已说过，它在第一段时间从月球的平均行度减去.. 5°。令弧.. BAC=306°43′，这使月球平均行度增加.. 2°59′。因此，余量为弧.. AC=197°19′.. (40)，
减掉剩余的.. 2°1′.. (41)。因为AC大于半圆并且是应减去的，它必然包含高
拱点。这不可能为BA或.. CBA。这两个弧段中每一个都小于半圆并且是应增
加的，而最慢的运动出现在远地点附近。
在与它相对处取.. D为地球中心。连结 AD、DB、DEC、AB、AE和.. EB。关
于三角形.. DBE，已知外角.. CEB=53°17′=弧.. CB，这是从圆周减掉.. BAC后的
余量。在中心的角.. BDE=2°59′，但在圆周上=5°58′。因此剩下的角..
EBD=47°19′(42)[=53°17′-5°58′]。由此可知，若取三角形外接圆的
半径=10，000，则边.. BE=1042单位，而边.. DE=8024单位。同样可得角.. AEC=197°19′，因为它截出弧段AC。角.. ADC在中心=2°1′，但在圆周上=4°2′。
因此，取.. 360°=2直角时，在三角形.. ADE中剩余的角.. DAE=193°17′。于
是各边也可知。以三角形.. ADE的外接圆半径=10，000为单位，AE=702和
DE=19，865。但是以.. DE=8024和.. EB=1042为单位，则.. AE=283
半径=10，000，则边.. BE=1042单位，而边.. DE=8024单位。同样可得角.. AEC=197°19′，因为它截出弧段AC。角.. ADC在中心=2°1′，但在圆周上=4°2′。
因此，取.. 360°=2直角时，在三角形.. ADE中剩余的角.. DAE=193°17′。于
是各边也可知。以三角形.. ADE的外接圆半径=10，000为单位，AE=702和
DE=19，865。但是以.. DE=8024和.. EB=1042为单位，则.. AE=283 。
图.. 4—6
于是又一次在三角形.. ABE中.. AE与.. EB两边已知，并在取.. 360°=2直角
时，已知整个角AEB=250°36′。于是，根据平面三角定理，若取EB=1042，
则.. AB=1227单位。因此可以求得.. AB、EB及.. ED这三个线段的比值。以本轮
半径=10，000为单位，并已知弧AB所对弦长为.. 16，323，则由上述比值可
知.. ED=106，751和.. EB=13，853。于是还可得弧.. EB=87°41′。把它与.. BC[=53°17′]相加，则得整个.. EBC=140°58′。它所对的弦.. CE=18，851单位，
而整个.. CED=125，602单位[=ED+CE=106，751+18，851]。
现在考虑本轮中心。因为EAC大于半圆，本轮中心应当落到该弧段内。
令中心为.. F。I为低拱点，G为高拱点，通过这两个拱点作直线.. DIFG。显然
又一次得到，矩形.. CD×DE=矩形.. GD×DI。但是矩形 GD×DI+（FI）.. 2=（DF）..
2。因此，取.. FG=10，000，则可得.. DIF的长度=116，226单位。于是，以
DF=100，000为单位，则.. FG=8，604单位.. (44)。这与我所查到的自托勒密以
来在我之前的大多数其他天文学家(45)所报告的结果相符。
从中心.. F作.. FL垂直于.. EC，使之延长为直线.. FLM，并等分.. CE于.. L点。
直线.. ED=106，751单位。CE之半=LE=9，426单位。取.. FG=10，000和.. DF=116，226，则总和.. DEL=116，177单位。因此在三角形.. DFL中，DF及.. DL两边已
知。还已知角.. DFL=88°21′，于是得剩余角.. FDL=1°39′。同样已知弧
IEM=88°21′。.. MC=1/2EBC[=140°58′]=70°29′。整个IMC=158°50′[=88
°21′+70°29′]。半圆的剩余部份=GC=21°10′[=180°-158°50′]。
