关系式的一个令人哭笑不得的推论！
我还没有解释相对论原理如何和这类事体相协调。以闵可夫斯基几何
的观点看，以不同的均匀速度运动的观察者怎么会是等同的？图5.16 中
的时间轴 （“静止观察者”）怎么能和其他直的世界线，比如OP （“运动
观察者”）完全等同？让我们先考虑欧几里德几何，很清楚，就几何整体
而言，任何两条直线都是完全等同的。人们可以将整个欧几里德空间在自
身上，“刚性”地滑动，使得其中一条直线和另一条直线的位置重合为止。
考虑一个二维亦即欧几里德平面的情形。我们可以想象在一个平面上刚性
地移动一张纸，使得画在纸上的任一条直线和平面上的已给定的直线相重
合。这个刚性运动保持几何结构不变。虽然稍不明显一些，这些议论类似
地在闵可夫斯几何中也成立。在这里人们必须小心地理解“刚性”的含义。
现在我们用一种古怪的材料取代那张滑动的纸——为了简单起见，我们首
先研究二维的情况——该材料在一个45°方向上伸长而在另一个45°方
向上压缩时两条45°线必须仍保持为45°线。从图5.20 可看到这一点。
在图5.21 中我试图描绘三维的情形。这种称作彭加莱运动（或非齐次洛伦
兹运动）的闵可夫斯基空间的 “刚性运动”似乎显得不“刚性”，但它保
持了所有的闵可夫斯基的距离。而 “保持所有距离”在欧几里德情况下正
是 “刚性”的意义。狭义相对论原理声称，物理在这种空间——时间的彭
加莱运动之下不变。尤其是，世界线为我们原先闵可夫斯基图画 （图5.16）
的时间轴的“静止”的观察者S 和以OP 为世界线的 “运动”观察者M 有完
全一样的物理。
图5.20 二维空间——时间中的彭加莱运动。
图5.21 三维空间——时间中的彭加莱运动。左图画出S 的同时性空
间，而右图为M 的同时性空间。注意S 认为R 比Q 早，而 M 认为Q 比R 早。
（此处的运动被认为是被动的，这只是因两个观察者S 和M 对同一空间—
—时间所做的不同描述所引起的。
每一座标平面t 等于常数代表观察S 的任一 “时刻”的空间，亦即他
认为同时 （发生在“同一时刻”）的一族事件。我们称此平面为S 的同时
空间。当我们过渡到另一观察者M，就必须将原先的同时面族抛弃，而取
代以 M 的同时面族17。我们注意到图5.21 中的M 的同时面显得向上倾斜。
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按照欧几里德几何的刚性运动思考，则会以为这倾斜似乎方向错了，但在
闵可夫斯基情况下正是我们所预料的。当S 认为所有在t 为常数的平面上
的事件同时发生时，M 却持不同观点：从他看来，在他的每一个倾斜的等
时空间上的事件才显得是同时的！闵可夫斯基几何本身并不包含“同时性”
的唯一概念，而每一位匀速运动的观察者各有自己的 “同时性”的概念。
图5.22 两个人A 和 B相互很慢地穿过，但是他们对于仙女座大星云空
间飞船队是否在他遭遇的时刻已经出发有不同的观点。
考虑图5.21 中的两个事件R和Q。依S看来，事件R在事件Q 之前发
生，因为R处于比Q 更早的同时面上；但是，依 M看来，情况刚好相反，Q
处于比 R 更早的同时面上。这样，一个观察者认为事件R 早于Q 发生，而
另一个观察者认为Q 比R 早发生！（只有当R和Q 所谓类空地分隔开也就
是一个事件处在另一事件的光锥之外，并因此没有物质粒子或光子能从一
个事件运动到另一个事件时，这才会发生。）只要事件在相隔非常远的距
离上发生，甚至非常小的相对速度也会导致重大的时序差异。假定在仙女
座大星云 （离开我们银河系最近的大星系，大约是二千亿亿公里那么远）
处发生了一个事件，地球上两个观察者相互遭遇时将他们的钟对好，由于
他们的运动速度不同，他们两对该事件发生时刻的判断可有几天的差别（图
5.22）。对于其中一个人来说，试图去歼灭地球行星上生命的空间飞船队
