本不管这些细节的 “可决定性地预言的”方面。相反地，人们利用一般的
牛顿理论做模型，从这些模型可以推导出整体行为。某些诸如能量、动量
和角动量守恒定律的准确推论的确在任何尺度下都有效。此外，存在可与
制约单独粒子的动力学规律相结合的统计性质，它能对有关的行为作总体
预言。 （参阅第七章关于热力学的讨论；我们刚讨论过的相空间弥散效应
和热力学第二定律有紧密的关系。我们只要相当仔细，便可利用这些观念
作预言。）牛顿本人所做的空气声速的计算 （1个世纪后拉普拉斯进行了
微小的修正）便是一个好例子。然而，牛顿 （或更笼统来说，哈密顿）动
力学中固有的决定性在实际上适用的机会非常稀少。
相空间弥散效应还有一个惊人的含义。它告诉我们，经典力学不能真
正地描述我们的世界！我说得有点过分了一些，但是并不太过份。经典
力学可以很好地适用于流体——特别是气体的行为，在很大的程度上适用
于液体——此处人们只关心粒子系统的 “平均”性质，但是在对固体作计
算时就出了毛病，这里要求知道更细节的组织结构。固体由亿万颗点状的
粒子所组成，由于相空间弥散其排列的有序性应不断地降低，何以保持其
形状大致不变呢？正如我们已经知道的，量子力学在理解固体的实在结构
时是不可或缺的。量子效应可多多少少防止相空间的弥散 （见第八章和第
九章）。
这也和制造 “计算机器”的问题相关。相空间弥散是某种必须控制的
东西。相空间中对应于一个电脑的 “分立”态的区域（例如前述的R ）不
应允许其过度弥散开来。我们记得，甚至弗列得钦——托弗里“撞球电脑”
需要某种外围的固体墙才能工作。包括许多粒子的物体的 “刚性”正是需
要量子力学起作用的某种东西。看来，甚至 “经典”电脑也必须借助于量
子物理学的效应才能有效地工作！
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马克斯韦电磁理论
在牛顿的世界图像中，人们设想一个微小粒子靠一种超距作用的力作
用到另一个粒子上。如果粒子不是完全点状的。可以认为由于偶尔的实际
物理接触而互相反弹离开。正如我前面 （193页）提到的，电学和磁学 （古
人即知道此两者的存在，威廉·吉尔伯特在 1600年和本查明·佛兰克林在
1752年分别进行了一些细节的研究）的行为和引力很类似。虽然同号的电
荷 （磁极强度）相互排斥而不是吸引，它们都以距离的反平方律衰减。这
里的电磁力是由电荷 （磁极强度），而不是由质量决定其强度。在这个水
平上，将电学和磁学归并到牛顿理论中去并没有什么困难。光的行为也可
以粗略地 （虽然有某些困难）容纳进去。我们或者将光当作单独粒子（正
如我们现在应称之为 “光子”的那样）组成，或者把它当作某种媒质中的
波的运动。在后一情况该媒质 （“以太”）本身应认为是由粒子组成的。
运动电荷会产生磁力的这一事实引起了额外的复杂性，但是这并没有
把整个体系瓦解。大量的数学家和物理学家 （包括高斯）提出了在一般牛
顿框架中似乎满意的、描述运动电荷效应的方程组。第一位向这个 “牛顿
式”的图像提出严肃挑战的科学家是英国伟大的实验家兼理论家米凯尔 ·法
拉第(1791—1867)。
为了理解这个挑战的性质，我们首先要定义物理场的概念。首先考虑
磁场。大部分读者都有过这样的经验，将一张纸放在磁铁上时，纸上的铁
粉末具有特别的形态。这些粉末以一种令人惊异的方式沿着所谓的 “磁力
线”串起来。我们可以想象，即便粉末不在该处，磁力线仍在那里。它们
构成了我们称之为磁场的东西。这 “场”在空间的每一点都朝着一定的方
向，亦即在该点力线的方向。实际上，我们在每一点都有一个矢量。这样，
磁场就给我们提供了一个矢量场的例子。 （我们可把它和上一节考虑的哈
密顿矢量场相比较，但现在这一个矢量场是在通常的空间中，而不在相空
间中。）类似地，一个带电的物体被一种称之为电场的不同种类的场所围
