F和
L两点所画圆=圆
AB，并与直线
IM相交。在与
AG相对的另一象限中，可用同样方式进行论证。因此，小
本轮在偏心圆上的均匀运动以及行星在本轮上的均匀运动，使行星扫描出
的不是一个完整的，但却是几乎完整的圆周。证讫。
现在以
D为心画出地球的周年运行轨道
NO。画
IDR以及平行于
CG的
PDS。于是
IDR为行星的真运动直线，而
GC为其平均和均匀运动直线。地
球在
R时与行星相距为真的最大距离，而在
S时为平均最大距离。因此角
RDS或
IDP为均匀行度与视行度二者之间，即为角
ACG与
CDI之差。但假
设不用偏心圆
AB，而取与它相等的以
D为心的同心圆。此同心圆可以作为
半径=CD的小本轮之均轮。在此第一小本轮上面还应有第二小本轮，其直
径=
1/2CD。令第一本轮向东运动，而第二本轮以同样速率在相反方向上运
动。最后，令行星在第二本轮上以两倍速率运行。由此可以得出与上面描
述的相同的结果。这些结果与月球现象相差不大，甚至与按前述任何图像
得出的结果都无很大差异。
得出的结果都无很大差异。
和
C之间的距离固定不
变，D却会飘移，这在讨论太阳现象时已经说明[Ⅲ，20]。其他天体并没
有等量的飘移。于是它们应当呈现出一种不规则性。在后面适当的地方要
谈到[Ⅴ，16，22]，尽管这种不规则性很微小，但对火星与金星来说可以
察觉。
因此我即将用观测来证明，这些假设足以解释天象。对此我首先讨论
土星、木星和火星。就它们来说，主要的和最艰巨的任务是求得远地点的
位置以及距离
CD，这是因为其他数值都容易由它们得出。对这三颗行星，
我将采用以前对月球用过的[Ⅳ，5]实际上相同的办法，即把古代的三次冲
日与现代同样多的冲相比较。希腊人把这些天象叫做“日落后升起”，而
我们称之为“随夜”出没。在这些时候，行星与太阳相冲并与太阳平均运
动直线相交。在该交点处行星摆脱了由地球运动所引起的全部不规则性。
要得出这些位置，可以按前面所述[Ⅱ，14]用星盘进行观测，也可对正好
与行星相冲时的太阳进行计算。
第五章土星运动的推导
第五章土星运动的推导
(9)并采取很早以前托勒密所观测到的三次冲[《大
成》，Ⅺ，5]。它们中间的第(，) 一次出现在哈德里安.. 11年埃及历.. 9月.. (10)7
日夜间.. 1时。归算到距亚历山大港.. 1小时的克拉科夫的子午线上，这是公
元.. 127年.. 3月.. 26日午夜后.. 17个均匀小时。我们把所有这些数值都归化到
恒星天球上，并把它当作均匀运动的基准。行星在恒星天球上的位置约为..
