非常奇怪，关于凯利论的争论在1979年达到了最高潮。诺贝尔奖获得者萨缪尔森用苏斯博士那种简单的语言重新提到了他对平均几何数策略的反对。他在给一本杂志写文章的时候，使用的全是单音节的词汇：“为什么我们没办法用平均数挣大钱，虽然行动的时间很充足”。这篇文章发表在《银行与金融学报》上，里面的文章通常由多音节的单词组成。
“我想他真正想说的是，”索普理论化了一下：“你们这些人太笨了，我还是用简单的单音节词汇来给你们解释一下吧。”
由于使用了这个小花招，萨缪尔森不能使用“几何”、“对数”，或“最大化”这样的词汇。他也不能再提伯努利、凯利、申农、拉坦内，甚至连格特鲁德·斯泰因的名字也不能提。
我希望赚更多的钱呢！最后，萨缪尔森很娴熟地得出了结论：“不需要再多说了。我已经把自己的观点说得很清楚了。而且，除了最后一个单词，我的文章使用的都是单音节词汇。”
在整场争论中，每一方都在反复思考是不是对手的智商还是性格有什么问题，才会让他们对自己的错误执迷不悟。萨缪尔森评论说大多数凯利标准的拥护者都没怎么学过经济学。这一点说得还是很有道理的。这些人大多数都是信息理论家、赌徒、数学家、资金经理人，他们不是傻瓜，但是他们也不具有博士水准的经济学知识。
至少一部分人由于受到萨缪尔森和默顿的影响，凯利标准如今在经济学家心目中的地位与托马斯·金凯德在艺术评论家眼中的地位很相似。只有那些不太“明白”的人才会对这个理论感兴趣。
另外一方在做心理分析。我听到过很多理论在谈论为什么萨缪尔森对几何平均数如此拼命地反对。其中一个观点是由于萨缪尔森的朋友——克劳德·申农，进行的关于股票市场的讲座中提到了凯利标准，所以引起了萨缪尔森的注意。（如果珍妮弗·洛佩兹声称说有一个解决全球变暖的方案，引起了大众的关注。那么毫无疑问地球科学家们会毫不犹豫地指出他们确实是在洛佩兹方案中发现了错误。）还有一种解释是“不应该这里发明的”。凯利标准是信息理论学家们的成果，而不是经济学家的，所以经济学家要大力捍卫自己的领地。
约翰·玛多克斯，《自然》的长期编辑，指出了一个令人啼笑皆非的法则，可能在某种程度上适用凯利之争的任何一派：“那些最应该了解作者作品的评论家却最容易忽视他的成就，而只是不停地进行一些琐碎的批评，尤其是那些打印稿的错误。”
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 所有的投机都是相似的
双方都同意凯利体系对于任何一个希望获得最大回报的投资者来说都是一种挑战。那么还有一种观点也是很显而易见的。
我们可以把这幅图看作是凯利标准的一个快照。这是在一次赌博机会中凯利赌徒的财富状况随着一系列赌注的变化而产生的变化。横坐标表示时间（或赌注），纵坐标表示财富。
你可能会问图上画的是什么游戏或投资，实际上这并不重要。凯利赌博的方式使所有的赌博和投资都可以互换。只要提供任何一种赌博或投资机会，凯利赌注就会将其转化为最佳资本增长的赌博或者投资。如果赌注风险过高，凯利赌徒只会用一部分资金来下注，从而降低风险。如果投资或交易没有损失一切的可能性，凯利赌徒也许就会使用杠杆来实现最大回报。
假定凯利赌徒能够尽可能多地合理下注，并在可行的时候使用杠杆调节，但是当下注同时，不能有变化，那么他的财富的状况可能就会和图示相仿，无论是哪种游戏或投资。我说的并不是峰值和低谷的确切轮廓那些，当然是由随机事件决定的。我指的是这些抖动的幅度与整体指数上扬的关系。图表可能会使你想起股票市场走势图。事实上，凯利赌徒的资金比道琼斯或标准普尔的历史状况都要动荡得多。
