运动都需要纯粹由极点来完成，这就像是不断摇荡的摆动。一种运动是使
极点在交角附近上下起伏，从而改变圆周的倾角。另一种运动在两个方向
产生交叉运动，于是出现二分点与二至点的岁差增加和减少。我把这些运
动称为“天平动”，因为它们好像是沿同一路线在两个端点之间来回振荡
的物体，在中间运动较快，而在两端最慢。我们在后面会谈到〔Ⅵ，2〕，
行星的黄纬一般会呈现这种运动。进而言之，上述两种运动的周期不同，
因为二分点不均匀性的两个周期等于黄赤交角的一个周期。对每一种看起
来不均匀的运动都需要假定有一个平均量，用这个量可以掌握不均匀的图
象。与此相似，在此当然也需要假设有平均的极点和平均的赤道，以及平
均的二分点和二至点。每当地球的两极和赤道圈转到这些平均位置的任何
一边但仍在固定的极限之内时，那些匀速运动看起来就是不均匀的了。于
是那两种天平动互相结合起来，使地球的两极随时间的推移扫描出与一顶
扭曲的小王冠相似的线条。
但是这些事情很难用言语说清楚。因此我耽心用耳朵听不会懂得，还
需要用眼睛看。所以让我们在一个球面上画出黄道
ABCD。令它的北极为
E，
摩羯宫第一点为
A，巨蟹座第一点为
C，白羊宫第一点为
B，而天秤宫第一
点为
D。通过
A、C两点以及极点
E，画圆周
AEC。令黄道北极与赤道北极
之间的最长距离为
EF，最短距离为
EG，极点的平均位置在
I。绕
I点画赤
道
BHD。这可称为平均赤道，B和
D为平均二分点。令这一切都绕极点
E
不断地作缓慢的匀速运动，我已说过〔Ⅲ，1〕这种运动与恒星天球上黄道
各宫的次序相反。对地球两极假定有两种相互作用的运动，就像摇动物体
的运动。这两种运动之一出现在极限
F和
G之间，后面将称为“非均匀运
动”，即是倾角不均匀性的运动。对另一种从领先到落后，又从落后到领
先交替进行的运动，我将称之为“二分点非均匀性”。它比第一种运动快
一倍。这两种运动在地球两极汇聚，使极点产生奇妙的偏转。
图
3—2
首先令地球北极位于
F。绕它画出的赤道会通过相同的交点
B和
D，即
通过圆周
AFEC的两极。但是这个赤道会使黄赤交角变大一些，增大量与弧
FI成正比。当地极从这个假定的起点向位于
I处的平均倾角转移时，另一
种运动介入了，它不容许极点直接沿
FI移动。与此相反，第二种运动使极
点兜圈子，在极不规则的途径上移动。令极点在.. K。绕这一点的视赤道为
OQP，它与黄道的交点不是.. B，而是在.. B后面的.. O。二分点的岁差以与.. BO
成正比的量减少。在这一点转向并朝前进，两种运动联合并同时作用会使
极点到达平均位置.. I。视赤道与均匀或平均赤道完全相合。当地极通过此
点时，它继续向前进。它把视赤道与平均赤道区分开，并使二分点的进动
达到另一极端.. L。当地极在这一位置转向时，它减掉刚才给二分点加上的
量，直至到达.. G点为止。在这里它使黄赤交角在同一交点 B成为极小，在
此二分点和二至点的运动再次变成很慢，这与在.. F点的情况几乎正好一
样。这时它们的不均匀性显然经历了一个周期，因为它从平均位置先后到
达两个端点。但是黄赤交角的变化只经过了半个周期，即从最大变为最小
倾角。随后当地极朝后退时，它会到达最外端点.. M。当它从那里转向时，
它又一次与平均位置.. I相合。当它再度向前进时，它通过端点.. N，并最后
扫出我称之为扭曲线的.. FKILGMINF
点兜圈子，在极不规则的途径上移动。令极点在.. K。绕这一点的视赤道为
OQP，它与黄道的交点不是.. B，而是在.. B后面的.. O。二分点的岁差以与.. BO
成正比的量减少。在这一点转向并朝前进，两种运动联合并同时作用会使
极点到达平均位置.. I。视赤道与均匀或平均赤道完全相合。当地极通过此
点时，它继续向前进。它把视赤道与平均赤道区分开，并使二分点的进动
达到另一极端.. L。当地极在这一位置转向时，它减掉刚才给二分点加上的