174°40′(11)。取白羊宫之角为零点，则这时太阳按其简单行度是在 354°40′[-180°=174°40′]与土星相对。
第二次冲发生在哈德里安.. 17年埃及历.. 11月.. 18日。这是公元.. 133年罗
马历.. 6月.. 3日午夜后.. 15 (12)个均匀小时。托勒密定出行星在.. 243°3′.. (13)，
而此时太阳按其平均行度是在.. 63°3′[+180°=243°3′]。
然后他报导第三次冲出现于哈德里安.. 20年埃及历.. 12月.. 24日。同样归
算到克拉科夫子午线，此为公元136年.. 7月.. 8日午夜后.. 11小时。当时行星
在.. 277°37′.. (14)，而按其平均行度太阳是在.. 97°37′[+180°=277°37′]。
图.. 5—5
因此在第一时段中共有.. 6年.. 70日.. 55日-分.. (15)，在此期间行星的目视
位移为.. 68°23′[=243°3′-174°40′]，而地球离开行星的平均行度—
—这是视差动——为.. 352°44′.. (16)。于是把一个圆周所缺的.. 7°16′[=360°-352°44′]加上，即得行星的平均行度为.. 75°39′[=7°16′+68°23′]。在第二时段有.. 3埃及年.. 35日.. 50日-分.. (17)，行星视行度为.. 34°34′
[=277°37′-243°3′]，而视差动为356°43′.. (18)。将一个圆周所余的3°17′[=360°-356°43′]与行星视行度相加，则得其平均行度为.. 37°51′[=3°17′+34°34′]。
在回顾这些资料之后，画行星的偏心圆.. ABC，其中心为D，直径为FDG，
地球大圆的中心在此直径上。令.. A、B、C各为第一、二、三次冲时小本轮
的中心。以这些点为心，取半径= 1/3DE，画出该小本轮。用直线把.. A、B、C
三个中心与.. D和.. E相连.. (19)，这些直线与小本轮圆周相交于.. K、L、M三点。
取弧.. KN与.. AF相似，LO与.. BF相似，Mp与.. FBC相似。连结.. EN、EO和.. EP。
于是按上述计算可得弧.. AB=75°39′，BC=37°51′，NEO=视行度角=68°
23′，而角.. OEP=34°34′。
首要任务是确定高、低拱点（即.. F与.. G）的位置以及行星偏心圆和地
球大圆之间的距离.. DE。做不到这一点，就无法区分均匀行度与视行度。但
是我们在此遇到了不亚于托勒密研讨这一问题的困难。如果已知角.. NEO包
含已知弧.. AB，而.. OEP包含.. BC，则可以推导出我们所求的东西。然而已知弧
AB所对的是未知角.. AEB，而与此相似，位于已知弧BC之下的角.. BEC是未知
的。AEB与.. BEC两角都应当求出。但是在确定与小本轮上弧段相似的弧.. AF、
FB与.. FBC之前，无法求得角AEN、BEO及.. CEP。这些角度表示视行度与平均
行度之差。这些弧与角相互有关，因此它们同时都已知或未知。于是在无
法推求它们的情况下，天文学家只好借助于经验性的证据，而回避直接的
或演绎性的论证。对化圆为方(20)和对其他许多问题，往往采用这种办法。
因此在这项研究中，托勒密煞费苦心设计了一个冗长的处理方法并进行了
浩繁的计算浩繁的计算。照我看来，重述这些文字和数字是一种沉重的负担，并且
无此必要，这是因为我在下面的讨论中实际上将采用同样的做法。
回顾他的计算，他在最后[《大成》，Ⅺ，5]求得弧.. AF=57°1′.. (22)，
FB=18°37′，FBC=56 1/2°，并在取DF=60 p时，可得DE=两中心之间的距离..
=6p50′。但是按我们的数值分度，DF=10，000，于是.. DE=1139 (23)。我从
这一总量中取.. 3/4为.. DE=854，并令其余的.. 1/4为小本轮的.. 285。采用这些数值
并把它们用于我的假设，我将阐明它们与观测事实相符。
在第一次冲时，已知三角形ADE的边AD=10，.. 000pDE=854p以及ADF[=57°1′]的补角.. ADE。按平面三角定理，由这些数值用同(，) 样单位可得.. AE=10，..
489p，而在取.. 4直角=360°时其余两角为 DEA=53°6′和.. DAE=3°55′。
但是角.. KAN=ADF=57°1′。因此整个角.. NAE=60°56′[=57°1′+3°55′]。由此可知在取.. AD=10，000 p时，三角形.. NAE的两边为.. AE=10，489 p及..
NA=285p，此外角.. NAE也可知。在取.. 4直角=360°时，还可得其余角
NED[=AED-AEN]=51°44′[=53°6′-1°22]。
在第二次冲时情况相似。在三角形.. BDE中取.. BD=10，000 p，则已知边..
DE=854p，而角BDE=BDF的补角=161°22′[=180°-18°38′] (24)。此三角
形各角与边均可知：取.. BD=10，000 p时，边.. BE=10，812 p；角 DBE=1°27′；其余的角.. BED=17°11′[180°-（161°22′+1°27′）]。但是角..
