1956年2月17日，拉坦内在著名的耶鲁大学考尔斯基金会学术研讨会上介绍了他的研究工作。当时的与会者中有哈里·马科维兹。
马科维兹是投资组合理论派的创始人，投资组合也被称作均值方差分析。马科维兹用数据说明多样化可以有效地化解风险，即购买不同的股票，而不是集中购买一种股票。
这种思路被大众广泛接受，所以大家很容易就忘记有一些聪明人还有另外的想法。1942年，约翰·梅纳德·凯恩斯这样写道，天真地认为“安全第一”的投资策略是把资金分散开来押在许多不同的公司的股票上，而对这些公司缺少信息做出足够准确的判析，与对一个公司的情况了如指掌所获信息准确而进行投资相比，是荒唐可笑的。
凯恩斯一直很困惑，自己不知道比起其他人来，是否能更好地选择股票。既然萨缪尔森的拥护者已经把这个理念扔到了中世纪迷信的垃圾箱里，马科维兹的发现就有了特殊的借鉴意义。可能你是无法战胜市场的，但是你至少可以把风险最小化，这会使结果很不一样。例如，马科维兹用数据证实，买20到30只不同企业的股票，投资者可以把整个投资组合的风险降低一半。
马科维兹认为即便是完美的高效市场也不会磨蚀掉股票之间的差异。一些股票本身就比其他的股票具有更高的风险。因为没有人喜欢冒险，所以市场的调节方式赋予这些股票较低的价格。这就意味着投资到这些有风险的股票上，平均回报率会相对高一些。
均值方差，正如这个名字，均值方差分析着重于根据历史股票价格计算出来的两个统计数字。均值指年度平均回报。这是一个有规则的算术平均数。方差来确定这个回报每年是如何围绕着平均值上下波动的。没有哪个股权投资每年回报率都是相等的。一只股票可能今年获利12%，明年亏损22%，再一年获利6%。股票的回报率动荡越大，其方差就越大。因此，方差可以计算风险大概值。
第一次，马科维兹准确地提出了风险和回报之间的折中办法。虽然他的理论直截了当地拒绝偏袒任何一方。风险和回报就像橙子和苹果，高回报和低风险哪个更重要？根据马科维兹的理论，这由个人的口味决定。
所以，均值方差分析并不能告诉你到底该买哪种投资组合。它只是为你提供了一个选择的标准：在一定水平的波动下，这种产品组合会带来更高的平均回报，或者是这种产品组合在保证一定的回报水平时，波动会比其他的产品小一些。
这个规律可以让你排除掉很多可能的投资组合。如果根据上面的规律，投资组合A比投资组合B更好，你就可以不再考虑投资组合B。当你排除掉了尽可能多的投资组合后，最后剩下的那一个就是“高效”的。这个术语是马科维兹从一位研究企业效率的导师那里学到的。
马科维兹做了一张均值和方差的图表。任何股票或投资组合在图表上都是用一个点代替，当你把所有违背上述规律的点擦掉，剩下的投资组合就会构成一个弧形，马科维兹称之为“效率边界”。涵盖了低回报的保守投资组合到高回报的风险投资。
金融咨询师对马科维兹的模型作出了回应。他们已经越来越意识到这个崭新的同时也是具有威胁性的理论——有效市场假说，在学术思想中的影响力。马科维兹证明出计算风险的时候，所有的投资组合都不相同。因此，即便是在高效的市场中，投资者支付相当数目的资金来得到投资方面的建议也都是很合理的。均值方差分析一时间迅速风靡金融业和相关的学术界，确立了自己作为正统学派的地位。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 亨利·拉坦内(2)
拉坦内1957年的博士论文主要探讨的是选择股票投资组合的问题。伯努利没有做过这方面的研究，凯利也只是在谈到赛马和平均信息量的时候含糊地提了一下。在萨维奇的鼓励下，1959年在凯利的文章出版三年后，拉坦内在《政治经济学杂志》上发表了论文《风险投资选择的标准》。
当时杂志的读者大多没有听说过约翰·凯利。在参加考尔斯研讨会的时候，拉坦内自己也没有听说过这个人。
拉坦内把自己这种投资组合的设计方法称为几何平均数标准。他认为这是一种“近视的”战略。“近视的”战略听起来似乎不是什么好的方法，但如果经济学家给出这样的评价，这就是个积极的看法。其真正的含义是你不必手持水晶球，随时关注市场未来的动向，从而做出正确的抉择。这一点是很重要的，因为市场总是动荡不止的。
这种“近视的”几何平均数（或凯利）标准都是二十一点游戏中十分重要的因素。你需要根据扑克牌的组合来决定如何下赌注。也许手中的牌还会有变化，但这并不重要。即使你能根据以往的状况来推测牌的变化，你也无法判断现在该怎么做。所以这还是一个组合的问题。你现在能做的最正确的是根据现在的平均值、变量和其他的数字选择几何平均数最大可能性的那个组合。你投资的回报和动荡性会随着时间发生变化，你也根据这些变化来随时调整你的投资组合，从而始终使你的几何平均数保持最大值。
同样是在1959年，哈里·马科维兹出版了他的著作《投资组合理论》。几乎所有的金融业内人士都读了或声称他们读了这本书。马科维兹告诉我他第一次听说拉坦内的论文是在1955—1956学年，当时詹姆斯·托宾给了他一份拉坦内论文的副本。马科维兹在投资组合一书中用了一个章节来讨论几何平均数标准。这也许是本书中最被人忽略的一章，并且在参考书目当中列出了拉坦内的论文。
事实上，马科维兹是唯一一名重视几何平均数标准的著名经济学家。他意识到均值方差分析是静止的单一周期理论。从效果上来说，这种分析假定你现在计划购买一些股票，然后在固定的时间内将股票售出。马科维兹的理论试图平衡这单一周期的风险和回报。
大多数人不会这样进行投资。他们购买股票和证券，然后持券观望，没有充分的理由他们是不会轻易出手的。市场赌的是速度，虽然这是错误的。这是很不一样的，因为有一些机会看上去似乎非常诱人——仅此一次，但是如果这样的机会反反复复地出现，那么其结果就是毁灭性的。任何对有利赌注的“过度下注”都会造成这样的结局。
几何平均数标准也能够解决难度类似于“哈姆雷特式决断”那种的均值方差分析。这种分析指出某一种投资组合是“最佳的”。马科维兹提出，可以根据标准（算术）平均数和方差来推测几何平均数。几何平均数约等于算术平均数减去变量的1/2。通过纳入其他的统计手段，还可以使计算出的几何平均数更加准确。
还有另外一个人必须要提一下，他是凯利规律的共同发现者，或者也可以说他是几何平均数标准诞生的助产士。1960年，统计学家里奥·布莱曼发表了《为长远发展扩大企业最佳优势的投资策略》，这篇文章刊登在一本像《贝尔体系技术杂志》一样不太出名的刊物上，刊名叫《海军后勤学研究季刊》。第一个提出追求几何平均数最大化可以最大程度地减少实现特定财富目标的时间。
