索普拒绝了，并且购进了更多的权证，再次将股票卖空。
１９80年代中期，索普将自己的权证卖到了每笔100美元，这是他当时付出的370倍，意味着将年均80%的收益保持了10年，还不包括在股市同期所获得利润。
这项交易比较有讽刺意味的一点是国际度假村在一次涉及到在二十一点游戏中算牌是否合法的案例中曾经成为被告。其新开的赌场禁止算牌高手凯恩·欧斯顿和他捷克的“洗牌计算队”入内。
在类似的交易中，索普的投资规模受限并不是因为担心赌博的风险过大，而是受到了市场本身的限制。最理想的状态是在“搞所有你能搞到的”这个例子中，指的是价值仅值2900美元的权证。这是当时很典型的一种情况。现实生活中，索普运用凯利的思想时几乎不需要精心的计算。他可以快速推测从而确定一个仓位正好处于凯利限制之下。通常情况下，任何多余的计算都不再必要。
凯利公式要求你把所有的赌注都押在“确定的东西”上。现实世界中，没有什么东西是如此确定的。有些时候，索普在进行有价证券交易时，确实遇到过“确定的”交易。也有些时候，索普把基金30%的资产都投到了单笔生意中。最极端的情况是，他将基金资产的150%都投到了一笔“确定的”交易中。那包括了基金的所有，同时还包括近一半借来的大约相当于他资产一半数额的资金。
索普说在采取这些大胆的手段时，一个最现实的测试方法是“晚上是否能够睡得着”。如果他觉得自己实在感到困扰，就会缩小投资的规模。
正如算牌高手担心天花板上隐藏的监视器，成功的交易商也担心其他人会效仿他们的交易方式。例如，如果其他人知道索普的成功，并且清楚他打算购进国际度假村的权证，他们可能会在索普出手之前，就把这些权证抢购一空。
保守交易秘密的风险之一来自于打理这笔业务的经纪人。一些交易人喜欢和某一名值得信赖并可以保守秘密的经纪人建立长期的合作关系，而另外一些交易人喜欢和很多经纪人一起做交易。他们可能会通过一名经纪人，卖空一笔权证，然后通过另外一名经纪人购进股票。这样，没有一名经纪人能看到他全部的交易过程。
索普和莱根认为，有一名固定的经纪人是比较明智的做法。有实力的经纪人会有更多的回旋余地帮助自己的重要客户。他们能够确保交易迅速进行，并提供有吸引力的价格。同时，经纪人还能够保持信息的畅通，无论是研究结果还是谣言。最重要的一点，经纪人必须是一名绝对诚实和谨慎的人。莱根找到了一名几乎完美的经纪人，迈克尔·
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 迈克尔·米尔肯
在市场效率并不完美的情况下，米尔肯通过自己的方式发展业务。毕业于伯克利大学商学院的米尔肯接触了布洛克·希克曼的研究。布洛克·希克曼研究过一些信用等级较低的公司所发行的债券，他认为由这些被人们忽略的债券构成的投资组合事实上非常安全，而且回报率很高。在他的研究中，他比较了1900年到1943年这段时期的情况。当时没有什么人关注希克曼的研究，除了米尔肯外，就只有一位叫做T.R.艾金森的人，他把对希克曼的研究时间延长到１９４４—1965年，并且得出了完全相同的结论。
米尔肯利用这项研究结果所做的事情和索普利用低效市场所作的工作完全不同。米尔肯是从事销售工作的，他把这些没人看好的有价证券命名为“垃圾股”，并努力向自己的雇主投资银行DrexelBurnhamLambert证券推销。
米尔肯是一名非常出色的销售人员，由于他的努力，当时希克曼分析的人们购买垃圾股的原因全都随着事态的变化不复存在了。在米尔肯影响下，垃圾股盛行一时，价格不断攀升，希克曼和艾金森所作的研究已经不再适用。
米尔肯有一套自己的理念。其中的一点是一些信用等级低的公司会以很高的利率发行自己的“垃圾股”，然后公司动用资金购进其他公司，卖掉他们的资产来支付证券的利息。这也就是所谓的公司恶意收购。如果成功，就会成为套利交易。被收购的公司价值通常都会高于市场显示的非理性价格。
恶意收购公司行为使米尔肯在媒体名声狼藉，许多公司的主管人员也不喜欢他。但同时，他也得到了财富和权力。米尔肯在Drexel非常有影响力，他甚至在比华利山庄有自己的办公室。他喜欢这种自由，可以与自己纽约Drexel的领导层相距一个大陆之远。人们说米尔肯很有目的地将一些工作勤奋、诚实可靠但才华平平的人团结在自己身边，希望这些人始终对他心存感激。
“没有人跟了我５年之后，资产还超不过２０００万”，米尔肯曾经在1983年向Drexel的罗伯特·华莱斯这样汇报过。米尔肯圈子中的一些人这样描述过人们对他狂热的崇拜：“迈克尔是生活在这个世纪的最重要的人”。这是多特·卡米伦，一位Drexel的员工说过的。还有人觉得，“像迈克尔这样的人，每５００年才出一个。”
米尔肯谈到希望自己的家庭成为世界上最富有的家族。但是如果他的一生都用来赚钱，那么他似乎就没有时间来享受花钱的乐趣。他的家在比较低调的幽奇农（Eucino），那里曾经是属于克拉克·盖博和卡罗尔·隆巴德名下的一家客房。米尔肯用纸盘子吃午饭，佩戴价格适中的假发，开着一辆奥兹莫比尔。
从70年代开始，索普和莱根任用米尔肯作为他们基金的主要经纪人。然而，虽然索普的资金一直都和米尔肯联系在一起，两个人却从来没见过面。索普有一次遇到过米尔肯的律师也是他的兄弟，劳埃尔。他在同一座比华利山庄大楼里面也有办事处，负责处理迈克尔的法律事务。索普与迈克尔·米尔肯的最近距离接触是索普看到楼下的迈克尔穿过Drexel在比华利山庄的交易大厅，他们之间隔着一道玻璃隔断。
70年代早期，斯蒂夫·罗斯和凯撒·基莫尔相信将华纳通讯私有化会是个十分明智的选择。他们想将大部分的华纳股票都收购进来，从而将所有权限制到几个有限的大股东手里。
为了筹集足够的资金，华纳通讯不得不发行垃圾债券。罗斯向迈克尔·米尔肯咨询，米尔肯设计了一个计划，在纽约和罗斯进行了讨论。
米尔肯解释说罗斯需要放弃40%的华纳股票，从而吸引人们去购买垃圾证券。这是一种标准的股权参与。如果人们不能同时得到股票，那么他们就不会购买垃圾债券。
作为相应的服务费，Drexel会得到华纳通讯另外35%的股份。这意味着罗斯他们只能得到25%的公司股份。
“你在说什么？”罗斯问，“你们不过是推动了这笔业务的融资行为，然后就要拿走35%？”
米尔肯虽然真心欣赏罗斯，并且告诉自己的朋友他觉得罗斯就像是自己的亲人，但他不肯就这些条件让步。罗斯也并不打算放弃75%的公司股份，他放弃了将公司私有化的计划。
经过相应的调整后，米尔肯把这番论调重复给许多客户，他们中许多人接受了米尔肯提出的条件。而客户不清楚的是，即使选择了购买债券，股权参与其实也是很少见的。米尔肯手下的销售人员能够在不提供这种股权参与的情况下销售债券。相应的，分配给债券购买者的股票就会进入米尔肯的私人账户。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 罗伯特·C·默顿(1)