OBL=BDF=18°38′(25)。因此整个角EBO[=DBE+OBL]=20°5′[=18°38′+1°27′]。于是在三角形EBO中，除角EBO外还可知以下两边：BE=10，.. 812p
及.. BO=285 p。按平面三角定理，可得其余角BEO=32′。于是OED=从.. BED (26)
减去.. BEO后的余量=16°39′[=17°11′-32′]。
与此相似在第三次冲时，在三角形.. CDE中和前面一样.. CD与.. DE两边已
知，还有56°29′的补角.. CDE (27)（=123°31′）已知。按平面三角定理四，
在取 CE= 10，000 p时，可知底边CE=10，512 p，角DCE=3°53′，而其
余的角.. CED=52°36′[=180°-（3°53′+123°31′）]。因此在取4直角
=360°时，整个角ECP=60°22′[=3°53′+56°29′]。于是在三角形ECP
中除角.. ECP外有两边已知。还知角.. CEP=1°22′。因此余下的角
PED[=CED-CEP]=51°14′[=52°36′-1°22′]。由此可知视行度的整个角
OEN[=NED+BED-BEO]可达.. 68°23′[=51°44′+17°11′-32′]，而.. OEP为
34°35′[PED-OED=51°14′-16°39′]，与观测相符。偏心圆高拱点的位
置.. F，与白羊之头相距226°20′。对这个数字应加上当时的春分点岁差.. 6°40′，于是拱点到达天蝎宫内.. 23°，这与托勒密的结论[《大成》，Ⅺ，
5]相符。在此第三次冲时行星的视位置（以前曾提到过）=277°37′.. (28)。
已经阐明，从这一数值减去.. 51°14′（=视行度角.. PEF (29)），则余量226°23′表示偏心圆高拱点的位置。
图.. 5—6
描出地球的周年运行轨道.. RST，它与直线PE相交于.. R点。画与行星平
均行度线.. CD平行的直径.. SET。便得角.. SED=CDF。于是可知视行度与平均行
度之差即行差角.. SER，亦即CDF和.. PED两角之差=5°16′[=56°30′-51°
14′]。视差的平均行度和真行度之差与此相同。从一个半圆减去此数，所
余为弧.. RT=174°44′[=180°-5°16′]。这是由假定的起点.. T（即太阳与
行星的平均会合点）到第三次“随夜出没”（即地球与行星的真冲点）之
间视差的均匀行度。
行星的平均会合点）到第三次“随夜出没”（即地球与行星的真冲点）之
间视差的均匀行度。
下
20年（=公
元
136年）7月
8日午夜后
11小时。此时土星距其偏心圆高拱点的近点行
度=56
1/2°，而视差的平均行度=174°44′。这些数值的确定对下述内容是
有用的。
第六章对土星新观测到的另外三次冲
第六章对土星新观测到的另外三次冲
1/5小时，当时土星在.. 205
°24′。第二次发生于公元.. 1520年.. 7月.. 13日正午、土星在.. 273°25′。
第三次是在公元.. 1527年.. 10月.. 10日午夜后.. 6 2/5小时(30)，那时土星位于白
羊角之东.. 7′处。于是在第一次和第二次冲之间有.. 6埃及年.. 70日.. 33日-分..
(31)，在此期间土星的视行度为.. 68°1′[=273°25′-205°24′]。由第二
次至第三次冲历时.. 7埃及年.. 89日.. 46日一分.. (32)，而行星的视行度为.. 86°
42′[=360°7′-273°25′]。它在第一段时间中的平均行度为.. 75°39′..