绕；而且引力场也类似地围绕着任何有质量的物体。这些也都是空间的矢
量场。
远在法拉第之前，人们就有了这些观念，它们已成为牛顿力学理论家
的一部份武器。但是认为这种“场”中不包含实际物理物质的观点占优势。
反之，它们被当作为某一个粒子放在不同的点时所作用的力提供一种必要
的 “薄记”。然而，法拉第深刻的实验发现（利用运动线圈、磁铁等等）
使他坚信，电磁场是真正的 “东西”，并且变化的电磁场有时会相互“排
挤”到原先空虚的空间，以产生一种脱离物体的波动！他猜测到光也许就
包括这类波动。这种观点背离了占统治地位的 “牛顿智慧”。按照牛顿的
观点，这类场不能在任何意义上被认为是 “真实的”，而仅仅是作为“真
正的”牛顿点粒子超距作用 “实在”图像的方便的数学辅助物而已。
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面临着法拉第以及优秀的法国物理学家安德列·玛雷·安培(1775—
1836)和其他人更早的实验发现，伟大的苏格兰物理学家兼数学家詹姆
斯·克拉克·马克斯韦 （1831—1879）对从这些发现产生的电磁场方程的
数学形式感到疑惑。他以惊人的灵感，对这些方程作了初看起来似乎非常
微小的，但却是含义深远的改变。这个改变根本不是由已知的实验事实（虽
然与之相协调）暗示的。这是马克斯韦理论自身所要求的结果，部分是物
理学上的，部分是数学上的，还有部分是美学上的。马克斯韦方程的一个
含义是电磁场的确在空虚的空间中相互 “推挤”。振动的磁场产生振动的
电场 （这是法拉第的实验发现所隐含的）。而振动的电场又反过来产生振
动的磁场 （由马克斯韦理论推导得来的），并且这又接着产生电场等等。
（这种波的详图见312 页的图6.26和313 页的图6.27。）马克斯韦能够
算出这种效应在空间传播的速率——并且他发现这正是光的速率！此外，
这些所谓的电磁波还展示出了很久以来就知道的于涉和令人困惑的极化
性质 （我们在第六章269，311 页还要回到这些上来）。除了说明波长在一
7
个特定范围 （4—7×10 米）的可见光的性质外，还预言了导线中电流产生
的其他波长的电磁波。出色的德国物理学家亨利希·赫兹于1888年在实验
上证实了这种波的存在。法拉第的富有灵感的希望在美妙的马克斯韦方程
中的确找到了坚实的基础！
虽然我们在这儿并不必了解马克斯韦方程的细节，稍微看看它们是什
么样子的并没有什么害处：
1 E B
2 · = curlB- 4pj ， = -curlE
c t t
divE = 4 πρ，divB = 0.
此处E、B和 j分别为电尝磁场和电流；ρ为电荷密度，c 只是一个常数，
也就是光速 11。不必忧虑curl 及div 等项，它们简单地表示不同类型的空
间变化。 （它们是某种相对于空间座标的偏微分算符的组合。可以回想我
们在讨论哈密顿方程时遇到的用符号表示的偏微分运算。）在前面两个方
程左边出现的算符/t 实际上和用在哈密顿方程的点一样，其不同之处只
是技术性的。这样E/t 表示电场的变化率，而B/t 表示磁场的变化率。
①
第一个方程 说明电场如何按照磁场和电流在该时刻的行为而变化；而第二
个方程说明磁场如何按照电场在该时刻的行为而变化。第三个方程粗略地
讲是反平方律的另一种形式，它是讲 （该时刻的）电场必须和电荷分布相
关；而第四个方程对磁场说同样的东西，除了在这情况下没有“磁荷”（或
分开的 “北极”或“南极”粒子）以外。
这些方程在下面这一点和哈密顿的很相像，即依据在任何给定时刻的
① 严格地讲，这仅就将其近似地认为在作匀速直线运动，尤其是没有旋转时而言。地球的旋转的确有 （相
对小的）可探测到的动力学效应，最显明的即是北半球和南半球的风偏折方式不同，伽利略认为海潮的起
因在于这种非均匀性。