学术界开始对权证和期权表示关注。罗伯特·C·默顿，保罗·萨米尔森最得意的门生，就是其中的重要人物之一。默顿的父亲是哥伦比亚大学的著名社会学家，罗伯特·K·默顿。老默顿创造了集中群体，并且将术语“榜样”、“自我实现的预言”等通俗化。他给儿子讲述过股票市场和扑克牌。小默顿一直在努力地寻求自己在这两方面的优势地位。扑克牌方面，小默顿相信在游戏中盯着灯泡看是一个很好的办法。灯光使他的瞳孔缩小，从而使别人很难看清他的反应。
1963年，歌手公司即将收购弗莱顿公司。歌手公司是一家生产缝纫机的公司，而弗莱顿是一家计算器生产公司。当时的默顿只有19岁，他买下了弗莱顿的股票，卖空了歌手公司。当收购还在进行中时，他已经从中获得了丰厚的利润。
从哥伦比亚大学毕业之后，罗伯特C到加州理工学院攻读研究生课程，主攻数学。但是被自己业余在股市取得的成绩所鼓舞，在课程开始之前默顿已经在帕萨迪那（加州理工学院所在地）寻求经纪人业务，从而能够及时了解纽约股市交易的价格。
默顿最终决定转学经济学。他在加州理工学院的导师，杰拉德·惠特曼，觉得有人居然会想要放弃数学这门学科，觉得真是不可思议。惠特曼帮助默顿申请了６所学校，最后只有一所接纳了他。
这所学校就是麻省理工学院。学校为默顿提供了全额奖学金，他在1967的秋天转学到了这里。
默顿在麻省理工上的最初的课程是由萨缪尔森教授的。很快默顿就给萨缪尔森留下了深刻印象。第二年春天，萨缪尔森聘用默顿做自己的研究助理，对于一个刚刚开始学习经济学的人来说，这是至高无上的荣耀。
萨缪尔森鼓励默顿找到解决期权定价问题的答案，因为这个问题一直悬而未决。萨缪尔森自己也一直在研究这个问题，并且已经接近了问题的答案。他感觉到默顿很可能会是最终取得成功的那个人。
当时，麻省理工还有其他一些人在研究这个问题。默顿很快就了解到麻省理工的梅隆·斯科尔斯和费雪·布莱克也在从事这方面的研究。后来，他开始为亚瑟理特管理顾问公司工作。默顿认为，期权的“合理”价位应该是当人们在买进和卖空时都无法盈利的价位。这种设想被称作“无套利”。以此为依据，并且考虑到股票的价格是以一种几何学的随意性在波动，默顿推导出了著名的BlockSchole’s定价公式。
三个人都很想知道这个新的公式是否能够反映出现实状况。当时的期权交易商都是“水底觅食者（以食底泥而为生）”，挣扎在证券业务的边缘。这些来自华尔街非正常轨道的人能够依靠本能算出数学上“正确的”期权价格吗？
布莱克、斯科尔斯和默顿查阅了周日报纸上关于期权柜台市场柜台交易的广告，并且和他们的公式预测进行了比对。一些期权的交易价格和公式价格接近，但也有一些不是。有时他们也会发现有一些期权的价格特别优惠。
这是不是说明击败市场是完全可能的？周一的上午，斯科尔斯会给交易商打电话，询问关于那些价格特别优惠的期权。得到的回答总是那些期权已经卖空，不过交易商那里还有其他的期权。也很不错，斯科尔斯意识到这只不过是所谓的诱饵推销法。
后来，斯科尔斯让自己的一个学生来分析交易商提供的期权。学生得出的结论是有些期权的价格定得不准确，但是由于交易商收的交易费过高，人们仍然无法从中获利。
随后，研究小组开始关注起权证。由于权证是在正常的股市中进行交易，不会存在所谓的诱饵推销法，报出的价格就是最终购买的成交价格。当时进行交易的权证当中，根据公式计算，一家名叫国家通用公司的权证价格过低。国家通用是一家多种经营的大公司，刚刚在收购华纳兄弟的投标中失败，败给了拥有肯尼停车场的公司。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 罗伯特·C·默顿(2)
布莱克、斯科尔斯和默顿拿出了自己的存款，大量地购进了国家通用的权证。“在一段时间里”，布莱克回忆说，“看上去我们的选择是正确的。”
1972年，美国金融宣布计划收购国家通用。作为交易的一部分，行使权证的期限被改变了，这对于权证持有者来说是个坏消息。麻省理工学院的这个小组所有的投资都化为了乌有。
布莱克根据理论推理，权证的价格较低是因为了解内情者提前放出了收购的风声。这些内部人士提前卖空了权证，引诱布莱克、斯科尔斯和默顿买进了那些他们认为是比较便宜的权证。“虽然我们的交易结果并不理想，但是这次事件确认了我们公式的有效性。”默顿说，“市场之所以走偏是有原因的。”
布莱克和斯科尔斯花了相当一段时间才整理好论文准备出版。当一切就绪时，布莱克发了一份预印的材料给爱德华·索普，认为他可能会对此感兴趣。
布莱克了解《击败市场》一书中介绍的避险对冲技巧。他在材料附的信上解释说他把索普的推理又继续向前推进了一步。在一个完美的理性世界，没有什么比无风险投资更有价值了。避险对冲理论上就是无风险投资。因此应该像国库券那样的无风险投资一样带来相同的利润，当然前提是期权的价格定得“准确”。
当索普读到他们的文章时，索普觉得仿佛布莱克和斯科尔斯推出的就是自己的期权定价公式。但因为方程式的结构不同，他当时还不能完全确定。
当时索普最了不起的“玩具”是惠普9830A。这是最早的微型计算机，每台大约6000美元，拥有7616个字节的内存，完整的打字机键盘，能用BASIC语言编程。它没有显示器，但是有一个能显示单行文本的显示屏，并且还有绘图机，可以彩色制图。
索普迅速地将布莱克和斯科尔斯的公式编辑到计算机中，做出了一个定价表格。他把这个表格和自己做的公式进行了比对，发现除了无风险利率的指数因子，两者几乎完全相同。索普的计算中没有包括这个部分，因为他在柜台交易的期权不能使交易人享受卖空的收益。随着期权开始在芝加哥期权交易所进行交易，这些规则都逐渐发生了变化。布莱克和斯科尔斯在计算中考虑到了这一点。如果排除这个因素的话，两个公式是完全相等的。
公式很快被命名为布莱克—斯科尔斯公式，于1973年正式出版。当然，这个名字并没有显示出默顿和索普曾经为此所作出过的努力。
在默顿看来，这是表示礼貌的一种方式。因为他的工作是在布莱克和斯科尔斯的基础上完成的，所以他将自己的推论推迟到他们的文章正式出版才发表。默顿的文章发表在一本新的杂志上，即由AT&T创办的《贝尔经济学和管理科学杂志》（BellJournalofEconomicsandManagementScience）。这本杂志是为了展现信息理论和物理科学中的定量分析方法对先前不同的领域，例如金融学，产生的巨大影响。
索普认为默顿的文章是“一篇大师级的作品”。“事实上，我从来没有考虑过知名度的问题，”他说，“因为我不是从事经济学和金融领域工作的。我觉得知名度这个问题并不重要，我更关注的是如何多赚钱。”
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 人与机器之战