这座崎岖不平的山峰走向可能会让你的心脏承受巨大的考验。设想你在图表右端中间的山顶最高峰，也许那代表你达到１００万的高峰。而在这个特定的时候，也许你马上会损失掉大多数的财产。
凯利赌博中资产的波动遵守一个简单的规则。在无限的凯利赌博中，你的资金缩减到原来一半的可能性为1/2。
对于一个连续赌博的理想游戏来说，这是完全正确的。对于大多数不连续的赌博游戏如二十一点、赛马等等来说，这也是基本正确的。同样的规则适用于任何的1/n部分。资产变成原来1/3的可能性为1/3，变成原来1/100的可能性为1/100。
这里的好消息是资产变成零的可能性也为零。所以你永远都不会破产，你总会有东山再起的时候。
坏消息是不论你多么有钱，你也有面临巨大损失的风险。1/n规则适用于赌博的任何一个阶段。如果你的资金已经经营到了１００万美元，但这也相当于你的起始资金为１００万美元。未来的某个时刻，你仍然有损失掉一半财产的可能性。无论用什么方法来减少这种可能性，凯利赌徒或者投资者可能花了很多时间而只是使自己的财富变得比以前更少。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 不当地点的兜售(1)
试着在Google中输入“凯利公式”或“凯利标准”，你会发现迅速致富计划是最受欢迎的题目之一。网站自己也在辩论，许多参与辩论者都不清楚经济学家和信息理论学家们说过些什么。
“所有谨慎的赌徒都会使用近似凯利标准的体系，”一位约翰·梅先生声称，他的网页描述他是“世界上最令人生畏的赌徒之一”。一家英国足球博彩网这样写道：“一位来自美国的约翰·凯利（他很显然为美国电报电话公司的贝尔实验室工作过），决不是个傻瓜。”
但是，赌博圈子与凯利标准的关系可以被形象地描述为又爱又恨。网上一些反对凯利的诽谤使萨缪尔森的批评听起来平平淡淡。“下一次有人在不当地点进行兜售，建议你使用积累渐进的赌博计划，例如所谓的凯利标准，”《职业赌徒时事通讯》的出版商米勒，这样写道，“别忘了要求看一看他的数学硕士学位证书，最好是概率论方面的证书”。米勒认为“凯利标准应当被称作‘科沃凯亚标准’或者‘神风特工标准’，也就是自杀标准。”
在这里他指的当然是凯利赌博级数所致财富下跌的那种令人心碎时刻。米勒的古怪方法是一直下同样数目的赌注，无论发生什么样的变化。他在时事通讯的运动赌博中总下同样的赌注。他认为一年内就有可能使你的资金翻到原来的三倍。米勒还提到一位专业研究学者，在吸毒康复和精神健康中心工作的博士科学家奈杰尔·特纳大夫，“他认为如凯利体系中描述的那般不断继续赌博实际上表示这个人已经遇到了赌博所导致的精神问题。”
不少网站都在讨论投资中的凯利方法。一些人试图把凯利标准和普通的股票选择联系起来。这些网站通常会把凯利的数学简化成枯燥的说教，使别人无法反驳，例如“在你有优势的地方投资，把重心放到长期投资上”。凯利标准很吸引人的一个特点是最大回报和全盘毁灭零风险，但这是需要精确地计算成败的可能性的，这种精确度在普通的投资者中很难实现。
凯利的拥护者有一个常见的信念，那就是股神沃伦·巴菲特就是一个秘密运用凯利论的交易者。在认定有优势的一些小公司上投资，并且专注于长期投资。无论他是否听说过凯利，巴菲特的方法一定是“赌你的信念”。这个理论在资金经理人罗伯特·贺格斯特朗的《沃伦·巴菲特投资组合》一书中得到进一步发展。“我们没有证据表明巴菲特在调整贝克郡资金时使用了凯利模式，”贺格斯特朗很诚实的承认了这一点，“但是凯利概念是很合理的过程，在我看来，这个概念和巴菲特的想法不约而同。”