谁想成为百万富翁？根据布莱曼的演示，一名赌徒或投资者通过使用几何平均数标准实现这个目标的速度要远远超过任何通过其他方式来管理财富的速度。
由于这个理论研究参与者的复杂关系，凯利标准有许多不同的名字。很自然地，亨利·拉坦内从没使用过“凯利标准”这个术语，他更青睐“几何平均数法则”，偶尔，他也会用缩写的“G准则”，或者用更简单的“G”来代替，因为更好记。
布莱曼使用的是“资本增长标准”，或者叫做听起来更乏味的“资本增长理论”。马科维兹使用MEL，代表“追求最大化的期望对数值”。从数学上来说，这完全是相同概念的不同说法。在索普的一篇文章中，他称之为“凯利（布莱曼、伯努利、拉坦内或资本增长）标准。即使这样，仍然还有很多关于对数效用的众多讨论没有被涵盖在内。由于名称的混乱，经济学界的人们很难完全理解这一概念。
被这个术语影响最小的人大概就是丹尼尔·伯努利了，他比凯利要早218年。凯利文章的独特之处和开创性在于他将内在信息和资本增长联系起来。本来，在申农找到办法衡量信息之前，这种联系似乎是不可能建立的。伯努利想象的世界，所有的牌都摊在桌面上，也就是说，公众了解所有的可能性，没有任何隐藏的信息。而凯利考虑的是一个相对黑暗、模糊的世界。在这个世界里，有些人更清楚未来的可能性，他们会试图利用这种先知的特点从中盈利。这个特点对金融市场的影响尤为可观。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 马科维兹的困境(1)
告诉投资者追求最大几何平均数可能会使他们在心不在焉后突然恍然大悟。投资回报的几何平均数不过是经常出现在华尔街记分牌上的“投资复合回报”。一直以来，大家所谈论的也都是这个问题。
拉坦内在北卡罗来纳大学的一位同事，理查德·W·麦克纳里认为“我们应当挑选可以帮助我们追求最大投资组合增长率的投资。这个建议很像是经济学家提出来的，听起来也精彩，但是在实际中很难做得到，或者说根本做不到。因为要做到这一点，你需要了解对遥远的未来有相当的了解。”
我们可以举一些例子来说明几何平均法则是如何运作的。例如：怎么来处理你的资金，你有两个选择，存到储蓄账户里，利息为3%，或者是存到另一个账户里，利息为4%。两个账户都处在联邦存款保险公司的保障之下。因为没有任何风险，所以两个账户的算术平均数和几何平均数是相等的。这种情况下，凯利和马科维兹都会建议你把钱存在利息为4%的账户里。
但是在很多情况下，选择不是这么简单的。一只火爆的技术股可能的算术平均数要高于乏味的蓝筹股，但是其动荡性很高，所以几何平均数有可能会比较低。在这种情况下，你买不买这只技术股呢？
这类问题正是凯利标准可以提供潜在答案的。我之所以说“潜在”，是因为没有人能够真正地预计股票投资所隐藏的未来的各种可能性。
当然，这并不妨碍分析家们编造出各种目标数据和做出各种数学模型。数学模型可以将现实世界的不完美轻描淡写成游戏中的一个机会。
假设你现在想在三种廉价股上投资，你做了很多研究，并且做了一年后股票回报的数学模型。原则上来说，你可以用和股票类似的可能性分配来建立一个“财富幸运轮”。
将幸运轮的边分成你所需要的若干份，用数字注明投资的一个美元在一年后价值会发生什么样的变化。如果你的模型做得够好，在玩这个财富幸运轮时就会像在股市投资一样。
我们来假定你为这三只廉价股每一只都做了财富幸运轮，如下图所示：
图：凯利标准和马科维兹标准的比较
这些幸运轮比任何对股市的理性预期都要简单，但是它可以帮助你找到这个思路。在幸运轮中划出足够的份额，你可以表示你对股市回报和概率的所有完整想法。
假设你要把所有的资金放到一个幸运轮中，哪一个是理想的？这很难预测。所以我们需要计算“平均”回报。有些时候，算术平均数回报因为其数值比较大，往往会处在一个最重要的位置，而几何平均数却不过是人们经常忽略的一个印刷数字而已。
第三个幸运轮得到了最好的算术平均数，第一个幸运轮得出了最好的几何平均数。假定你只能从这三个选择中作决定，那么凯利标准会建议你把钱投到第一个幸运轮中。
根据凯利的逻辑，第二个幸运轮是最不理想的，因为其中的一个数值是零，每一次转动，都意味着你可能会失去一切。任何一个长期的“投资者”如果把资金放在第二个幸运轮中，最终必将会一文不名。第二个幸运轮的几何平均数是零。
均值方差分析对此怎么评价？要回答这个问题，你需要计算幸运轮回报的方差。我可以帮你省去这个麻烦，因为幸运轮方差值从左到右呈递增顺序，算术平均数也是如此。那么，马科维兹的理论就不会对这三个幸运轮做出决策，根据他的理论，这三个选择都是合理的。有风险意识，追求最大投资回报率的投资者可能会选择第三个幸运轮来投资，保守的投资者通常喜欢牺牲一定的回报来确保稳定，他们更愿意选择第一个幸运轮，而对于那些处在这两者之间的投资者来说，第二个幸运轮也不错。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 马科维兹的困境(2)
这最后一条建议人们可能很难接受。许多人都认为中间的幸运轮风险最大，因为本身涵盖了最终损失掉全部的可能。但是它的方差值比第三个幸运轮要低，因为其结果不是很分散。通过这个例子我们可以看到，方差分析并不能很好地衡量风险。
马科维兹和凯利的方法在多样化价值方面的认识是一致的。一名赌马的人如果用多样化的办法给每一匹赛马都下注，那么他得到的几何平均数要高于那些把所有赌注都押在一匹马上的赌徒（冒着输光一切的风险）。这个方法同样适用于股市中通过购买多种股票来实现多元化的人。
投机者可以通过两种方式来运用大数法则，凯利在文章中都分别提到了。当无意识地谈到二十世纪的性别问题，他描述了这样一名赌徒。他的妻子允许他每周赌一美元，但不能用过去星期里获得的利润来再投资。
这名赌徒可能不会知道凯利标准。如果选择算术平均数最高的赌博，他的日子可能会越来越富足。原因是，惧内的赌徒不能拿到复合回报，而只能是单纯的累积。
这名赌徒通过选择第三个幸运轮，即算术平均数最高（1.75美元）的那个，可以取得最佳结果。下过一年的赌注之后，根据大数法则，这名赌徒的每周的实际收入应当和预期的情况基本相符。他年底的收入应该是52×$1.75即91美元，扣除他下赌注用的52美元，他最终获利为39美元。
如果这名每周一美元的赌徒选择的是第一个幸运轮，那么他最后可能会获得78美元（获利26美元）；如果他选择的是第二个幸运轮，他最终会获得87美元（获利35美元）。