很少有理论上的发现能够像布莱克—斯科尔斯公式这样对金融业的影响如此之大。德州仪器公司很快就制造出一种包含公式程序的掌上计算器。期权、权证和可兑换债券市场都变得效率更高。所以对于像索普这样的人来说，找到套利机会就变得越来越难。
出于必要，索普不停地转换交易模式。1974年，索普和莱根将基金的名字变更为普林斯顿—新港合作伙伴，这个名字深受常春藤名校联合会和东海岸旧富的影响。这个新港显然指的不是罗得岛的那一所威尔士大学，而是指加利福尼亚的新港海滩。普林斯顿指的也不是大学，而是城镇。莱根本来更希望把普林斯顿换成更加狂热的曼哈顿。索普和莱根同时还建立了一个名叫奥克雷萨顿的管理公司用来招聘工作人员，同时也通过设立经纪人业务子公司的方法降低佣金的成本。
公司基金带来的纯利润占投资的比重在1972、1973和1974年分别为12.08%、6.46%和9.00%，这说明基金价值已经逐渐市场中立化。1973年和1974年股市大跌，到1974年底，基金勉强达到了原有投资基金的两倍。索普和莱根当时管理的资产大约是２０００万美金。
在各种束缚下继续保持这种成功的规模是很困难的。1974年9月23日，华尔街日报的首页刊登了索普的照片和他的普林斯顿—新港。文章一开始用了新闻报刊的歌颂式特殊的诗歌形式。
掌握胜算
电脑公式：占领市场
成功的秘诀
预感，分析师的报告，索普不需要
依靠数学，他成功了
“我称之为缓慢地致富”
索普对传统的分析不屑一顾，完全依靠计算机，这让华尔街日报的作家十分惊讶。1974年的时候，一般的华尔街日报读者对计算机的实际接触类似于他们对登月火箭的熟悉程度。计算机是大家只能在电影中看到的东西。在电影里，电脑经常会变得失控，甚至杀人。
在某些情况下，基金的交易状况完全是由计算机的打印输出而显示出来的，不仅能够显示交易的时间，还能估算可能的年度回报。索普声称，“我们管理资金时，远程管理越多越好。”
华尔街日报将索普的运作方式描述成“初期的探索，从资金管理转变成定量管理”。文章中提到至少有两家华尔街的大公司在使用布莱克—斯科尔斯公式。它们是高盛公司、卢浮金和杰瑞特公司。当时高盛公司的唐纳森和卢浮金公司的迈克·格拉德斯特恩还辩解说这个智慧的公式只是他们使用的“众多工具之一”。
一位不知名的基金管理经理曾经说道：“整个计算机模型是很可笑的，真正的投资世界非常复杂，一个模型绝不可能涵盖得到，仅仅利用机器分析证券和市场是不可能的，机器无法替代资金经理人。”
但是华尔街日报报道，索普的“机器”表现非常出色，超过了标准普尔记录的400多家共同基金，只有一家例外。索普提到：“表现更好的是那些疯狂的基金中的一只，那只基金只在黄金股票上投资。”
根据索普的计算，在他为一位养老基金客户做的200笔对冲交易中，190笔盈利，6笔持平，4笔亏损。如果从交易长期的价值计算，亏损可以达到大约15%，而且对于长期价值来说最可怕的事情是公司破产。索普曾经拥有美国金融集团价值250000美金的可兑换债券。当这家公司根据美国破产法第11章提请破产时，索普损失了107000美金。
另一个问题是默顿、布莱克和斯科尔斯在做权证时遇到的。普林斯顿—新港公司采取了积极的措施，与那些公司的律师保持电话联系，争取能提前了解公司是否有改变规则的计划。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 为什么资金经理不好(1)
威廉·夏普是当时最耀眼也是最好战的“随机游走”派活跃分子。他会四处询问资金经理是否真正地击败了市场。这些资金经理一般都会很愤怒，说他们确实击败了市场。然后夏普就会请公诉律师向这些资金经理们盘问具体的细节。夏普认为，成功的股票管理人跟成功的天文学家有些类似，他们擅长说服那些容易听信别人的富裕阶层相信他们的服务价值连城。
夏普在加利福尼亚大学欧文校区做了两年教授，认识了索普。他们就市场有效性的问题进行了一系列非常友好的讨论。夏普在欧文研究资本资产定价模型的理论，后来因此而成名。
不久，夏普搬到了斯坦福。1975年，索普邀请他回到加利福尼亚的欧文校区做讲座。在这次访问中，索普又试图用自己的观点说服夏普。当夏普在加利福尼亚大学任教的时候，索普才刚刚开始成为一名与市场斗争的投资者，而现在他已经战绩赫赫了。
索普向夏普描述自己做过的一些交易。其中一笔是1974年他经手的美国汽车公司（AMC）可兑换债券，成熟期是在1988年。债券的发行价格是1000美元，但是后来跌到了600美元。这恰恰意味着高回报，因为这正是可兑换垃圾股。用债券可以兑换100股AMC的股票。当时股票的价格是每股6美元，而债券的出售价格正好与购买股票的价格相等。
索普觉得这简直是“疯了”。债券可以得到5%的利息，而股票得不到任何股息，与持股相比，握有债券拥有绝对的优势。如果股票上涨，你可以马上把债券换成股票，但是根本不需要着急。债券持有者只需要坐收利息，而且不受股市动荡的影响。耐心的投资者如果能将债券保留到1988年的成熟期，起初投资的1000美元就都可以收回。
索普购买了可兑换债券，卖空了AMC股票。这会出现什么问题呢？公司也许会每况愈下，如果真是那样，索普赚的钱只会更多。如果公司破产，公司会被清算，其收益会被分发给债券持有人。当然也许这部分资金不足以支付所有的债权价值，但是股票持有人连一分钱都拿不到，因为AMC股票会一文不值。也许公司破产会影响到债券持有者，但对股民的打击要更为惨重。所以对于卖空股票而持有债券的人来说，这应该是件好事。
真正最糟的局面是股票价格始终持平。但即使是那样，索普仍然可以得到可观的回报。当时AMC的股票是8.33%的回报，当其处于8%的时候索普靠借贷购买了股票，赚了0.33%。当其达到8.33%时，索普已经将股票卖空，拿回了现金，而且这时可以以6%的利率放出。即便是股市无所作为，他也已经赚到了6.33%。
由于这笔交易确定是没有风险的，按照凯利公式的要求，杠杆式收购是可行的。索普增加了借贷来扩大自己的收益。“像这么简单而且又明了的情形很少见，离我们也很遥远，”他解释说，“但是我们可以从类似这样的情况中赚到相当可观的一部分。”
夏普并不信服。每一个新提出的科学理论中总会有一些反常，想要分清哪些反常是我们应该认真处理的，而哪些是无足轻重的，是件很难的事情。
市场有效理论家们声称市场的运作是非常理智的，比大多数市场参与者都要理智。其中的机理制之一就是套利者（例如索普）在价格开始脱离轨道时就会从中盈利。
市场有效论的理论家通常认为价格不会长时间脱离正轨，因此套利的机会很快就会消失。从自己的经验出发，索普不认同这种观点。他知道套利通常会受到交易成本、非正确定价证券的供应量、凯利公式以及其他因素的影响。非正确定价要经过数周、数月甚至更长的时间才能逐渐消失，而索普可以利用这段时间以数学理论上最大速度来获利。