(33)，而在第二时段为.. 88°29′。因此在求高拱点与偏心率时，我们起先
应采取托勒密的办法[《大成》，X，7]，即认为行星似乎在一个简单的偏
心圆上运行。虽然这种安排并不适当，然而我们采用它可以更容易接近真
实情况。
图.. 5—7
于是取.. ABC为行星在它上面似乎均匀运行的圆周。令第一次冲出现在
A点，第二次在.. B，第三次在.. C。在.. ABC范围内令地球轨道中心为.. D。连结
AD、BD与.. CD，把其中任一直线延长到对面的圆周上，例如为.. CDE。连结AE
和.. BE。于是已知角.. BDC=86°42′。取.. 2中心直角=180°时，补角.. BDE=93°18′[=180°-86°42′]；但在2直角=360°时，它为.. 180°36′。截出
弧段.. BC的角.. BED=88°29′。于是在三角形.. BDE中，剩下的角.. DBE=84°55′[=360°-（186°36′+88°29′）]。因此在三角形.. BDE中各角均已知，
其边长可由圆周弦长表得出为：BE=19，953 p和.. DE=13，501 p，此时取三角
形外接圆的直径=20，000 p。与此相似在三角形 ADE中，取.. 2直角=180°
时，因已知.. ADC=154°43′[=68°1′+86°42′]，补角.. ADE=25°17′[=180°-154°43′]。但在2直角=360°时，ADE=50°34′。用此单位可得截出
弧.. ABC的角.. AED=164°8′[=75°39′+88°29′]，而剩余的角.. DAE=145°..
18′[=360°-（50°34′+164°8′）]。因此各边也可知：在取三角形ADE
外接圆直径=20，000 p时，DE=19，090 p及.. AE=8542 p。但是用.. DE=13，501 p
和.. BE=19，953 p的单位时，AE应为.. 6041 p(34)。于是在三角形.. ABE中，BE和
EA两边可知，还可求得截出弧.. AB的角.. AEB=75°39′。因此按平面三角定
理，在取.. BE=19，968 p时，AB=15，647 p。但在取偏心圆直径=20，000 p时，
与已知弧所对的.. AB=12，266 p，此时.. EB=15，664 p，DE=10，599 p。接着由
弦.. BE可知弧.. BAE=103°7′。因此整个.. EABC=191°36′[=103°7′+88°29′]。圆周的其余部份.. CE=168°24′。因此它所对的弦.. CDE=19，898 p，而
由.. CDE减去.. DE=10，599的余量为.. CD=9299 p。
假如 CDE是偏心圆的直径，则高、低拱点的位置显然都在这条直径上
面，并且偏心圆与地球大圆两个中心的距离可以求得。但因弧段EABC大于
半圆，偏心圆的中心应落到它里面。令该中心为.. F。通过此点和.. D画直径
GFDH，并画与CDE垂直的FKL。显然可知，矩形CD×DE=矩形 GD×DH。但
是矩形 GD×DH+（FD）.. 2=（.. 1/2GDH）.. 2=（FDH）.. 2。因此（.. 1/2直径）2-矩形.. GD
×DH×DH或矩形.. CD×DE=（FD）.. 2。于是在取半径.. GF=10，000 p时，可知.. FD
的长度=1200 p。但用.. FG=60 p的单位时，FD=7 p12′(36)，这与托勒密的数值
[《大成》，Ⅺ，6∶6 p50′]稍有差异。但.. CDK=9949 p=整个.. CDE（=19，898 p）
的.. 1/2。已经求得.. CD=9299 p。因此余量.. DK=650 p[=9949p-9299p]，在此已取
GF=10，000 p和FD=1200 p。但用FD=10，000 p的单位，则.. DK=5411 p=两倍DFK
角所对弦的一半。在.. 4直角=360°时，角.. DFK=32°45′.. (37)。这是在圆心
所张的角，它所对的弧.. HL与此数量相似。但是整个.. CHL= 1/2CLE[168°24′]
≌84°13′。因此由.. CHL=84°13′减去.. HL=32°45′，所得余量为第三次
