就可以实现资产组合保险的动态套期保值策略。
关键词
内在价值
二项式模型
布莱克-舒尔斯定价公式
动态套期保值
隐含的波动性
伪美式看涨期权价值
套期保值率
得尔塔
期权弹性
资产组合保险
参考文献
期权定价的里程碑式的文章有：
Black,Fischer;andMyronScholes.“ThePricingofOptionsandCorporate
Liabilities.”
JournalofPoliticalEconomy81(May-June1973),pp.637-59.
Merton,RobertC.“TheoryofRationalOptionPricing.”
BellJournalof
EconomicsandManagementScience4(Spring1973),pp.141-83.
两状态方法首先在下面的文献中出现：
Sharpe,WilliamF.Investments.EnglewoodCliffs,NJ:prenticeHall,1978.
这种方法的更完善的论述请见：
Rendelman,RichardJ.,Jr.;andBritJ.Bartter.“Two-StateOptionPricing.”
JournalofFinance34(December1979),pp.1093-1110.
Cox,JohnC.;StephenRoss;andMarkRubinstein.“OptionPricing:ASimplified
Approach.”
JournalofFinancialEconomics7(September1979),pp.229-63.
流行的期权定价模型的教科书有：
Hull,JohnC.Options,Futures,andOtherDerivativeSecurities,3rded.Englewood
Cliffs,NJ:PrenticeHall,1997.
习题
1.从书中可知看涨期权的价值随着股票波动性的增加而增加。看跌期权是否也是
如此？利用看涨-看跌期权平价定理及一具体的数字实例证明你的答案。
2.在下列各题中，要求你比较两种期权的给定参数。假定无风险利率为
6%，期权
的标的股票不支付红利。
a.
看跌期权
TX标准差
期权价格/美元
A0.5500.2010
B0.5500.2510
哪一种看跌期权价格较低？
i.A。
ii.B。
iii.数据不足。
b.
看跌期权
TX标准差
期权价格/美元
A0.5500.2010
B0.5500.2012
哪一种看跌期权价格较低？
i.A。
ii.B。
570第六部分期权、期货与其他衍生工具
iii.数据不足。
c.
下载
看涨期权
SX标准差
期权价格/美元
A50500.2012
B55500.2010
哪一种看涨期权到期期限较短？
i.A。
ii.B。
iii.数据不足。
d.
看涨期权
TXS期权价格/美元
A0.5505510
B0.5505512
哪一种看涨期权风险较高？
i.A。
ii.B。
iii.数据不足。
e.
看涨期权
TXS期权价格/美元
A0.5505510
B0.550557
哪一种看涨期权风险较高？
i.A。
ii.B。
iii.数据不足。
3.重新考虑两状态模型中套期保值率的确定。我们证明了半股股票就可以对冲一
份期权的头寸。那么，执行价格为下列各值时，套期保值率为多少：
115，100，75，
50，25，10？随着期权实值程度的提高，套期保值率会如何变化？
4.证明：布莱克
-舒尔斯期权套期保值率也随着股价上升而上升。考虑执行价格
为50美元的一年期期权，其标的股票的年标准差为
20%。国库券利率为每年为
8%，股
价为45，50，55美元时，求
N(d1)。
5.本题将推导两状态看跌期权的价值。数据为：
S0=100；X=110；1+r=1.10。ST的
两种可能价格是130和80。
a.证明两状态间S的变动幅度为
50而不是30。该看跌期权的套期保值率是多少？
b.构建一资产组合，含三种股票、五份看跌期权。该资产组合的
(非随机
)收益是
