46
24
5
17
30
15
44
54
11
54
23
5
26
5
30
44
1
24
55
12
7
36
51
5
26
5
43
57
47
3
56
12
20
50
36
44
27
5
57
11
32
43
57
12
34
4
22
24
28
6
10
25
18
22
58
12
47
18
8
3
29
6
23
39
4
1
59
13
31
53
43
6
36
52
49
41
60
13
13
45
39
22
第五章在朔望出现的月球第一种差的说明
第五章在朔望出现的月球第一种差的说明
组
3次的月食来研究这个差。我也将遵循他们为我们创立的这一方
法。我将采用托勒密所仔细观测的
3次月食。我把它们与另外
3次同样精
确观测的月食进行对比，以便检验上面论述的均匀运动是否正确。在研究
这些运动时，我将像古人那样，把太阳和月亮离开春分点的平均行度取为
均匀的。这是因为在这样短的时间内，甚至在
10年内，也察觉不出二分点
的不均匀岁差所引起的不规则性。
托勒密[《大成》，Ⅳ，6]所取的第一次月食发生在哈德里安（Hadrian）
皇帝执政第
17年埃及历
10月
20日结束之后。这是在公元
133年
5月
6
日=5月
7日的前一天。月食为全食。它的食甚时刻为亚历山大城的午夜之
前
3/4均匀小时。但是在佛罗蒙波克或克拉科夫，它应在
5月
7日前的午夜
之前的
1
3/4小时。太阳当时是在金牛宫内
13
1/4°，但按其平均行度应在金
牛宫内
12°21′。
托勒密说，第二次月食出现在哈德里安第
19年埃及历
4月
2日终了之
后。这是公元
134年
10月
20日。阴影区从北面开始扩展到月球直径的
5/4。
在亚历山大，食甚是在午夜前
1均匀小时；但在克拉科夫为
2小时。当时
太阳是在天秤宫内
25
1/6°，但按其平均行度是在该宫内
26°43′。
第三次月食发生在哈德里安
20年埃及历
8月
19日完结之后。这即为
公元
136
(16)年
3月
6日结束后。月亮的阴影又一次是在北边，达到直径一
半处。在亚历山大的食甚为在
3月
7日前午夜之后
4个均匀小时，但在克
拉科夫为
3小时。太阳那时在双鱼宫中
14°5′，可是按平均行度为双鱼
宫中
11°44′。
在第一次和第二次月食之间的那段时间，月亮显然移动了和太阳视行
度相同的距离，即
161°55′（我要说明，整周已经去掉）；而在第二与
第三次月食之间，为
138°55′
(17)。按视行度计算，第一段时间为
1年
166
日又
23
3/4均匀小时(18)，但改正后为
23
5/8小时。第二时段为
1年
137日加
上
5小时，但改为
5
1/2小时(19)。在第一时段中太阳和月亮的联合均匀行度，
在去掉整圈后为
169°37′
(20)，而月球近点角的行度为
110°21′
(21)。与
此相似，在第二时期内的太阳与月亮联合行度为
137°34′
(22)，而月球的
近点角行度是
81°36′
(23)。于是显然可知，在第一时段中本轮的
110°21′从月球平均行度减去
7°42′
(24)；而在第二时段，本轮的
81°36′给月
球平均行度加上
1°21′
(25)。
既然这一情况已经确定，画月球的本轮
ABC。在它上面令第一次月食
在
A，第二次在
B，而最后一次在
C。把月亮的行度也取在这一方向上，即
在本轮上部为向西。令弧
AB=110°21′。我已说过，它从月球在黄道上的
平均行度减去
7°42′。令
BC=81°36′，它给月球在黄道上的平均行度加
上
1°21′。圆周的其余部分
CA[360°-（110°21′+81°36′）]应为
168°3′，它使行差的余量
6°21′增大[1°21′+6°21′=7°42′]。因为
弧
BC和
CA是附加的，并且都比半圆短，本轮的高拱点不在这两段弧上。
它应在
AB上。
图
4—4
取
D为地球中心，本轮绕它均匀运转。从
D向月食点画直线
DA、DB
和
DC。速结
BC、BE与
CE。取
180°=2直角，则弧
AB在黄道上所对角为
7°42′，角
ADB应为
7°42′，但在
360°=2直角时为
15°24′[=2×7°
42′]。用同样的分度，在圆周上的角
AEB=110°21′，而它是三角形
BDE
的外角。于是可知角
EBD为
94°57′[=110°21′-15°24′]。当三角形
各角已知时，其边均可求得。取三角形外接圆的直径=200，000，则
DE=147，396单位，而
BE=26，798单位。此外，取
180°=2直角时，因弧
AEC在黄
道上所对角为
6°21′，角
EDC应为
6°21′，但在
360°=2直角时它为
12°42′。以这样的分度表示，角
AEC=191°57′[110°21′+81°36′]。
作为三角形
CDE的外角，从它减去角
D后，即得用同样分度表出的第三角
ECD=179°15′[191°57′-12°42′]。因此，在外接圆直径=200，000时，
可得边
DE与
CE各为
199，996和
22，120单位。但是以
DE=147，396和
BE=26，798的单位表示，则
CE=16，302。因此在三角形
BEC中，又一次有
BE与
EC两边已知，而角
E=81°36′=弧
BC。根据平面三角定理，还可求
得第三边
BC=17，960个相同单位。当本轮直径=200，000单位时，与
81°36′的弧相对的弦
BC为
130，684单位。至于呈已知比率的其他直线，
则有
ED=1，072，684和
CE=118，637（单位与前面相同），而弧
CE=72°
46′10″。但是按图形，弧
CEA=168°3′。因此余量