冲点与近地点的距离=51°28′。从半圆减掉这个数字，余下的弧CBG=128°32′，此为高拱点与第三次冲点的距离。因弧CB=88°29′，由.. CBG=128°32′减去.. CB，余量BG=40°3′，即高拱点与第二冲点的距离。下面一段
弧.. BGA=75°39′提供第一冲点与远地点.. G的距离.. AG=35°36′[=75°39′
-40°3′]。
图.. 5—8
现在令圆周.. ABC有直径.. FDEG，中心为D，远地点为F，近地点为G，弧
AF=35°36′，FB=40°3′以及.. FBC=128°32′。由前面已求得的土星偏心
圆与地球大圆中心间的距离[1200 p]取.. 3/4为.. DE=900 p。当土星偏心圆半径
FD=10，000 p时，以其余的.. 3/4=300p为半径，绕A、B和C三点为心画小本
轮。按上述条件作成图形。
如果我们希望用上面解释过并即将重述的方法，由上述图像推求土星
的观测位置，我们会发现一些不相符之处。简短说来，我为了不使读者过
分劳累并费尽心机另辟蹊径而不是指出正确途径，应当谈到通过三角形求
解由上述数值会得出角.. NEO=67°35′，而另一角OEM=87°12′。后者比视
角[=86°42′]大.. 1/2°，而前者比.. 68°1′小.. 26′。为了彼此相符，我们
只有使远地点稍微前移[3°14′]并取.. AF=38°50′，[而不是.. 35°36′]，
于是弧.. FB=36°49′[=40°3′-3°14′]；FBC=125°18′[=128°32′-3°14′]；两个中心之间的距离.. DE=854 p[而非.. 900 p]；并在FD=10，000 p时，
小本轮的半径=285 p[不是.. 300 p]。这些数字与前述托勒密所得结果[Ⅴ，5]
几乎相符。
在下面可以清楚看出，上列数字与天象及三次观测到的冲相符。若取
AD=10，000 p，则在第一次冲时，可知三角形ADE的边.. DE=854 p。角.. ADE=141°10′，并与ADF=38°50′一起在中心合成.. 2直角。在取半径.. FD=10，.. 000p
时，由上述情况可得剩余的边.. AE=10，679 p。其余的角为.. DAE=2°52′和
DEA=35°58′。三角形.. AEN的情况与此相似。因.. KAN=ADF[=38°50′]，整
个.. EAN=41°42′[=DAE+KAN=2°52′+38°50′]；而在AE=10，679 p时，边..
AN=285p。可以求得.. AEN=1°3′。但整个.. DEA为.. 35°58′。于是从.. DEA减
去 AEN的余量 DEN为 34°55′[=35°58′-1°3′]。
与此相似，在第二次冲对三角形.. BED的两边已知（在.. BD=10，000 p时，..
DE=854p），还有角.. BDE[=180°-（BDF=36°49）=143°11′]已知。因此
BE=10，679 p，角.. DBE=2°45′，而余下的角BED=34°4′。但.. LBO=BDF[=36°49′]。因此整个EBO=39°34′[=DBO+DBE=36°49′+2°45′]。可得它
的两夹边为.. BO=285 p及BE=10，697 p。由此可知BEO=59′。从角.. BED[=34
°4′]减去这一数值，则余量为.. OED=33°5′。但对第一次冲已经证明角
DEN=34°55′。因此整个角.. OEN[=DEN+OED]=68°[=34°55′+33°5′]。
它给出第一次冲与第二次冲的距离，并与观测值[=68°1′]相符。
°4′]减去这一数值，则余量为.. OED=33°5′。但对第一次冲已经证明角
DEN=34°55′。因此整个角.. OEN[=DEN+OED]=68°[=34°55′+33°5′]。
它给出第一次冲与第二次冲的距离，并与观测值[=68°1′]相符。
p，而其余两角为.. CED=121°5′及.. DCE=4°
13′。因此整个.. PCE=129°31′[=4°13′+125°18′]。进而言之，在三
角形.. EPC中.. PC和.. CE两边已知[=285，9532]，还有角.. PCE[=129°31′]已
知。由此可得角.. PEC=1°18′。从.. CED[=121°5′]减去这一数字，则得剩