夏普提出了一种不同的理论。他把所有的投资者分为两大类：“积极的”投资者和“消极的”投资者。对消极投资者的定义是明智的人，认为市场不可能被击败。他们会把所有资金投到市场中的每一只股票中去，这种组合概括来说，就是“指数基金”。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 为什么资金经理不好(2)
积极的投资者指那些认为自己可以击败市场，并被这种错觉困扰的人。他们会把自己的资金投到市场组合以外的其他地方。
按照夏普的术语，积极的投资者不需要“积极地”进行交易。一名将两只AT&T股票放在抽屉底层的退休教师也属于积极的投资者。他运作的理念是AT&T的股票要好过全部的市场指数基金。积极的投资者包括所有试图挑选出“好”股票而避开“差”股票，或者是那些聘请其他人来进行投资，将资金投入到有管理的共同基金或者投资伙伴中。
夏普问，两者相比，积极投资者和消极投资者谁做得更出色？综合看来，整个投资者群体占据了全部的股票市场。这也就说明全球投资者的平均回报，在你计算出管理开销、经纪人费用、缴纳必要的税费之前，首先要等同于股票市场作为整体的平均回报。没有其他的可能性。
说得更明确一些，只有消极投资者的回报和股市的平均回报相等。因为这些投资者的资金是以指数基金或产品组合的形式存在，而这一部分和整个市场的回报是相一致的。
如果我们将消极投资者所获得收益从总数中扣除，剩下的就是积极投资者所获得的投资回报。消极投资者的收益和市场整体的收益一致。所以，这就意味着积极投资者作为一个整体，他们的回报也应当等同于市场整体的平均收益。于是我们得出了一个很奇怪的结论：综合来说，积极投资者（在缴纳各项费用和税收之前）与消极投资者的投资表现基本差不多。
众所周知，有一些积极投资者业绩斐然。每一位积极投资者都希望能够做得比别人更好。但有一点是肯定的，不可能所有的人都有“超出平均水平的表现”。
因此，积极投资是总和为零的游戏。只有当一名积极投资者的表现低于平均水平时，另一名积极投资者才可能会有超出平均水平的表现。我们不能得出结论说由于那些无能的消极投资者只满足于达到平均回报率，积极投资者可以通过胜出他们而获利。由于上文所阐述的原因，消极投资者所获得的平均回报和积极投资者所获得的平均回报是完全一致的。
现在再来看一看开销方面的问题。消极投资者几乎没有什么经纪人费用、管理费用或者资本所得税（因为他们很少被迫出售）。而积极投资者的情况就不同了。我们所说的积极投资者包括每日交易人员、对冲基金合伙人、购买股票和持有股票的人等等。对于他们当中的大多数人来说，他们需要支付１％到２％的佣金和税费。如果基金形势不错，对冲基金投资者需要支付的额度会更大。这部分费用每年大约要从所获收益中扣除资金的２％。
２％不是个小数目。20世纪的股市的平均收益大约比无风险投资高出５％左右。但是积极投资者需要多赚出两个百分点才能和消极投资者的收益持平。
会有积极投资者做到这个水平吗？当然有。那些非常聪明或者非常幸运的少数人，他们的收益处在一个较高的水平。而绝大多数的积极投资者是无法实现收支平衡的。许多自认为可以打败市场的人事实上都被市场打败了。夏普认为这点是不容置疑的，而且这也不是以滑稽的经济理论为基础而推论出来的，而是根据算术法则得出的结论。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 敌人的名单
早在20世纪70年代，索普就得到消息演员保罗·纽曼可能对投资很感兴趣。纽曼当时刚刚拍完电影《骗中骗》（剧情是一名叫凯利的骗子艺术家，通过一种特殊的金属丝延迟装置，诱使一名黑帮分子下了毁灭性的大赌注）。索普和纽曼在２０世纪福克斯公司的摄影棚喝过啤酒。纽曼询问如果索普全职做二十一点能挣多少钱，索普回答说一年３０万美元。
纽曼问，“那你为什么不出来专门做这件事呢？”
“你愿意出来做吗？”索普问。
索普估计纽曼当年可以挣到６００万美元，当时索普的收益也是这个数目。
纽曼决定不投资给普林斯顿－新港，他对公司通过交易避税的方式持保留态度。纽曼解释说自己是一名非常引人注目的自由主义分子。在尼克松总统的“敌人名单”中他排第１９名。纽曼担心政府对他的税收状况进行非常苛刻的审查，所以他不希望因为自己的纳税状况而引起丝毫的麻烦。
事实上，普林斯顿－新港所做的工作不都是关于赚钱的，有些工作也是围绕着如何保住这些钱而进行的。他们一直十分谨慎地处理交易的纳税问题。
“我自己曾经做过计算，如果不需要支付税费，无论是州税还是联邦税，我的财富都会是现在的32倍。”索普最近曾经这样告诉我。这番话也说明组合投资的力量对开支和对收入的影响同样巨大。
看看申农将1美元变成了2048美元的白日梦。你以1美元的价格买下了一只股票，在11年里，股票每年翻一番（这相当于100%的年度回报！），然后你以2048美元的价格卖掉了这只股票。这就意味着你需要为2047美元缴纳所得税。如果税率是20%，你要向政府交纳409美元，这样的话你还剩下1639美元，相当于你连续11年每年在免税的情况下保持了96%的投资回报率。税费只占了税前组合投资回报率的4%。
假定你通过一系列的交易最终将1美元变成了2048美元。你每年都盈利，所以你每年都要交纳资本所得税。第一年，你的资本从1美元变成了２美元，所以你需要为赚得的１美元缴纳所得税。简单来说，假定短期税率也是20%（通常情况下都会更高一些），那么你就需要向政府交纳20美分，最终，年底的时候，你手里的资金就会是1.80美元而不是2美元。
也就是说你的资金并没有翻倍，而是增加到原来的1.8倍。11年后，你所获得的资金不是211而是1.811，总额为683美元。与那些购买了股票然后持股等待的股民相比，你的税后获利要少了一半还多。
70年代末期，莱根想出了一个很好的办法。当时国家发行的债券仍然是纸张的形式，打了孔的息票和债券订在一起。每过半年，当利息到期时，债权人就会撕下一张息票去兑利息。当所有的息票都被撕掉，也就意味着债券的成熟期到了，可以用债券去兑回本金了。
莱根的办法是购买了新债券之后，马上把息票和债券分开，将其分别出售。当债券成熟期到的时候，那些需要大额投资的人或公司愿意购买“分解开的”不含股息的债券，因为他们需要钱。并且由于他们不需要为在债券到期前那些他们并不需要的收入纳税，所以这些债券事实上比“未分解开”的债券要便宜一些。还有一些人希望能够定期获得收益，但是对最终的大额本金收回不太感兴趣，他们会选择购买息票。
莱根的主意最吸引人的地方在于利用税法的漏洞。大部分被分的债券都不可能按其面值出售，这也是合理的。假设债券的成熟期是30年，不含息票，面值是一万美元，那么其现有的价值绝到不了一万美元。因为得不到股息，购买人只能通过本金获利来盈利。要想实现这个目标，购买人购买债券的价格必须要低于一万美元。
