX看来行星是在经度
235°54′处。已经
阐明角
DXE=8°34′=均匀行度与视行度之差[=DCE+CEN=6°42′+1°52′，见前面的图]。因此平均行度=244
1/2°[≌235°54′+8°34′=244°28
′]。但角
DXE=中心角
SET，此角同样=8°34′。于是，如果从半圆减去弧
ST=8°34′，便可得行星的平均视差行度=弧
RS=171°26′。因此，除其
他结果外，我用地球运动的假设还说明了在[皮厄斯]安东尼纳斯
2年埃及
历
11月
12日午后
10均匀小时，火星的经度平均行度=244
1/2°，而其视差
近点角=171°26′。
第十六章近来观测到的其他三次火星冲日
第十六章近来观测到的其他三次火星冲日
(98)；而由第二次至第三次观测为.. 4年
72日 23日一分.. (99)。在第一段时期中，视行度.. 187°29′[=63°2′+360°-235°33′]，但均匀行度=168°7′；而在第二时段，视行度=70°18′[=133°20′-63°2′]，但均匀行度=83°。
现在重画火星的偏心圆(100)，与以前不同的是这次.. AB=168°7′和
BC=83°。于是采用我对土星和木星用过的方法（在此不提这些计算的浩
繁、复杂与令人厌倦），我求得火星的远地点是在BC弧上。它显然不能在
AB上面，这是因为在该处视行度超过平均行度，其量为.. 19°22′[=187°
29′-168°7′]。远地点也不会在.. CA上面。尽管该处视行度为 102°13′=360°-(187°29′+70°18′)，比平均行度 360°-（168°7′+83°
=251°7′）=108°53′小一些。然而在位于CA之前的.. BC弧段，平均行度
=83°超过视行度[=70°18′]的幅度[12°42′]比在.. CA[该处平均行度
108°53′-视行度.. 102°13′=6°40′]大一些。但前面已说明[Ⅴ，4]，
在偏心圆上较小和缩减的[视]行度出现在远地点附近。因此应当理所当然
地认为远地点位于.. BC上面。
图.. 5—19
令它为.. F，并令圆周直径为.. FDG。地球轨道的中心[E]以及偏心圆的中
心.. D都在这条直径上。我于是求得FCA=125°59′，并依次得到BF=66°25
′(101)，FC=16°36′，在取半径=10，000 p时，DE=两圆心的距离=1460 p
而用同样单位表示，小本轮半径=500 p。这些数字表明，视行度与均匀行度(，) 互相协调一致，并与观测完全符合。
于是按上述情况作成图形。在三角形.. ADE中，已知.. AD和.. DE两边[10，..
000p，1460 p]以及从火星的第一冲点至近地点的角.. ADE=54°31′[=弧
AG=180°(FCA=125°29′)]。因此可得角DAE=7°24′，剩下的角AED=118°5′[=180°-（ADE+DAE=54°31′+7°24′）]，而第三边.. AE=9229 p。但
按假设，角.. DAL=FDA。因此整个.. EAL[=DAE+DAL=7°24′+125°29′]=132°53′。于是在三角形.. EAL中也是两边.. EA与.. AL已知[9229 p，500 p]，它们
夹出已知角A[=132°53′]。因此其余的角AEL=2°12′，而剩余角LED=115°53′[=AED-AEL=118°5′-2°12′]。
与此相似，在第二次冲时三角形.. BDE的两边.. DB与.. DE已知[10，000 p，..
1460p]。它们所夹角 BDE[=弧 BG=180 °-(BF=66°25′)]=113°35′..
(102)。因此，按平面三角定理可得角.. DBE=7°11′，其余的角.. DEB=59°14′[=180°-(113°35′+7°11′)]，在取DB=10，000 p和.. BM=500 p时，底边
BE=10，668 p，而整个.. EBM[=DBE+(DBM=BF)=7°11′+66°25′]=73°36′..
