它有平方根吗？它的确有，很容易检验量
(1+ i) ／ 2
（以及它的反号）的平方得i。这个数有平方根吗？答案又是肯定的；量
(1+ 1 2) (1－1／ 2 )
+ i 或者它的反号的
2 2
平方的确为(1+ i) ／ 2 。
我们注意到，在形成这样的量时，我们允许把实数和虚数相加，也允
许把我们的数乘任意实数 （或除以非零的实数，这相当于乘以它们的倒
数）。所得的结果称为复数。复数是具有形式
a+ib
的数，这里a和 b 是实数，分别称作该复数的实部和虚部。将这样的两个
2
数相加和相乘必须遵循通常的代数法则以及 i=-1 的规则：
(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
(a+ib)×(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)。
现在出现了新的鲜明的情况！我们对这个系统的动机是使对任何数都
能取平方根。这个目的是达到了，虽然还不这么明显。但是，它做得比这
还多得多：取立方根、五次方根、九十九次方根、π次根、 （1+i）次根等
等都可以畅通无阻地进行 （正如伟大的十八世纪数学家列纳多·欧拉指出
的那样）。作为复数的另外一个魔术，我们考察在中学就学到的三角几何
中略显复杂的公式，两个角之和的正弦与馀弦公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
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cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，
①
只不过分别是简单得多 （也容易记忆得多！）的复方程
iA+iB iA iB
e =e e
的虚部和实部。
我们在这里所要知道的是 “欧拉公式”（该公式显然地也被十八世纪的英
国数学家罗杰·可提斯在早许多年就得到）
iA
e =cosA+isinA，
把它代入前面的方程，其结果的表达式为
cos(A+B)+isin(A+B)=(cosA+isinA)(cosB+isinB)，
只要把右边乘出，我们就得到所需的三角关系式。
还有任何代数方程
2 3 n
a +a z+a z +a z +…+a z =0
0 1 2 3 n
（此处a ，a ，a ，…，a 为复数，a ≠0）总有复数的解。例如，存
0 1 2 n n
在满足关系
102 33 2
z +999z - πz =-417+i
的一个复数z，虽然这一点绝非明显！这一个普遍的事实有时被称作 “代
数的基本定理”。不少十八世纪的数学家都为证明这个结果奋斗过。甚至
欧拉也没有找到一个满意的一般的论证。后来在1831年，伟大的数学家和
科学家卡尔·弗列得里希·高斯给出了惊人的富有创见的论证，并提供了
第一个一般性证明。他的证明的关键部分是几何地表达复数，然而利用拓
表
朴学 的论断。
高斯实际上不是使用复数描述的第一个人。瓦里斯在大约二百年前就
这么做了，虽然他没有像高斯那样有效地使用这工具。通常把复数的几何
表示归功于瑞士的簿记员金 ·罗伯特 ·阿伽德，他在 1806年将其描述出来，
尽管挪威的测绘家卡斯帕·温塞尔事实上在早九年就给出了完整的描述。
为了和这个惯用的 （虽然不是历史上准确的）术语相一致，我将复数的标
准几何表示称为阿伽德平面。
阿伽德平面是一个通常的欧几里德平面，它具有标准笛卡尔的x，y
座标，x标出水平距离 （向右为正，向左为负），而y标出垂直距离 （向
上为正，向下为负）。复数
z=x+iy
在阿伽德平面中以座标为
(x，y)
的点所表示 （见图3.8）。
① 量e=2.7182818285… （自然对数的底，其数学上的重要性可和π相比较的无理数）的定义为
e=1+1/1+1/(1+2)+1/(1×2×3)+… ，
表 示e 的z 次方，ez 可展开为
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图3.8在阿伽德平面上画出了复数 z=x+iy。
注意0 （作为一个复数）由座标系的原点代表，1是由x 轴上的特殊的点代
表。
阿伽德平面为我们把整个复数的家族组织成一个几何上有用的图画。
这类事对我们而言并无新奇之处。我们已经熟悉实数可以组织成为一个几
何的图像的方法，也就是一根向两个方向无限延伸的直线。直线上的特定
点为0，另一点为1。点2 的位置处于它到1 的位移和1到0 的位移相同
1
的地方；点 处于0和1的中点；点－1使得0处于它和1的中间等等。以
2