图.. 4—7
这是在第三次月食时月球与本轮远地点的距离，或近点角的数量。对
第二次月食，GCB=74°27′[=GC+CB=21°10′+53°17′]。对第一次月食，
整个弧.. GBA=183°51′[=GB+BA=74°27′+109°24′（=360°-250°36′）]。进而言之，在第三次月食时中心角.. IDE=1°39′，此为相减行差。
在第二次月食时，角.. IDB也是一个相减行差，它整个=4°38′，所含GDC=1°39′和.. CDB=2°59′。因此，从整个角ADB=5°减掉.. IDB，余量为ADI=22′，它在第一次月食时加到均匀行度中去。于是在那次月食时，月球的均
匀位置是在白羊宫中.. 22°3′，但它的视位置为.. 22°25′。当时太阳在天
秤宫（即相对的黄道宫）内，而度数相同。依此还可求得，在第二次月食
时月球的平位置是在双鱼宫中.. 26°50′，而第三次月食时在双鱼宫内.. 13°。月球的平行度可与地球的年行度(46)区分开。在第一、二、三次月食时，
月球的平行度各为.. 177°51′、182°51′和.. 179°58′.. (47)
图.. 4—7
第六章关于月球黄经和近点角均匀行度之论述的验证
第六章关于月球黄经和近点角均匀行度之论述的验证
为
182°47′，而近点角为
64°38′。在我们所观测的后一组月食中，
在第二次月食时月球离开太阳的行度为
182°51′，而近点角为
74°27′。明显可知，中间这段时期共有
17，166整月加上大约
4分钟，而在消
除整周后近点角的行度为
9°49′[=74°27′-64°38′]。从哈德里安
19
年埃及历
4月
2日，在该月
3日前面的午夜之前
2小时，直至公元
1522
年
9月
5日上午
1∶20，共历
1388个埃及年
302日，加上视时间
3
1/3小时
(48)=均匀时
3h34m。在这段时期中，除
17，165个均匀月的完整运转外，喜
帕恰斯与托勒密认为还应有
359°38′。在另一方面，喜帕恰斯指出近点
角为
9°39′，而托勒密认为是
9°11′。他们两人都提出月球行度缺少
26′[=360°4′-359°38′]；与此同时，按托勒密的结果，近点角少了
38′[=9°49′-9°11′]，而按喜帕恰斯则少
10′[9°49′-9°39′]。
当这些差额已补上时，结果与上述计算相符。
第七章月球黄经和近点角的历元
第七章月球黄经和近点角的历元
(49)。按我的计算结果，在这段时间中月球的行度为.. 332°49
′(50)，而近点角行度为.. 217°32′.. (51)。从在月食时求得的相应数字分别
减去这两个数字，对月球与太阳的平距离来说余数为.. 209°58′，而对近
点角来说为 207°7′.. (52)。这些都属于基督纪元开始时.. 1月.. 1前的午夜。
在这个基督历元之前，共有.. 193个奥林匹克会期又.. 2年.. 194 1/2日=775
埃及年.. 12日加上.. 1/2日(53)，但准确时间为.. 12小时.. 11分钟。与此相似，从
亚历山大大帝之死到基督诞生，共计有.. 323埃及年.. 130日外加视时间.. 1/2
日(54)，但准确时间为.. 12小时.. 16分钟。由凯撒到基督有.. 45埃及年和日.. (55)，
而对这段时间的均匀时与视时的计算结果相符。
与这些时间间隔相应的行度，可按各自的类型从公元纪年的位置中减
去。对第一届奥林匹克会期祭月.. 1日正午，我们求得月亮与太阳的平均距
离为.. 39°48′，而近点角为46°20′；对亚历山大纪元1月.. 1日中午，月
球与太阳的距离为.. 310°44′，近点角为.. 85°41′；对尤里乌斯·凯撒纪
元，在.. 1月.. 1日前的午夜，月亮离太阳的距离为.. 350°39′，而近点角为
17°58′。所有这些数值都已归化到克拉科夫的经度线。我的观测主要都
是在吉诺波里斯（现在一般称为佛罗蒙波克.. (56)进行的。该城位于维斯杜拉
（Vistula）河口。并在克拉科夫的经度线上。这是我从在该两地同时进行
