中各角均已知，其度数按
180°=2直角给出。取三角形
KDE外接圆直径
=100，000，则各边长度也可知：DE=91，856单位，而
EK=86，354单位。
但以
DE=100，000为单位时，KE=94，
010(116)。然而前面已经证明，DF=8600
单位，而整条直线
DFG=13，340单位。按在本节上面已经定出的比值，在
取地球半径=1单位时，EK=56
42/60单位(117)。因此用同样单位可得
DE=60
18/60，
DF=511/60，DFG=82/60，并且如果联接为直线则整个
EDG=68
1/3单位[60
p18′+8p2′]=半月的最大高度。从
ED减去
DG[61
p18′-8p2′]，余
52
17/60(118)，这是
半月与地球的最小距离。还有整
1p
个EDF，即满月和新月的高度，在极大时=65 / 单位[60 18 ′
+5 °11′ @5°30′]，而在减去
DF时其极小值=55
8/60单位((2) 119)[60p18′-5p11′]。在
Ⅳ，16中谈到其他人，尤其是那些由于居住地区的缘故对月球视差并不完
全了解的人，认为满月和新月离地球的最大距离竟达
64
10/60，我们不必对
此感到惊异。在靠近地平圈时月球视差显然接近其完整数值，这使我对月
球视差了解得比较充分。然而我发现，这种差别所引起的视差变化不超过
1′。
第十八章月球的直径以及在月
球通过处地影的直径
第十八章月球的直径以及在月
球通过处地影的直径
假设在发生较早的一次月食的食甚时，有.. 3个食分（即月亮直径的.. 12
分之.. 3）被掩食掉，此时月球宽度为.. 47′54″；而在第二次月食时，食分
为.. 10，宽度为.. 29′37″。阴影区域之差为.. 7个食分[=10- 3]，宽度差为
18′17″[=47′54″-29′37″]。作为对比，12食分相应于月亮直径所张
的角.. 31′20″。因此在第一次食的食甚时，月心显然是在阴影区之外四分
之一直径处（阴影区为.. 3食分），这对应于宽度7′50″[=31′20″÷4]。
如果把这个数值从整个宽度的.. 47′54″中减去，余量=40′4″[=47′54″
-7′50″]=阴影区的半径。与此相似，在第二次月食时，阴影区比月球宽
度还多出月亮直径的.. 1/3[阴影区为.. 10食分= 1/2加上.. 4/12（= 1/3）]=10′27″[≌
31′20″÷3]。把这加上29′37″，其和仍为40′4″=阴影区的半径。托
勒密认为，当太阳与月亮相合或冲时，即在距地球最远时，月亮的直径=31 1/3
′。他说用喜帕恰斯的屈光镜求得太阳的直径与此相等，但阴影区的直径..
=1°211/3′。他认为这两个数值之比=13∶5=2 3/5∶1[《大成》，Ⅴ，14]。
第十九章如何同时推求日和月与地球的
第十九章如何同时推求日和月与地球的
通过处地影的直径及其轴线
图.. 4—15
太阳也显示出一定的视差。因为它很微小，除非日和月与地球的距离、
它们的直径以及在月球通过处地影的直径及其轴线都相互有关，否则太阳
视差很难察觉。因此这些数量在理论论证中可相互推求。首先，我要描述
托勒密关于这些数量的结论以及他推求它们的办法[《大成》，Ⅴ，15]。
我将从这一资料中选择出看来是完全正确的部分。
他取太阳的视直径=31 1/3′，他固定不变地采用这一数值。他令它等于
在远地点的满月和新月的直径。取地球半径=1°，他说这时月地距离为..
6410/60p。于是他用以下方法推求其他的数量。
令.. ABC为太阳球体上的一个圆圈，太阳中心为.. D。令.. EFG为在离太阳
最远处的地球上的一个圆，而地球自身的中心在.. K。令.. AG和.. CE为与两个
圆都相切的直线，令它们延长时相交于.. S，此即地影的端点。通过太阳与
地球的中心画直线.. DKS。还画AK及.. KC。连结AC和.. GE，由于距离遥远，它
们与直径并无差异。在.. DKS线上，在满月和新月的位置上（按托勒密的见
解，取.. EK=1时，在远地点处的月地距离=64 10/60p），取.. LK=KM。令.. QMR为在
同样条件下在月球通过处地影的直径。令.. NLO为与.. DK垂直的月球直径，并
把它延长为.. LOP。
第一个问题为求出.. DK∶KE的比值。取.. 4直角=360°，则.. NKO=31 1/3′，
它的一半=LKO=15 2/3′。L为直角。因此三角形.. LKO的角均已知，两边的比
值KL∶ LO也已知。当 LK=64 p10′或KE=1 p时，长度 LO=17′33″。因为
LO：MR=5∶13，用同样单位表示.. MR=45′38″。LOP和.. MR与.. KE的距离相等，
并与.. KE平行。因此.. LOP+MR=2KE。从.. 2KE[=2 p]减去 MR+LO[45′38″+17′..
