“过去”和“将来”，“以前”和“以后”等等术语互相交换一下就可以
了。可以认为时间沿着和原先认定的相反的方向前进，那个世界就可描述
成和我们自己的世界一样。然而，我在这里摹想另一种不同的可能性——
水杯的破碎和聚集能共存。在这样的世界中，我们不能仅仅靠改变时间进
展的方向的习惯方法来恢复我们所熟悉的描述。当然，我们的世界刚好不
是那样子，为何不是那样子？为了着手理解此事实，我要求你尝试想象这
样的一个世界，并惊异我们会如何描述其中发生的事情。我要求你接受，
在这样的一个世界中，我们一定能把粗糙的宏观的东西——诸如一满杯
水，没有碎的蛋，手中的方糖——描述成提供的 “原因”，而将详细的、
或有精密关联的个别原子运动当作 “效应”，而不管“原因”是否处于效
应的将来或过去。
为何在刚好我们生活其中的世界中，在实际上原因总是超前于效应；
或换一种讲法，为何准确协同的粒子运动总是在某种物态的大尺度变化之
后而不是之前呢？为了对这类事物有更好的描述，我必须引进熵的概念。
粗略地讲，系统的熵是其呈现的无序的量度。 （以后我会表达得更精确一
些。）这样，碎玻璃杯和地板上溅开的水，是比桌子上完好的一满杯水具
有更高的熵的态；搅拌的鸡蛋比新鲜的未打碎的蛋具有更高的熵；甜咖啡
比淡咖啡以及未溶解的糖块的熵更大。低熵态似乎是某种以明显的方式“被
特别地安排好”，而高熵态却没有那么 “被特别地安排”。
当我们谈到低熵态的 “特殊性”时，很重要的一点是要意识到，我们
指的是显明的特殊性。因为，在一个更微妙的意义上，这些情形下的高熵
态，由于个别粒子运动的非常精密的协调，正和低熵态一样地是 “被特别
地安排的”。例如，在打碎杯子后流到地板缝隙中的水分子的似乎随机的
运动其实是非常特殊的：其运动是如此之精密，如果它们所有都刚好颠倒
过来，则原先的低熵态也就是桌子上的完好的、装满水的杯子就会被恢复。
（情况必定如此，由于所有这些运动的反演刚好简单地对应于时间方向的
反转——依此杯子会聚集好，并跳回到桌子上去。）但是，所有水分子的
这种协调的运动并非我们称为低熵的那种 “特殊性”。熵是指显明的无序
性。存在于粒子运动的精确的协同的有序不是显明的有序，故不能用以降
低系统的熵。所以，流出的水中的分子的有序性在这种方式中不能算数，
它的熵是高的。然而，在完好的一杯水的显明的有序给出了低的熵值。这
里表明的是这样的一个事实，即粒子运动只有少数几个可能的形态和一个
完好装满水的杯子的显明形态相一致；相对来说，有更多得多的运动与地
板缝中稍微加热的流水的显明形态相一致。
热力学第二定律断言孤立系统的熵随时间增加 （或对于一个可逆
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的系统保持常数）。我们不能把协同的粒子的运动当作低熵。如果算的话，
根据此定义，系统的 “熵”就会永远是常数。熵概念只能指的确是显明的
无序性。对于一个和宇宙的其余部份隔离开的系统，它的总熵增加。所以，
如果它从某种显明的组织好的状态出发的话，该组织在过程中就会被腐
蚀，而这些显明的特征就转化成 “无用的”协同的粒子运动。第二定律似
乎是一椿绝望的裁决，因为它断言存在一个无情和普遍的物理原则，它告
诉我们组织总是被不断地损坏。我们将来会看到，这个悲观的结论并非完
全合适！
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什么是熵？
但是精确地讲，物理系统的熵应是什么呢？我们看到了它是显明无序
的某种测度。但是，由于我这样不精密地使用诸如 “显明”和“无序”的
字眼，熵的概念实在还算不上一个清晰的物理量。第二定律还有另一方面
似乎表明熵概念中的不精确的因素：只有所谓的不可逆的系统熵才实际上