只有当获得的利润也被用来再投资，凯利标准才有其意义。假定我们有这样一名赌徒，他的赌资一开始只有一美元，每周他都会把所获得的利润重新进行投资。（他既不会追加新的资金，也不会抽走现有的资金。）如果这名赌徒在第一个幸运轮投资，他每周增加的财富是原来的1.41倍。52周之后，他的财富就相当于
$1.4152=$67,108,864
凯利赌徒可以从一美元发展成为一名百万富翁。我们可以再比较一下另外两个幸运轮。一名复合赌徒，即投资在第二个幸运轮的，一年后的收入为：
$052=$0
零！这名赌徒赌了一年之后注定什么也得不到。如果情况果真如此，那么他就破产了。第三个幸运轮的情况如下
$1.2252=$37,877
这些数字都不是“确定的”。大数法则并不是这样运作的。也许好运气多转了几圈或少转了几圈，结果就迥然不同了。但根据这个法则，我们几乎可以确定的是第一个幸运轮会比第三个幸运轮带来的回报更多，如果哪个傻瓜连本带利地都投在第二个幸运轮上，那么他注定要破产。
标准的均值方差分析并没有考虑组合投资。你可以说组合投资是凯利的一周一美元投资理论。但是通过组合，财富的累积速度要远远超过其他方式，所以实际的投资理论在很大程度上都是再投资理论。
如果你把马科维兹理论运用到组合投资中，会得到非常可笑的结果。索普在1969年的一篇文章中对凯利标准进行了理论的探讨，他证明了均值方差分析和追求最大几何平均数在部分上是不兼容的。索普的结论是，“凯利标准应该取代马克维兹标准来指导投资组合的选择。”
或许当时没有哪个经济学家敢于发表这样的异端学说，似乎也不会有哪家重要的经济杂志能刊登这样的文章。索普的文章发表在杂志《统计学院评论》上面。也许没有什么经济学家读过这篇文章。无论是哪里，都没有什么经济学家听说过约翰·凯利这个人。但这种情况很快就会发生改变。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 申农的魔鬼(1)
从某种角度来看，克劳德·申农是有效市场分子最可怕的噩梦。他是个非常聪明的人，能够极其神速地在市场上赚钱。他把自己这种令人敬畏的天赋用到了套利的问题上。在20世纪60年代中期，申农开始在麻省理工定期举办关于科学投资的会议。参加会议的人们来自各行各业，包括保罗·萨缪尔森。
大约在1966年和1971年，申农在麻省理工谈过几次关于投资的问题。当时广大的麻省理工圈子基本都听说了申农在股票市场的智慧。所以很多人都想听听他的讲座，最后讲座被挪到了麻省理工大学最大的礼堂进行。
申农讲演主要的题目是用令人难以置信的方案从动荡的股市赚钱。当股票升值的时候，你可以从中获利（低买，高抛），当股票下跌的时候你仍然可以赚钱（卖空）。但你需要知道价格到底会向哪个方向移动。这一点，在巴切利亚、肯德尔和法玛看来是不可能的。
申农描述了一种从随机游走中赚钱的方式。他让听众设想有一只价格不停上下波动的股票，你根本无法预测这只股票的最终趋势。将资金的一半投到股票上，另外一半投到“现金”账户中。每一天，股票的价格都会变化。中午的时候，你“重新调整”你的投资组合。也就是说你预测整个投资组合的现有价值（股票加上现金账户），然后将资产从股票向现金转移，或者从现金账户转到股票，始终保持原来的股票和现金各50%的比率。
我们说的更清楚一点：假定你开始的资金是1000美元，500美元购买了股票，另外500美元是现金。假设第一天股票的价格跌了一半那么你现在的投资组合就变成了750美元，250美元的股票和500美元的现金，向现金部分倾斜了。你需要重新调整，从现金账户提出125美元来购买股票，这样你又会重新回到原有的平衡状态：375美元的股票，375美元的现金。
继续这一做法。第二天，我们假定股票的价格上涨了一倍，375美元的股票涨到了750美元。加上现金账户的375美元，你现在的资金是1125美元。这个时候，你需要卖掉部分股票，最后留下562.50美元的股票和562.50美元的现金。
我们看看申农计划最后的结果。股市又经历了一次大跌，股票的价格回到了原点。购买后持票等待的投资者一无所得，而申农的投资者赚到了125美元。
这个计划与大多数投资者的本能背道而驰。许多人都愿意把钱留在一只上涨的股票上，如果股票的价格持续上涨，他们可能会追加更多的资金。而在申农的体系里，如果股票价格上涨，你卖掉其中的一部分。同时当股票价格下跌的时候，你要继续往里投资，这看去根本就是“赔了夫人又折兵”。
我们来看看最终结果。表格下边的线表示的是一只虚拟的股票，起始价格为一美元，每一次要么价格翻倍，要么下跌一半，概率相等。这就是几何随机游走，股票价格走向的一种流行模式。它的基本趋势既不是向上也不是向下，因此，底下的那条线代表的是那些把所有的资金都投到股票上（假定没有分红）然后持票观望的投资者的资金状况。
表中上面的那条线表示的是股票和现金为各50%并随时调整的投资组合。这条线的趋势一直在上扬。图中的美元比例以对数形式出现，因此趋势线事实上表示的是指数增长的财富。
重新调整的投资组合比股票的动荡性要小，这种神经质的上下波动幅度在投资组合中也要小于在股市中产生的影响。申农的再调整不仅带来了可观的利润回报，也带来了非常出色的风险调整回报。
申农的股票体系是如何运作的？有效果吗？
申农的体系和物理学方面的一个大难题有很多相似的地方。在1871年出版的《热理论》一书中，英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦半认真半严肃地描述了一种永动机。这部机器可以非常简单，只用一个隔断分成两个部分来容纳空气，隔断上有一个很小的活动门。要使机器运转起来，根据麦克斯韦的描述，你需要使“所有的设备都极其灵敏，连每个分子都能沿着自己的轨道前进”。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 申农的魔鬼(2)
这就是著名的“麦克斯韦的魔鬼”。如同自己的名字那般，运用他超人的远见来反映空气分子的活动速度。当一个快速移动的分子从右边接近活动门，魔鬼打开活动门，让分子进入左边。当一个分子缓慢地从右边靠近，魔鬼就会关上活动门，将分子关在右边。
通过这种分类的方式，魔鬼就会把大部分活跃的分子留在左边，而把速度缓慢的分子关在右边，这一点是十分重要的。因为综合来说，温度可以衡量分子移动的速度。在没有消耗掉任何能量的情况下（哦，不过魔鬼需要不停地将活动门打开和关上，但是如果门很轻，而且很坚固的话，消耗掉的能量会非常少），魔鬼将空气分割成了一部分的热空气和一部分的冷空气。
