资产组合预期收益（%）标准差（%）
全部投资于贝斯特?凯迪股票
10.5018.90
一半投资于国库券
7.5759.45
一半投资于糖凯恩股票
8.254.83
数字本身便是有力的证明。将糖凯恩公司包括在内的资产组合显然比投资于国库
券降低风险的策略更具优势。它比一半买国库券的资产组合的预期收益率高且标准差
小。这主要想说明的是，尽管糖凯恩公司股票回报率的标准差很大，但它对于某些投
资者—在本例中即持有贝斯特?凯迪公司股票的人，却是一个风险降低器。
在测度资产组合中单一资产的风险时必须将其收益对整个资产组合可变性的影响
考虑在内。这个例子说明了对原风险有相反作用的资产是最有力的风险降低器。
概念检验
问题5：假设股票市场提供
20%的预期收益率和
15%的标准差。黄金的预期报酬率
为18%，标准差为
17%。考虑到市场的高预期回报率和较低的不稳定性，所有的人都
会选择持有包括黄金的资产组合吗？
我们引用协方差与相关性的概念来量化资产的套期保值或分散化。协方差
(covariance)测度的是两个风险资产收益的相互影响的方向与程度。正的协方差意味着
资产收益同向变动；负的协方差表明它们朝相反的方向变动，譬如，贝斯特?凯迪公
司股票与糖凯恩公司股票的关系就是同方向变动的。
要测度协方差，我们先来看看在每一情景中，“惊奇”或与预期收益有偏差的情
况。考虑在某一特定情景中，每种股票与预期收益的偏差的积，有
[r贝斯特?凯迪
-E(r贝斯特?凯迪)][r凯恩
-E(r凯恩)]
如果两种股票同方向运动，该积将为正。也就是说，两种股票的收益都超出预期
或达不到预期水平。另一方面，如果一只股票的收益超出预期而另一只股票达不到预
期，其积将为负。因此，收益一起有多大变动的一个好的测度是所有情景下的这个积
的预期值，因此，协方差的定义为：
Cov(r贝斯特?凯迪，r凯恩)＝
.Pr(s)[r贝斯特?凯迪
(s)-E(r贝斯特?凯迪
)][r凯恩(s)-E(r凯恩)](6-4)
s
在本例中，由于在下面的表中归纳出当
E(r贝斯特?凯迪
)＝10.5%，E(r凯恩)＝6%时每一情
景的收益，我们可以利用
6-4式来计算协方差。两种股票的协方差为：
Cov(r贝斯特?凯迪，r凯恩)＝0.5(25-10.5)(1-6)＋0.3(10-10.5)(-5-6)
＋0.2(-25-10.5)(35-6)＝-240.5
负的协方差证实了糖凯恩公司股票对贝斯特?凯迪公司股票具有的套期保值作
用。糖凯恩公司股票的收益与贝斯特?凯迪公司股票是呈反方向变动的。
糖生产的正常年份异常年份
股市的牛市股市的熊市糖的生产危机
概率
收益率（%）
贝斯特?凯迪股票
2510-25
糖凯恩股票
1-535
相关系数（correlationcoefficient）是比协方差更简便的计算方法。它把协方差的
140第二部分资产组合理论
下载
值放在
-1（完全负相关）和＋
1（完全正相关）之间。两个变量的相关系数等于它们
的协方差除以标准差。用希腊字母
代表相关系数，我们有
(贝斯特?凯迪，糖凯恩
)＝[Cov(r贝斯特?凯迪，r凯恩)]/(
贝斯特?凯迪
凯恩)
＝-240.5/(18.9×14.73)＝-0.86
较大的负相关系数（接近-1）表明贝斯特?凯迪公司股票与糖凯恩公司股票有很
强的朝相反方向变动的趋势。
资产收益的协方差对资产组合方向的影响在下面的资产组合方差公式中明显地表
现出来。
规则
5方差分别是
12和
22的两个风险资产以
w1和w2的权重构成一个资产组合，
该资产组合的方差
P2为：
P2＝w1212+w2222+2w1w2Cov(r1，r2)