33″=1p3′11″]，余量为 OP=56′49″。按欧氏著作，Ⅵ，2，.. EC∶PC=KC∶
OC=KD∶LD=KE∶OP=60′∶56′49″。与此相似，当整个.. DLK=1 p时，可知..
LD=56′49″(120)。因此余量.. KL=3′11″[=1 p-56″49′]。但取.. KL=64 p10′和.. FK=1 p的单位，则整个KD=1210 p(121)。已经证明用这样的单位，MR=45′38″。由此可以求得比值.. KE∶MR[60′∶45′38″]和.. KMS∶MS。还可得
出在整个.. KMS中，KM=14′22″[60′-45′38″]。另一种作法是，以..
KM=64p10′为单位，整个KMS=268 p(122)=地影轴线长度。以上所述为托勒密
的作法。
但是在托勒密之后，其他天文学家发现上述结论与现象符合得不够
好，并且对这些课题还另有发现。然而他们承认满月和新月与地球的最大
距离=64 p10′，而太阳在远地点的视直径=31 1/3′。他们也同意托勒密所
说，在月球通过处地影直径与月球直径之比为.. 13∶5。可是他们否认在该
处月亮的视直径大于.. 29 1/2′。因此他们取地影直径约为.. 1°16 3/4′(123)。于
是他们认为，由此可知在远地点处的日地距离=1146 p，而地影轴长=254 p（地球半径=1 p）。他们认定这些数值来自拉喀城的科学家阿耳·巴塔尼..
(124)，然而这些数值无论如何也不能协调一致。
为了调节和改正它们，我取在远地点处的太阳视直径=31′40″.. 为了调节和改正它们，我取在远地点处的太阳视直径=31′40″.. ，
这是因为它现在比托勒密之前应当大一些；在高拱点的满月或新月的视直
径=30′；在月球通过处的地影直径=80 3/5′（现在了解到这两个数字的比
值略大于 5∶13，可取为.. 150∶403[≌5∶13 2/5]）；除非月地距离小于.. 62
个地球半径，否则在远地点处的太阳不能整个被月亮掩住；此外在与太阳
相合或冲时月亮离地球的最大距离=65 1/2地球半径[Ⅳ，17]。在采用这些数
值时，看来它们不仅相互之间以及与其他现象刚好协调一致，还与观测到
的日月食相符。于是，按以上的论证，可知在取地球半径KE=1单位时，以
该单位的分数表示有.. LO=17′8″，MR=46′1″[≌17′8″×2.7]，因此..
OP=56′51″[=2p-（17′8″+46′1″）]；若取.. LK=65 1/2p，则整个DLK=太
阳在远地点时与地球的距离=1179 p，此外.. KMS=地影的轴长=265 p。
第二十章日、月、地三个天体的大小及其比较第二十章日、月、地三个天体的大小及其比较
因此也显然可知 KL= KD/18(127)和LO= DC/18。但取KE=1 p时，18×LO≌5 p27
′(128)。另外有一种作法，因.. SK∶KE=265∶1，便可得出整个.. SKD∶..
DC=1444(129)∶5p27′，这是由于有关各边的比值相等.. (130)。此即为太阳与
地球的直径之比。球体体积之比等于其直径的立方之比。于是（5 p27′）..