蒸汽机也是通过温度差来产生能量。如果魔鬼将蒸汽机固定在他的冷热空气中，就可以通过分子随机的运动生产所需的能量。
几乎所有的物理学家都会认为这个设备不可行。它的设计太理想化了，你无法从稀薄的空气中召唤出能量，你也不可能减少宇宙中的无秩序状态（熵），而这些魔鬼是可以做到的。这个谜题能够充分说明为什么这个设计是不可能实现的。
当然，这个世界上不可能有魔鬼存在，更不可能有能看到分子的魔鬼。你可以设想一下用纳米阀或机器人来做魔鬼的工作。许多20世纪的物理学家和有科学头脑的哲学家都做过这方面的尝试，来试图解决这个谜题。他们大多数的时候在具体细节方面就被卡住了。一个小小的装置如何才能探测分子，并且开关原子刻度的门。量子论是个令人振奋的新概念，这刚好引出了一个著名的法则，即你不可能在不改变物体的情况下去观察它。为了看到分子，魔鬼必须射出光子（光的粒子）。光子会驱散分子，从而使魔鬼的观察也不那么准确。这个测不准原理打败了魔鬼，或者至少人们过去就是这样认为的。
事实上，量子论在这里不过是个过场。物理学家利奥·齐拉特、利奥·布里渊和丹尼斯·伽柏试图用我们现在称作信息的术语来解决这个问题。1929年齐拉特在申农之前就已经在文章中描述了一种类似于字节的东西。当然没有申农理论的洞察力，是不可能彻底地解决这个问题的。1982年，IBM的科学家查里斯最终提供了解决方案。
重新设想一下麦克斯韦的故事会很有帮助，假定魔鬼拥有电子稳定装置，或者“私家线路”，能够随时通知他什么时候打开活动门，什么时候关上，而不需要用量子物理学来麻烦自己。这个简单的魔鬼只需要用寻呼机收一些字节就可以，当他收到“1”，打开活动门；当他收到“0”，关上活动门。所有的这些信息都应当是极其准确的。
收到的字节越多，魔鬼能够分类的分子就越多，他能够产生的能量也就越多。这会使我们想起凯利赌徒，他把一串串字节转化成了资本的增长。现在问问自己：凯利赌徒是否享受到了免费的午餐？是的，如果你只看他手头的资金，而不看其他的方面。但是，如果你全面地来看这个问题，那么答案就是否定的。他赢的是别人的钱。
这个解释也同样适用于麦克斯韦魔鬼。我们把注意力放到空气分子上，魔鬼的分类会减少熵，同时从一无所有的状况当中制造出了能量。但是如果我们全面地来看待这个问题，你会发现魔鬼只是把这些数量重新分配了一下。
查里斯·班奈特争论说魔鬼一定扩大了自己大脑的熵。在麦克斯韦时代，没有人认为魔鬼是有大脑的。之所以用“魔鬼”这个词，就是要说明这是想象出来的故事。申农的理论指出信息是物理世界不可缺少的一个部分。任何魔鬼，无论是由血肉组成、由芯片构成，还是由纳米阀构成，都需要物理的“大脑”来操纵。
魔鬼不需要用什么大脑。他不过是个遥控的车间大门开启器。输入的字节给他发出指令，他照做。但是魔鬼的大脑至少要保证存在于两种状态的一种之下。一种状态下他开启活动门，另一种状态下他关闭活动门。所以魔鬼需要至少一个字节的内存。
1961年，另一位IBM的科学家罗尔夫·兰道尔提出删除计算机的内存会增加熵。我们可以通过下面的例子来体会他的观点：假定你用“车房乐队”的音乐制作软件制作的一首未发行歌曲的MP3版，而且是世界上仅存的副本。如果把这个文件删掉，你就再也没有办法来恢复原来的这首歌曲了。删掉它，就好比毁掉了一小段历史。这种删除使世界过去的状态变得更加无法确定了。这种不确定就是熵。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 申农的魔鬼(3)
在数学分析中，兰道尔指出，删除数字内存一定会增加熵，物理学家们会测量出这一点。注意，麦克斯韦的魔鬼会做大量的删除工作。每次有新的字节进入他的私人线路，他就必须“删除”原有的字节，这就会不时地提高熵。查里斯·班奈特使用兰道尔的结果论证，认为魔鬼大脑熵的增加必须至少等同于空气室中熵的减少。
关键是魔鬼根本不可能获得新的能量。他必须使用相应的能量来使自己的大脑运转，从而进行分离空气分子的工作。麦克斯韦的魔鬼不过是在重新分配熵和能量。
1974年，保罗·萨缪尔森在文章中提到一个高PQ的交易人员“事实上都拥有一个‘麦克斯韦的魔鬼’，告诉他如何通过预测明天的金融报告来获取更多的资本利润”。申农的股票系统就像麦克斯韦的魔鬼，把无序变成了利润。申农的“魔鬼”把他的财富分成了两部分的资产。无论资产分配从哪个方向超过了50%的分界线，魔鬼都会进行交易，确保原子大小的利润或者进行原子大小的购入（虽然只有原子大小），但是从长远来说，利润可以逐渐积累起来。
这里面隐藏的“技巧”很简单。算术平均数回报总是高于几何平均数。因此，几何平均数回报为零（根据假设），十分动荡的一只股票一定有很乐观的算术平均数回报。
谁能从算术平均数当中赚到钱？答案一：凯利的一周一美元赌徒。每周，他购买价值一美元的廉价股。如果运气好的话，股票价格翻倍了，他售出股票，确保了一美元的利润（这钱会马上被记入到他妻子买帽子的资金中去）。
第二周，他又拿了崭新的一美元，又买了廉价股。这次，没那么幸运了，股价跌了一半。他卖出股票，损失了50美分。
在这个很典型的场景中，一周一美元先生赚了一美元赔了50美分。不论股票的价格如何变动，他每周的利润平均达到了25美分。
一周一美元先生的问题使他没有想到过要把投资做大。因为每周投资的钱数相同，他对利润的期望也是相同的。
一心想赚钱的人应该效仿常规的凯利赌徒，他们总是会追求最大几何平均数。如果凯利赌徒要将自己的资产任意分成现金账户和随机游走股票两个部分，他一定会选择各50%，因为这样分配可以获得最高的几何平均数。申农的计划是凯利赌徒的一个特例。
凯利赌徒并不铸造钱，他只是把钱重新分配，这里的平衡被打破了。对于那些寻求绿色能源资源的人来说，麦克斯韦的魔鬼只会让他们感到失望。相对来说，凯利赌博的重新分配并不会使人感到困扰，因为赛马场和股市中到处都是愿意把兜里的钱进行重新分配的人。
申农的发言结束后有个问答时间。申农被问到的第一个问题是，在他自己进行投资时，他是否使用了这个体系？
“没有，”申农回答，“光是佣金就会要了你的命。”
申农的股票计划从动荡中获利。如果你能找到一只股票隔天要么翻倍，要么大跌一半，你就可以实施这个计划。正如上文中所描述的，通过240次交易，一美元可以升值到百万美元。佣金大约是数千美元。那么结果会怎么样？你每投资一美元，最终都会得到一百万美元。
但是哪里都不会有动荡得这么厉害的股票。在真正的股票动荡中，获利的速度很慢，甚至会要少于佣金。