这种方式标出实数的集合称为实线。对于复数，我们事实上用两个实数作
为复数a+ib 的座标，也就是a和 b。这两个数给出我们一个平面——阿伽
德平面上的点的座标。例如，我在图 3.9 上近似地标出了复数
u=1+i1.3，v=-2+i，w=-1.5-i0.4
的位置。
现在复数的加法和乘法的基本代数运算具有清楚的几何意义。首先考
虑加法。假设u和v 为两个复数，并按照上述的方案表示在阿伽德平面上。
则它们的和u+v就由这两点的 “矢量和”来表示；也就是说，它处于由u，
v 和原点0 构成的平行四边形的另一顶点。我们不难看出，由这种构造 （图
3.10）可以得到和，但是我在这里把证明省略掉。
图3.9 阿伽德平面上的u=1+i1.3，v=-2+i 和w=-1.5-i0.4 的位置。
图3.10 两个复数u和v 的和u+v 可由平行四边形定律得到。
乘积uv也有清楚的几何解释 （见图3.11），这稍微不太容易看得出
来。 （我又在这里省略了证明。）在原点处由1和 uv 的张角等于1和 u
以及1和v 张角之和 （所有角度都按反时针方向测量），uv 离开原点的距
离是u和v 离开原点距离的乘积。这可以等效地叙述为，由0，v 和 uv形
成的三角形与由0，1和 u形成的三角形相似，并且具有相同的指向。 （精
力充沛而对此不熟悉的读者也许可以利用早先给出的复数加法和乘法的代
数规则以及上面的三角等式来直接证明这些结果。）
图3.11 两个复数u和v 的乘积uv使得由0，u和 uv形成的三角形与
由0，1和 u形成的相似。可以等效地说：uv到0 的距离是u和v 到0 的
距离的乘积，而 uv和实轴 （水平）构成的角度是u和v 和该轴夹角的和。
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孟德勒伯洛特集的构成
我们现在可以看看如何定义孟德勒伯洛特集了。令 z 为一个任意选择
的复数。不管这一个复数是什么，它都由阿伽德平面上的某一点所代表。
现在考虑由下式
2
z—→z +C
表出的映射，它把z 由一个新的复数来取代。这儿C 为另一个固定的 （也
2
就是给定的）复数。数 z +C 在阿伽德平面为某一个新的点所表示。例如，
如果C 刚好给出1.63—i4.2，则z就按点
2
z—→z +1.63－i4.2
来映射。这样，特别是3 就被
2
3 +1.63-i4.2=9+1.63-i4.2=10.63-i4.2
所取代，而-2.7+i0.3 就会被
2
(-2.7+i0.3)+1.63-i4.2
2 2
=(-2.7) -(0.3) +1.63+i ｛2(-2.7)(0.3)-4.2｝=8.83-i5.82
所取代。当这些数变得复杂时，最好用电脑来进行这些计算。
现在不管C 是多少，特别的点0 在这个方案下被数C 所取代。C本身
2
又如何呢？它被C +C 取代。假定我们继续这个步骤，将这种取代应用于
2
C +C，则就得到
2 2 4 3 2
(C+C) +C=C +2C +C +C。
让我们再重复这个代换，把它应用到上面的数就得到
4 3 2 2 8 7 6 5 4 3 2
(C+2C +C +C) +C=C +4C +6C +6C +5C +2C +C +C
然后再对此数代换等等。我们得到从0 开始的一个序列
2 4 3 2
0，C，C +C，C +2C +C +C，……。
现在如果我们选择一定的复数C 来进行，则由这种办法得到的数的序
列在阿伽德平面上永远不会徘徊到离原点非常远的地方去；更精确地讲，
对于C 的这种选择该序列是有界的，也就是说序列的每一个成员都位於以
原点为中心的某一个固定圆周之内 （见图3.12）。C=0 的情况是一个好例
子，由于在这种情形下序列的所有成员都是0。另一发生有界行为的例子
是C=-1，因为此序列为0，-1，0，-1，0，-1，……；还有另一例子是C=i，
其序列为0，i，i-1，-i，i-1，-i，i-1，-i，……。然而，对于其他不
同的复数C，序列徘徊到离原点越来越远的不定距离的地方去；也就是说
该序列是无界的，不能被包容于一个固定的圆周之内。这种行为的例子发
生在当C=1 时，因为这时序列变为0，1，2，5，26，677，458330，……；
C=-3 时也发生这种行为，其序列为0，-3，6，33，1086，……；还有C=i-1，
序列为0，i-1，-i-1，-1+i3，-9-i5，55+i91，-5257+i10011，……。
图3.12 如果在阿伽德平面上存在包括序列所有点的某一个固定圆
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1 1