(103)。
于是三角形
EBM也是这样，其已知两边[BE=10，668，BM=500]夹出已
知角[EBM=73°36′]，可以得出角
BEM=2°36′。从
DEB=59°14′减去
BEM
后，余量
DEM=56°38′。于是由近地点至第二冲点的外角
MEG=[DEM=56°
38′的]补角=123°22′。但是已求得角
LED=115°53′。其补角
LEG=64°7′。把此角与已得出的
GEM[=123°22′]相加，并取
4直角=360°时，
其和=187°29′。这个数目与从第一到第二冲点的视距离[=187°29′]相
符。
用同样方法可对第三次冲作类似的分析。已经求得角
DCE=2°6′，以
及在取
CD=10，
000p时
EC边=11，
407p。因此整个角
ECN[=DCE+(DCN=FDC)=2°6′+16°36′]=18°42′。在三角形
ECN中，CE与
CN两边已知[11，
407p，
500p]。于是可求出角
CEN=50′。把这个数字与
DCE[=2°6′]相加，其和
=2°56′=视行度角
DEN小于均匀行度角
FDC[=弧
FC=16°36′]的量。因此
可知
DEN=13°40′
(104)。这些数目[DEN+DEM=13°40′+56°38′=70°18′]又一次与观测到的第二次与第三次冲之间的视行度[=70°18′]正好相
符。
我[在靠近Ⅴ，16开头处]已经说过，在后一情况下火星出现在距白羊
星座头部
133°20′处。已经求得角
FEN≌13°40′。因此可以向后算出，
在此最后一次观测时偏心圆远地点在恒星天球上的位置显然=119°40′
[133°20′-13°40′]在[皮厄斯]安东尼厄斯时代，托勒密求得远地点是
在
108°50′处[《大成》，X，7：巨蟹宫内
25°30′=115°30′-6°40′]。因此从那时到现在，它已经向东移动
10°50′[=119°40′-108°50
′](105)。在取偏心圆半径=10，000
p时，我还求得两圆心间的距离小了
40p[1460p与
1500
p相比]。原因并不是托勒密或我出了差错，而是可以清
楚地证明，地球大圆中心已经向火星轨道中心靠近，此时太阳却静止不动。
这些结论高度地相互吻合，这在后面更是一清二楚[Ⅴ，19]。
图
5—20
现在以
E为心画出地球的周年运动轨道[RST]，由于地球和行星的运转
相等，该轨道的直径
SER平行于
CD。令
R=相对于行星的均匀远地点，而
S=近地点。取地球在
T点。把行星的视线
ET延长，与
CD相交于
X点。[在
Ⅴ，16开头处]已经提到过，行星在后一位置看起来是在
ETX上面，其经
度为
133°20′。此外，已经求得角
DXE[在上图中=CEN+DCE＝50′+2°6′]=2°56′。DXE为均匀行度角
XDF超过视行度角
XED的差值。但
SET=
内错角
DXE=视差行差。从半圆[STR]减去此角，余量为
177°4′[=180°2°
56′]=从均匀运动的远地点
R算起的均匀视差近点角。于是我们在此又
一次确定，在公元
1523年
2月
22日午前
7均匀小时，火星的黄经平行行
度=136°16′[=2°56′+(133°20′=视位置)]；它的均匀视差近点角=177°4′[=180°-2°56′]，而偏心圆的高拱点=119°40′。证讫。
第十七章火星运动的证实
第十七章火星运动的证实
4
1/2°，而其视差近点角=171°26′。因此在[托勒密的最后一
次观测与哥白尼的最后一次观测的]中间时段，除整圈运转外累进为
5°38′[+171°26′=177°4′]。从[皮厄斯]安东尼厄斯
2年埃及历
11月
12
日午后
9小时
(106)（对克拉科夫经度而言为午夜前
3均匀小时）到公元
1523
年
2月
22日午前
7小时，共有
1384埃及年
251日
19日一分
(107)。按上述
计算，在这段时间中除
648整圈外视差近点角累计为
5°38′。预计太阳
的均匀行度=257
1/2°。从这个数字减去视差行度的
5°38′，则余量=251
°52′=火星的经度平均行度。所有这些结果都与上述情况良好相符。