另外还有其他的问题。申农体系中假定股票的几何平均数回报为零。这事实上反映了一种人们在炒股中常见的一种挫败感，经常会觉得股票最终会“毫无进展”。有效市场理论家认为没有哪只股票的平均回报会是零。那谁还会来购买这只股票呢？在现实生活中，如果股票处于上升的趋势，股票和现金账户的分配状况会随之不同，如果股票达到足够高的平均回报，认为凯利最佳的交易者就会把所有的资金都投到这只股票中。这种状态下再进行重新调整就没有意义了。
申农的体系是现在固定比例资产组合再调整的一个例证。固定比例资产组合再调整是个非常重要的理念，马克·鲁宾斯坦和尤金·法玛都很显然，当时他们对申农未出版的观点一无所知。鲁宾斯坦提出，如果满足特定的假设条件，最佳投资组合一定是固定比例资产组合的再调整。这也是为什么许多普通的投资者会对他们在股市中的财产、债券、现金等进行定期的再调整，这是很明智的。相对来说，这会提高你的风险调整回报率。当然，因此产生的佣金和资本所得税需要从你的利润中扣除。
最近几年来，斯坦福信息理论家托马斯·科弗在申农固定比例投资组合再调整的理论基础上又出色地推进了一步。科弗相信在扣掉了交易成本之后，新的运算法则仍然可以让这个理念带来利润。但是，申农讲演中很重要的一点与传统的观念相悖。传统的观念认为，股票价格的随机游走阻碍了人们获取高于市场的回报。如果这个特别的套利体系不实际，谁敢说其他的也不能成功？
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 争执(1)
哈特费尔德和麦考伊的世仇源于一只猪，而有关凯利标准的争执则是因为一个脚注。1959年的亨利·拉坦内是个默默无闻的中年人，刚刚从研究生院毕业。他同意在参与的论文中自己的名字可以只在脚注中被提及。
如萨维奇教授（在信中）给我指出的那样，G（几何平均数）的最大化不仅是与伯努利函数相关的最大期望效用，同时（如果允许使用特定的近似值）对所有的效用函数几乎都适用。
权威的说法对科学界并不一定就会产生影响。现实中，名望可以使理论卖出很好的价钱，就像卖运动鞋一样。不论怎么说，这些人的名气会让他们发表的观点及时得到关注，就像里奥纳多“吉米”萨维奇的观点一样。
“伯努利函数”指的是对数效用函数。根据拉坦内的报告，萨维奇认为几何平均数标准非常适合那些了解钱的对数值的投资者，而且对所有的其他人来说也是“大概有效”。因为如果使用几何平均数比其他的体系更有可能使你最终致富，你的对数效用的表现就并不重要了。看上去萨维奇似乎是这样说的。这个问题被搁置了10年。“我们的分析使我们能够排除一个谬论，”保罗·萨缪尔森在1969年这样写道：
这个谬论被从申农式的信息理论中借用到投资组合理论中，形成了这样一个观点。把J·B·威廉姆斯、约翰·克里，以及拉坦内等人的理论联系在一起，举事例说，如果一名投资者进行长期投资，正确的做法是追求几何平均数回报的最大化而不是算术平均数回报的最大化。我认为这个观点是不正确的……一开始假设的条件就是错误的……”
在自己做的脚注中，萨缪尔森就挑战了拉坦内做出的“有些神秘的”陈述，拉坦内表示借鉴了萨维奇的理论时说：“萨维奇教授最近告诉我他1969年的观点和1959年人们认为他所持的观点是不一样的。”
这个讨论出现在萨缪尔森《使用动态随机设计进行长期投资组合选择》文章的最后部分。这篇被广泛引用的文章一定有不小的读者群，超过威廉姆斯、凯利和拉坦内的读者总数。萨缪尔森写道，他文章中推理的线索“提供了一个有力的反证”来驳斥凯利标准，“如果我们确实需要一个反证来辩驳一个毫无道理的观点”。
这一措辞犀利的注释引发了激烈的争论。凯利公式是富人的科学答案，还是一个需要被揭穿的都市传奇？
交战的双方并不是势均力敌。萨缪尔森的地位是别人无法相提并论的。他是一个很善于辩论的人，相比关于“申农等人的信息理论”的争论，他以参与一些更大的争论而著名。
站在萨缪尔森旁边的还有他麻省理工的学术圈，最著名的是罗伯特·C·默顿。他们对凯利标准的不同看法一定会被人们认真地去对待，人们也确实这样做了。学术界和华尔街的专业人士都对此予以了关注。
克劳德·申农并没有参与到这场争论中。到了1969年，麻省理工大学关于金融界非正式的讨论会结束了，申农也不再能定期看到萨缪尔森了。而且看上去直到1985年，申农才知道萨缪尔森在1969年曾经有过那样的评论，那还是托马斯·科弗碰巧提到时他才知道的。申农当时很震惊，他说他和萨缪尔森是朋友，他们在许多问题上都保持观点一致，他不记得萨缪尔森曾经驳斥过凯利的观点。
支持几何平均数观点的阵营包括经济学家拉坦内和尼尔森·哈坎森以及一些数学家、统计学家和信息理论家。经济学家一般对非经济学家的观点不太注意。一位在经济学界很有名望的人，马克·鲁宾斯坦1975年发表了一篇加州大学伯克利分校的学术论文，标题很长，《普通对数效用模型在金融市场作为首要模型的典型例证》。但是后来鲁宾斯坦放弃了这一立场。除了哈里·马科维兹，在支持凯利理论的阵营中，其他人的影响力远远不能和萨缪尔森相匹敌。
萨缪尔森在描述凯利标准时，最喜欢用“谬误”这个词。从这一点来看，似乎他在推理中发现了一个不太引人注目但却是致命的错误。但事实并非如此，在1971年的一篇文章中，萨缪尔森勉强承认凯利标准是有效的：
“如果时间足够长，和其他的规则相比，运用法则追求最大几何平均数的每一个步骤都会几乎必然地得到更多的最终财富和更大的最终效用。这一清楚的事实显然在试图说明下文中所谓错误的推论是有一定道理的。错误的推论是：追求几何平均数的最大化会使我们得到更好的结果，而且结果的期望值效用超过任何其他的规则（从长远来看）。”
我有一种预感，很多读者的眼睛现在在放光。看看下面这句话：因为和其他的资金管理体系相比，凯利标准会给你带来最多的财富。对于任何一名想致富的人来说，凯利体系是合理的渠道。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 争执(2)
萨缪尔森准确地感觉到这个错误推论中的不足之处会被大多数普通人忽略。那些以管理资金为生的人尤其会感到迷惑不解，不明白为什么有人质疑赢得最高复合回报有什么好处。BF·亨特最近（2000年）在一篇文章中谈到了萨缪尔森的立场，“根据凯利的观点，追求最大投资增长价值很显然是非常出色的战略，这一观点也许在投资领域会引起更多的共鸣。”
还要注意的一个事实是凯利体系规避了全面毁灭，可能在大众看来，用一个简单的公式就可以找到金融世界的天堂。萨缪尔森驳斥了这个结论。他的观点敏锐之处在于凯利赌徒一直在买进卖出，从而最后能够收获彩虹尽头那满罐的金币。但是如果大家真的能够搞清楚这些利弊的话，有些人可能就不会这样做了。