周，则该序列是有界的。（这个特殊的递归从0开始并且C = - + i 。
2 2
）
孟德勒伯洛特集，也就是我们托伯列南世界的黑色区域，正是阿伽
德平面上由其序列维持有界的所有点 C 所组成的。白色区域是由产生无界
序列的C 所构成。我们前面所看到的细致的图画都是由电脑输出而绘成
的。电脑系统地跑过所有可能的复数C，并对任意选取的C 算出序列0，C，
2
C +C，……，按照某种合适的判据来决定该序列发散否。如果它是有界的，
电脑就在屏幕上对应于C 的那一点画上黑的。如果它是无界的，则画白的。
电脑在考虑的区域的每一点都会最终决定画上白的或黑的颜色。
孟德勒伯洛特集的复杂性是非常引人注目的，尤其是和以下事实成鲜
明对照，这个集的定义在数学上是如此之简单。另外，这个集的一般结构
2
对我们选取的 z—→z +C 的映射的代数形式并不敏感。许多其他的递推的
2 2
代数复映射 （例如z—→z +iz +C）会给出极其类似的结构（假定我们从选
取一个合适的数开始——也许不是零，对于每个适当选取的映射这一个数
是按照一个明确的数学法则选取的）。就递推的复映射而言，这些 “孟德
勒伯洛特”结构的确有一种普适的绝对的特征。研究这种结构本身是数学
中称作复杂动力系统的学科。
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数学概念的柏拉图实在？
数学家世界的对象有多 “实在”？一种观点认为，它们似乎根本就没
有任何是实在的。数学对象仅仅是概念；它们是数学家制造的精神上的理
想化，它经常受到我们四周世界的外观和表面秩序的刺激，但充其量仍不
过是精神的理想化而已。它们能不仅仅是人类头脑的恣意创造物吗？同时
人们经常发现，这些数学概念会显示出某种深刻的实在性，完全超越出个
别数学家的深思熟虑之外。人类思想恰如受到真理的引导，其真理本身具
有实在性，而且只能对我们之中任何人揭示一部分真理。
孟德勒伯洛特集提供了一个突出的例子。它的美妙和复杂无比的结果
既非任何人的发明，也不是任何一群数学家的设计。波兰——美国数学家
3
（兼分维几何的领袖）贝内特·孟德勒伯洛特首先研究了该集合。他对
其中蕴含的美妙的细节并无预先的概念，尽管他知道正在寻找某种非常有
趣的东西。的确，当他的第一张电脑画图开始出现时，他的印象是，所看
到的模糊的结构只是电脑失误的结果 （孟德勒伯洛特1986）！他到了后来
才相信集合就在那里。不但我们中的任何一个人都不能完全理解，而且任
何电脑都不能指示孟德勒伯洛特集结构的复杂完整的细节。这个结构似乎
不仅是我们精神的一部分，其本身也具有实在性。不管选择任一位数学家
或任一台电脑去考察该集合，都会发现是对相同的基本数学结构的近似。
用哪台电脑去进行计算都不会有真正的区别 （假如电脑处于准确的工作状
态），除了计算速度和存储与画图能力的差异会导致细节以及产生该细节
的速度差别之外。使用电脑和在探索物理世界时使用实验仪器的方法在本
质上是相同的。孟德勒伯洛特集不是人类思维的发明：它是一个发现。正
如喜马拉雅山那样，孟德勒伯洛特集就在那里！
类似的，复数系统本身具有根本而永恒的实在性，它超越出任何特殊
的数学家的精神构想。大致在杰罗拉莫·卡当诺的工作中复数才开始受到
赏识。他是生于1501年死于 1576年的意大利人，也是正式的医生、赌徒
兼占星家 （还为基督算过命）。1545年他写了一本重要的影响久远的代数
专著 《艺术全书》。他在该书中首次提出了一般的立方方程的（以n 次方
1
根表达的）解的表达式 。然而，他注意到，在某一类方程具有三个实解的
被人们称为 “不可约化”的情况下，在他的表达式的某一阶段必须取负数
的平方根。虽然他为此深感迷惑，他却意识到，如果允许他取这种平方根，
也只有这样，才能表达出全部答案 （最后答案总是实的）。后来，1572年
拉飞逸·玻姆贝利在他题为 《代数》的著作中，推广了卡当诺的结果并开
始研究真正的复数代数。
初看起来，这样地引进负数的平方根似乎仅仅是作为工具——为了达
1 +z/1+z2/(1×2)+z3/(1×2×3)+… 。
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到特定目的的数学发明——后来人们越来越清楚，从这些东西所获取的比
原先所设计的多得多。正如我在前面提到的，虽然复数引进的当初目的是
为了使取平方根畅通无阻，后来人们发现作为奖赏，能够求任何其他根式
或者解任何代数方程。我们还发现了复数的许多神奇性质，这些我们最初
一点儿的征兆也没有。这些性质现存在那里。尽管卡当诺、玻姆贝利、瓦