在本例中，贝斯特?凯迪公司股票与糖凯恩公司股票的权重相等，
w1＝w2＝0.5，
＝18.9%，
＝14.73%，Cov(r贝斯特?凯迪，
r凯恩)＝-240.5，我们得到：
贝斯特?凯迪
凯恩
P2＝(0.52×18.92)+(0.52×14.732)+[2×0.5×0.5×(-240.5)]＝23.3
所以，
＝(23.3)1/2＝4.83%，这个结果与我们在前面的情景分析中得出的套期保
值资产组合的收益标准差是一样的。
规则5强调了协方差对资产组合风险的影响。正的协方差提高了资产组合的方差，
而负的协方差降低了资产组合的方差。这样说是有道理的，因为负相关的资产收益是
相抵的，它稳定了资产组合的收益。
从根本上说，套期保值就是购买与现有资产组合负相关的风险资产。这种负相关
使得套期保值资产的波动性具有降低风险的特性。在资产组合中加入无风险资产是一
种简单的风险降低策略，套期保值策略是取代这种策略的强有力方法。
在以后的各章中，我们会看到，在健全的市场中，套期保值资产提供相对较低的预
期报酬率。完全的套期保值—保险合约，与一个具体的风险具有完全的负相关。正如人
们在“无免费午餐”的世界中可以期待的那样，保险溢价降低了资产组合的预期收益率。
P
概念检验
问题6：假设糖凯恩公司股票的分布如下：
(单位：%)
股市的牛市股市的熊市糖的生产危机
7-520
a.它与贝斯特?凯迪公司股票的相关性怎么样？
b.目前糖凯恩公司股票是有用的套期保值资产吗？
c.计算每种情形下的资产组合的收益率及其标准差。然后用规则
5评估
。
P
d.两种计算标准差的方法是一致的吗？
小结
1.投机是为风险溢价而进行的风险投资。风险溢价要大到足以补偿风险厌恶型投
资者的投资风险。
2.公平游戏是风险溢价为零的冒险前景。风险厌恶型投资者不会参加这类活动。
3.投资者对预期收益与资产组合的波动性的偏好可以用效用函数来表示。效用函
数越大，预期回报越高；效用函数越小，资产组合方差越大。投资者的风险厌恶程度
越强，对风险妨碍就越大。我们可以用无差异曲线图来描述这些偏好。
4.确定等价值概括了风险厌恶型投资者对风险资产组合的需求。确定等价收益率
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第6章风险与风险厌恶
141
是一种可以确切得到的与风险组合有相同效用的值。
5.套期保值是购买一种风险资产以降低资产组合的风险。套期保值资产与原有资
产组合收益的负相关性使得套期保值资产的波动性具有降低风险的特性。当一种套期
保值资产与原有资产组合完全负相关时，它就是一种理想的套期保值工具，其作用相
当于资产组合的保险合约。
关键词
风险溢价风险爱好者预期收益
风险厌恶均方差标准方差
效用无差异曲线标准差
确定等价利率套期保值协方差
风险中性分散化相关系数
参考文献
关于风险与风险厌恶的著作参见：
Arrow,Kenneth.EssaysintheTheoryofRiskBearing.Amsterdam:NorthHolland,1971.
可以应用于商业方面的好的统计学教材有：
Levy,Haim;andMosheBen-Horim.Statistics:DecisionsandApplicationsin
BusinessandEconomics.NewYork:RandomHouse,1984.
Wonnacott,ThomasH.;andRonaldJ.Wonnacott.IntroductoryStatisticsfor
BusinessandEconomics.NewYork:Wiley,1984.