这是很公平的。购买价值1万美元的债券，拿掉息票，然后以1000美元的价格卖掉不含息票的债券。从理论上来看，这样你就有权在缴纳税款时，拒绝为损失掉的9000美元支付税款。无论在何种利率的情况下，税法当中都没有规定如何计算债券的不同部分。法律在这方面也没有具体的解释，因为当时国会在立法的时候也不曾考虑到有人会将其分解交易。
莱根把这个办法讲给迈克尔·米尔肯听，米尔肯认为这个想法妙极了。拥有100万美元资本所得的一位富翁只需要购买110万的新债券，拿掉息票，然后以100万元的价格卖掉债券。
一瞬间的功夫，这位富翁的１００万美元的资本所得就消失了。除了所发生的微不足道的税款之外，这位富翁并没有损失任何东西。100万美元加上息票，其价值仍然相当于所支付的110万美元。甚至有人认为（也有一些人持怀疑态度），政府在这个过程中也没有损失。因为债券的其他部分仍然需要交税，只不过是时间早晚的问题。
米尔肯成立了一家公司，名叫“道彻斯特政府债券”，向客户推销这个主意。道彻斯特总部设在芝加哥，而且除了一个办公的地址之外几乎一无所有。刚开始是在第一国家广场的2785室，1981年，公司更名为郦城证券。莱根和索普与道彻斯特—郦城建立了合作伙伴关系，其他的合伙人还包括迈克尔、劳埃尔·米尔肯，以及索尔·斯坦博格的信赖控股集团。斯坦博格是米尔肯最成功的垃圾债券经纪人之一。
这种类似“创造性”的避税方式向来不能持久。过了几轮报税季节之后，财政部就开始抱怨，因为国会中没有人关心这个问题，他们不得不去堵这个漏洞。根据1982年颁布的税收公平与财税法，投资者在上报亏损额度时，必须说明息票的价值，从而堵上了这个漏洞。与此同时，新通过的法令确定人们有权出售分解开来的债券（现在也还在市场上出售），但是用电子簿记替代了原来的纸张型债券和息票。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 寡妇和孤儿(1)
政府的另一项决议为普林斯顿－新港带来了机会。根据美国政府的决定，AT&T已经构成垄断，1981年，这家电信公司被分拆成８家公司，每一位AT&T股票的持股人可以分到7家“小贝尔”的股票和新AT&T公司的股票。公司刚刚被分拆时，股票还未正式发行之前，投资者就可以购买他们的股票了。索普的计算机提醒他注意到了一个很奇怪的现象，老AT&T公司的股票比新公司的股票要稍微便宜一些。
当时华尔街的分析师们花了毕生的精力研究和分析AT&T，但是他们都没有注意到这一点。价格的差异如此微妙，任何利润都会被成本抵消掉，除非有人能够买足够多的股票。
当时普林斯顿的资本大约是6０００万美元。考虑到这笔投资是无风险的投资行为，索普借了大笔资产，为普林斯顿－新港购买了5０００万股老AT&T公司的股票，并相应地卖空了8家新公司的股票。这5０００万股大约花了3亿多美元，这相当于在对冲基金的全部资产中杠杆比率达到了6。
这笔交易是纽约股票交易所有历史以来最大的一笔。索普为所借的贷款支付了80万美元的利息，他还结清了克劳德·申农和约翰·凯利离开时所应得到的160万美元收益。
1982年4月份，一种被称作S&P期货（或叫标准普尔期贸）的新投资开始交易。这项交易使得人们可以对股市本身进行赌博，或者更确切地说，人们可以为标准普尔指数的500家美国大公司下赌注。
一份期货合同是一项无法进行选择的“期权”。在“期权交易”和“期货交易”两种类型的合同中，双方都同意就一份未来的交易达成目前的价格。如果是期权合同，期权持有方有权收回交易。如果期权持有方不能通过行使期权获利，他就会收回交易。而如果是期货合同，双方都不能收回交易。期货合同持有者的获利或者损失都相当于其通过购买证券而产生的效果。
那么购买标准普尔S&P期货和老标准普尔指数股票共同基金有什么不同呢？答案在于你在期货方面的投资减少了很多。标准普尔S&P期货合同是一张很便宜的票据，利用这张票据，你参加了抓阄转轮的游戏，也许会盈利颇丰，也许会损失惨重。任何人只要能预计到标准普尔指数的走向就会大富大贵。
索普不知道市场的运作状况到底会怎样，但是他确实找到了一条赚钱的新渠道。
标准普尔S&P期货合同的签署双方在理论上同意销售标准普尔500股票的产品组合。事实上不会有人购买500只不同的股票，实际情况当中，合同双方会一起研究谁来购买哪一只，通过现金来清算。
他们不仅会在交易时间内清算，还会在合同期内的每一个交易日结束时清算。这是十分必要的，因为很可能会有较大的亏损额产生。每日清算可以确保没有人被落得太远，将大误差产生的可能性最小化。
标准普尔S&P期货合同的价值是多少？索普怀疑人们只是凭着预感在办事。经纪人业务中有一些拿高收入的分析师，他们在过去的时间里一直负责预测标准普尔的走向，而索普认为他们的建议事实上是没有意义的。当人们根据这些毫无用处的建议来进行投资时，他们赚钱也就只能靠运气了。
《财富公式》 第三章 套利 《财富公式》 寡妇和孤儿(2)
索普用软件来确定标准普尔期货的公平价格。他必须为所有的500只股票制作随机游走的模型。与其他的交易所相比，普林斯顿－新港的微型计算机无论是在计算速度还是存贮方面都有巨大的优势。根据计算机的模型计算，索普发现标准普尔期货像许多其他令人眼花缭乱的新鲜事物一样，定价过高了。这也就意味着普林斯顿－新港可以通过出售标准普尔期货来赚钱。但是要这样，就必须购买所有的500只标准普尔股票，这就会拉高交易成本。
索普又进行了深入的计算，并得出结论，如果有选择地购买标准普尔股票，就会得到足够的保护。当索普计算出这笔交易有很高的成功可能性时，普林斯顿－新港在标准普尔期货方面投资了２５００万美元，每天的交易量达到了700笔。曾经有一段时期，他们基金的交易额达到了纽约股票交易所的整个交易额的1%。
这辆“送钱的火车”带着他们跑了４个月，他们的利润达到了600万美元。然后市场得到了消息。标准普尔合约的价格下降了，其他的交易人也开始使用计算机，这种价格的不规范消失了。
1981年，AT&T的分拆年，普林斯顿－新港的净资产回报率达到了22.63%。1982年，伴随着标准普尔期货交易，普林斯顿－新港的回报率达到21.80%。当1982财政年度结束的时候，索普和莱根已经可以很自豪地宣称，他们起初投资的1美元在13年的时间里已经变成了6.61美元。
当时的索普和莱根越来越坚定地相信，市场总是可以被最成功的投资合作伙伴关系所击败。确实，连续13年保持这样出色的业绩是十分罕见的。一些持怀疑态度的学院派人士和一些交易人认为这样的业绩属于浮士德式交易。也就是说，他们认为这种看上去成功的套利交易行为是高风险的，总会有巨大的损失，不过是早晚的问题。
普林斯顿－新港的一切似乎都在驳斥着这种观点。基金一年都没有下跌过，也不曾有在哪个季度下跌的记录。谈到使用凯利公式管理风险时，索普似乎非常符合“第一个在历史上注定要得胜的那个人”。