EA=95°16′50″[=168°3′-72°46′10″]，而它所对的弦=147，786单位。于是以相同单位表
示，整个直线
AED=1，220，470
(26)[=147，786+1，072，684]。但因弧段
EA小于半圆，本轮中心不在它里面，而在其余弧段
ABCE之内。
图
4—5
令本轮中心为
K。通过两个拱点画
DMKL。令
L为高拱点，而
M为低拱
点。按欧氏著作，Ⅲ，30，AD×DE所成矩形=LD×DM所成矩形。但
K为圆
的直径
LM的中点，而
DM为延长的直线。因此矩形
LD×DM+（KM）
2=（DK）
2(27)。于是在取
LK=100，000时，可得
DK的长度为
1，148，556。以
DKL=100，000的单位表示，LK应为
8706，此即本轮的半径。
在完成这些步骤之后，画
AD的垂线
KNO。直线
KD、DE和
EA的相互比
值都以
LK=100，000为单位表出。用同样单位，NE=
1/2（AE[=147，786]）
=73，893。因此整个直线
DEN=1，146，577[=DE+EN=1，072，684+73，893]。
但在三角形
DKN中，DK和
ND两边已知，而
N为直角，因此中心角
NKD=86
°381/2′=弧
MEO。半圆的其余弧段
LAO=93°21
1/2′[=180°-86°381/2′]从
LAO减去
AO=
1/2余量
LA=45°43′[=93
（AOE=95°16′50″]=47°38
1/2′′。
°211/2′-47°381/2′]。这是在第一次月食时月球的近点角，即它与本轮高
拱点的距离。但是整个
AB=110°21′。因此，余量
LB=第二次月食的近点
角=64°38′[=110°21′-45°43′]。在第三次月食出现处，整个弧
LBC=146°14′[=64°38′+81°36′]。取
360°=4直角，则角
DKN=86°
38′。从直角减掉此角，则余角显然为
KDN=3°22′[=90°-86°38′]。
这是在第一次月食中由近点角增加的行差。但是整个角
ADB=7°42′。因
此余量.. LDB=4°20′。这是在第二次月食时弧LB从月球均匀行度中减去的
量。角.. BDC=1°21′。因此余量.. CDM=2°59′..
此余量.. LDB=4°20′。这是在第二次月食时弧LB从月球均匀行度中减去的
量。角.. BDC=1°21′。因此余量.. CDM=2°59′.. ，即为在第三次月食时弧
LBC所减掉的行差。因此在第一次月食时月球的平位置（即中心.. K）为在天
蝎宫内.. 9°53′[=13°15′-3°22′]，这是由于它的视位置是在天蝎宫中
13°15′。我要说明，这与太阳在金牛宫里的位置刚好相对。用同样方法
可知，在第二次月食时月球的平位置为在白羊宫内.. 29 1/2°[=天秤宫.. 25 1/6
°+180°+4°20′]，而第三次月食时是在室女宫中.. 17°4′[=双鱼宫.. 14°5′+180°+2°59′]。在第一次月食时月球与太阳的均匀距离为.. 177°
33′，第二次为.. 182°47′，而最后一次为.. 185°20′.. (29)。以上所述为托
勒密的推算程序[《大成》，Ⅳ，6]。
现在让我仿效他的例子，研究第二组的三次月食。我和他一样，对这
里月食进行了很精细的观测。第一次发生在公元.. 1511年.. 10月.. 6日末尾。
月亮在午夜前.. 1 1/8均匀小时开始被掩食，而在午夜后.. 2 1/3小时复圆。于是食
甚是在.. 10月.. 7日前的午夜之后的.. 7/12小时(30)。这是一次月全食。当时太阳
是在天秤宫内.. 22°25′，但按其均匀行度为在天秤宫中.. 24°13′。
我于公元.. 1522年.. 9月.. 5日末观测第二次月食。这也是一次全食。它开
始于午夜前.. 2/5均匀小时(31)，但食甚是在.. 9月.. 6日前面的午夜之后.. 1 1/3小
时。太阳位于室女宫内.. 22 1/5°，但按其均匀行度是在室女宫中.. 23°59′
处。
第三次月食出现在公元.. 1523年.. 8月.. 25日末。它开始于午夜后.. 2 4/5小
时。这还是一次全食，食甚是在8月.. 26日之前午夜以后.. 4 5/12小时。当时太
阳在室女宫中.. 11°21′，但按平均行度为在室女宫内.. 13°2′处。
又一次出现这种情况，在第一次和第二次月食之间日月真位置移动的
距离显然为.. 329°47′.. (32)，而在第二、三次月食之间为.. 349°9′.. (33)。从
第一次到第二次月食的时间为.. 10均匀年.. 337日，按视时间再加.. 3/4小时..
(34)，但按改正均匀时间为.. 4/5小时。由第二次至第三次月食，共有.. 354日，
外加.. 3小时.. 5分钟.. (35)，但按均匀时应加.. 3小时.. 9分钟。在第一段时间中，
在去掉整圈之后的日月联合平均行度达.. 334°47′.. (36)，而月球近点角行度
为.. 250°36′.. (37)，从均匀行度中约须减去5°[334°47′-329°47′]。在
第二时段内，日月联合平均行度为.. 346°10′.. (38)，而月球近点角行度为.. 306
°43′(39)对平均行度应增加 2°59′[+346°10′=349°9′]。
现在令.. ABC为本轮。令.. A为在第一次月食食甚时月球的位置，B为在
第二次，C为在第三次的位置。可以认为本轮从.. C向.. B，又从.. B向.. A运转；
这即是说它的上半圈向西，而下半圈向东运动。令弧.. ACB=250°36′。我