凯利标准是很贪婪的，总是在冒风险以便收获更多的财富。这会带来迷人的最高回报率。但是资本增长并不能代表一切。
那些对于汽车性能狂热分子来说，唯一关心的问题可能是0到60英里的加速时间。如果这是唯一确定一辆汽车优于另外一辆汽车的标准，我们都开兰博基尼车好了。在现实的世界里，还有许多其他的因素是我们要考虑的。许多成熟一点的人会选择更加理性的丰田汽车。
对于一些人来说，凯利体系可能过于保守。长期表现和破产零风险听起来就像是绕口令，互相交织在一起。凯利赌徒会避开任何最微小的可能会导致你一无所有的风险。因为从长远来看，任何看上去不太可能的危急状态都必须被绕过去。凯利标准，用尼尔斯·哈坎森的话说，已经有了一个“自动建立在空气密封状态下的生存动机”。
但这个吸引人的特点也是有成本的。从短期来看，凯利体系如果不放松这个标准，回报率仍然会偏低。而现有的真正赌徒毫无风险意识或对长期的概念毫无兴趣，他们可能会选择追求期望值的最大化（算术期望值）。虽然有风险，但是风水轮流转，这名赌徒可能会得到比凯利体系更高的回报。
另外一个用汽车打比方的观点来自于资金经理贾洛德·威尔科克斯，那就是我们用否认开车有危险的方式。你可能会说开车是下积极的“赌注”，你不选择其他的交通方式，而用自己的生命下赌注，赌自己不会死于交通事故，目的只是为了享受这种舒适和方便。美国街道和高速公路上的死亡人数相当于人们每驾车6000年就会出现一次致命的重大交通事故。
与凯利理论相一致的哲学家会觉得这个理论难以接受。这样，你不得不放弃驾车的舒适，因为想要好好地活下去。但是没有人会这么考虑问题。正如凯恩斯所说的，从长远来看，我们总有一天会死亡。我们愿意承担一些不大可能在我们有生之年伤害到我们的风险。
简而言之，用凯利标准，你可能会拿需要的资金去冒险，获取可有可无的利润；用凯利标准，也许你会牺牲掉一些利益，而只是为了确保你认为不必要的安全。对于那些想要体验利润和损失带来的极端感觉的人来说，凯利标准并不合适。
凯利标准的承诺让我们想起那些关于淘气精灵的故事，他们永远不会像你盼望的那样去满足你的愿望。在你期待最高的长期回报和最终破产零风险的时候，萨缪尔森说过，你最好确定这就是你想要的，因为你可以得到。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 弹球机(1)
20世纪70年代，萨缪尔森和默顿在很多杂志上都发表了一些方程式来论证追求最大几何平均数的策略是一种执迷不悟的做法。他们用自己的精准和博学反复去影响很多投资组合经理人、金融分析师和投资者，担心他们会被凯利的“谬误”所误导。
要理解萨缪尔森和默顿理论的要点并不困难，我可以用下面的图示来说明。
凯利标准在这里就像这个弹球机。美元数目表示你对每次投出硬币所下的赌注额。如果正面朝上，你可以获得6倍的赌注额，如果反面朝上，你就失败了。
赌徒在这里的优势是庞大的200%。因为你下的每1美元的赌注，都有50%的可能赢得6美元，也就是3美元。平均利润为每1美元获得2美元奖金，或者说是原有赌注的200%。这个赌注获利的可能性是5：1。也就是说，按照凯利标准，这个赌注的优势比率是2/5，即你赌资的40%。
一旦你开始下注赌博了，会有什么情况发生？
这个图表展示了前面4个硬币扔出后的每一种可能性。你开始的资金为100美元。你拍出40%的资金，按照凯利赌注扔出了硬币。
100美元的下方有两条斜线，预示第一次硬币扔出后可能出现的两个结果。也许你失去了40美元的赌注（还剩60美元），也许你赢回了6倍的赌资（加上你那没有下注的60美元，你现在的总资金可以达到300美元。）
第二次投出硬币前，你必须调整你的赌注，使其仍然保持目前赌资的40%。第一次投出的两个结果又会分别引出两个结果。注意斜线有交叉也有分离。第二次投出硬币后，你可能会通过两个结果都得到180美元。
不断膨胀的各种可能性就像阐释量子论中每一个把世界分割成平行空间的机遇时间一样难以计数。等到第4次投出硬币的时候，这里会有16个不同的平行空间，对应每一次扔出正面朝上和反面朝上的结果。图中的显示结果很像是一个弹球机。每一个球都代表从顶端到末端经历了“Z”字路线的16种结果。
底端的钱数是4次扔出钱币之后的最终财产状况。最右边代表的是最幸运的情况，你4次都赢得了赌注，你最后共拥有资产8100美元。
这是一种最理想的状态。通常情况下，硬币正面朝上和反面朝上的可能性都会有。虚线展示的状态是你得到反面朝上，正面朝上，反面朝上，反面朝上。这个球会和其他三个一样掉落到同一个槽里面，因为有四个不同的情况最终得到的都是这个结果，最后所得为64.80美元。
当然也有其他的4种平行空间，最终有三次正面朝上一次反面朝上，最终所得1620美元。
得到两次正面朝上，两次反面朝上有6种不同的情况。这属于“运气一般”也是最常见的结果，通过4次下赌注，100美元变成了324美元。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 弹球机(2)
最糟的结果是四次都输了，如果这样，你剩下的资金就只有12.96美元了。
许多人觉得这些结果仍然不能回答某些问题。最理想的情况和最糟的状态相差很大，最终的16种结果中有5种可能会使你最终的资金少于你最初的资金数额，少于你所下的那四种非常理想的赌注。
16种结果中，在一种情况下，你的最终资金要远远少于你最初的资金数额。凯利避免破产的保证似乎成了一句空话。不过，你也没有一文不名。在连下4次运气不好的赌注时，你有1/16的可能会输掉你87%的财产。
凯利体系引导财富的分配（在游戏中或在平行的空间内）的结果类似曼哈顿的状况。会有极端的贫富差距，中产阶级的人数比你的想象要少。
也许现在我们该回想一下精灵的承诺。在16种可能会出现的结果里面，几何平均数是324美元。没有任何一种其他的基金管理体系能像凯利体系这样带来如此高的几何平均数。
这很好。凯利标准的另外一个特点是其带来了最大化的中间财富。中间数是统计学上的一种方法，从小到大排列一些数字，选择正中间的数值，就是中间数。中间数在房地产中很常见，在曼哈顿这样的地方也是不可缺少的，因为那里的价格差异很大。
这里的中间财富也是324美元，与其他不同的体系相比，这种玩法使你得到的中间财富也是最高的。
凯利体系做不到的是“工程师运气”。在运用凯利体系的过程中，如果运气不好的话，你最后的资金有可能会低于中间财富。如果真的是这样，你的结局可能不如用其他的体系得到的结果好。