多少？资产组合的现值是多少？
c.假定股票现价为
100，求解看跌期权的价值。
6.计算前题中执行价格为
110的买入期权的价值。证明你对第
5题与第
6题的答案
满足看跌-看涨期权平价定理
(此例中计算的X的现值无需使用连续复利，因为这里我们
使用的是两状态模型而不是连续时间的布莱克
-舒尔斯模型
)。
7.根据布莱克
-舒尔斯公式，计算下列股票的看涨期权价值：
期限：六个月
标准差：50%/年
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第21章期权定价
571
执行价：50美元
股价：50美元
利率：10%
8.重新计算第7题中的期权价值。保持其他变量不变，只以下列条件逐一取代第
7
题中的原有条件：
a.期限=3个月
b.标准差=25%/年
c.执行价=55美元
d.股价=55美元
e.利率=15%
独立考虑每种情况。证明期权价格的变化与表
21-1中的预测一致。
9.看涨期权
X=50美元，标的股票的现价
S=55美元，看涨期权售价
10美元。根据
波动性的估计值为
=0.30，求出N(d1)=0.6，N(d2)=0.5，无风险利率为零。期权价格的
隐含波动性是高于还是低于
0.30？为什么？
10.你认为看涨期权的执行价上升
1美元，期权的价值下降幅度是大于还是小于
1
美元？
11.高贝塔值股票的看跌期权的价值是否大于低贝塔值股票的看跌期权？假定股
票有相同的企业特有风险。
12.其他条件均相同，企业特有风险大的股票的看涨期权的价值是否大于企业特
有风险小的股票的看涨期权？假定两种股票的贝塔值相同。
13.其他条件均相同，执行价格高的看涨期权的套期保值率是高于还是低于执行
价格低的看涨期权？
14.长期国债的看涨期权的收益率对利率变动的敏感性是高于还是低于其标的债
券？
15.如果股价下跌，而看涨期权价格上升，则看涨期权隐含的风险有何变化？
16.如果到期期限缩短而看跌期权价格上升，则看跌期权隐含的风险有何变化？
17.根据布莱克-舒尔斯公式，当股价趋向于无穷大时看涨期权的套期保值率是多
少？请简要说明。
18.根据布莱克-舒尔斯公式，当执行价格很小时的看跌期权的套期保值率是多少？
19.IBM公司的两平看涨期权的套期保值率为0.4，而两平看跌期权套期保值率为-0.6，
则IBM公司的实值对敲头寸的套期保值率是多少？
20.构建双限期权时：买入价值为
50美元的一股股票，再以执行价格
45美元买入
六个月看跌期权，卖出执行价为
55美元的六个月看涨期权。根据股票的风险，你可算
出六个月期，执行价为
45美元，N(d1)=0.60，而执行价为55美元，N(d1)=0.35。
a.如果股票价格增加1美元，双限期权的所得或损失是什么？
b.如果股票价格有一很大或很小的变化，资产组合的得尔塔值会发生什么变化？
21.三份看跌期权的标的股票相同，其得尔塔值分别为-0.9、-0.5和-0.1。
填表：
看跌期权
X得尔塔
A10
B20
C30
22.你预期
EFG股票行情看涨，并且超过了市场上其他的股票。在下列各题中，
如果你的看涨预期是正确的，选出给你带来最大赢利的投资策略，并说明你的理由。
a.A：10000美元投资于看涨期权，
X=50。
572第六部分期权、期货与其他衍生工具
下载
B：10000美元投资于
EFG股票。
b.A：10份看涨期权合约(每份100股，X=50)。
B：1000股EFG股票。
23.假定你是一名资产组合承保人，正构建一为期四年的项目。你管理的资产组合现
值1亿美元，你希望的最小收益为0%。股票资产组合的标准差为每年25%，国库券利率为
每年5%。为简化起见，假定资产组合不支付红利(或者说所有红利可以进行再投资)。
a.应用多少钱来购买国库券？多少钱买股票？
b.如果在交易的第一天股票资产组合即下跌了
3%，作为经理应如何处置？
24.你想持有XYZ公司股票的保护性看跌期权头寸，锁定年终最小价值为
100美元。
XYZ现价为
100美元，来年股价可能会上涨或下跌
10%，国库券利率
5%，不幸的是，