的日月食观测了解到的(57)。马其顿的戴尔哈恰姆（Dyrrhachium）.. (58)[古
代称为埃皮丹纳斯（Epi-damnus）]也位于这一条经度线上。
第八章月球的第二种差以及第本轮与第二本轮的比值
第八章月球的第二种差以及第本轮与第二本轮的比值
达
7
2/3°。他们测定了半月最接近本轮平距离的时刻。由上面谈
到的计算容易了解，这出现在从地心所画切线附近。因为这时月亮与出或
没处相距约为黄道
90°，他们避免了由视差可能产生的黄经行度误差。在
这个时候，通过地平圈的天顶的圆与黄道正交，不会引起黄经变化，但变
化完全出现在黄纬上。因此他们使用一种称为星盘的仪器，来测定月球与
太阳的距离。在进行比较之后，发现月亮偏离平均行度的变化为我所说过
的
7
2/3°，而不是
5°。
图
4—8
现在以
C为心画本轮
AB。从地心
D画直线
DBCA。令本轮的远地点为
A，
而近在点为
B。画本轮的切线
DE，并连结
CE。在切线上行差最大。在这种
情况下令它为
7°40′=角
BDE。出现在圆
AB的切点处的
CED为直角。因此，
取半径
CD=10，000时，CE为
1334单位
(59)。但在朔望时，这个距离要小
得多，约为
861个相同单位。把
CE分开，令
CF=860单位。F绕同一中心
C
描出新月和满月所在的圆圈。因此余量
FE=474单位[=1344-860]为第二本
轮的直径。等分
FE于中点
G。整个线段
CFG=1097单位[=CF+FG]为第二本
轮中心所描出的圆的直径。于是以
CD=10，000为单位，比值
CG：GE=1097∶
237。
第九章表现为月球离开第一本轮高拱
点的非均匀运动的剩余变化
图
4—9
上述论证还可使我们了解，月球在其第一本轮上如何不均匀地运动，
最大不等量出现在月亮为新月或凸月以及半月时。又一次令
AB为由第二木
轮中心的平均运动所描出的第一本轮。令第一本轮的中心为
C，其高拱点
为
A，而低拱点为
B。在圆周上取任意点
E，并连结
CE。令
CE：EF=1097：
237。以
E为心，EF为半径，作第二本轮。在两边画与它相切的直线
CL与
CM。令小本轮由
A向
E运动，即是在第一本轮的上半部向西移动。令月球
从
F向
L，也是朝西面动。AE运动是均匀的，第二本轮通过
FL的运动显然
使均匀运动增加了弧段
FL
(60)，而当它通过
MF时从它减去这一段。在三角
形
CEL中，L为直角。在
CE=1097时，EL=237单位
(61)。以
CE=10，000为
单位，则
EL=2160。因
ECL与
ECM两三角形相似并相等，EL所对的角
ECL
按表=12°28′
(62)=角
MCF。这是月球偏离第一本轮高拱点的最大差。这出
现在月球平行度偏离地球平行度线两边各
38°46′的时候。因此，当月亮
与太阳的平距离为
38°46′并且月亮是在平冲任一边同样距离处时，十分
明显会发生这些最大的行差。
第十章如何从给定的均匀行度推求月球的视行度
第十章如何从给定的均匀行度推求月球的视行度
在亚历山大死后第
197年埃及历
10月
17日白昼
9
1/3时(63)，喜帕恰斯
于罗德岛用一个星盘观测太阳和月亮，测出它们相距
48
1/10°(64)，月亮是
在太阳之后。他想到太阳的位置是在巨蟹宫内
10
9/10°，因此月亮位于狮子
宫里
29°。当时天蝎宫中
29°刚好升起，而对罗德岛来说室女宫内
10°
正在中天，在该地看北天极的高度为
36°[托勒密，《大成》，Ⅱ，2]。
从这一情况明显可知，位于黄道上距地平约
90°的月球
(65)，当时在经度
上没有视差，至少可认为视差无法察觉。这次观测是在
17日下午，于
3
1/3
时(66)=罗德岛的
4均匀小时进行的。因为罗德岛离我们比亚历山大城近
1/6
小时(67)，这在克拉科夫应为
3
1/6均匀小时。自亚历山大逝世共有
196年
286
日(68)加上
3
1/6简单小时，但约为
3
1/3相等小时。这时太阳在其平均行度中
到达巨蟹宫内
12°3′
(69)，但按其视行度为在巨蟹宫中
