一个粒子所受的力是由所有其他粒子分别贡献到该粒子的力利用矢量加
法定律相加而得到 （见图5.6）。为了很好地定义这个系统需要一些规则，
这些规则可以告诉我们从另一个粒子 B作用到粒子A 的力是什么样子的。
通常我们需要该力沿着AB 之间的连线作用 （见图5.7）。如果该力是引力，
则A 和 B之间的力是互相吸引的，其强度和它们质量乘积成正比，而和它
们之间的距离的平方成反比：亦即反平方律。对于其他种类的力，其依赖
于位置的方式可与此不同，也可能决定于粒子质量以外的其他性质。
伽利略的一位同时代人，伟大的约翰斯·开普勒 （1571—1630）注意
到，行星绕太阳公转的轨道是椭圆而不是圆周 （太阳总是处于该椭圆的一
个焦点上，而不在其中心）。他还给出了制约行星作此椭圆运动的速率的
其他两个定律。牛顿能够从他自己的一般理论 （以及引力的反平方律）推
导出开普勒三定律。不仅如此，他还对开普勒的椭圆轨道作了各种细节上
的修正，诸如春秋分日点的进动 （许多世纪以前的希腊人已注意到这些地
球旋转轴方向的这种极慢的运动）。为了取得所有这些成就，牛顿就必须
发展除了微积分之外的许多数学手段。他惊人的成就得大大归功于其超等
的数学技巧及其同等超人的物理洞察力。
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牛顿动力学的机械论世界
如果已知特定的力的定律 （例如引力的反平方律），则牛顿理论就表
达成一组精密的确定的动力学方程。如果各个粒子在某一个时刻的位置、
速度和质量是给定的，则它们随后任何时间的位置、速度 （以及质量——
这被当作常数）就被数学地确定，这种牛顿力学的世界所满足的决定论形
式对哲学思维产生了 （并正在产生着）深远的影响。让我们更仔细地考察
牛顿的决定论。它对 “自由意志”有何含义呢？一个严格的牛顿世界能包
含精神吗？甚至牛顿世界能包含计算机器吗？
让我们先明确一下什么是世界的 “牛顿”模型。例如，我们可以认为
组成物体的所有粒子是数学的、亦即没有尺度的点。另外的办法是将它们
当作球状的刚性球。无论如何，我们都必须假定知道力的定律，例如，牛
顿引力论中的引力的反平方律。我们还要对自然的其他力，比如电力和磁
力 （威廉·吉尔伯特在1600年首先仔细研究过）以及现代已知将粒子 （质
子和中子）绑在一起形成原子核的强核力的定律也表述出来。电力正和引
力一样满足反平方律，但类似的粒子互相排斥 （而不像引力那样互相吸
引）。这里不是粒子的质量，而是它们的电荷决定它们之间电力的强度。
②
磁力和电力一样也是 “反平方的”，但是核力以相当不同的形式随距离而
变化。在原子核中当粒子相互靠得紧密时核力极大，而在更大距离下则可
以忽略不计。
假定我们采用刚体圆球的模型，并要求两个球碰撞时，它们即完全弹
性地反弹。也就是说，它们如同两个完好的撞球那样，在能量 （或总动量）
没有损失的情况下分离开。我们还必须明确指明两球之间的作用力。为了
简单起见，我们可以假定任两球之间的作用力都沿着它们中心的连线，其
大小为该连线长度的给定的函数。 （由于牛顿的一个出色的定理，此假设
对牛顿引力自动成立。对其他力的定律，这可当成一个协调的要求而加上
的条件。）如果刚体只进行成对碰撞，而不发生三个或更多个的碰撞，则
一切都定义得很好，而且结果会连续地依赖于初始条件 （亦即只要初态的
变动足够小，财能保证结果变化也很小）。斜飞碰撞的行为是两球刚好相
互错过的行为的连续过渡。但在三球或多球碰撞的情形下就产生了新问
题。例如，如果三球ABC 一下子跑到一块，那AB 先碰撞，紧接着C 和 B
碰撞，或AC 先碰撞，紧接着B和A 碰撞，情况就很不一样 （见图5.8）。
在我们的模型中，只要有三碰撞发生就存在非决定性！只要我们愿意，就
可以用 “极不可能”的理由简单地将三碰撞或多碰撞的情形排除掉。这就
