7．我感谢大卫·德义奇根据以下我得到的u 的二进位形式推导出十进
位形式。我还感谢他检验 u 的这个二进位值实际上的确给出了一台普适图
灵机！事实上 u 的二进位值为：
1000000001011101001101000100101010110100011010001010000011010100
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有进取心的读者可把一台效率高的家庭用电脑，以正文中给出的方法，应
用于不同的简单的图灵机号码中验证上面的号码事实上的确给出了一台普
适图灵机的动作行为！
对图灵机的不同明记方法可使 u 的值降低一些。例如，我们可以免除
stop，而相反地采取这样的规则，即只要机器在某个其他非0 的内态后重
新进入内态0 时它就停止。这样做没有太多收益 （如果有的话）。如果我
们允许磁带有比仅仅0 和 1 的更多的记号，则能得到更大的收益。在文献
中的确描述过显得非常简洁的普适图灵机。但是，由于它们一般地依赖于
图灵机描述的极其复杂的编码，所以这种简洁性是骗人的。
8．参阅德伏林(1988)的和这一著名断言相关事体的非技术性讨论。
9．我们再次简单地应用前面进行的步骤，当然也能击败这个改善了的
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算法。然后我们可以用这新的知识去进一步改善我们的算法；但是我们又
可将其击败等等。这一递归步骤所导致的这类考虑将在第四章第 125页的
和哥德尔定理联系起来讨论。
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第三章数学和实在
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托伯列南国
想象我们到某一遥远世界作远程旅行。我们称这一遥远世界为托伯列
南国。现在把我们的遥感仪器收集到的信息展现在面前的屏幕上。调好焦
距后就看到了图3.1。
图3.1 奇异世界之第一瞥。
它为何物？它是一只形状古怪的昆虫吗？也许它是一个深颜色的并有
许多山溪注入的湖泊。也许它是一座巨大的形状奇特的异国城市，公路沿
着不同方向散开到附近的小镇和乡村去。它也许为一个岛屿——让我们寻
找看在附近是否有和它相连接的陆地。我们可以后退一些，把我们的感觉
仪器的放大倍数减少十五倍左右。嗬，整个世界进入了我们的视界之内（图
3.2）。
图3.2 整个 “托伯列南国”。箭头这下标出了在图3.1、图3.3和图
3.4 中的放大部分的位置。
我们在 “岛”在图3.2 中看起来成为标记 “图3.1”下的小斑点。除
了一条连接到右手的裂缝上去的以外，从原先岛上出发的小片断 （溪流、
路径、桥梁？）全部都终结了。该裂缝最终接到我们在图3.2 画出的大得
多的物体上去。这个更大的物体虽然和我们第一次看到的岛不完全一样，
但明显地相似。如果我们更仔细地审视这一物体和海岸线相像的东西，就
发现多得数不清的圆形的瘤状结构。每一结构自身又具有类似的瘤。似乎
每一小瘤都在某一微小的地方附在一个更大的瘤上，由此在大瘤上产生出
许许多多的小瘤。当图像变得更清楚时，人们就看到了从这个结构发出的
成千上万根的细丝。这些细丝在不同的地方分叉并常常剧烈地弯折。在细
丝的某些点，我们似乎看到了具有现有的放大倍数的感觉仪器所不能分析
的复杂扭结。很显然，这物体不是实际的岛屿或陆地，也不是任何风景。
或许我们看到了某种怪诞的甲虫。我们首先看到的是它的婴儿，它用某种
丝线状的脐带安静地把自己连接在母体上面。
让我们把感觉仪器的放大倍数提高十倍，再来考察这个怪物的一个瘤
的性质 （图3.3——其位置在图 3.2 中的“图3.3”的标志的下面）。这个
瘤本身和怪物整体非常相似——除了在接触点以外。请注意在图 3.3 中的
不同地方五根细丝并到一块。这个特定的瘤似乎有一确定的 “五性”（正
如在最上面的瘤具有 “三性”一样）。如果我们考察下一个相当尺度的瘤，
在图3.2 中稍微向左下方一点，我们就会在附近发现 “七性”，再下一点
为 “九性”，并以此类推。当我们进入图3.2 中的两个最大区域之间的裂
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缝，就会发现右边的瘤以奇数来表征，每回增加二。让我们钻到裂缝深处，
把图3.2 再放大十倍左右 （图3.4）。我们看到其他许多小瘤以及扭转的
结构。在右边称为 “海马谷”的区域可鉴别出某些微小的涡旋状的“海马
尾巴”。——如果放大倍数足够大的话，我们就将看到不同的 “海乌贼”
或者别具花样的区域。这也许的确是某种奇异的海岸线——也许是所有各
色各样生命产生的珊瑚。看起来像是花的东西在更高的放大倍数下显得是
由成千上万个微小，但同时却是不可思议的复杂的结构组成，每一结构都
有极多的丝状物和扭转的涡旋尾巴。让我们稍微仔细地考察一个较大的海
马的尾巴，也就是在图3.4 中刚好能见到标志为 “图3.5”的那个 （它附
在具有 “二十九性”的瘤上面！）。大约再放大250倍左右，我们就得到
了画在图3.5 中的涡旋。我们发现这个尾巴非同寻常，它是由最复杂的、
前后扭曲的、无数的小涡旋以及像章鱼和海马那样的区域组成。
图3.3 一个具有 “五性”的细丝的瘤。
图3.4 主狭缝：在右下方可见到 “海马谷”。
图3.5海马尾巴的近窥。
图3.6 两个涡旋会合处的进一步放大细节。在中心点处刚刚可以见到
一个小婴儿。
图3.7 婴儿在放大之后就显得和整个世界很相似。
在这个结构的许多地方刚好有两个涡旋碰到一起。让我们把放大倍数
增加三十倍左右，以考察其中一处 （在图3.5 中的标志“图3.6”的下面）。
请注意，我们是否发现了中间有个奇怪但非常熟悉的对象？再放大六倍左
右 （图3.7）就能揭示出一个怪物的小婴儿——它几乎和我们考察过的整
个结构完全一样！如果我们细看，就会发现从它那里出发的细丝和从主结
构那里出来的略有差别。它们扭曲并延伸到更远得多的距离去。然而比细
小结构本身几乎和它的上一代毫无差别，甚至在非常相应的地方拥有自己
的后代。如果我们还进一步放大，就能继续考察这些东西。孙子们又非常
类似于它们的共同祖先——人们很容易相信，这些现象会无限地延续下
去。只要不断地提高我们感觉仪器的放大倍数，就可随心所欲地探索托伯
列南的奇异世界。我们发现了无穷尽的变化：没有两个区域是完全相像的
——但是我们很快就会习惯于存在的一些普遍的风格。而熟知的类甲虫的
结构以越来越小的尺度重新出现。每一回它的附近的细丝结构都和早先看
到的不同，并以不可置信的复杂的美妙的新景象呈现在我们的面前。
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使我们目瞪口呆地奇异的、变化多端的、美妙的、复杂的国土究竟为