增加，而不仅仅是保持常数。 “不可逆”是什么含义呢？如果计入所有粒
子的细节运动，则所有系统都是可逆的！我们应该讲，在实际上杯子从桌
子落下并粉碎，鸡蛋的搅拌，或糖在咖啡中的溶解都是不可逆的；而少数
粒子的互相反弹，还有许多能量没有损耗变成热的各种仔细控制的情形是
可逆的。基本上讲， “不可逆”这一个术语只是指这样的一个事实，即不
可能去追踪或控制系统中的所有个别粒子运动的所有细节。这些不可控制
的运动被叫做 “热”。这样，不可逆性似乎只是一个“实用的”东西。虽
然按照力学定律我们完全允许去恢复鸡蛋，但在原则上这是不可能的。难
道我们的熵概念要依赖于什么是可行的，什么是不可行的吗？
我们记得在第五章中，能量以及动量和角动量的物理概念可以按照粒
子的位置、速度、质量和力在数学上被精确地定义。我们怎能期望 “显明
无序性”的概念也做到一样好，使之成为一个数学上精确的概念呢？显然，
对于一个观察者 “显明”并不表明对另一个观察者亦是如此。它是否取决
于每位观察者对被观察系统的测量精度呢？一个观察者用一台更好的测量
仪也许能比另一个观察者得到关于系统微观结构的更细致的信息。系统中
更多的 “隐藏的有序”也许对一个观察者是显明的，对另一个观察者却是
另外一回事。相应地，前者会断言熵比后者估算的要低。不同观察者的美
学判断似乎也会被牵涉到那些被定为 “有序”而不是“无序”的东西。我
们可以想象，有些艺术家的观点认为一堆破碎的玻璃片远比曾经待在桌子
的边缘上丑陋吓人的杯子更为美丽有序！熵是否会在这种具有艺术感觉的
观察者的判断那里被降低呢？
尽管这些主观性的问题，使人惊异的是，在精密的科学描述中熵概念
是极其有用的。这一点是无疑的。这么有用的原因在于，一个系统按照细
致的粒子位置和速度从有序向无序的转变是极其巨大的，并且 （在几乎所
有的情况下）完全把在宏观尺度上关于何为 “显明有序”的观点的任何合
理的差别完全淹没。特别是艺术家或科学家关于聚集或破碎的玻璃哪种更
有序的判断，以熵的测度来考察，则几乎毫无结果。迄今为止对于熵的主
要贡献来自于引起温度微小增加的随机的粒子运动，水的溅开以及一杯水
落到地面上去等等。
为了更精密地定义熵的概念，让我们回到第五章引进的相空间的观
念。我们记得，系统的相空间通常具有极大的维数，其中每一点代表了包
括系统的所有细节的整个物理态。相空间的一个单独的点提供了构成该物
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理系统的每一个单独粒子的位置和动量座标。为了熵的概念，我们需要用
一种办法把从其显明 （也即宏观）性质看起来一样的所有的态集中起来。
这样，我们必须把我们的相空间分成一些区域 （参见图7.3）。属于任何
特别区域的不同点虽然代表它们粒子的位置和运动的不同细节，但是对于
宏观的观察特征而言，仍然认为是一样的物理系统。从什么是显明的观点
看，一个单独区域中的所有点应被考虑作相同的物理系统。相空间这样地
被划分成区域的作法被称为相空间的粗粒化。
图7.3相空间被粗粒化成在宏观上无法相互区分开的态的区域。熵和
相空间体积的对数成比例。
现在，这些区域中的一些会比其他的区域庞大得多。例如，考虑一盒
气体的相空间。相空间的大部分体积对应于气体非常均匀地在盒子中分布
的态，粒子以一种能提供均匀温度和压力的特征的方式运动。这种运动的
特别方式，在某种意义上可能是称之为马克斯韦分布的最“紊乱的”一种，
它是以我们前面遇到的同一位詹姆斯·克拉克·马克斯韦来命名的：气体
处于这种紊乱状态时就说它达到了热平衡。相空间中的点的绝对大的体积
对应于热平衡；该体积中的点描述和热平衡一致的个别粒子位置和速度的