习题
1.考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70000美元或200000
美元，概率相等，均为
0.5；可供选择的无风险国库券投资年利率为
6%。
a.如果投资者要求8%的风险溢价，则投资者愿意支付多少钱去购买该资产组合？
b.假定投资者可以购买
(a)中的资产组合数量，该投资的期望收益率为多少？
c.假定现在投资者要求
12%的风险溢价，则投资者愿意支付的价格是多少？
d.比较(a)和(c)的答案，关于投资所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有
什么结论？
2.考虑一资产组合，其预期收益率为
12%，标准差为18%。国库券的无风险收益率
为7%。要使投资者与国库券相比更偏好风险资产组合，则最大的风险厌恶水平为多少？
3.在期望收益
-标准差图上，画出无差异曲线，相应的效用水平为
5%，风险厌恶
系数为3(提示：选择几个可能的标准差值，从
5%至25%，找出效用水平为
5%的预期收
益率。将得出的预期收益
-标准差点连接成线)。
4.画出无差异曲线，相应的效用水平为
4%，风险厌恶系数为
A＝4。比较第
3题与
第4题的答案，投资者可以得出什么结论？
5.画出风险中性投资者的无差异曲线，效用水平为
5%。
6.风险厌恶系数
A对风险偏好者而言会出现什么情况？画出他的效用水平为
5%的
无差异曲线。
根据下列数据回答第
7、8、9题。
效用公式数据
投资预期收益E(r)（%）标准差（%）
11230
21550
32116
42421
142第二部分资产组合理论
下载
U＝E(r)-0.005A2这里A＝4
7.根据上述效用公式，如果投资者的风险厌恶系数A＝4，投资者会选择哪种投资？
a.1b.2c.3d.4
8.根据上述效用公式，如果投资者是风险中性的，会选择那种投资？
a.1b.2c.3d.4
9.在效用公式中变量
(A)表示：
a.投资者的收益要求。
b.投资者对风险的厌恶。
c.资产组合的确定等价利率。
d.对每4单位风险有
1单位收益的偏好。
历史资料表明标准普尔
500指数资产组合的平均年收益率在过去
70年中大约比国
库券高
8.5%，标准普尔
500指数的标准差约为
20%/年。假定用这些数值表示投资者对
未来业绩的预期，当期国库券利率为
5%时，根据这些数据回答第
10至第12题。
10.计算按下列比重投资于国库券和标准普尔
500指数的资产组合的要求预期收益与方差。
W国库券
W指数
11.计算第10题中每一种资产组合对一个
A＝301.0
的投资者而言的效用水平。投资者可以得出什么
0.20.8
结论？
0.40.6
12.如果A＝5，重新计算第11题，投资者的结
0.6
0.8
0.4
0.2
论是什么？1.00
再次考虑教材中贝斯特?凯迪公司股票与糖
凯恩公司股票市场套期保值的例子，但是假定第
13至第15题中糖凯恩公司股票收益率
的概率分布如下所示：
名称股市的牛市股市的熊市糖的生产危机
概率
收益率(%)10-520
13.如果休曼埃克斯的资产组合一半是贝斯特?凯迪公司股票，另一半是糖凯恩
公司股票。它的期望收益与标准差是多少？计算每种情况下，资产组合收益的标准差。
14.贝斯特?凯迪公司股票与糖凯恩公司股票的收益之间的协方差是多少？
15.使用规则5计算资产组合的标准差。证明该结果与第
13题的答案一致。
概念检验问题答案
1.风险资产组合的期望收益率为
22000美元/100000美元＝0.22或22%。国库券利
率为5%，因此风险溢价为22%－5%＝17%。
2.投资者因为投资于英镑计价的资产而承担了汇率风险。如果汇率向有利于投资
者的方向变化，投资者将会受益，并从英国国库券中获得比美国国库券更多的收益。
例如，如果美国与英国的利率都为
5%，当期汇率为每英镑兑换
1.50美元，则现在
1.50
美元的投资可以买到
1英镑，用来投资于英国国库券。按确定的
5%的利率，在年终获
得1.05英镑。如果年终时汇率为每英镑
1.60美元，则
1.05英镑可兑换成1.05×1.60美元
＝1.68美元。则美元的收益率为
1+r＝1.68美元/1.50美元＝1.12或r＝12%。比投资于美
国国库券要高。因此，如果投资者预期到有利的汇率变化，英国国库券就是投机性投
资。否则，就只是赌博。
3.对A＝4的投资者，风险资产组合的效用是
U＝20－(0.005×4×202)＝12
而国库券的效用为
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第6章风险与风险厌恶
143
U＝7-(0.005×4×0)＝7
投资者会偏好持有风险资产组合
(当然，国库券与这一风险资产组合的重新组合可
能会更好，但这并非此题的选项
)。
对A＝8的投资者而言，风险资
产组合的效用是：
U＝20－(0.005×8×202)＝4
而国库券的效用为
7，因此越厌
恶风险的投资者越倾向于持有无风
险资产。
4.风险厌恶程度低的投资者其
无差异曲线更平缓。风险的上升只
要求较少的收益的增加就能达到原
有的效用水平。
5.尽管黄金投资独立看来似由
股市控制，黄金仍然可以在一个分散化的资产组合中起重要作用。因为黄金与股市收
益的相关性很小，股票投资者可以通过将其部分资金投资于黄金来分散其资产组合的
风险。
6.a.根据糖凯恩公司股票收益的既定分布，情境分析如下：
较多的风
险厌恶
较少的风险
厌恶
糖生产的正常年份
异常年份
股市的牛市股市的熊市
糖的生产危机
概率
收益率（%）
贝斯特?凯迪股票
2510-25
糖凯恩股票
7-520
国库券