已上路了；而对于另外一个人来说，尚未决定是否要发射这个飞船队。
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爱因斯坦广义相对论
我们回忆一下伽利略关于任何物体在引力场中同样快下落的伟大的洞
察。 （这是洞察的而不完全是直接观察的结果。由于空气阻力作用，羽毛
和石头不会一起下落！伽利略的洞察在于意识到，如果空气阻力可减少到
零，它们就会一起下落。）这一直觉的深刻意义整整花了三个世纪的时间
才被意识到，而成为一个伟大理论的奠基石。这就是爱因斯坦的广义相对
论——引力的一个非同寻常的描述。正如我们很快就要理解到的，为了实
现它，我们需要引进弯曲的空间——时间的概念。
伽利略的洞察和 “空间——时间曲率”有何关系呢？我们知道在牛顿
的理论中粒子被通常的引力所加速。这样的一个与之如此不同的思想，怎
么能重新产生并且改善那个理论的所有超等的精确性呢？此外，伽利略古
老的直觉包含着以后没被合并到牛顿理论中的某种东西，这怎么可能呢？
由于最后一个问题最易于回答，让我们从它开始。在牛顿理论中，是
什么制约着在引力作用下的物体的加速度？首先，引力作用到物体上，牛
顿引力定律告诉我们这必须和物体质量成正比。伽利略的直觉是发生在牛
顿引力定律中的 “质量”和牛顿定律中的是同一“质量”。（可以用“比
例于”来取代 “同一的”。）正是它保证了引力作用下的物体的加速度实
际上与它的质量无关。在牛顿的一般理论中完全没有要求这两种质量概念
的同一性。牛顿只是把它当成一个假设。的确，在反平方律方面电力和引
力是类似的，但电力所依赖的是与牛顿第二定律中的质量完全不同的电
荷。 “伽利略直觉”不能应用于电力：在电场中物体（带电的物体）不会
以同样的速度下落！
现在，我们就简单地接受伽利略关于引力作用下的运动的洞察，并探
究其含义。设想伽利略从比萨斜塔上释放两块石头。如果在一块石头上有
一镜头指向另一块石头的摄像机，那么其提供的摄像是一块在空中徘徊的
石头，就像引力对它没有影响似的 （图5.23）！这正是因为在重力下所
有物体都以同样速度下落。
图5.23伽利略从比萨斜塔上释放两块石头 （和一台摄像机）。
我们在这里不管空气阻力。因为在太空中实际上没有空气，所以太空
飞行给我们提供了这些观念的一个更好的验证。现在，太空中 “下落”简
单地表示在引力作用下沿着合适的轨道运动。这个 “下落”没有必要是冲
着地球中心的直线下降。运动也可以有水平分量。如果此一水平分量足够
大，那它就能围绕地球而不必朝向地面的方向 “下落”！在引力下的自由
轨道上旅行只不过是一种优雅 （并且非常昂贵）的“下落”方式。正如前
面使用摄像机，现在一位作 “太空行走”的航天员看到他的空间飞船在他
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之前徘徊，表观上不受在他之前的地球的巨大的球体的引力的影响 （见图
5.24）！这样，人们只要过渡到自由下落的 “加速参考系”去，就可以局
部地消除引力效应。
图5.24 航天员看到他的空间飞船在他之前徘徊，如同不受引力影响似
的。
因为引力场效应正和加速度效应一样，所以可用自由下落的方式来对
消引力。事实上，你如果处在一台正在加速上升的电梯之内，就会简单地
觉得表观引力场的增大；如果电梯下降，则引力场减弱。如果悬挂电梯的
绳索断了，那整个下落加速度就完全抵消了引力的效应 （不考虑空气阻力
和摩擦效应），而电梯乘客就像上述的航天员那样显得在空中自由浮动，
直到它撞到地面上为止！甚至在火车和飞机上，加速度会使一个人感到引
力的强度和方向不和他视觉提示的应是 “往下”的方向一致。这是因为加
速度和引力效应是互相类似的，人的感觉不能将它们区分开来。爱因斯坦
把引力的局部效应和加速度参考系的效应等效的事实称为等效原理。