他们的合作关系是不同理念之间的婚姻。莱根生活在一片具有贵族气氛的225英亩的新泽西牧场上，养了很多马。在福布斯1986年对合伙公司的情况介绍中，也是由莱根提供的篇首语。“从婴儿手中抢走糖果，”莱根在一次交易中提到，就应该“你把卡车倒到商店门前把糖果都装走”。
莱根靠近那些“充斥于华尔街网络的流言、信息和机会”，索普解释说，“总是会有很多一系列的流言在传播，你离信息链越远，这些信息的价值就越小。”
索普比较善于自省，他总是用科学的态度去迎接工作中的挑战。他对自己的措辞非常谨慎，如同对待任何其他事物一样，非常低调。他认为基金的表现是“缓慢地致富”，仿佛担心过于自信会给自己带来厄运一样。直到1982年，他才辞去了自己在加利福尼亚大学欧文校区的全职工作。
在展示自己相当大财富方面，索普显得也非常低调，甚至让人觉得有些迟钝。在办公室里，他穿着普通像一位下了班的加利福尼亚教授，一身很随意的衬衫和凉鞋。终于到了他觉得是买大房子的时候了。他们选择在山边买了一幢带有10个卫生间的房子。这幢据说是新港地区最大的房子，可以鸟瞰从卡特琳娜岛到圣塔安娜山的全景。房子还配有一个庇护所，有16英寸厚的水泥墙和钢制大门。任何时候都不忘考虑所有胜算的索普计算出这个庇护所可以抵御1英里外爆炸的1兆吨的氢弹。
然而，无论是莱根还是索普都没有想到这一切结束得那么快，也没有想象过这一切会是以这样一种方式结束的。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 幸福的标准(1)
丹尼尔·伯努利出生于18世纪一个竞争过度的天才家庭中。他的叔叔贾科伯，发现了大数定律。贾科伯教授自己的弟弟约翰数学，约翰和贾科伯一样聪明，而且和他的哥哥一样，他是个比较喜欢吹嘘的人。这对儿伯努利兄弟养成了一个很不好的习惯，就是对一个问题有竞争性地进行研究，并且在媒体中无情地攻击对方。
渐渐约翰的怨恨越积越深，最后甚至发泄到了他的儿子丹尼尔（1700—1782）身上。丹尼尔是一名数学家，也是一名物理学家。他曾出过一本很著名的书，对赌场的法罗牌游戏进行分析，发现了“伯努利效应”，后来被运用到了飞机翼的设计中。约翰对儿子的成功没有表现出任何的喜悦之情。1734年，父子俩共同分享了一项法国科学院奖。但是丹尼尔随即被父亲赶出了家门，他抱怨说，这个奖项应该是自己独得才对。1738年，丹尼尔又推出了一部重要的作品，流体力学。第二年，他的父亲出版了一本内容几乎完全相同的书，署了自己的名字，并且把时间改到了1732年。约翰用这个小把戏声称儿子剽窃了自己的作品。
当丹尼尔最终离开自己的父亲去遥远的圣彼得堡工作时，他一定觉得松了一口气。在那里，他为西化的俄罗斯法庭工作，并又写了一篇很有影响力的文章，使20世纪的经济学家们最终接受了克劳德·申农和约翰·凯利的思想。这篇文章提到了一个虚拟的赌注，是由另外一名伯努利家族的天才、丹尼尔的表兄尼古拉斯设计的。尼古拉斯是巴塞尔大学的法律学博士。这个赌注涉及到一个翻倍游戏，类似于凯利提到的智慧激励问答——“价值64000美元的问题”。丹尼尔在1738年就描述了这个类似的问题。
这个虚拟的赌注是这样的。彼得抛出了一个硬币，然后又继续这样的动作，直到当硬币着地时，其“正面”朝上。彼得答应如果第一次抛出硬币是正面朝上，则付给保罗1达卡，如果第二次还是正面朝上，就付给他两达卡；如果是第三次，则为4达卡；如果是第四次，则为8达卡；依此类推。每一次正面朝上，就需要将支付的达卡翻倍。设想一下如果我们想确定一下保罗的期望值。
平均来说，保罗应该能赢多少钱？想找到随机事件的数学期望值，你必须用其自身的值乘以它的可能性。第一次扔，正面朝上的可能性是1/2，这为保罗赢得了1达卡（相当于今天的40美元）。1达卡乘以1/2的可能性得到的期望值是1/2达卡。
这种推理只适用于第一次扔出来后硬币正面朝上的情况，还有很多其他的方式可以赢钱。假如第一次扔硬币，彼得输掉了，那么他会再扔。如果第二次投正面朝上，彼得就会赢得2达卡。赢得2特卡的可能性是1/4，因为包含了第一次扔反面朝上（1/2）和第二次扔反面朝上（1/2）的可能。2达卡乘以1/4的可能性得出的期望值是1/2达卡。
同样地，赢得4达卡的可能性为1/8，期望值是1/2达卡；赢得8达卡的可能性是1/16，赢得16达卡的可能性是1/32……所有这些不同的场景最终得出的期望值都是1/2达卡。所以保罗最终期望所赢得的数目是以1/2达卡为一般项的无穷级数，即他赢得的财产是无穷的。
玩这个游戏会使你无限富有吗？不会。如果你不相信，你可以试着扔一枚硬币，看看你会赢多少。
对于任何一个想用数学原理来决定在现实世界如何操作的人来说，无限期望都是一个很严重的问题。它意味着为获得玩这个游戏的权利，无论投入多少资金都是值得的。如果赌场要收你100万美元来玩这个游戏，理性的客户应该马上冲过来加入，至少看上去是这样。如果，赌场要收一万亿美元，结果也是一样。
你可能会更愿意把赌注看作是一只股票的初次公开发行。当对一家新公司进行评估时，人们一定会考虑各种盈利的机会，以及不同的可能性。但无论如何，他们最终会根据自己的预测，拿出一个合理的价位来购买股票。伯努利的例子说明，在一些情况下，传统的推理会使人们发现有一些股票值得他们不惜一切代价去购买。
无论是尼古拉斯还是丹尼尔·伯努利都知道这是荒谬的。丹尼尔这样写道，
虽然标准计算显示保罗的期望值可以无穷大，但是，我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡的价格把这个机会卖掉。事实上，虽然人们认可这个计算方式的结果，保罗赢的机会无穷大，但是没有人会愿意出高价来购买。
丹尼尔用俄语发表了他的上述言论。这个虚拟的赌注被人们称作“圣彼得堡赌注”或“圣彼得堡悖论”。从此之后，不断开始有人关注这个问题。约翰·梅纳德·凯恩斯在1921年发表的“概率论”提到圣彼得堡悖论是每一位20世纪经济学家的精神大厦的组成部分。在诺伊曼和摩根斯坦的“游戏理论和经济行为”一书以及在肯尼斯·阿罗、米尔顿·纲雷德曼和保罗·萨缪尔森的论文中，伯努利的赌注论都曾经被提及。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 幸福的标准(2)
这个矛盾可以很容易被解决。我们要注意到，彼得必须要有足够多的财富才能最终拿到游戏的潜在奖金。没有人拥有无限的资产。因此，无穷级数的大部分条件是无法被满足的。赢得10005的奖金机会很小，小得都不值得你去计算。因为事实上没有人能够出得起这么高的奖金。
假定一家赌场出的奖金限额在10亿美元。那么赌注的价值会是多少？答案是：要少很多！假定开始的奖金是1美元，那么扔到31次正面朝上的奖金应该是1073741824美元。所以比较理性的做法是，赌场在第30次投掷后就结束游戏，将10亿奖金颁给任何一位得到了30个正面向上的人。然而，事实上这个被删减了的游戏期望值只有15.93美元。