希腊字母E表示任意小的数量（非数学专业人士可能会使用iota来表示）。萨缪尔森在一篇文章的结尾中做出了这样的结论：“正如格特·鲁德斯坦永远都不会说E不等于零一样”。换句话说，凯利理论家们所犯的一个错误是他们忽略了失去很多资金的小（E）风险，认为这属于无风险。背着很好的降落伞跳下飞机，你几乎可以很肯定能够安全着陆，那么为什么大家没有都去参加这项令人激动的跳伞运动呢？答案在于人们对风险的承受能力是不同的。小概率的毁灭最终的结果也会是惊人的，虽然它不是零。艾丽丝可能很自然地拒绝跳伞，即便她知道出问题的概率“几乎是零”。
正是这个小概率的厄运使错误的推论有了错误。有一些少量的积极基金管理计划可以比凯利标准更好地控制厄运。当然，他们的平均复合回报率要低于凯利标准。
为了控制这个图表不要太大，我只选择了4个赌注的结果，那么从长远来看，结果会不会变得更好？
对和不对。中间数的结果随着时间呈指数增长，这一点很好。很多基金管理体系都会导致最终的毁灭，或者除了一两个最幸运的情况其他基金都完蛋了。也有一些其他的体系会避开这种最惨的局面，但是回报要低于凯利体系。随着时间的流逝，凯利体系优于其他对手，优于所有对手的事实越来越明显。
换个角度来说，从长远来看，事情并没有变得越来越理想。随着时间的流逝，事实中的贫富差距会进一步拉大。富人会更富，穷人会更穷。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 这是一个自由的国度(1)
和所有长期酝酿的家庭内部矛盾一样，关于凯利标准的争斗经常会转到一方认为另一方含沙射影地批判自己。尼尔森·哈坎森1971年的文章《资本组合选择的资本增长和均值方差分析》，在效用理论和均值方差分析的框架内，重现了凯利和拉坦内的思想。他使用的是几乎所有经济学家都通用的语言。
这篇文章有一个数学错误。在回应的文章中，默顿和萨缪尔森很正确地对这个错误大加抨击。麻省理工的作者们最终得出结论：“几何平均数战略再次被证明是错误的。”
可惜他们驳斥的实际上并不是几何平均数战略，而只是文章中出现的一个关于这个问题的错误。
萨维奇于1971年去世。虽然他不在了，但人们仍然在争论在脚注中他到底说没说过那样的观点。“考虑到资格问题，”拉坦内在1978年写道，“很难驳倒”萨维奇最初的评论，不管他后来对萨缪尔森到底是怎么说的。
萨缪尔森抨击拉坦内说他应该“放过死者”，并且“不要让他处于任何罪恶的阴影之下”，那就是曾经支持过几何平均数的罪恶。
“这一点很奇怪，”耶路撒冷希伯莱大学的特兹维·欧派尔在1978年曾经评论说，“已经彻底证实了一些观点的错误之后，这些观点还一直存在。就像用几何平均数规则来选择长期投资组合一样，虽然已经被像保罗·萨缪尔森这样的权威彻底推翻了。”
“在我看来，”拉坦内于1978年回应说，当时的他已经是北卡罗来纳大学有一定资历的经济学家了。
“无论是萨缪尔森、默顿，还是欧派尔都不能真正挑战用几何平均数进行长期投资组合选择的基本原理。如果他们或中间的某一个人愿意使用一个迥然不同的理论，而我会追随G标准。从长远来看，我肯定会比他们拥有更多的财富。这决不是什么错误的或是价值不高的假设。”
有没有人信任“错误的推论”？没有人出来说他们认为“错误的推论”事实上是正确的。（“我们心里认为推论是错的”，索普1971年回信给萨缪尔森的时候这样说过。）而一些支持凯利论的人认为效用可能是不相关的。例如，约翰·凯利曾经这样说过他的赛马下注体系：“这和他资金的价值功能没有任何关系。”
“我对G是否有用性的看法决不是取决于它的效用，”亨利·拉坦内说，“我从来都不认为G是效用尺度。”“我们对这篇论文中的效用理论不感兴趣，”斯坦福的托马斯科弗提到，“我们想要强调投资组合选择的客观特点。”
对于后效用的争论有两派观点。一派是实证主义者，他们认为效用这个概念没有必要存在，应该被摒弃。忘了效用，想一些你能够看到和碰到的东西，比如美元、欧元、日元、赌场筹码、火柴棍等等。在不同的基金管理计划中，可以对美元、欧元或其他货币的增长进行客观的比较。他们的增长就如同细菌培养皿中的细菌一样。凯利体系下的美元能够被保住，并且其升值速度要快于任何处于其他体系下的美元增长速度。这个实验可以被重复多次来彻底说服那些怀疑分子。这个时候可以提出问题：“你更愿意选择哪个体系来管理你的资金？”
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 这是一个自由的国度(2)
与其他经济学家相比，亨利·拉坦内在华尔街的工作经历使他变得更加实际。他明显地感觉到，在象牙塔以外，没有人关心效用函数。投资回报就是投资组合经理人的记分卡。根据记分卡的数字，投资者们要么都聚集在一位经理人那里，要么就都纷纷抛弃他。难道这不是一个有力的证据，证明人们对追求复合回报最大化非常感兴趣吗？
拉坦内指出在共同基金和养老基金中，“很难确认潜在的效用来明确地说出效用在什么时候出现了最大化”。基金经理人在为一个部队的人做饭，所以不可能根据每一个人的口味来放盐，或衡量他们所有人的风险。
索普管理的资金不仅来自富有的个人，还包括公司的养老基金和哈佛大学的捐赠资金。对于大多数的投资者来说，普林斯顿—新港只是他们众多投资中的一个，他们可以自己进行资产的调配。所以，索普必须为他们提供有吸引力的金融产品。毫无疑问，投资者主要是依据风险调整回报来判断基金的状况。
在1972年和1976年发表的文章当中，哈里·马科维兹更加坚定地指出了这一观点。他认为，应该由复合回报而不是最终财富状况来说明长期投资者的效用函数。假定你在两只共同基金之间进行选择，作为长期投资者，可能你也不太清楚自己的投资时间到底有多长，也不太清楚将来的收益到底怎么分配。你肯定会选择能够带来最高复合回报的基金。你不会计算我投资的这只基金若干年后资金会变成X美元，投资到那只基金若干年后资金是Y美元。你更不会考虑你到时候会用那些钱买什么，所以你希望最终结果是X美元而不是Y美元。在选择长期投资时，让我们作出决定的唯一合理标准就是复合回报。
默顿和萨缪尔森在1974年问，“那怎么看这个观点：应该分析平均回报期望值，因为这种分析对决策者有影响。他们可能碰巧对平均复合回报比较感兴趣。”经过思考，我们认为可以这样来回答这个问题：“这是个自由的国度。任何人都有权选择他想要的标准。但是，了解不同标准的分析师有责任帮助人们明确自己的目标，帮助他们去思考，知道自己到底想要什么。根据我们的经验，一旦大家明确了这些问题，很少会有决策者仍然对平均复合回报感兴趣。”