提供了一种相当一致的方案，但三碰撞的潜在问题表明终态将以不连续的
② 用现代的语言，这表明存在分数M/N 使得a/b＞M/N ＞c/d。只要a/b＞c/d 则在两实数a/b 和c/d 之间一定
存在一个这样的分数，以使欧多索斯判据确实被满足。
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方式依赖于初态。
图5.8 三碰撞。最后的行为关键地决定于哪两球先碰撞，这样使得结
果不连续地依赖于起因。
这有点使人不满意，我们也许会更喜欢点粒子的图像。但是，为了避
免某些点粒子模型引起的理论困难 （当两个粒子撞到一起时出现的无限大
力和无限大能量），人们必须做其他假设，诸如在短距离时粒子的相互作
用力变成非常强的排斥力等等。在这种情形下，我们可以保证任何一对粒
子实际上都不会碰撞到一起。 （这也使我们避免了它们碰撞时的点粒子如
何行为的问题！）然而，为了直观起见，我宁愿完全按照刚球模型来讨论。
看来这种 “撞球”图像正是大多数人下意识的实体的模型。
5
牛顿 撞球的实体模型 （不管多碰撞问题）确实是一个决定论模型。
此处 “决定论”的含义是：所有球（为了避免某些麻烦，假定为有限个）
在将来 （或过去）的物理行为数学地被某一时刻的位置和速度所完全决
定。这样看来，在这个撞球的世界上根本没有余地让 “精神”用“自由意
志”的行动去影响物体的行为。我们如果还信仰 “自由意志”的话，就要
被迫对实际世界的如此构成方式提出质疑。
这个令人烦恼的 “自由意志”问题一直徘徊在这整部书的背景里——
虽然在多数情况下，我必须说只在背景里。在本章后头有一个很小却很奇
特的地方牵涉到它 （关于相对论中超光速讯号传递的问题）。我将在第十
章直接着手自由意志的问题。读者一定会对我的结果深感失望。我的确相
信，这里存在一个真正的、而非想象的问题。但它是非常根本的，并且要
把它表述清晰非常困难。物理理论中的决定论是一个非常重要的问题，但
是我相信这只是问题的一部分。例如，这个世界很可能是决定性的，但同
时却是不可计算的。这样，未来也许以一种在原则上不能计算的方式被
现在所决定。我将在第十章论证，我们具有意识的头脑的行为的确是非算
法的 （亦即不可计算的）。相应地，我们自信所具备的自由意志就必然和
制约我们在其中生活的世界的定律中某些不可计算部分紧密地纠缠在一
起。是否接受这样的关于自由意志的观点，亦即给定的物理 （例如牛顿）
理论，是否的确是可计算的，而不仅仅是否是决定性的，是一个有趣的问
题。可计算性不同于决定性——这正是我试图在本书所要强调的。
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撞球世界中的生活是可计算的吗？
我现在使用一个决定性的、但不可计算的 “玩具宇宙模型”，来解释
可计算性和决定性是不同的。我承认这是一个人为的特别例子。宇宙任何
“时刻”的“态”可用一对自然数（m，n）来表示。用T 表示一台固定的
u
普适图灵机，譬如在第二章 （63 页）定义的那一台。为了决定下一“时刻”
宇宙的态，我们必须知道T 在m 上的作用最终停止不或不停 （亦即用第二
u
章65 页的记号，T （m）≠□还是T （m）=□成立）。如果它停止，则下
u u
一时刻的态为 （m+1，n）。如果它不停止，则为 （n+1，m）。从第二章我
们知道，不存在图灵机停止问题的算法。这样就不存在去预言这个模型宇
6
宙 “将来”的算法，尽管它是完全决定性的 ！
当然，这不能认为是一个严肃的模型。但它表明存在一个要回答的问
题。我们可对任何决定性的物理理论考察其可计算性。那么，牛顿的撞球
世界究竟是否可计算的呢？
物理可计算性的问题部分地依赖于我们打算对此系统问哪一种问题。