量，直至到达.. G点为止。在这里它使黄赤交角在同一交点 B成为极小，在
此二分点和二至点的运动再次变成很慢，这与在.. F点的情况几乎正好一
样。这时它们的不均匀性显然经历了一个周期，因为它从平均位置先后到
达两个端点。但是黄赤交角的变化只经过了半个周期，即从最大变为最小
倾角。随后当地极朝后退时，它会到达最外端点.. M。当它从那里转向时，
它又一次与平均位置.. I相合。当它再度向前进时，它通过端点.. N，并最后
扫出我称之为扭曲线的.. FKILGMINF 。因此明显可知，在黄赤交角变化一
周中，地极向前进两次到达端点，并两次朝后退到达端点(40)。
第四章振动或天平动如何由圆周运动形成
第四章振动或天平动如何由圆周运动形成
图
3—3
设有一条直线
AB，它被
C、D、E三点分为四等分。绕
D点用同一中心
和在同一平面内画圆周
ADB和
CDE。在内圆圆周上取任意点
F。以
F为中心，
FD为半径画圆
GHD。令它与直线
AB相交于
H点。作直径
DFG。应当证明由
于
GHD和
CFE两圆共同作用所引起的成对运动，可动点
H在同一直线
AB
的两个方向上来回滑动。如果
H在离开
F的相反方向向上运动并移到两倍
远处，这种情况就会发生。同一个角
CDF既位于圆
CFE的中心，又在
GHD
圆周上，此角在两个相等的圆上截出两段弧
FC和
GH，而
GH为
FC的二倍。
假设在某一时刻
ACD和
DFG两条直线重合，这时动点
H在
G与
A处相合，
而
F是在
C处相合。然而圆心
F沿
FC向右移动，而
H沿
GH弧向左移动了
两倍于
CF的距离，或者这两个方向都可反转。于是直线
AB可以成为
H的
轨迹。否则就会出现局部大于整体的情况。我相信这是容易了解的。受折
线
DFH（它等于
AD）牵引，H离开其原来位置
A，移动了一段长度
AH。此
距离为直径
DFG超过弦
DH的长度。就这样，H会被带到圆心
D。这种情况
出现时，圆
DHG与直线
AB相切，而
GD就自然垂直于
AB。随后
H将到达另
一端点
B，并由于同样原因从此点再度返回。
[在手稿对开纸
75
r，第四章原来结尾处有以下一段话，后来被哥白尼
删掉了：
有些人(41)称此为“沿圆周宽度的运动”，即沿直径的运动。稍后我将
阐明〔Ⅲ，5〕，这些运动的周期和大小都可从圆周长度求得。此外，在此
应顺便提到，如果
HG和
CF两圆不等，而其他一切条件不变，则这些运动
扫描出的不是一条直线，而是一条圆锥或圆柱截线，数学家称之为“椭圆”。
然而这些问题我将另行讨论。]
(42)
[印刷本：
因此显然可知，从两个像这样一同起作用的圆周运动，可以合成一个
直线运动，还可从均匀运动合成振动及不均匀运动。证讫。
从以上论证可知，直线
GH总是垂直于
AB，这是因为直线
DH和
HG在
一个半圆内张出直角。因此
GH为两倍
AG弧所对弦的一半。另一直线
DH
为从一个象限减去
AG所余弧的两倍所对弦之一半，这是因为圆
AGB的直径
为
HGD的两倍。
第五章二分点岁差和黄赤交角不均匀的证明
第五章二分点岁差和黄赤交角不均匀的证明
令
ABC为一个半圆，其中心在
D，直径为
ADC。把半圆等分于
B点。截
取相等的弧
AE与
BF，并从
F和
E两点向
ADC作垂线
EG和
FK。两倍
DK与
两倍
BF相对，而两倍
EG与两倍
AE相对。因此
DK与
EG相等。但是按欧几
里得《几何原本》，Ⅲ，7，AG小于
GE，于是也小于
DK。但因
AE与
BF两
弧相等，扫过
GA与
KD的时间是一样的。因此在靠近圆周的
A处，运动比
在圆心
D附近慢一些。既然这已证明，把地球中心放在
L，于是直线
LD垂
直于
ABC，即半圆面。通过
A和
C两点，以
L为心，画圆弧
AMC。延长直线
LDM。因此半圆
ABC的极点在
M，而
ADC为圆的交线。连接