“我的感觉是许多运用凯利标准的谨慎赌徒或投资者通常都会觉得这种资金显著减少的频率出现过高，令人难以承受，”索普自己这样写道。赌博圈自己推出了一些方法来驯服凯利体系中令人生畏的动荡性。索普在普林斯顿—新港也使用了同样的方式。很难去夸张地描述这些方法的重要性。如果对冲基金资产值像凯利赌徒的资产动荡的那么厉害，市场交易也就不可能了。这里有两种方式来解决这个问题。
办法一是设定凯利赌注或购买股票数量的规模。和从前一样，你来确定哪一种投资或哪一种投资组合能够达到最大化几何平均数。然后设定赌注或者投资金额，当然是小于全部的凯利赌注，来减少风险。赌徒们常用的是“半凯利标准”即总是下一半的凯利赌注。
由于大大地降低了波动性，而回报只减少了1/4，这是一个非常诱人的折中办法。在赌博或投资中，完整凯利赌注的财富综合了10%个时间单位，而在半凯利赌注中，这个财富综合了每个时间单位的7.5%。
于是，那种痛心彻肺和咬牙切齿的感觉少了很多。我们可以看到完全凯利赌徒在资金翻倍之前有1/3的可能会使自己的资金减半，而半凯利赌徒在资金翻倍之前只有1/9的可能使自己的资金减半。
雷·狄林杰在网站上评论凯利标准是“清晰的分界线”，分开了“激进的投资”和“疯狂的投资”。这个方式可以很好地描述凯利体系避开全盘毁灭的优势。我们可以看看复合回报和赌资规模的图表。如下图所示。
横坐标划分的单位我们称其为凯利分割。1代表标准的凯利赌博，它本身是投机者财富的固定部分。0表示不下注，2表示所下赌注为凯利标准的两倍。复合回报曲线在凯利赌博中达到峰值。曲线的顶端有平行切线，所以你的赌资增加一点或减少一点并不会过多地影响到回报率。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 不当地点的兜售(2)
你的注下得越大，你的资金上下波动的幅度就越大。因此，如果你的投资在图表的右侧，动荡幅度就会增加。如果你的投资只是在图表的左侧，低于或等同于凯利标准，这就是激进的投资。而如果你的投资在凯利标准的右侧，这就是疯狂的投资。之所以说疯狂，是因为与凯利体系相比，不仅复合回报下降了，而且动荡性也增加了。
当你的份额达到了两倍的凯利赌注，复合回报就降到了零。如果再加大赌注，复合回报就会变成负值。随着赌徒资金大幅的波动，这个趋势是一直向下的。
因为激进总比疯狂要好，所以明智的做法是即便是最激进的人也应该接受小于1的凯利分割。在实际操作中，对于赌博成败的真正可能性我们总是无法确定。人类的天性会使我们在欲望的方向上存在越来越大的估计误差。
比尔·本特使用凯利分割方法赌马赚到了数百万美元，他认为即便是最好的计算机障碍模型也很容易将优势的概率扩大一倍。这说明一些想要下凯利赌注的人可能会无意识地下成凯利赌注的两倍，这样回报率就降到了零。而分割的凯利赌注不会牺牲太多的回报，即使出现错误，也不可能使赌徒成为疯狂的那一类。
大部分成功运用凯利标准的例子事实上并没有打算投凯利赌注那么大的资金，最终投资的数目是由不确定性和希望减少波动性的愿望所决定的。1997年在蒙特利尔讲演的时候，索普把自己的观点浓缩成了四句话。
