名称
20304050607080901987~
年代①年代年代年代年代年代年代年代②
1996年
大公司股票
6.98-1.259.1119.417.845.9017.607.6415.30
小公司股票
-1.517.2820.6319.0113.728.7512.468.0511.11
长期政府债券
1.574.603.590.261.146.6311.506.799.31
中期政府债券
1.493.911.701.113.416.1112.015.608.23
短期国库券
1.410.300.371.873.896.299.002.925.48
通货膨胀率
-0.40-2.045.362.222.527.365.101.993.68
①
1926~1929年。
②
1990~1996年。
资料来源：表
5-2中的数据。
28.将上表数据填入电子数据表，计算各类资产收益率和通胀率的序列相关系数，
以及和各类资产之间的相关系数。说明计算数据所揭示的内容。
29.将表中的10年期收益率转化为年收益率，重复第
28题中的计算和分析。
概念检验问题答案
1.a.第一项为
wD×wD×D2。因为这是矩阵角上的元素
D2，列上的项wD和行上的
项wD的乘积，用这种方法对协方差矩阵的每一项作运算，就得到：
wD2D2＋wDwECov(rE，rD)＋wEwDCov(rD，rE)＋wE
2E2
这与8-2式是等价的，因为Cov(rE，rD)＝Cov(rD，rE)。
b.协方差矩阵如下：
202第二部分资产组合理论
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wXwYwZ
wXX2Cov(rX，rY)Cov(rX，rZ)
wYCov(rY，rX)
Y2Cov(rY，rZ)
wZCov(rZ，rX)Cov(rZ，rY)Z2
协方差矩阵中有
9个元素，资产组合的方差由这
9项算得：
P2＝wX
2X2＋wY
2Y2＋wZ
2Z2＋wXwYCov(rX，rY)＋wYwXCov(rY，rX)
＋wXwYCov(rX，rZ)＋wZwXCov(rZ，rX)＋wYwZCov(rY，rZ)＋wZwYCov(rZ，rY)
＝wX2X2＋wY
2Y2＋wz
2z2＋2wXwYCov(rX，rY)＋2wXwZCov(rX，rZ)＋2wYwZCov(rY，rZ)
2.E(rD)＝8%，E(rE)＝13%，
＝12%，
＝20%，
(D，E)＝0.25
D
E
由标准差和相关系数得到协方差矩阵：
股票
DE
D14460
E60400
得到总体方差最小的资产组合为：
2-Cov(r,r)400-60
EDE
w===0.8019
D22
E-2Cov(rD,rE)(144+400)-(2′60)
wE=1-wD=0.1981
D+
于是得到期望收益和标准差为：
E(rP)＝(0.8019×8)＋(0.1981×13)＝8.99%
P＝[wD2D2＋wE
2E2＋2wDwECov(rD，rE)]1/2＝[(0.80192×144)＋(0.19812×400)＋(2×0.8019×0.1981×60)]1/2＝11.29%
对于其他的资产组合，我们将
wD从0.10增至0.90，相应的wE从0.90降至0.10。将这
些资产组合代入期望收益与标准差的计算中，注意在
wD或wE为1时，就代表单独持有
该股票，所得期望收益与标准差即为该股票自身的值。
于是我们得到下表：
wEwDE(r)
0.01.08.012.00
11.46
11.29
11.48
0.40.610.012.03
0.50.510.512.88
0.60.411.013.99
0.70.311.515.30
16.76
18.34
1.00.013.020.00
0.19810.80198.9911.29最小方差组合
这样就可以画出图形。
3.a.股票和风险债券基金的期望收益与方差计算与第
2题相似，在给出
a部分的图
解时要注意这些计算。另外，基金之间的协方差为：
Cov(rA，rB)＝
(A，B)×
A×
＝-0.2×20×60＝-240
B
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第8章最优风险资产组合
203
b.最优风险组合的权重如下：
(10-5)602-(30-5)(-240)
wA=
=0.6818
(10-5)602+(30-5)202-30(-240)
wB=1-wA=0.3182
收益期望值和标准差为：
E(rP)＝(0.6818×10)＋(0.3182×30)＝16.36%
＝[(0.68182×202)＋0.31822×602＋2×0.6818×0.3182(-240)]1/2＝21.13％
P
注意到，这里最优风险组合的标准差小于
A股票，同时，P资产组合并不是整体最
小方差资产组合，整体最小方差资产组合的权重为：
602-(-240)
wA=
=0.8571
602+202-2(-240)
wB=1-wA=0.1429
最小方差资产组合的标准差为：
(min)＝[0.85712×202＋0.14292×602＋2×0.8571×0.1429×(-240)]1/2
=17.57%
这个标准差小于最优风险资产组合的标准差。
c.资本配置线是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表了短期国库券与最