LA与
LC。同样
连接
LK与
LG；把它们作为直线延长，令其与弧
AMC相交于
N与
O。LDK为
直角。则
LKD为锐角，因此
LK线长于
LD。还有，在两个钝角三角形中，
LG边长于
LK边，而
LA长于
LG。
以
L为中心和
LK为半径画的圆会超出
LD，但会与其余两条线
LG和
LA
相交。令此圆为
PKRS
(43)。三角形
LDK小于扇形
LPK。但是三角形
LGA大于
扇形
LRS。因此三角形
LDK与扇形
LPK之比小于三角形
LGA与扇形
LRS之
比。与此相似，三角形
LDK与三角形
LGA之比也小于扇形
LPK与扇形
LRS
之比。按欧几里得《几何原本》，Ⅵ，1，底边
DK与底边
AG之比等于三角
形
LKD与三角形
LGA之比。然而扇形与扇形之比等于角
DLK与角
RLS之比，
或弧
MN与弧
OA之比。因此
DK与
GA之比小于
MN与
OA之比。但是我已经
证明
DK大于
GA，于是
MN更大于
OA。地极在沿非均匀角的相等弧
AE和
BF
移动时，已知用相同的时间扫过
MN和
OA。证讫。
图
3—4
可是黄赤交角的极大值与极小值之差非常小，不超过
2/5°。因此曲线
AMC与直线
ADC之差也难以察觉。如果我们只用直线
ADC和半圆
ABC来进
行运算，也不会有误差。对于影响二分点的地极的另一种运动，情况与此
相同，因为它不到
1/2°，这将在下面说明。
图
3—5
再次令
ABCD为通过黄道与平均赤道极点的圆。我们可以称此圆为“巨
蟹宫的平均分至圈”。令黄道的一半为
DEB。令平均赤道为
AEC。令它们相
交于
E点，该处应为平均的分点。令赤道的极点为
F，通过该点作大圆
FET。
于是这应为平均的或均匀的二分圈。为了便于证明，让我们把二分点的天
平动与黄赤交角的天平动分离开来。在二分圈
EF上截出弧
FG。可以认为
赤道的视极点
G从平均极点
F，移动了一段距离
FG。以
G为极，作视赤道
的半圆
ALKC。它与黄道相交于
L。因此
L点会成为视分点。它与平均分点
的距离应为弧
LE，这由
EK与
FG的相等关系决定。但是我们可以取
K为一
个极点，并作圆
AGC。我们也可假定在天平动
FG出现时，赤道的极点并不
在真的极点
G上；与此相反，在第二种天平动的影响下，它沿弧
GO转向黄
道倾角。因此，尽管黄道
BED仍然固定不动，真正视赤道会按极点
O的移
位而飘移。与此相同，视赤道的交点
L的运动在平均分点
E周围较快，而
在两端点处最慢，这与前面〔Ⅲ，3〕已经说明的极点天平动近似成正比。
这已发现是有价值的。
第六章二分点岁差与黄道倾角的均匀行度
第六章二分点岁差与黄道倾角的均匀行度
有
4个分界区域。在一个区域内
运动看来很慢，在另一区域却很快，这些都是端点区域；而在它们之间，
运动为中速。在减速终了和加速开始时，运动的平均速度转变方向，从平
均值增加到最高速率，又从高速率转向平均值，然后在其余部分由平均速
率回到原来的低速率。这些论述使人知道在一定时刻，非均匀性或反常现
象出现在圆周的哪一部分。从这些性质还可以了解非均匀性的循环。
图
3—6
举例来说，在一个划为四等分的圆周中令
A为最慢的位置，B为加速
时的平均速度，C为加速终了并开始减速的速度，而
D为出现减速时的平
均速度。前面〔Ⅲ，2〕已经提到，从提摩恰里斯到托勒密发现二分点进动
的视行度比其他一切时候都慢。在那段时期的中间部分，阿里斯泰拉斯
（Aristyllus）
(44)、喜帕恰斯、阿格里巴（Agrippa）
(45)和门涅拉斯都由
观测发现，二分点进动的视行度是有规则的和匀速的。因此这证明，那时
二分点视行度正是最慢的。在那段时间的中期，二分点视行度开始加速。
那时减速停止，与加速开始结合起来，二者相互抵消使当时的行度看来是
匀速的。因此提摩恰里斯的观测应当是在圆周的最后一部分，即在
DA范围