图5.25 潮汐效应。双箭头表明相对加速度 （魏尔）。
上述的考虑是 “局部的”。然而，如果人们允许去做足够精密的（不
完全局部的）测量，他就能在原则上断定在 “真正”引力场和纯粹加速度
之间的区别。在图5.25 中我用稍微夸张的方式显示出由许多粒子构成的
原先静止的球面，在地球引力作用下自由下落时如何受 （牛顿）引力场的
非均匀性的影响。该引力场在两个方面不均匀。首先，因为地球在有限距
离的某处，靠近地球表面的粒子向下加速比远处的粒子更快 （由于牛顿反
平方律引起）。第二，由于同一个原因，在水平方向上不同位置的粒子加
速度的方向也有些轻微差别。球面由于这种非均匀性引起了微小变形而成
为一个 “椭球面”。由于它靠近地球的部分遭受到比远处的部分稍微更大
的加速度，它在向地球中心方向 （以及相反的方向）被拉长。由于加速度
在沿地球中心方向稍微向内侧的作用，它在水平方向变狭窄。
这种畸变效应被称为引力的潮汐效应。如果我们用月亮来取代地球的
中心，并且粒子的球面用地球表面取代，则我们刚好得到由于月亮的影响
而在地球表面产生的潮汐，鼓出的部分正是朝着和背着月亮的方向。这个
不能用自由下落 “消除”的引力场的一般特征正是潮汐效应。（潮汐畸变
的大小实际和离开吸引中心的距离成反立方律，而不是反平方律的关
系。）
图5.26 当球面围绕着物体 （此处为地球）时，就有一个纯粹向内的加
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速 （里奇）。
牛顿引力的反平方律可按照这个潮汐效应得到一个简单的解释：由原
先 18球形而畸变成的椭球的体积等于原先球体（就认为该球面围绕着真空
好了）的体积。这种体积性质是反平方律的特征，它对于其他的力的定律
不成立。下一步，我们假定球面围绕着的不是真空而是总质量为M 的某物
体。此物体的引力产生附加的向内去的加速度分量。这样，由原先粒子球
面变形成的椭球体积就会收缩，其收缩量和M 成比例。我们让球面以固定
的高度围绕着地球 （图5.26），所发生的体积减小效应即为一个例子。由
地球引力导致平常的向下 （亦即向内）加速就是引起球形体积减小的同一
个原因。这种体积减小效应印证了牛顿引力定律继续存在的部分，也即此
力和吸引物体的质量成正比。我们画出这种情形的空间——时间图。我在
图5.27 上画出球面 （在图5.25 中画成了一个圆圈）上粒子的世界线。我
在这里是用使球面的中心显得处于静止 （“自由下落”）的座标系。广义
相对论把自由下落运动看作 “自由运动”——和无引力物理中的“均匀直
线运动”相类似。这样，我们试图在空间——时间中用 “直”的世界线来
描绘自由下落。然而，从图5.27看出“直”这个字在此处的用法显得混乱。
这只不过是术语的问题。我们以后就将自由下落的粒子的世界线称作空间
——时间的测地线。
图5.27 空间——时间曲率：画在空间——时间中的潮汐效应。
图5.28 曲面上的测地线。在正曲率处测地线收敛，而在负曲率处它们
发散。
这是一个好术语吗？ “测地线”在通常情况下的含义是什么呢？我们
考察二维曲面的类似情形。测地线为在曲面上 （局部的）“最短程”的曲
线。如果我们想象在此曲面上拉伸一根绳子 （不要太长，否则它会滑走），
那么这根绳子在曲面上就和一根测地线相重合。我在图5.28 上给出了两个
曲面的例子，第一个具有 “正曲率”（和球面类似），而第二个具有“负
曲率” （一个马鞍形的面）。在正曲率曲面上，两根互相邻近的一开始相
互平行的测地线会相互靠近；对于负曲率曲面，它们会相互离开。如果我
们想象，自由下落粒子的世界线在某种意义上像是曲面上的测地线，则可
以看到在前面讨论的引力潮汐效应和曲面的曲率效应之间有种紧密的相似
性——但是现在情形下正的和负的曲率效应会同时存在。我们可从图5.25