没有XYZ股票的看跌期权交易。
a.假定有所需要的看跌期权交易，购买成本是多少？
b.这一保护性看跌期权资产组合的成本是多少？
c.什么样的股票和国库券头寸将确保你的收益等于
X=100的保护性看跌期权可以
提供的收益？证明该资产组合的收益和成本与所需的保护性看跌期权相匹配。
25.假定无风险利率为
0，美式看跌期权会提前执行吗？请说明理由。
26.用p(S，T，X)表示价格为
S美元的股票欧式看跌期权的价值，期限为
T，执行
价为X。P(S，T，X)则表示美式看跌期权的价值。
a.估算P(0，T，X)。
b.估算P(0，T，X)。
c.估算P(S，T，0)。
d.估算P(S，T，0)。
e.你对b的答案说明美式期权提前执行的可能性如何？
27.你要估计一看涨期权的价值：执行价为
100美元，为期一年。标的股票不支付
红利，现价为
100美元。你认为价格涨至
120美元或跌至80美元的可能性均为
50%，无
风险利率为
10%。用两状态股价模型计算该看涨期权的价值。
28.考虑第27题中的股票风险的增加。假定股价上涨，就会涨至
130美元；如果股
价下跌，就会跌至70美元。证明此时看涨期权的价值大于第
27题中推算出的价值。
29.利用第27题中的数据计算执行价为
100美元的看跌期权的价值。证明你的答案
满足看跌-看涨期权平价。
30.XYZ公司两个月后将支付每股
2美元的红利。股票现价为每股
60美元，XYZ公
司股票的看涨期权的执行价为
55美元，三个月后到期。无风险利率为每月
0.5%，股票
风险(标准差)为每月7%。求伪美式期权的价值
(提示：试将一个月而非一年作为一期
)。
31.“通用汽车股票的看涨期权的贝塔值比通用汽车股票的贝塔值高。”这句话对
还是错？
32.“标准普尔指数的看涨期权，执行价为
1030的贝塔值要大于执行价为
1040的
贝塔值。”这句话对还是错？
33.随着股价上升，可转换债券的套期保值率如何变化？
概念检验问题答案
1.是的。考虑有关看涨期权的相同情况。
(单位：美元)
股价
1020304050
看跌期权收益
2010000
股价
2025303540
看跌期权收益
105000
下载
第21章期权定价
573
风险越低，收益越低。
2.
如果变量增大卖权的价值
S下降
X上升
标准差
上升
T上升
rf下降
红利支付上升
3.平价关系假定所有期权都持有到期且到期前无任何现金流。这种假设只有针对
无红利支付的股票的欧式期权这一情况下才有效。如果股票不支付红利，则美式看涨
期权与欧式看涨期权是等价的。但美式看跌期权的价值要高于欧式看跌期权。因此，
尽管欧式期权的平价定理有：
P=C+S0-PV(X)
事实上，如果是美式看跌期权，
P的价格要高于计算的结果。
4.因为现在期权定价过低，我们想改变原先的策略。
项目
初始现金流
每种可能的股价下一年内的现金流
S=50S=200
买入两份期权
-480150
卖空一股股票
100-50-200
以8%利率借入52美元
5256.1656.16
总计
06.166.16
5.更高。对于深度虚值期权，股价的上升仍然不太可能使期权得以执行。它的价
值只是相应地增长一部分。对于深度实值期权，则它很可能被执行，且期权持有人从
股价一美元的升值中也可获得一美元的收益，就像是持有股票本身一样。
6.因为
=0.6，
2=0.36
ln(100/95)
+(0.10+0.36/2)′0.25
d1==0.4043
0.6
0.25
d2=d1-0.6
0.25=0.1043
使用表21-2和插值法：
N(d1)=0.6570
N(d2)=0.5415
C=100×0.6570-96e-0.10×0.25×0.5415=15.53
7.隐含的风险超过了
0.5。假定标准差为0.5，则期权价值为
13.70美元。针对实际
的15美元的价格，应该有更高的风险。
8.股价上升1美元，即上升比率为1/122=0.82%。看跌期权下跌0.4×1美元=0.40美
元，下跌比率为0.40美元/4美元=10%。弹性为-10/0.82=12.2。