是不是有责任劝说人们放弃对平均复合回报的迷恋？类似的评论使凯利拥护者感到困惑，他们同样感到困惑的是，默顿和萨缪尔森声称他们已经成功地做到了这一点。索普报告说，当他把凯利标准介绍给投资者的时候，“很多人都会说‘嗯，听起来相当不错，我想用这个’。”
谈到“现实世界”，索普比其他人更有发言权。在文章《投资组合选择和凯利标准》中，他列举了一个例子，“一家私有机构投资者决定把全部资金都投到可兑换对冲基金，并且使用凯利标准来调配资金。”这名投资者，索普现在确认，其实就是他的可兑换对冲基金协会。从1969年11月到1973年12月，基金的累积利润达到102.9%，而当时道琼斯平均表现为-0.5%的亏损。
“市场有效论的支持者们，请解释，”索普写道。“我们当然认为，和那些选择了‘显著不同的’战略作为理想目标的大多数机构投资组合经理人相比，我们拥有更多的财富。”
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 追上凯利论者(1)
胡同的尽头有两幢几乎完全一样的房屋，里面住着非常相似的两家，收入几乎完全相同。琼斯家庭总是在物质世界中忙忙碌碌，他们有一系列的宏伟目标，例如明年夏天修一个新游泳池，租约到期时买一辆大越野车，送4岁的儿子将来去哈佛念书等等。他们会精确地计算实现目标需要多少成本，具体什么时候会需要这笔钱。他们会根据这些目标来为自己做最好的投资计划，有了投资计划，他们就很有可能在需要的时候获得他们想要的资金。
他们的邻居，凯利论者，对金融目标毫不在意。他们投资只是为了赚钱，特别是获得尽可能高的复合回报。在鸡尾酒会上，邻居们非常明智，不会让凯利论者有机会谈论复合回报问题，因为他们只关心这个。
随着时间流逝（也许我们要等很长一段时间），可以非常肯定凯利论者比他的邻居更为富有。随着一年年时间的积累，凯利论者和邻居的贫富差距会拉得越来越大。
看到隔壁的尖桩篱笆，琼斯一家会感到嫉妒。他们当然也愿意有更多的钱。然而，他们有理由从哲学的角度去考虑两家逐渐拉大的财富差距。“凯利论者有钱，”邻居会这么想：“可是我们有更重要的东西。”他们拥有的是效用。他们根据自己的实际目标来量身打造投资。
凯利论者觉得琼斯一家简直是疯了，谁能看到他们说的这种“效用”？凯利论者觉得目标可以是弹性的。重要的是尽可能地多赚钱，尽可能快地赚钱，然后再考虑这钱该怎么花。
谁的做法更合情合理？念念不忘效用的琼斯一家，还是只想着复合回报的凯利论者？
琼斯对财富基础上的效用函数了解很明确。他们从来也不怀疑金钱会给他们带来快乐。他们确切地知道X美元会给他们带来怎样的幸福，他们会优化自己的投资组合来配合这个目标。在多数经济学家的眼中，这就是理性的标志。
凯利论者更成功并不奇怪。为了实现资本增长，他们有更优化的投资组合。没有其他的，更加个性化的束缚会降低凯利论者的财富积累速度。也许唯一没有预料到的是琼斯一家对他们的嫉妒。即使是按照琼斯自己的标准，凯利论者日渐增多的财富也是更诱人的。
这就是凯利标准争执的症结所在。对于经济学家来说，就像呼吸一样，他们很自然地认定人们需要数学上极为精确的效用函数（关于财富的）。他们毫不犹豫就会得出这个的结论，因为他们需要效用函数来研究数学。这里面也有萨缪尔森很大的影响，他认为数学是经济学的主要内容。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 追上凯利论者(2)
现实中，人们对财富的感觉是不固定的，不一致的，很难用任何准确的数学函数（包括对数等）来确定。人们的喜好通常是根据需要产生的。在花大力气搞清楚之前，你通常并不知道你到底想要什么。对于民意测验的组织者和一些特定人群来说，这一点早就不是新闻了。人们只对某一些问题有深刻的认识，而对于其他的问题，你需要推动他们做出决策，很多决策都取决于你如何来解释这个问题。
多数人对钱唯一顽固不变的愿望是他们希望钱越多越好，赚得越快越好。询问一名投资者，问他能承受多大的风险，回答一般都是这样的，“噢，我不知道，我能承受多大的风险呢？”
这并不说明这名投资者是个傻瓜，而只能表示他比较开明。他最感兴趣的是如何能够确定在风险和回报之间他的选择是合理的。
这种认为效用没有什么实用价值的观点受到了多数经济学家的抵制。希伯莱大学的特兹维·欧派尔在一篇文章中做出了明确而尖锐的答复“接受拉坦内推理方式的人不仅要放弃期望效用，而且要放弃效用这个概念本身。”很显然，欧派尔觉得这简直就是一个人放弃了自己健全的心智一样。
行为金融学研究认为驱动人们的除了绝对的得与失还有嫉妒心。我们会和邻居对比我们的投资回报，也会和市场指数去比较。所谓“好”的回报是那些比较后结果不错的。在所有的基金管理战略当中，只有凯利的理论具有长期立于不败之地的优势。
有一个时机的问题。生命很短暂，但是股票市场是一场进度缓慢的游戏。在二十一点游戏中，每40秒就会翻倍或失去一切。而在股市中，资金翻倍通常要若干年，反之，失去一切也一样。没有哪个购买了股票之后持票观望的投资者能够活得足够长寿，而获得如此明确的自信。看见因为如果他们足够长寿，他们可以看到运用凯利体系会超过所有其他的投资者。所以凯利体系更适用于那些暂时性的交易者而不是典型的小规模投资者。
经济学家的主要精力不放在研究赌博体系上，萨缪尔森这样的理论学家也不太关注套利者的新奇做法。学术界对凯利体系的新观点最感兴趣的在于典型投资者的资金分配。你会把多少钱投到有风险回报高的股票上，多少钱投到像债券或储蓄这样风险低但回报也低的投资中？
凯利的回答是把所有的钱都投到股票中。事实上，有一些作者已经得出结论，指数基金投资者使用适当程度的杠杆是合理的。虽然股票市场有崩溃的危险，虽然许多单股最终变得毫无价值，但美国的股票指数从来没有到过零。
经济学家对这种看法的反应是：现实一点。如果购买股票然后持股观望，效用会起一定的作用。没什么投资者会希望自己的投资组合全部由股票构成，卖空的人更少。市场崩溃虽然不大可能，但一旦发生，会迅速减少人们一生的积蓄，即使是中年人恐怕也没有能力来找回所有的损失。对于股票投资者来说，“长期”并不像短期和中期那么重要。凯利体系也许可以避免全盘毁灭，但也不能够完全地保证安全。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 虽然行动的时间很充足