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电场和磁场的值，它们给出了这些量对时间的变化率。所以马克斯韦方程
和通常的哈密顿理论一样是决定论的。仅有的也是一个重要的差别是，马
克斯韦方程是场方程而不是粒子方程。这表明我们需要用无限个参数去描
述系统的态 （空间中的每一点的场矢量），而不仅仅需要像在粒子论中的
有限的数目参数 （每个粒子的三个位置和三个动量座标）。因此马克斯韦
理论的相空间是无限维的！ （正如我以前提到过的，一般的哈密顿框架，
实际上可以包容马克斯韦方程。但由于这无限的维数，该框架必须稍微推
广一下 12。）
马克斯韦理论为我们的物理实在的图像添加上具有根本性的新的部
分。我们必须接受场自身的存在，而不能把它仅仅当作牛顿物理中的“实
在”粒子的数学的附属物。在这一点上它超越了我们的原先的理论框架。
马克斯韦的确向我们指出，当场以电磁波传播时，它们自身携带一定量的
能量。他还给出了这种能量的显明的表达式。从一处传播到另一处的 “脱
离物体”的电磁波能传递能量的这一惊人事实，最终由赫芝在实验上探测
到它的存在而被证实。这个事实虽然如此惊人，而现在却变成这么熟悉的
东西了。
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可计算性和波动方程
马克斯韦能直接从他的方程推导出，在没有电荷或电流 （亦即在上述
方程中 j=0，ρ=0）的空间区域，所有电磁场的分量必须满足一称为波动
①
方程 的方程。由于波动方程是有关于一个单独的量的，而不是电磁场的
所有六个分量的方程，所以可视作马克斯韦方程的 “简写”。它的解表现
了类似波动的行为，并牵涉到诸如马克斯韦理论的 “极化”（电场矢量的
方向，见311 页）等等其他复杂性。
因为波动方程及其可计算性的关系已被清楚地研究过，所以我们对它
格外有兴趣。事实上，玛利安·玻依堪·玻—埃勒和因·里查德 （1979，
1981，1982，还可参阅1985）指出，尽管波动方程在平常的意义上具有决
定性的行为，——亦即初态数据一被提供，则其他时刻的解即被决定——
还存在某种古怪类型的可计算的初始数据，它使得在以后可计算的时刻被
决定的场的值实际上是不可计算的。这样，此一似是而非的物理场论的方
程 （虽然不完全是在我们世界中实际成立的马克斯韦方程）会在玻—埃勒
和里查德的意义上产生不可计算的演化！
这结果在表面上似乎相当令人震惊——这看来和我在上一节的猜测相
抵触，除了那时人们关心的是 “合理的”哈密顿系统的可能的可计算性以
外。然而，玻—埃勒和里查德结果固然是惊人的并和数学有关系，它和猜
测的冲突并没有什么真正的物理意义。原因在于，他们 “古怪”的初始数
据不以一种通常人们对物理上有意义的场所要求的方式而 “光滑地改变”
13玻—埃勒和里查德实际上证明了，如果我们不容许这一类场，则不会产
生不可计算性。无论如何，甚至如果允许这类场，很难想象任何物理 “仪
器” （诸如人脑？）能利用这样的“不可计算性”。这只有当允许作任意
高精度的测量时才相干。但正如我说过的，这在物理上不是非常现实的，
尽管如此，玻—埃勒和里查德的结果代表了一个重要研究领域的美妙开
端，迄今这个领域还很少被研究过。
① 电和磁之间的不同在于单独“磁荷”（亦即北极或南极）似乎不能在自然中分开存在，磁粒子被称作“偶
极子”，亦即微小的磁铁 （北极和南极连在一起）。
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洛伦兹运动方程；逃逸粒子
马克斯韦方程本身还不是一个完整的方程组。如果给定了电荷和电流
的分布，则它们提供了电磁场传播方式的美妙的描述。在物理上，这些电
荷主要是我们知道的电子和质子等带电粒子，而电流是由这种粒子的运动
所引起的。如果我们知道这些粒子在何处并如何运动，则马克斯韦方程告
诉我们电磁场会如何行为。该方程并没有告诉我们这些粒子自身如何行