和图5.27看到，空间——时间的 “测地线”在一个方向上互相离开（当它
们和地球在同一直线上时）——正如图 5.28 中负曲率曲面的情形——在另
一方向上它们互相靠近 （当它们相对于地球处于水平的方向上）——正如
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图5.28 中正曲率曲面的情形。这样，我们的空间——时间曲率确实似乎具
有类似于我们两个曲面的 “曲率”，但是由于更高的维数而变得更为复杂，
在不同的位移上牵涉到正和负的曲率的混合。
这就显示了如何用空间——时间 “曲率”的概念来描述引力场。这种
描述的可能性终究到底是从伽利略的直觉而来的 （等效原理），它允许我
们用自由下落来消除 “引力”。实际上我到此为止还不必要超出牛顿理论
的范围。这个新的图像只是为此理论提供了重新表述 19。然而，当我们将
此图像和狭义相对论的闵可夫斯基描述——亦即现在我们知道应用于不
存在引力情况下的空间——时间几何相结合时，就得到了新的物理。其最
终的结合物即为爱因斯坦的广义相对论。
回想一下我们从闵可夫斯基得到的教益。引力不存在时，空间——时
间中定义了两点之间的特殊类型的 “距离”测度。我们在空间——时间中
有根描述某粒子的世界线，则沿着此世界线测量的闵可夫斯基 “距离”表
示这个粒子实际经历的时间。 （在前一节我们事实上只考虑沿着与直线段
一致的世界线的 “距离”，但这个断言对于任意弯曲的世界线“距离”的
测量也成立。）如果没有引力场——亦即没有空间——时间曲率时，闵可
夫斯基几何是准确的。但是在引力存在时，我们只能将闵可夫斯基几何当
作一种近似——如同平面是弯曲曲面几何的近似描述一样。我们如果用放
大倍数越来越大的显微镜去考察曲面——使得曲面的几何伸展到越来越大
的范围去——则该曲面就显得越来越平坦。我们说一个弯曲曲面在局部上
像是一个欧几里德平面20。我们可以以同样的方式说在引力存在时，空间
——时间在局部上像闵可夫斯基几何 （也就是平坦的空间——时间），但
是我们在更大的尺度下允许某种 “弯曲性”（见图5.29）。特别是，正如
在闵可夫斯基空间中一样，空间——时间中的任一点都是一个光锥的顶
点。但是这些光锥不像在闵可夫斯基空间中的那样以完全一致的方式排
列。我们将在第七章的一些空间——时间模型的例子中看到这种明显的非
一致性 （参阅387 页的图7.13和 7.14）。物质粒子的世界线的朝向总在
光锥之内，而光子的世界线总是沿着光锥。正如在闵可夫斯基空间中一
样，沿着任何一条这样的曲线，总存在测量该粒子所经历的时间的闵可夫
斯基 “距离”的概念。正如在曲面的情形，这种距离测度定义了与平空间
不同的曲面的几何。
图5.29 弯曲空间——时间图
和上述的二维曲面情况相似，空间——时间中的测地线可有类似的解
释。但是我们必须记住闵可夫斯基和欧几里德情形的不同之处。空间——
时间中的测地的世界线取 （局部）最大的距离 （亦即时间），而不是取（局
部）最小的长度。按照这一规则，引力作用下的自由运动粒子的世界线，
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实际上是测地线。这样，尤其是在引力场中运动的天体可用测地线来描
写。在空虚的空间的光线 （光子的世界线）也是测地线，并且是具有零“长
度”的测地线21。我在图5.30 中作为例子画出了地球和太阳的世界线的略
图，地球绕太阳的运动是一根绕着太阳世界线的螺旋状的测地线。我也标
出了从一个遥远的恒星到达地球的光子。因为按照爱因斯坦理论，光线被
太阳的引力场所偏折，所以其世界线显得稍微有些 “弯折”了。
图5.30 地球和太阳以及从遥远恒星处来的被太阳所偏折的光线的世
界线。
我们还要看看如何将牛顿的反平方律包括进来，并按照爱因斯坦相对