这样计算就合理多了。赌注不可能是无限的，只是几个美元而已。对于这个谜团的解释，即使是最顽固的现实主义者也不能提出什么异议。但是，哲学家、数学家，甚至是经济学家，都不肯接受这个解释。许多人认为，可以假定彼得有无限的财富。但是谁会相信，彼得愿意不惜任何代价去玩这么一个游戏呢？
丹尼尔·伯努利认为会有这样的人。他提出的另外一个解释，对未来的经济学思想影响很大。伯努利把钱和人们赋予钱的价值分开。对于亿万富翁来说，1000美元就像是零花钱一样；而对于一名乞丐，1000美元是一笔巨大的财富。所以获利（或损失）的价值取决于这个人本身的资产有多少。
你可能会想，这一点我早就知道了。是的，但是伯努利真正的贡献在于他创造出了一个词汇。在英文中，这个词被译作“utility”——效用。这个词可以用来描述人们赋予钱的主观价值。伯努利声称，人们本能地会选择争取最大的效用，而不一定是最多数目的钱或是达卡。“事物的价值一定要以它的价格为基础，”伯努利写道，“而不是由于其所带来的效用决定。事物的价格只取决于事物本身，对所有人来说都是一样。但是，效用，对于每一个人来说是不同的，取决于每一个人在不同情况下做的不同判断。”
对于一个富人和一个穷人来说，1美元的价值差异有多大？唯一诚实的答案是：“由具体情况决定。”例如，伯努利勾勒了这样一种情况，一位入狱的富翁只需要2000达卡就可以获得自由。和暂时并不需要这笔钱的穷人相比，这个富人会赋予这2000达卡更高的价值。
当然，这是一种人为创造出来的困境。大多数的时间里，富人心目中2000达卡的价值要低于穷人心目中对这笔钱的价值认定。伯努利提出了拇指法则。“……在非正常的情况下，”他写道，“任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比。”
换句话说，如果你朋友的财富是你的两倍多，那么当他赢得了100美元的时候，他的喜悦可能只有你的一半。同时，当他拿到晚餐的账单时，他的心疼度也只有你的一半。
你可以画一张效用和财富的关系图。如果人们对财富的价值认定和他们的财富成正比，那么这张图画出来就应该是直线状的。根据伯努利的拇指法则，这应该是个曲线图。这说明了一个事实，要想使富人和穷人同样快乐，他们获利的资金应该是有差异的。下面的曲线图（已经包含了伯努利法则：获利价值与原有财产成反比）表现出了对数功能。因此，伯努利的拇指法则也被称为对数效用。
伯努利使用效用这个概念解决了圣彼得堡矛盾。假定保罗对所获利润的产生的成就感与他本身的财富成反比，那么他对赢来的两个达卡的价值认定并不一定是两次赢得一达卡的价值累加。你赢来的第二个达卡，就像你获得的第二个百万美金，绝不会像你第一次得到时那么欣喜万分。
这就意味着无限级数项需要向下调整从而将大额获利所产生的回报纳入考虑，尽管这个数值是在逐渐缩小。虽然这个序列是无限的，但是个比较令人满意的合并序列。你可以1/2+1/4+1/8+1/16…一直加下去，但永远不会得到1，即便这个序列是无限延伸的。伯努利的期望序列也通过这个方式进行了调整，也合并出了一个有限而又适当的数值。
在随后的几个世纪里，经济思想家们迷上了对数效用。英国的经济学家斯坦利·杰文斯（1835—1882）声称对数不仅可以应用于财富，还可以应用于消费品。“当任何商品的数量如人们消费的普通食品的数量增加时，最后一部分商品所带来的效用或收益在程度上是减少的。”这也是为什么那些“你可以把所有东西都吃掉”的餐馆能够在行业中长盛不衰。莱昂纳多·萨维奇在1954年称，对数曲线是“每个人的效用函数原型”，是一种合理近似，是计算大多数人在大部分时间里如何根据自己碰到的美元数额来评价其拥有的财富价值。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 幸福的标准(3)
并不是每个人都同意这种观点。到萨维奇时代，对数效用已经呈现出古板陈旧的气象。认识到对数效用不能够满意地解释圣彼得堡悖论，这是对该理论的一次沉重打击。19世纪30年代，维也纳的数学家卡尔·门格尔指出，圣彼得堡赌注稍作修改，就可以使伯努利解释不成立。简单地说就是增加赌注。连续地抛掷赌注为2、4、16、256达卡、……而不是1、2、4、8达卡，你的奖金增加得如此快速以至于期望效用又是无限的了。
门格尔的这一反例不是以美元或达卡而以效用单位（utiles）来计算赌注的奖金。效用单位是效用的假设单位。根据你投掷的次数，决定你将赢得1、2、4、8……个效用单位。赌注的价值，用期望效用来衡量，是无限的。理性人大概会放弃已有的一切来玩这个游戏，这仍然有点荒唐，因为他有可能仅赢得极少的效用单位。
从这里我们应该得出什么推断？可能没多少。保罗·萨缪尔森相信，圣彼得堡悖论种类繁多的版本“对经济学家而言，没有任何可怕之处”。问题的关键在于伯努利的效用函数从心理角度来看是不现实的，尤其是处于极端富有的情况时。
更好的解决办法是“幸福水平”。这大概就是效用的上限。算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望，那些钱，或相应的效用，就是幸福水平。
效用上限的作用类似于赌场能够付出的美元上限，在合理且有限的价值处截断无穷级数。
对数效用函数没有幸福水平。图中的曲线向右上方变得平缓，但一直保持上升。我们举个例子，这意味着对具有对数效用的人来说，将现有财富再增加10倍，幸福感是一样的。将你的净财富从1万美元增加到10万美元，与从10万美元增加到100万美元，或从100万美元增加到1000万美元时，你获得的幸福感是一样的。
这听起来，也可能有道理也可能没道理。在这个10倍财富的事例中，有一点难以理解。拥有100亿美元而不是10亿美元，是不是更有优势？当然如果你只关心“生活得好”，则不会更有优势。拥有10万亿美元比拥有1万亿美元，会不会带来更大的荣耀？如果你只希望成为地球上最富有的人，你当然也不觉得这会带来更大的荣耀。
对数效用也不是一个好的贫穷模型。它暗示了从你最后的100万财富中损失90%与从你最后一角钱中损失90%，你感觉到的痛苦是一样的。这很荒谬。
1936年，经济学家约翰·伯尔·威廉斯在《经济学季刊》上发表了一篇文章“投机与结转”，是关于棉花投机商的。他们在棉价较低时买入大量棉花，期望在一年或更长时间后高价卖出获利。投机商们“赌”第二年的棉花产量低，从而棉价会上涨。威廉斯注意到了此类活动中的机会因素。比如，没有人能够预测天气。他认为，成功的投机商一定有某种优势，他们一定知道一些市场不知道的东西。