所有不同的细致形态。这个巨大的体积是我们在相空间中的一个 （很容易
是）最大的区域，实际上它几乎占据了整个相空间！让我们考虑气体的另
一种可能的态，譬如所有的气体被局限在盒子的一个角落上。又存在许多
不同的个别粒子的细致的态，它们都描述以同样的方式把气体局限在盒子
角落的宏观态。所有这些在宏观上都不能互相区别，而相空间中代表它们
的点构成了相空间的另一个区域。然而，这一个区域体积比代表热平衡的
那个区域要小得多了。如果我们的盒子的体积为一立方米，装有在通常大
气压和温度下的平衡的气体，而角落区域的体积取作一立方厘米，则上面
的相空间体积的缩小因子大约为101025 ！
为了评价这类相空间体积之间的差异，想象一种简化的情形，即把许
多球分配到几个方格中去。假如每一方格或者是空的或者只容纳一个球。
用球来代表气体分子而方格表示分子在盒子里所占据的位置。让我们从所
有方格中挑出特殊的小子集；这些被用于代表对应于盒子的一个角落的区
域的气体分子位置。为明确起见，假定刚好有十分之一数目的方格为特殊
的——譬如讲有n个特殊的方格和9n个非特殊的方格 （见图7.4）。我们
希望把m 个球随机地分配到这些方格中去，并且求出所有的球都落到特殊
方格中去的机会。如果只有一个球和十个方格 （这样我们只有一个特殊方
格），则很清楚，机会应为十分之一。如果只有一个球，但有任意数目10n
的方格 （这样我们就有n个特殊方格），则情况不变。这样就对于仅有一
个原子的 “气体”，把气体局限在那个角落的区域，就具有整个“相空间”
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体积的十分之一。倘若我们增加球的数目，所有它们都在特殊方格中的机
①
会就非常显著地减少。对于两个球，譬如讲二十个方格 （其中两个是特殊
的） （m=2，n=2），机会为1/190，或者对于一百个方格 （其中十个是特
殊的）（m=2，n=10），机会为 1/110；对于数量非常大的方格机会变成 1/100。
这样，对于两个原子 “气体”特殊区域的体积仅为整个“相空间”的百分
之一。对于三球和三十个方格 （m=3，n=3），机会为1/4060；而对于数量
非常大的方格，机会为 1/1000——这样，对于三个原子 “气体”特殊区域
体积就为相空间体积的千分之一。对于四球和非常大量的方格，机会为万
分之一。对于五球和非常大量的方格，机会为十万分之一，等等。对于m
m
球和大量的方格，机会为 1/10 。这样，对于m 原子 “气体”，特殊区域
m
的体积为 “相空间”的1/10 。 （如果把“动量”也包括在内，这仍然成
立。）
图7.4 一盒气体的模型：一些小球分布在数目比球大得多的方格中
去，十分之一的方格被认作特殊的。在左上角上已把这些特殊的标出。
我们可以把这些应用于前面考虑的一盒实际气体的情形。但是现在，
特殊区域不是占据总体积的十万分之一，而是一百万分之一 （亦即一立方
m
米中的一立方厘米）。这表明现在的机会不是 1/10 ，而是1/ （1000000）
m 6m 25
也就是 1/10 。在通常的情况下，我们整个盒子中大约有10 个分子，
25
所以我们取m=10 。这样，代表所有气体被局限在角落里的相空间的特殊
区域只有整个相空间体积的
1/1060000000000000000000000000 ！
状态的熵是包含代表该态的相空间区域体积 V 的测度。鉴于上述的这
些体积间的巨大差别，最好不把它定义为和该体积成比例，而是定义为和
该体积的对数成比例：
熵=klogV。
①
取对数有助于使这些数显得更合情理。例如 10000000 的对数 大约为 16。
量k称为玻尔兹曼常数。其数值大约为10-23 焦耳/开尔芬。此处取对数的
