55
56
51
26
26
52
56
57
53
27
27
54
57
58
55
28
28
56
58
59
57
29
29
58
59
59
31
1
60
2
2
第七章二分点的平均岁差与视岁差的最大差值有多大？
第七章二分点的平均岁差与视岁差的最大差值有多大？
既然我已经力求阐明二分点岁差的均匀和平均行度，我应该问道它与
视行度之间的最大差值有多大。用这个最大差值，我就容易求得个别差值。
二倍非均匀角（即从提摩恰里斯到托勒密的.. 432年中的二分点非均匀角）
显然为.. 90°35′〔Ⅲ，6〕。但是岁差的平均行度为.. 6°.. (61)而视行度为 4°20′，二者之间的差值为.. 1°40′.. (62)。我已经确定慢行度(，) 的最后阶段和
加速过程的开始是在这一时段的中期。因此在该时期，平均行度应当与视
行度相合，而视分点与平均分点相合。于是在那个界限的两边，各有一半
和相等的距离，我指的是.. 45°17 1/2′。与此相似可得视分点与平均分点的
差值为 50′(63)。
[印刷本：
在上面已经阐明平均行度之后，我们现在应当问二分点的均匀行度与
视行度之间的最大差值有多大，或者问异常行度运转的小圆的直径有多
大。如果这已知，就容易定出这些行度之间的其他差值。前面已经指出〔Ⅲ，
2〕，从提摩恰里斯的第一次观测到托勒密于安东尼纳斯第二年的观测，共
历时.. 432年。在那段时期中平均行度为.. 6°，但是视行度为4°20′。它们
的差值是.. 1°40′。进而言之，二倍非均匀角的行度是 90°35′。此外，
在前面已经知道〔Ⅲ，6〕，在这一时段的中期或在其前后视行度达到最慢
的程度。在这一时段中它应当与平均行度相符，而真二分点和平均二分点
都应当是在大圆的相同交点上。因此，如果把行度和时间都分为两半，则
在每一边非均匀与均匀行度的差值应为.. 5/6°。这些差值在每一边都是在近
点角圆弧的.. 45°17 1/2′之内。
图.. 3—7
既然这些事情都已按上述方法确定下来(64)现在令.. ABC为黄道的一段
弧，DBE为平均赤道，并令.. B为视二分点（无论是(，) 白羊宫还是天平宫）的
平均交点。通过DBE的两极，画.. FB。在.. ABC的两边各取一段等于.. 5/6°的弧
BI和.. BK，于是整个.. IBK为.. 1°40′。此外，作与FB（延长到.. FBH）相交成
直角的两段视赤道弧.. IG与HK。虽然.. IG和.. HK的极点一般都是在.. BF圆之外，
我还是说成“直角”，这是因为倾角的行度本身会混淆，而这在假设中已
经谈到了〔Ⅲ，3〕。但由于距离很短，顶多不超过一个直角的.. 1/450（=12
′）。就感觉来说，我不妨把这些角度当作直角来处理，由此不会产生误
差。在三角形IBG中，已知角IBG为.. 66°20′。余角DBA为.. 23°40′，此
即平均的黄赤交角。BGI是直角。此外，角.. BIG几乎正好等于其内错角.. IBD。
已知边.. IB为.. 50′。因此平均赤道和视赤道的极点之间的距离.. BG等于.. 20′。与此相似，在三角形.. BHK中，BHK和.. HBK两角分别等于.. IGB和.. IBG ①两
角，而边BK等于边.. BI。BH也应等于.. BG的.. 20′.. (65)。可是这一切都与非常
小的，不超过黄道.. 1 1/2°的数量有关。对于这些数量，直线实际上等于它..