为，此问题的部分答案在马克斯韦年代即已经知道，但直到 1895年杰出的
荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹利用与狭义相对论有关的思想去推
导现在称之为带电粒子的洛伦兹运动方程后 （参阅威塔克(1910)310页，
395 页），才得到了令人满意的方程组。这些方程告诉我们带电粒子的速
度如何因所处的电磁场的影响而连续地改变 14。把洛伦兹方程和马克斯韦
方程相联立，人们便能同时得到带电粒子的电磁场的时间演化的规则。
然而，这一套方程并非一切都相安无事。如果一直到粒子的自身的直
径的尺度之下 （电子的“经典半径”大约为10-15 米）场都是非常均匀的，
而且粒子运动也不过分激烈的话，则它们给出了极好的结果。但此处存在
一个原则上的困难，在其他情况下它会变得重要起来。洛伦兹方程要我们
去做的是考察带电粒子所在处的准确的那一点的电磁场 （并且实际上提供
了该点的 “力”）。如果粒子是有限尺度的，则那一点应如何选取呢？是
否我们应取粒子的 “中心”，或是对表面上所有点的场（“力”）取平均？
如果场在粒子尺度下不是均匀的，则这就产生了差异。还有更严重的问
题：粒子表面 （或中心）的场究竟如何？记住我们考虑的是一个带电的粒
子。粒子本身引起的电磁场必须叠加到粒子所处的地方的“背景场”上去。
粒子的自身场在靠近 “表面”处变得极强，并且轻而易举地糟塌它附近的
所有其他的场。而且，围绕着自身的粒子场会多多少少地指向外面 （或内
面）。这样粒子所要反应的总的实际场根本不是均匀的，在粒子 “表面”
的不同地方指向不同的方向，更不要说它的 “内部”了（图5.15）。现在
我们必须开始忧虑，互异的作用到粒子上的力是否使之旋转或变形，我们
必须知道它的弹性性质等等 （并且这里还有一个和相对论有关的特别有疑
问的问题，我先不在此烦恼读者）。显然，这个问题比初看时复杂得多。
图5.15 我们要如何严格地应用洛伦兹运动方程？由于自己的场在粒
子的位置处起主导作用，作用在它上面的力不能简单地从该粒子所处地方
的场得到。
也许我从一开始就把粒子当作点粒子会更好些。但这会导致另一类问
题，因为在粒子的近邻处其自身的电场会变成无穷大。按照洛伦兹方程，
如果它必须对它所处的地方的电磁场响应，则它必须对此无穷大的场响
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应！为了使洛伦兹力定律有意义，必须找出一种减去粒子自身的场以剩下
的有限的背景场的方法，这样粒子才能毫不含糊地对背景场响应。1938年
狄拉克 （我们在后面还要提到他）解决了这个问题。但是，狄拉克解导出
了某些令人恐慌的结论。他发现为了决定粒子和场的行为，不但必须知道
每个粒子的初始位置和速度，也必须知道其初始加速度 （这是一种在标准
的动力学理论的范围内不太正常的情况）。对大多数的初始加速度值，粒
子的最终行为变得完全疯狂，它自发地加速并很快地趋近于光速！这就是
狄拉克的 “逃逸解”，它并不对应于任何实际发生在自然里的东西。人们
必须找到一种正确选择初始加速度以避免逃逸解的方法。只有一个人使用
“先知”——也就是，必须指明能最终导出逃逸解的初始加速度并避免之，
才能做到。这根本就不是在一个标准的决定性的物理问题中选择初始条件
的方法。在传统的决定论中，这些初始数据可以任意给定，不受任何未来
的行为要求的约束。而在这里，不仅是将来完全决定了在过去某一时刻的
应选取的初始值，而且这些非常特别的数据由于要使未来行为确实“合理”
的要求，而被非常苛刻地约束。
基本的经典方程就只能走到这么远。读者会意识到经典物理定律中决
定性和可计算性的问题真是乱麻一团，在物理学定律中是否有一个目的论
的因素呢？未来是否对过去允许发生的事有某种影响呢？在实际上，物理