主要原因是使熵对于独立的系统成为可加量。这样，对于两个完全独立的
系统，它们合并起来的系统的总熵为每一个单独系统的熵的和。这是对数
函数的基本代数性质的推论：logAB=logA+logB。如果系统在它们各自的相
空间中属于体积为A 和 B 的区域，则合并起来后的相空间中的区划体积就
① 更准确地讲，角动量是由不同数量的点的这种形态的复线性组合所描述。由于在复杂系统中，不同的叠
加可得到不同的总自旋值。这只会使总的图像更不像经典角动量！
① 然而，在两种方程允许的解的类型方面存在一个重大的差别。经典马克斯韦场必须是实的。而光子态是
复的。光子态还必须满足所谓的 “正频率”条件。
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是它们的积AB，这是因为一个系统的每一可能性都必须各自分别计算。所
以合并系统的熵的确为两个单独的熵的总和。）
按照熵的观点，相空间中区划尺度的巨大差异显得更合理。上述的一
个立方米的盒子的气体的熵只比集中在一立方厘米尺度的 “特殊”区域的
25 6 ×1025
气体大1400焦耳/ 开尔芬（= 14k×10 ）（由于loge （10 ）大约
25
为 14×10 ）。
为了得到这些区划的实际的熵值，我们要稍微忧虑所选择的单位
（米、焦耳、公斤、开尔芬等等）。这有点离题太远，实际上，对于我马
上要给出的极其巨大的熵值，选用何种单位根本没有什么本质上的不同。
然而，为了确定起见 （对于专家而言），我将采用由量子力学规则所提供
的自然单位，这时玻尔兹曼常数就变成一：
k=1。
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第二定律在起作用
现在假定我们的系统从某种非常特殊的情形开始，譬如所有气体都在
盒子的一个角落里。下一时刻，气体就会散开，并会急速地占领越来越大
的体积。它过一阵就达到了热平衡。在相空间中看我们的图像应是什么样
的呢？在每一阶段，气体所有粒子的位置和运动的完全的细节的状态都由
相空间中的单独的一点描述。这一点在相空间中随着气体的演化而徘徊，
这一精确的徘徊描述了气体中所有粒子的整个历史。这点从非常小的区域
出发——该区域代表所有气体在盒子的一个特殊角落的所有初始态的集
合。随着气体的扩散，我们运动的点进入了一个相当大的体积，这体积相
应于气体以这种方式在盒子中稍微扩散开来。当气体向更远处扩散时，相
空间的点继续进入越来越大的体积，新的体积以一个绝对巨大的因子使该
点以前所在的体积完全相形见绌 （图7.5）。在每一种情形下，一旦点进
入更大的体积，（实际上）就根本没有在原先更小的体积中找到它的机会。
最后它迷失在相空间中的最大的体积中——这相应于热平衡。这个体积实
际上占领了整个相空间。人们可以完全放心，我们相空间的点在真正随机
的徘徊中，在任何可以想象的时刻都不可能处在更小的体积中。只要达到
热平衡，无论怎么弄，这个态都好好地待在那儿。这样，我们看到了简单
地表达为相空间中适当区域体积的对数测度，其系统的熵随着时间无情增
①
加 的趋势。
图7.5热力学第二定律在作用：随着时间演化，相空间点进入越来越
大体积的区域中。结果熵连续地增加。
现在我们似乎为第二定律找到了一个解释 ！由于我们可以假定相空间
的点不以任何特别设计的方式运动，如果它从相应于小的熵的很小的相空
间体积出发，随着时间的流逝，它一定会以压倒一切的可能性不断进入越
来越大的相空间体积，这相应于熵值的逐渐增加。
但是，在我们用这个论证推导出来的结果中似乎有点古怪的东西。我
们似乎已经推导出时间反对称的结论。熵在时间的正方向增加，所以必须
在相反的方向上减少。这个时间反对称从何而来？我们肯定没有引进过时