优风险资产组合之间的所有有效率组合，资本配置线的斜率为：
E(rP)-rf16.36-5
S===0.5376
P21.13
d.在给定的风险厌恶指数
A的条件下，投资者愿意投资到最优风险资产组合的比
例为：
E(rP)-rf16.36-5
y===0.5089
0.01′A
P
20.01′5′21.132
这意味着
A＝5的投资者愿意在这个最优风险资产组合中投入
50.89%的财产，由于
A、B两种股票在资产组合中的比例分别为
68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这
两种股票的比例为：
A股票：0.5089×68.18＝34.70%
B股票：0.5089×31.82＝16.19%
总额：
50.89%
4.有效率边界来源于资产管理者对各种投资收益的预测和对风险，即协方差矩阵
的估计。预测本身并不能决定产出，于是选择带有乐观估计的管理者就意味着碰上好
的形势时会得到更大的收益，而在情况恶劣时的损失也会更大。我们应该做的是准确
地回报风险的承担者，于是当投资者看到资产管理者做出的曲线（预测）时，所要做
的应该是得到其预测准确性的纪录，从而选择预测更为准确的。这样进行资产组合的
选择，从长远来看将会更加出色。
5.a.资本配置线上的资产组合是风险资产与无风险资产的组合。于是其准确性也
依赖于有效率边界的准确性。如果我们通过“酬报与波动性比率”的准确性来测度预
测的准确性，就会发现，资本配置线上的所有资产组合的准确性都是相同的。
b.资本配置线上的所有资产组合为
P1和购买无风险债券的组合，这样的风险资产
和无风险资产的组合导致了资产期望收益和标准差之间的线性关系：
E(rP)=rf+
E(rP1)-rf
P（5-b）
P1
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204第二部分资产组合理论
资本配置线(CAL2)上的资产组合也是一样，只需在（5-b式）中用E(rP2)、
P2取代
E(rP1)、
P1。而投资者希望得到
E(rP1)和E(rP2)之间的期望收益率，则需用恰当的比例确
定P1和P2之间的风险资产，从其有效边界得到相应的资产组合。
附录8A分散化的力量
在8-1节中引入了分散化的概念，但是，由于系统风险的原因，限制了进一步分
散化带来的更多的好处。运用我们已有的工具，我们可以更深层次地考察一下分散化，
同时加深对分散化力量的理解。
前面的8-10式给出资产组合方差的一般公式，有
P2=wiwjCov(ri,rj)(8A-1).(n).(n)
j=1i=1
现在首先考虑一个单纯的分散化策略，构建一个等权重的资产组合，每一证券有
一平均的权重：wi＝1/n。此时8A-1式可以改写为下式（我们把i＝j时的情况分别写出
)，
注意，Cov(ri，rj)＝
i2，
11n1
P2.
=
i2+..2Cov(ri,rj)(8A-2)
ni=1nnj=1j1ini=1n
8A-2式中包含n项方差和n(n-1)项协方差。
如果我们定义证券的平均方差和平均协方差为
21
2
=.(n)
i
n
i=1
1
Cov=.(n).(n)Cov(ri,rj)
n(n-1)
j=1i=1
j1i
我们可以将资产组合方差的表达式改写为
12n-1
P2=
+Cov(8A-3)
nn
现在考察一下分散化的影响。当证券收益之间的平均协方差为零时，这是因为此
时所有的风险都是公司特定风险，资产组合的方差可为零。我们从
8A-3式中可以看到：
在这样的情景下，右边第二项为零，而当
n足够大时，第一项趋近于零。因此，当证
券收益不相关时，资产组合分散化的力量对于限制资产组合的风险是无限的。
但是，最重要的经济领域的风险因素使得股票的收益是正相关的。在这种情况下，
尽管资产组合有更大程度的分散化（
n增大），资产组合的方差仍为正。尽管
8A-3式中
第一项表示的公司特定风险可以分散掉，但是，第二项在
n增大时，将趋近于平均协
方差[注意，(n-1)/n＝1-1/n，当n很大时，此式趋近于1]。因此，分散化的资产组合不
可降低的风险依赖于资产组合中各项资产收益的协方差，而它也是经济中重要的系统
因素的函数。
为了进一步考察系统风险与证券相关性的关系，假定所有证券有同样的标准差
，
而且所有证券间的相关系数为
，每对证券的协方差为
2，8A-3式变为：
12n-12
P2=
+
(8A-4)
nn
现在相关性的影响就非常清楚了，当
＝0时，我们再次得到了保险原则，资产组
合的方差在
n足够大时趋向于
0，当
＞0时，资产组合方差为正。实际上，当
＝1时，
资产组合的方差不管
n为多大都等于
2，这表明分散化没有好处。当资产组合中各项
资产的收益完全相关时，现有的风险都是系统风险。一般来说，当
n足够大时，
8A-4
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第8章最优风险资产组合
205
式显示系统风险为
2。
表8A-1中列出在证券数目增加，
＝0和
＝0.4两种情况下资产组合的标准差。表
中取
＝50%，正如人们所意料的，资产组合风险在
＝0.4时较大。更令人吃惊的是在
相关性为正的情况下，当
n增加时，资产组合的风险并不怎么减少，证券的相关性限
制分散化的威力。
表8A-1相关及非相关等权重资产组合的风险降低情况