3=1617/8(131)，这是太阳大于地球的倍数。
此外，取.. KE=1 p时，月球半径=17′9″.. (132)。因此地球直径与月球直
径之比=7∶2=3 1/2∶1[这是.. 3，498∶1的近似值]。求出这个比值的三次方，
便可知地球为月球的.. 42 7/8倍，因而太阳是月球的.. 6937倍.. (133)。
第二十一章太阳的视直径和视差
第二十一章太阳的视直径和视差
(134)。因此日、月和地影都随与地球的不同距离而变，这和视差变化的情况一样。根据上面得到的结果，对任何距离都容易测定这一切变化。首先，对太阳来说，这是很清楚的。我已经阐明[Ⅲ，21]，若取周年运转轨道的半径=10，000
p
则地球与太阳的最长距离=10，322
p(135)。在周年运转轨道直径的另一部(，) 分，在地球最接近太阳时距离=9678
p[=10，000-322]。因此，若取高拱点
=1179地球半径[Ⅲ，19]，则低拱点=1105，而平拱点=1142
(136)。用
1179
除
1，000，000，则可知在直角三角形中
848
p(137)所对的最小角=2′55″，
这是出现在地平附近的最大视差。与此相似，用
1105（=最短距离）除
1，000，000，即得
905
p(138)，所张角为
3′7″=在低拱点的最大视差。但是
已经说明[Ⅳ，20]，太阳直径=5
27/60地球直径，并且在高拱点所张角=31′
48″(139)。须知
1179∶5
27/60=2，000，000∶9245=轨道直径∶31′48″所对
边长。因此在最短距离（=1105地球半径）处，太阳的视直径=33′54″。
于是这些数值之差[33′54″-31′48″]为
2′6″，但是视差之差仅为
12″[3′7″-2′55″]。由于这两个差值都很小，托勒密[《大成》，Ⅴ，17]
认为它们可以忽略不计，他的理由是感官很难察觉
1′或
2′，而对弧秒来
说就更难察觉了。因此，如果我们到处都取太阳的最大视差=3′
(140)，我
们似乎不会出任何差错。但是我将从太阳的平均距离或者（像某些天文学
家(141)所作的那样）从太阳的小时视行度，来求太阳的平均视直径。他们
认为太阳的小时视行度与其直径之比等于
5∶66=1∶13
1/5(142)。小时视行度
与太阳的距离几乎成正比。
第二十二章月球的可变视直径及其视差
第二十二章月球的可变视直径及其视差
1/2地球半径，而根
据前面的论证[Ⅳ， 17]，最小距离=55 8/60。对半月而言，最大距离..
=6821/60(143)，而最小距离=52 17/60地球半径。因此，用在四个极限处的月地
距离来除地球的半径，便可得到在出没时月球的视差：在月球最远时，对
半月为.. 50′18″，而对满月和新月为.. 52′24″；在月球最近时，对满月和
新月为.. 62′21″，而对半月为.. 65′45″。
有了这些视差，月亮的视直径也明显可知。前面已经阐明[Ⅳ，20]，
地球直径∶月球直径的比值=7∶2。于是可得，地球半径∶月球直径=7∶4，
并且这也是视差与月亮视直径之比。这是因为在同一次月亮经天时，求出
较大视差角的直线与求出视直径的直线毫无差别。角度与它们所对的弦几
乎成正比，它们之间没有任何可以察觉的差异。从这个简明的结论显然可
知，在上述视差第一极限处，月亮的视直径=28 3/4′；在第二极限处约为30
′；在第三极限处为.. 35′38″；而在最后极限处是37′34″。按照托勒密
和其他人的理论，最后一个数值应当几乎为.. 1°，并且这时一半表面发光
的月亮投射到地球上的光应该和满月一样多(144)。
第二十三章地影变化可达什么程度？
图
4—16
我在前面还说过[Ⅳ，19]，地影直径与月球直径的比值=430∶150。因
此，当太阳在远地点时，对满月和新月来说，最小的地影直径=80′36″，
最大值=95′44″，于是最大差值=15′8″[=95′44″-80′36″]。甚至当
月球通过相同位置时，不同的日地距离也会使地影有以下的变化。
和前面的图形一样，再次画通过太阳中心和地球中心的直线
DKS，以
及切线
CES。连结
DC与
KE。已经阐明，当距离
DK=1179地球半径和
KM=62
地球半径时，MR=地影半径=地球半径
KE的
46
1/60′，①由连结
K和
R所成的
角
MKR=地影视角半径=42′32″，而
KMS=地影轴长=265地球半径。