10°40′处。于是
显然可知，月亮实际上是在狮子宫内
28°37′。按我的计算结果，当时月
球在周月运转中的均匀行度为
45°5′
(70)，而离高拱点的近点角为
333°。
图
4—10
在心目中有这一例子，我们以
C为心画第一本轮
AB。把它的直径
ACB
延长为直线
ABD，直至地球中心在本轮上取弧段
ABE=333°。连结
CE，并
在
F点把它分开。取
EC=1097，于是
EF=237单位。以
E为心，EF为半径，
作本轮上的小本轮
FG。令月球位于
G点，而弧
FG=90°10′=离开太阳均匀
行度的两倍=45°5′
(71)。连结
CG、EG及
DG。在三角形
CEG中，两边已知，
即
CE=1097和
EG=EF=237，而角
GEC=90°10′。于是，按平面三角定理，
可知剩余边
CG=1123个相同单位，此外还可求得角
ECG=12°11′。由此还
可得出弧
EI以及近点角的相加行差，于是整个
ABEI=345°11′
[ABE+EI=333°+12°11′]。剩余的角
GCA=14°49′[=360°-345°11′]=
月球与本轮
AB的高拱点之间的真距离，于是角
BCG=165°11′[=180°-14°49′]。在三角形
GDC中也有两边已知，即取
CD=10，000时
GC=1123单
位，还已知角
GCD=165°11′。从它们也可求得角
CDG=1°29′以及与月球
平均行度相加的行差。结果是月球离太阳平均行度的真距离=46°34′[=45°5′+1°29′]，此外月球的视位置是在狮子宫内
28°37′处，与太阳的
真位置相差
47°57′
(72)，这比喜帕恰斯观测结果少了
9′[=48°6′-47°57′]。
可是，谁也不要由于这个缘故而猜想要不是他的研究就是我的计算有
错。虽然有小的差异，然而我将证明无论他还是我都没有犯错误，真实情
况就是如此。我们应当记住，月球运转的圆周是倾斜的。接着我们应当承
认，它在黄道上，特别是在南、北两个极限以及两个交点的中点附近，产
生某种黄经的不等量。这种情况非常像我在谈自然日的非均匀性时[Ⅲ，
26]
所解释过的黄赤交角。托勒密断言月球轨道倾斜于黄道[《大成》，Ⅴ，5]。
如果我们把上述关系赋于月球轨道，就会出现在那些位置上这些关系在黄
道上引起
7′的经度差，在加倍时=14′。这可以是增加量或减少量，二者
情况相似。如果黄纬的北限或南限是在太阳与月亮的中点上，则它们相距
一个象限时，在黄道上所截出的弧段比月球轨道上的一个象限大
14′。与
此相反，在另一象限上交点是中点，通过黄道两极的圆圈截出比一个象限
少了相同数量的弧段。这就是目前的情况。月球是在南限和它与黄道的升
交点（当代人把这个交点称为“天龙之头”
(73)）之间的中点附近。太阳已
经通过另一个交点，即降交点（当代人称之为“天龙之尾”）
(74)。因此，
如果在倾斜圆圈上的
47°57′的月球距离对黄道来说至少增加了
7′，此
外临没的太阳也引起某种相减的视差，这是不足为奇的。在讲解视差时
[Ⅳ，16]，将对这些问题作更充分的讨论。喜帕恰斯用仪器测出的日、月
两发光体之间
48°6′的距离，就现在而言与我的计算结果十分接近，而
就过去来说是完全相符的。
第十一章月球行差或归一化的表格显示
图
4—11
关于月球行度的计算方法，我相信从下面的例子一般说来可以了解。
在三角形
CEG中，GE和
CE两边总是不变的。角
GEC经常变化，然而是已
知的。通过此角可以求得剩余的边
GC以及角
ECG。ECG是使近点角归一化
的行差。其次，当三角形
CDG中的两边
DC与
CG以及角
DCE的数值均已定
出后，用同样方法可以求得在地心的角
D。此角为均匀行度与真行度之差。
为了使这一资料更便于查找，我在下面编了一个六栏的行度表。前两栏为
均轮的公共数，第三栏为由小本轮每月两次自转所产生的行差，它改变了
第一近点角的均匀性。然后让下一栏暂时空着，以后再填进数字，我要谈
到第五栏。这一栏载有在日和月平合与冲时第一本轮也是较大本轮的行
差。这些行差的最大值为
4°56′。倒数第二栏所载为在半月时出现的行