在文章末尾的“概率注解”部分，威廉斯在他的计算中说道，“如果一个投机商在每一次交易中，都习惯性地冒着资本外加利润（或损失）的风险，他就会选择所有价格的几何平均值而不是算术平均值，来作为可能价格分布中的代表价格。”威廉斯并没有详细地说明这略显神秘的论断。这个论断与伯努利和凯利的想法密切相关。威廉斯是一位杰出的经济学家，因其股票可以通过红利估价的思想（现已不适用）而著名。但不管威廉斯多有名望，这个论断也没有得到多少关注，很快就被人们遗忘了。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 自然的警告，远离赌博(1)
1954年1月份，《计量经济学》的出版首次将伯努利1738年的那篇提及圣彼得堡赌注的文章译成了英文。当时几乎没有经济学家懂俄语，所以这篇文章的内容还不为人所知。最终的英文译本出版后，人们才发现，在很长的一段时间里他们都没有真正理解或者根本就低估了伯努利的成果。
这篇文章并不是完全讲述圣彼得堡赌注或者效用这个问题的，只是在里面作为附加部分提了一下。伯努利的论文认为风险投资应该由几何平均数的结果来衡量。
可能在学校的时候，你就知道有两种“平均数”。算术平均数是比较平淡的那一种，你把数字都累加起来，然后除以它们的总数，就会得到算术平均数。这类似棒球平均击球率或者平均成功率，如果你用EXCEL的电子制表软件计算，只要输入公式=AVERAGE（），你就会得到计算出的算术平均数。
不过大多数人们中学毕业以后，就都不再记得几何平均数了。几何平均数的计算方式是将一系列（n）的数字相乘，然后计算这个数字的n次方根。
多数人都会尽量避免计算n次方根，所以几何平均数一般都是统计学家们在使用。当然，现在的社会，没有人会手工计算平均数。在EXCEL中，也有一个计算几何平均数的公式，=GEOMEAN（）。
平均数的意义是为了使生活简单化。我们很容易就记住拉米瑞兹3.49的棒球平均数，而不会记得他整个棒球生涯的每一个细节。对于一个球员浩如烟海的信息来说，一个棒球平均数对他的能力阐述得更清楚。
在棒球或是其他的事务中，算术平均数就足够用了，那么为什么我们还需要计算几何平均数呢？
伯努利从赌博开始谈起。如果用算术平均数来计算期望值，考虑两种出现概率相同的结果，“公平的”赌注，其最终得数应当为零。这里我们可以看一个所谓的公平赌注的例子。你把赌注都下到一个即将弹出的硬币上，和你旁边的人赌博，他下的赌注和你一样多。最终要么你得到两倍的赌资，要么你就会一无所有。赢家会得到输家的一切，房子、车、存款等等。
假定你现在有10万美元，当硬币投出之后，要么你会得到20万美元，要么你的钱就全都没有了。这是两种机会平等的可能性。算术平均数是（20万美元+0美元）/2，即10万美元。如果你认为这个赌注的公平价值是10万美元，那么你觉得这个赌注没什么意义。你现在已经有了10万美元，硬币投出后，你或许再拿到一个10万美元，或者损失10万美元。
但人们一般不会这样思考问题。你和你的对手如果同意下这种赌注，那你们简直是傻到家了。赢得两倍的资产和变得一无所有相比，变得一无所有会让你损失得太多。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 自然的警告，远离赌博(2)
我们再用几何平均数的方式来计算一下。你将两个同时存在的可能数值相乘÷20万美元×0美元然后计算平方根。因为零和任何数相乘其结果都为零，所以几何平均值得出的是零。如果你认定这是赌注的真正价值，那么你就不会舍得把你10万美元的净资产投在上面了。
几何平均值一般都会小于算术平均值（只有当所有的数值都相等，两个平均数才会相等）。这就说明，在评估风险问题时，几何平均数要更为保守一些。伯努利相信这种保守主义更符合人们对风险的排斥态度。
由于在风险投资中，几何平均数总是小于算术平均数，“公平的”赌注事实上是不受欢迎的。伯努利认为，这是“自然的警告，让人们远离赌博”。（伯努利认为人们从赌博当中不会得到任何乐趣。）
在伯努利看来，只有当优势偏向于某一个人的时候，这个赌注才是有意义的，或者说如果参赌的人财富实力不同的时候，赌注才有价值。通过这个理论，伯努利解决了一个华尔街的老问题。每次交易股票的时候，买方会认为自己是在交易中占上风的那一个，卖方也这么认为。这说明总有一方的判断是错误的。
伯努利对这个想法提出了质疑：“给一个情况不太明了的企业进行投资，有些人这么做可行，但其他人这么做就不明智。”虽然没有谈论股市，但是伯努利提到了一名“圣彼得堡商人”，这名商人必须从国外通过海上运输进货。这也是一种赌博行为，因为船只有沉没的风险。商人面临是否购买保险的选择，但是如果通过算术平均数计算，保险不是很理想的赌注。保险公司一直是通过保金来盈利的。
伯努利提出如果这名商人相对来说财富实力不强，他一般会通过购买保险（即便保金的价格过高）来提高自己的几何平均值。而与此同时，实力雄厚的保险公司因为卖掉了一份保单，也提高了自己的几何平均值。
伯努利认为理智的人会争取最大化的几何平均数，虽然他们自己可能并没有意识到这一点：“因为我们所有的假设都会以我们的经验为依据，我们不能抛开经验，而仅仅是凭我们的猜测来行事。”
伯努利定律和约翰·凯利1956年的出版作品有密切的联系，可以把凯利的解决方案看作是这个简单定律的重述：当我们面临下赌注或投资的选择时，应当选择那个几何平均数最高的。这项凯利标准定律，比计算赌博的“优势/概率”的凯利公式应用范围更为广泛。
如果可能性并不是平等地存在，你需要根据其可能发生的概率来进行衡量。一个办法是将财富的期望对数值最大化。任何遵循这条规则的人都会按假定自己已经拥有了对数效用的方式来运作。
从年代的顺序来看，我们很自然地会质疑凯利是否读过伯努利的文章。这一点很难查证。凯利并没有提到伯努利，如果他了解伯努利的成果，应当是不会这么做的。作为一名通讯方面的科学家，凯利读过《计量经济学》的可能性也不大。
但是，伯努利的文章对亨利·拉坦内有着直接的影响。最终，是亨利·拉坦内，而不是凯利将伯努利的思想介绍给了经济学家。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 亨利·拉坦内(1)
亨利·拉坦内参加工作的时候正赶上灰暗的1930年，但他运气很好，作为哈佛大学MBA的毕业生，他声称自己是经济萧条之前华尔街聘用的最后一名员工。从30年代到40年代，他一直从事金融分析师的工作。萨缪尔森认为像他这样的人应该有一份真正意义上的工作。从某种角度上来说，亨利·拉坦内也确实是这样做的，他接受了萨缪尔森的建议。到了中年之后，拉坦内辞去了华尔街的工作，回到大学攻读博士学位，之后，他一直从事教育和理论方面的工作。
1951年，拉坦内在北卡罗来纳大学开始研究投资组合理论，并把这个理论作为自己在博士期间的研究方向。他阅读了伯努利文章的译文，觉得可以把这个理论运用到股票的产品组合中。随后，拉坦内遇到了列昂尼得·萨维奇，他说服萨维奇相信几何平均数的理论对于长期投资者来说非常有意义。