在牛顿撞球模型中，我能想到一些可以问的问题，我对这些问题的猜测
是，要弄清其答案不是一个可计算 （亦即算法的）事体。球A 和球 B 究竟
会碰撞否便是这样的一个问题。其思路是，在某一特定时刻 （t=O）所有球
的位置和速度作为初始数据给定后，我们要知道，A 和 B 是否会在将来的
任一时刻 （t＞O）碰撞？为使这个问题更明确 （虽然不是特别现实），我
们可以假定，所有球的半径和质量都一样，并且每一对球之间的作用力是
反平方律的。我之所以猜想这是非算法可解的问题的一个原因是，该模型
有点像爱德华·弗列得钦和托马索·托弗里在 1982年提出的“计算的撞球
模型”。在他们的模型中，球被若干堵 “墙”所限制（而不是反平方律的
力）；但是它们互相以类似于我刚描述过的牛顿球那样弹性反弹 （见图
5.9）。在弗列得钦——托弗里模型中，所有电脑的基本逻辑运算都可由球
来实现。我们可以模拟图灵机的任何计算：对图灵机T 的特别选取规定了
u
弗列得钦——托弗里机器的 “墙”等等的搭配；运动的球的初态可认为是
输入磁带的信息的码，将球的终态解码就得到图灵机输出磁带的信息。这
样一来，人们会特别关心这样一个问题：如此这般的图灵机会有停止之时
吗？ “停止”的是意味着球A 最终和球B碰撞。我们已知这个问题不能用
算法回答 （71 页），这事实至少暗示我前面提出的 “球A 最终和球B碰撞
吗？”的牛顿问题也不能用算法回答。
事实上，牛顿问题比弗列得钦和托弗里提出的问题要棘手得多，后者
可依照分立变数 （亦即按照诸如“球或者在通道上或者不在”的“在或不
在”的陈述）来指明其状态。但在完整的牛顿问题中必须以无限的精度，
按照实数的座标而不是以分立的方式指明球的初始位置和速度。这样，我
们又面临着在第四章处理关于孟德勒伯洛特集是否可递归的问题时所必须
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考虑的所有麻烦。当允许输入和输出数据为连续变化的变数时“可计算性”
7
的含义是什么呢 ？我们可以暂时假定所有初始位置和速度座标均为有理
数 （虽然不能预料在t 的时刻以后的有理数仍保持为有理数），而使此问
题变得稍为缓和。我们知道有理数为两整数的比，所以为一可列集。我们
可用有理数来任意地逼近所选择用来考察的任何初始数据了。对于有理数
的初始数据，也许不存在决定A 和 B 是否最终会碰撞的算法的猜测决不是
毫无道理的。
图5.9 弗列得钦——托弗里撞球电脑中的一个 “开关”（由A ·雷斯
勒提出的）。如果一个球进入B，则是否有一个球接着从D 或 E 出来，得
看是否另一球进入A 中 （假定A 和 B 的同时进入）。
然而，这并不是诸如“牛顿撞球世界是不可计算的”断言的真正含义。
我用来和我们的牛顿撞球世界作比较的弗列得钦——托弗里 “撞球电脑”
的特殊模型的确按照计算而进行。无论如何，这是弗列得钦和托弗里思想
的基本点——他们模型的行为应该和一台 （普适）电脑一样！我试图要提
的问题是，在某种意义上，人类大脑驾驭适当的“不可计算的”物理定律，
能比图灵机做得更好，这一点是不是可以理喻的。追究如下的问题将是徒
劳的：
“如果球A 永远碰不到球B，则你的问题的答案为 ‘非’。”
人们可能永远也等待不到断定问题中的球不会碰到一起的时刻！那当
然正是图灵机行为的方式。
事实似乎很清楚地表明，牛顿撞球世界在某个合适的意义上 （至少在
如果我们不管多碰撞的问题之时）是可计算的。人们通常计算这种行为的
方法是做一些近似。我们可以想象这些球的中心被指定在点的网格上，譬
如讲网格的点被划分到百分之几单位。时间也被认为是 “分立”的，所有
可允许的时刻是某一小单位 （用△t 表示）的倍数。这就产生了一定的“速
度”的可允许的分立值 （两个连续允许的格点的位置的座标值的差，除以