第十八章火星位置的测定
第十八章火星位置的测定
斯
2年埃及历
11月
12日午夜前
3小时，共计有
138埃及年
180日
52日一分
(108)。在这段时间中视差行度
=293°4′(109)。把这个数目从托勒密最后一次观测[Ⅴ，15末尾]的
171°26′另加一整圈[171°26′+360°=531°26′]减去，则余量=公元元年
元旦午夜的
238°22′[=531°26′-293°4′]。从第一届奥林匹克到这一
时刻历时
775埃及年
12
1/2日。在这段时期中视差行度=254°1′。同样从
238°22′外加一整圈[238°22′+360°=598°22′]减去这一数值，则对
第一届奥林匹克求得余量=344°21′。用同样方法对其他纪元分离出行
度，则得亚历山大纪元的起点=120°39′，而凯撒纪元的起点=111°25′。
第十九章以地球周年运动轨道为单位的火星轨道的大小
第十九章以地球周年运动轨道为单位的火星轨道的大小
1/4°，但是在冬至日出
的方向上[即在东北方]。这表示当时就经度来说火星是在恒星之东.. 1/8°，
而纬度偏北.. 1/5°(110)。已知恒星的位置为距白羊宫第一星.. 191°20′，纬
度为北纬.. 40′，于是火星的位置显然为.. 191°28′[≌191°20′+ 1/8°]，
其北纬度=51′[≌40′+ 1/5°]。可以算出当时视差近点角=98°28′，太阳
的平位置=262°，火星的平位置=163°32′，而偏心圆近点角=43°52′。
利用这些资料可以画出偏心圆.. ABC，其中心为.. D，直径为ADC，远地点
为A，近地点为C，而在取AD=10，.. 000p时，偏心度DE=1460 p。已知弧 AB=43°52′。以 B为心，在 AD=10，000 p时半径.. BF=500 p，画小本轮使角
DBF=ADB。连结.. BD、BE与.. FE。此外，绕中心.. E画地球的大圆.. RST。在其与
BD平行的直径.. RET上，取.. R=行星视差的[均匀]远地点和.. T=行星均匀运动
的近地点。设地球位于.. S点，而弧RS=均匀视差近点角，其计算值=98°28′。把直线.. FE延长为.. FEV，与.. BD相交于.. X点，并与地球轨道的凸圆周相
交于.. V=视差的真远地点。
图.. 5—21
在三角形.. BDE中有两边已知：在取.. BD=10，000 p时，DE=1460 p。它们
夹出已知角.. BDE=136°8′=ADB的补角，因而可知.. ADB=43°52′。由此可
求得第三边.. BE=11，097 p和角.. DBE=5°13′。但按假设，角.. DBF=ADB。由已
知边.. EB及.. BF[11，097 p，500 p]夹出的整个角.. EBF=49°5′[=DBE+DBF=5°
13′+43°52′]。因此在三角形。BEF中角.. BEF=2°，而在取.. DB=10，000 p
时，剩余的边FE=10，776 p。于是DXE=7°13′=XBE+XEB=相对内角[=5°13′+2°]。DXE为相减行差，即为角.. ADB超过.. XED[=36°39′=43°52′-7°13′]以及火星平位置超过其真位置的量。但已算出火星平位置=163°32′。因此其真位置偏西，在.. 156°19′[+7°13′=163°32′]处。但是对
于在.. S附近地区的观测者而言，火星出现在.. 191°28′处。因此它的视差
或位移为偏东.. 35°9′[=191°28′-156°19′]。于是显然可知角.. EFS=35°9′。因.. RT平行于.. BD，角.. DXE=REV；与此相同，弧.. RV=7°13′。于是整
个.. VRS[RV+RS=7°13′+98°28′]=105°41′=归一化的视差近点角。因此
可得三角形.. FES的外角.. VES[=105°41′]。于是也可求得相对内角.. FSE=70°32′[=VES-EFS=105°41′-35°9′]。所有这些角度都用.. 180°=2直角
的度数表示。
但在一个各角已知的三角形中，其各边的比值也已知。因此若取三角