（1）选择长期投资组合的个人或机构应当考虑使用凯利标准来逐渐实现财富复合增长率期望值的最大化。（2）不喜欢进行中期投资的人可以考虑使用较小的分割部分。（3）长期复合投资者也要避免使用较大的分割，就是所谓的避免“过度下注”。（4）因此，考虑到未来概率不确定的程度，长期组合投资者应当进一步限制他们的投资份额，从而避免过度下注带来的巨大风险。
对于评论家来说，凯利系统不过是个效用功能，是一种特殊的由贪婪和鲁莽构成的混合品。而对于索普和班德来说，凯利系统不仅仅是个范例，它是一种新型的确定风险和回报位置的地图。
另外一个驯服凯利体系的办法就是多样化。二十一点的游戏者有时候会将他们的资金聚拢起来。每一位游戏者从全部资金当中取一部分，然后自己玩。当一天的游戏结束时，他们重新把获得的利润（或亏损）聚拢起来，然后进行分配。这样游戏者的运气就被平均了，整个团体的获利更具持续性，亏损情况更少发生。
这个效果是非常重要的。就好像假定你能够同时在上百个完全相同的硬币中投注，每个硬币正面朝上的可能性有55%，你获胜的概率也就扩大了。
正如我们所看到的那样，在按顺次进行的赌博中每个硬币的凯利赌注是你现有资金的10%。而同时下注使其成为一个完整的新游戏。为了实现多样化，把你的现有资金平均分配到所有的硬币中，这就会大大减少严重亏损的风险。追求最大几何平均数的赌徒会用更多的现有资金份额来下注，提高复合回报率。
当100个硬币同时被抛出的时候，每个硬币的凯利赌注大约是现有资金的1/100。换句话说，凯利赌徒几乎把所有手上的资金都用在赌硬币的“组合”上。他没有输掉全部资金，因为所有手上的硬币都反面朝上的可能性几乎没有。我们可以用曲线图来描述这100次多样化赌博的指数增长情况，猛烈的上扬和下跌的锯齿状况非常罕见。
普林斯顿—新港的投资一般都是非常多样化的。价格不准确的证券非常有限。出于必要性的考虑，基金的资金供应被分配成许多同时进行的“赌博”。
多样化的方法对团体二十一点游戏参加者非常有效，因为一张桌子的运气和下一张桌子的运气没有什么联系。这个办法也很适用于普林斯顿—新港，因为不同赌博之间有联系的可能性也相对不大。根据安排，基金的对冲交易应该不会受整体市场波动的太大影响。索普同时还设计了一些办法，使交易“波动中性”。这样无论是平稳的市场还是不安的市场都不会太大地影响到他们的回报。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 不当地点的兜售(3)
不幸的是，普通的股票投资者也就只能把多样化做到这个程度了。他也应该能够通过购买指数基金或其他平衡较好的投资组合来规避一定的风险。但是这样的话，仍然存在相当的市场崩盘风险。他可以通过购买一些全球基金来化解一下，但这也有局限性。全球经济中的股票和股票市场之间都有一定的相关性，东京的股票大跌会负面地影响到纽约的股票。
因为这个原因，凯利方法对于普通的股票投资并没有太大的吸引力。任何把全部资金都投到股市上的人都要有资产大幅缩水的准备。对凯利投资策略进行批评的评论家们已经认真地衡量过这一事实。对于索普和他的对冲基金，这个事实基本上是不相干的。
1987年10月份的黑色星期一，股市大跌迎来了对普林斯顿—新港市场中立论的苛刻测试。一天的时间，道琼斯指数下跌了23%，这也是有史以来跌幅最大的一次。普林斯顿—新港6亿美元的投资组合只在这次市场崩盘中损失了200万美元。索普的计算机立刻提醒他，当人们惊慌失措地进行估算时，会有大量的机会涌现出来。在这种自由落体运动中，没有人会买进，所以要往外抛售是不可能的。虽然如此，索普当天和第二天从交易中赚得了200万美元的利润。1987年10月份结束的时候，普林斯顿—新港正好当月收支平衡，不赔不赚。而当时的大多数互惠基金都下跌了20%甚至更多。普林斯顿—新港当年的回报达到了令人乍舌的34%。