△t）。利用力的定律来计算加速度的适当的近似，再利用它使“速度”并
因此下一允许时刻的新的格点位置被确定到所需要的近似程度。只要我们
能维持所需的精度，则这种计算就可一直进行下去。很有可能算不了多少
次其精度就失去了。以后的步骤是从更细的空间分格，以及更细的时间间
隔重新开始。这一回能得到更好的精度，并在精度损失之前能计算到更久
的将来的某一时刻。不断地增加细度，则计算的精度和所到达的将来的时
间的长度就能不断地改进。可用这种方法将牛顿撞球世界计算到任意高的
精度 （不管多碰撞的问题）——我们可以在这种意义上讲牛顿世界的确是
可计算的。
然而，认为这一个世界在实际上是 “不可计算的”断言是具有某种含
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义的。这是因为得知的初始数据的精度总是受限制的。这类问题的确存在
着固有的不可忽视的 “不稳定性”。初始数据的极为微小的改变会导致结
果行为的绝大的变化。 （任何玩撞球的人，在他想用一个球去撞另一个使
之落入球囊时，都知道我这样说的意思！）这在 （连续）碰撞发生时尤其
明显。但是，这种不稳定性行为也会发生在牛顿的引力远距离作用时 （多
于两体的情况下）。所谓的 “混沌”或“混沌行为”经常用来表示这种不
稳定的类型。例如，混沌行为对天气影响重大。虽然我们对控制基本元素
的牛顿方程式了解甚多，但是远期天气预报之不可靠性则是臭名昭彰的！
这根本不是那类可以任何方式驾驭的 “不可计算性”。这只是因为所
知的初始态的精度有限，而终态不能由初态可靠地算出。实际上只是随机
因素被引入到未来的行为中而已。如果大脑的确使用了物理定律中的不可
计算性的有用的因素，则它们必须具有完全不同的、并从这里引出更正面
得多的特性。相应地，我根本不把这种 “混沌”行为称为“不可计算性”，
而将其称为 “不可预见性”。正如我们很快就会看到的，在（经典）物理
学中的决定性的定律中存在不可预见性，是一种非常一般的现象。在制造
思维机器时，不可预见性正是我们希望尽量减小而不是去“驾驭”的东西！
为了更一般地讨论可计算性和不可预见性的问题，对物理定律采用比
以前更广泛的观点将会更有助。这就促使我们不仅只考虑牛顿力学的理
论，而且研究随后超越过它的各种理论。我们需要领略力学的美妙的哈密
顿形式。
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哈密顿力学
牛顿力学不仅在于非凡地应用到物理世界方面，而且在于它所引起的
数学理论的丰富方面取得瞩目的成功。令人惊异的是，自然界所有超等理
论都被证明是数学观念的丰富来源。这些绝顶精确的理论就作为数学而言
也是极富成果的，这个事实具有一种深刻和美丽的神秘。它毫无疑问地表
明，在我们经验的实在世界和柏拉图的数学世界之间有某种根本的关联。
（我将在第十章495 页再讨论这一些。）牛顿力学也许是这方面的一个顶
峰，因为它一诞生即获得了微积分。而且，牛顿理论形成了非凡的称为经
典力学的数学观念的实体。十八和十九世纪许多伟大数学家的名字都和此
发展相关联：欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、刘维尔、泊阿松、雅科比、奥
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斯特洛夫斯基、哈密顿。被称为 “哈密顿理论”的即为这一工作的总结。
为了我们的目的对其稍微了解即可以了。威廉姆·罗曼·哈密顿 （1805—
1865）是一位多才多艺和富有创见的爱尔兰数学家，他还是在165页讨论
过的哈密顿线路的发明者。他把力学发展成强调其与波传播相类似的形
式。波和粒子的关系的暗示，以及哈密顿方程的形式对于后来的量子力学
的发展极为重要。我在下一章还会提及。