余角为.. PED=119°47′，此即由偏心圆高拱点至第三次冲时行星位置的距
离。然而已经阐明，在第二次冲时从偏心圆高拱点到行星位置为.. 33°5′。
因此在土星的第二、三冲点之间应有.. 86°42′[=119°47′-33°5′]。可
以认为这一数值也与观测相符。然而由观测求得，当时土星的位置是在取
作零点的白羊宫第一星之东 8′.. (38)处。已经求得由土星位置至偏心圆低拱
点的距离为.. 60°13′[=180°-119°47′]。因此低拱点约在.. 60 1/3°[≌60°13′+8′]处，而高拱点的位置与此刚好相对，即在.. 240 1/3°处。
图.. 5—9
现在以.. E为心描出地球的大圆.. RST。画与CD平行的直径.. SET，CD为行
星的平均运动线（取角.. FDC=DES）。于是地球和我们的观测位置应在.. PE线
上，譬如在.. R点。角.. PES[=EMD]或弧.. RS=角.. FDC与.. DEP之差=行星的均匀行
度与视行度之差，已经阐明此量=5°31′[（CES=DCE）+PEC=4°13′+1°
18′]。从半圆减掉这一数字，余量为弧RT=174°29′=行星与大圆远地点
T的距离=太阳的平位置。于是我们已经论证，在公元.. 1527年.. 10月.. 10日
午夜后.. 6 2/5小时，土星距离偏心圆高拱点的近点角行度=125°18′，视差
行度=174°29′，而高拱点位置为在恒星天球上距白羊宫第一星.. 240°21′处。
第七章土星运动的分析
第七章土星运动的分析
为
174°44′，而土星偏心圆高拱点的位置距白羊星座起点为
226°23′。因此显然可知，在两次观测[托勒密的最后一次与哥白尼的最后一次]
之间，土星视差均匀运动共完成
1344次运转，差
1/4°。从哈德里安
20年
埃及历
12月
24日午前
1小时至公元
1527年
10月
10日
6时
(39)后一次观
测时，共历
1392埃及年
75日
48日-分
(40)。进一步说，如果我们想用土星
视差运动表对这一时段求行度，就得出相似结果为比
1343次视差运转超过
5×60°再加
59°48′。因此，前面对土星平均运动的描述[见Ⅴ，1]是正
确的。还应谈到，在同一时段中太阳的简单行度为
82°30′。从这一数字
减去
359°45′
(41)，余数
82°45′为土星的平均行度。这个数值现在已经
累计入土星的第
47个恒星周中，这与计算相符。与此同时，偏心圆高拱点
的位置在恒星天球上也前移了
13°58′[=240°21′-226°23′]。托勒密
认为拱点和恒星一样是固定的，但是现在已经清楚，拱点在
100年内大约
移动
1°
(42)。
第八章土星位置的测定
第八章土星位置的测定
安
20年埃及历
12月
24日午前
1
小时观测时，共有
135埃及年
222日
27日-分
(43)。在这段时间中土星的视
差行度为
328°55′。从
174°44′减去这个数月，余数
205°49′给出太
阳平位置与土星平位置距离的范围，此即在公元元年元旦前午夜时土星的
视差行度。从第一届奥林匹克会期到基督纪元开端的这个时刻，在此
775
埃及年
12
1/2日中的行度，除掉完整运转外还有
70°55′。从
205°49′减
去这一数字，余数
134°54′表示在祭月第一日正午奥运会的开端。从这
个时刻开始在
451年
247日内，除完整运转外还有
13°7′。把这一数字
与前面的数值[134°54′]相加，和数
148°1′给出埃及历元旦正午亚历
山大大帝纪元开始时的位置。对凯撒纪元，在
278年
118
1/2日中，行度为
247°20′。由此可定出公元前
45年元旦前午夜时的位置。
第九章由地球周年运转引起的土星视
差以及土星[与地球]的距离
第九章由地球周年运转引起的土星视
差以及土星[与地球]的距离
我在公元
1514年
2月
24日午夜后
5个均匀小时，对土星进行了这样
一次观测。看起来土星与天蝎额部的两颗星（即该星座的第二和第三恒星）
是在一条直线上，而这两颗星在恒星天球上具有相同的黄经，即
209°。
因此通过它们可以得知土星的位置。从基督纪元开端到这一时刻共有
1514
埃及年
67月
13日-分
(44)。于是可以算出太阳的平位置为
315°41′，土
星的视差近点角为
116°31′，因此土星的平位置为