黑色星期一也是对市场有效论的一次严峻考验。很多人都不能理解为什么对市场价值的合理评价在一天之内就会改变了23%，而除了市场的突然崩溃以外似乎又没有任何其他的不利迹象。
黑色星期一，并没有使得多少经济学家摒弃市场有效论。“理性”和“高效市场”这样的术语适用相对灵活的范畴。我们可以说市场的行为是理性的。在市场崩盘的几周之前，已经有一些不利的经济新闻。也许，有人认为，这次的市场崩盘就是一个慢速反应的过程，就像是大家玩的随着音乐抢椅子的游戏，每一个投资者都“理性地”希望能在其他人之前一秒抛出自己的股票。通过这种方式，这次的大混乱可以被解释为高效市场的副作用。
黑色星期一是股票价格几何随机游走模型的一个有力的反证。这次崩盘远远超出了这种模型可以预计的范畴。
马克·鲁宾斯坦是组合保险的共同发明者，组合保险在这次股市大跌中起了重要作用。他预测市场一天跌29%（这是标准普尔这次崩盘的下跌结果）的可能性为1/100160。这相当于你在1的后面写了160个零。按照鲁宾斯坦的理论：
这种情况出现可能性微乎其微，即使股票市场延续200亿年，即目前预测的宇宙寿命，也不太可能会发生这样的情况。实际上，宇宙在大爆炸后会重生并延续200亿年，但即使经历200亿次宇宙大爆炸，这种大跌的情况也不会出现。
股市大跌不是什么新概念。1929年就曾经有过一次，虽然（按照鲁宾斯坦的建议）半个世纪后许多经济学家对这个问题的思考都不多。而罗伯特·默顿恰是其中一个注意到这个问题的人。
70年代，默顿在书中写道：“市场像跳蚤或蚂蚁一样在行动”。大多数的时候，股票的价格像蚂蚁爬行一样一会儿上一会儿下。但时不时地，价格也会来个跳蚤的跳跃。默顿推理说在进行定价选择时，应当考虑这些跳跃因素。这些跳跃的存在其实在暗示，当时流行的模式，包括Black-Scholes公式并不完全准确。
凯利系统和任何关于预测市场“预计”走向的模型都没有密切的联系，包括对数随机游走模型。追求最大几何平均数的处方适用于跳蚤式跳跃，也适用于任何可以准确描述的模型。而相反的是，平均变量分析无法处理跳蚤式跳跃，因为无法用马科维兹理论使用的两个数字来进行描述。
《财富公式》 第四章 圣彼得堡的赌注 《财富公式》 我的外国堂兄
1988年，由于心情不好，保罗·萨缪尔森给斯坦福大学的信息理论家托马斯科弗写了一封信。萨缪尔森寄去了一份科弗关于组合理论的文章进行的讨论。“如果我使用你的某些步骤，”萨缪尔森写道，“我不会让它影响到我的投资组合选择，而偏离出我的外国堂兄使用对数效用功能后做出的结论。”他斥责凯利、拉坦内、马科维兹，“以及那些整个6月份都一直在谈论泊松分布概率的博士们。”
收到大名鼎鼎的萨缪尔森的来信，科弗受宠若惊（虽然他的论文被撕成了碎片）。科弗起草了一份很有策略的回信，后来他们的通信持续了好几年。随兴而发的萨缪尔森渐渐写得出了格。他把凯利系统称为“彻底的骗局”。萨缪尔森告诉科弗。“忽略余数近似值的数学家应该被劈成两半，再分成四份，再……”
萨缪尔森在给科弗的最后一封信中全部使用了单音节词汇。“如果我喜欢用你的方式来猜测机遇，我不需要（也不会）用你的‘增长’材料。”他写道，“既然我们都已经去过一次，为什么还要来来回回地再走呢？”