但是当地球最接近太阳时，DK=1105地球半径，可按以下方法计算在
相同的月球通过处的地影。画
EZ平行于
DK。
CZ∶ZE=EK∶KS(145)。但
CZ=4
27/60
地球半径，还有
ZE=1105地球半径。因为
KZ是平行四边形，ZE与余量
DZ（=CD-CZ=5
27/60-427/60=1]各等于
DK与
KE[=1]。于是
KS=248
19/60地球半径。
但
KM=62地球半径，因此余量
MS=186
19/60地球半径[=248
p19′-62p]。但因
SM∶MR=SK∶KE，所以
MR=地球半径的
45
1/60′(146)，并且
MKR=地球视角半
径=41′35″。
由于这个缘故，便出现下列情况。取
360°=4直角和
KE=1
p时，在相
同的月球通过处，由太阳和地球的接近或离去所引起的地影直径的变化顶
多为
1/60′，这看起来为
57″
(147)。进而言之，在第一种情况下[46′1″]
地影直径与月球直径之比大于
13∶5；而在第二种情况下[45′1″]却小于
13∶5。可以认为
13∶5是平均值。因此，如果为了减少工作量和遵循古人
的见解，到处都采用同一数量，我们就要犯不可忽略的差错。
①取
KE=60′，则
MR=46160′。
第二十四章在地平经圈上日月各视差值的表格显示
图
4—17
现在在确定太阳和月亮的每个单独的视差时也没有疑问了。重画地球
圆周上的弧段
AB，它通过地平圈的极点，地球中心为
C。令
DE为在同一平
面内的白道，FG为太阳轨道，CDF为通过地平圈极点的直线，而令太阳与
月亮的真位置在直线
CEG上。画
AG和
AE为指向这些位置的视线。
图
4—18
于是太阳视差由角
AGC表示，而月亮视差由角
AEC表示。进而言之，
太阳和月亮视差之差可由角
GAE量出，而
GAE=AGC与
AEC两角之差。现在
取
ACG为可以与那些角对比的角度，并令
ACG例如为
30°。根据平面三角
定理，当我们在
AC=1
p时取直线
CG=1142
p，则显然可得角
AGC=太阳真高度
与视高度之差=1
1/2′。但是当角
ACG=60°时，AGC=2′36″。与此相似，对
角
ACG的其他数值，太阳视差也明显可知。
但是对月亮来说，可用它的四个极限。取
360°=4直角，可令角
DCE
或弧DE=30°；当月地距离为极大时，取CA=1 p则我已说过[Ⅳ，
22]CE=68p21′。于是在三角形
ACE中，AC与
CE两边以及角(，) ACE均已知。因此可以求
得
AEC=视差角=25′28″。当
CE=65
1/2p时，角
AEC=26′36″。与此相似，
在第三极限处，CE=55
p8′，此时视差角
AEC=31′42″。最后，在月球距
地球最近处，即当
CE=52
p17′时，角
AEC=33′27″。进一步说，当弧
DE=60°时，按同样次序可得视差为：第一，43′55″；第二，45′51″；第三，
541/2′和第四，57
1/2′。我将按下列表中的次序写下所有这些数值。
为了更便于使用，和其他表相似，我把它扩充成一组
30行，但间距为
6°。这些度数可以理解为从天顶算起的度数（极大值为
90°）的两倍。
我把表安排成
9栏。第一和第二栏所载为圆周的公共数。我把太阳视差安
置在第三栏。在这之后是月球视差[第四至九栏]。第四栏显示最小视差（当
半月在远地点时出现）小于下一栏中的视差（在满月和新月时出现）的差
值。由位于近地点的满月和新月所产生的视差见第六栏。接着在第七栏中
出现的分数，为最靠近我们的半月的视差超过它们附近视差的差值。剩下
最末两栏所载为比例分数，在计算四个极限之间的视差时可用这些比例分
数。我还将解释这些分数，首先是在远地点附近的分数，然后是落到前两
个极限[月亮分别位于两弦和朔望的远地点]之间的分数。解释见下。
图
4—19
我令圆周
AB为月球的第一本轮，中心为
C。取
D为地球中心，画直线
DBCA。以远地点
A为心，描出第二本轮
EFG。截取弧段
EG=60°。连结
AG
与
CG。前面已经阐明[Ⅳ，17]，直线
CE=5
11/60地球半径。此外，DC=60
18/60
地球半径，EF=2
51/60地球半径(148)。因此在三角形
ACG中，边
GA=1
p25′，
边
AC=6
p36′(149)，还有这两边所夹的角
CAG也已知。于是按平面三角
定理，以同样单位表示，第三边