①原文为
IBG和
IGB。
们所对的圆弧，差额不过一秒的六十分之几。然而我满足于准到分，因此
如果我用直线代替圆弧，也不会出差错。GB和
BH正比于
IB和
BK，并且无
论对两极还是对两个交点处的行度来说，同样的比值都适用。
图
3—8
令
ABC为黄道的一部分。令
B为在它上面的一个分点。以此点为极，
画半圆
ADC，并与黄道相交于
A、C两点。从黄道极点作
DB线，它等分我
们所画的半圆于
D。可认为
D是减速的终点和加速的起点。在象限
AD中，
截取
45°17
1/2′的弧段
DE。通过
E点，从黄道极点作
EF，并令
BF为
50
′。从这些线段要求得整个
BFA。显然可知，两倍
BF与两倍的
DE弧段相
对。但是
BF的
7101单位与
APB的
10，000之比，等于
BF的
50′与
AFB
的
70′之比
(66)。因此可得
AB为
1°10′。这是二分点的平均行度与视行
度的最大差值。此即我们所求，也是从极点的最大偏离
28′应得出的结
果。在赤道的交点，这
28′与二分点非均匀角（我称之为“二倍非均匀角”，
以别于黄赤交角的“非均匀角”）的
70′相对应。
第八章这些行度之间的个别差值和表示这些差值的表
第八章这些行度之间的个别差值和表示这些差值的表
知
AB为
70′，这样的弧与其所对直线的长度似无差异。因此
要表示平均行度与视行度之间任何其他个别差值，都不难做到。这些差值
相减或相加，可以确定出现的次序。希腊人把这些差值称为“行差”
（prosthapharses），而现代人称之为“差”（equations）。我采用希腊
名词，因为它较为适宜。
设
ED为
3°，则按
AB与弦
BF之比可得行差
BF为
4′；对
6°，则为
7′；对
9°，则为
11′
(67)；等等。我相信，我们对黄赤交角的飘移也应
这样运算；而我已说过〔Ⅲ，5〕，从极大到极小所得数值为
24′。在一
个单独变异的半圆中，这
24′需要经历
1717年。在圆周的一个象限中，
这段历程的一半为
12′。取黄赤交角为
23°40′时，这个非均匀角的小圆
之极点将在该处。我已谈到过，用这种方法可得差值的其余部分几乎正好
与前面所谈的成正比，而这可从附表看出。
通过这些论证，可用各种不同的方式把视行度结合起来。然而最令人
满意的办法是把每个行差单独考虑。这样做的结果是使行度的计算比较容
易理解，并与前面已经论证的解释更为相符。于是我编制一个
60行的表，
每隔
3°为一行。这样编排不占大量篇幅，也不是太简略。对其他类似情
况，我也将采用这一办法。下面的表只有四栏。前两栏为两个半圆的度数。
我称这些度数为“公共数”，因为该数本身给出黄赤交角。而它的两倍可
给出二分点的行差，其起点可认为是加速的开始。第三栏为与每隔
3度相
应的二分点行差。应当把这些行差与平均行度相加，或从平均行度中减掉
这些行差，而我从位于春分点的白羊宫头部第一星开始计量平均行度。相
减的行差与较小半圆的近点角或第一栏有关，而相加行差与第二栏或下一
个半圆有关。最后，末尾一栏载有分数，称为“黄赤交角比例之间的差值”，
最大可达
60。我用
60来代替黄赤交角的极大值超过极小值的
24′。对于
其余的超过部分，我用相同的比值来调节其分数(68)。因此对非均匀角的起
点和终点我都取
60。但是当超过部份为
22′时（例如在近点角为
33°时），
我用
55来代替
22′
(69)。因此在非均匀角为
48°时，我对
20′取
50，其
余类推。附表采用这样的作法。
二分点行差与黄赤交角表二分点行差与黄赤交角表
二分点行差黄赤交
角比例
公共数二分点行差黄赤交
角比例
度度度分分数度度度分分数
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
81
84
87
90
357
354
351
348
345
342
339
336
333
330
327
324
321
318
315
312
309
306
303
300
297
294
291
288
285
282
279
276
273
270
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
7
11
14
18
21
25
28
32
35
38
41
44
47
49
52
54
56
59
1
2
4
5
7
8
9
9
10
10
10
60
60
60
59
59
59
58
57
56
56
55
54
53
52
51
50
49
48
46
45
44
42
41
39
38
36
35
33
32
30
93
96
99
102
105
