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1986年注册金融分析师
(CFA)考试（水平I）的题目如下：
问题：
在对货币基金管理者进行业绩评估时，养老金计划的出资人一般很注重对各基金
进行排名的结果。事实上，各养老金的出资人都自然而然地认为，那些在同等的有代
表性的管理基金样本中，排在前
1/4的经理在今后的业绩表现中将会优于那些排在后
1/4的管理基金。
通过对前一期基金业绩排名顺序进行本期的百分比排名回归，我们可以对这种评
判方法的正确性作出判断。
1.假如出资人所认为的前提假定是正确的，即在各期内的百分比排名存在完全的
正相关，那么请给出回归直线的截距、斜率以及回归的
R2值。
2.假如基金的百分比排名在各期之间没有相互关系，那么请写出回归所得的截距、
斜率以及R2值。
3.假定某一次回归分析所得的截距为
0.51，斜率为－0.05，R2值为0.01。如果某基
金当期百分比率为
0.15，那么根据这些回归数据，请给出该基金在下期内百分比排名
的最佳估计。
4.某些养老金计划的出资人认为，在实际应用中他们应该放弃那些处于前
1/4的
管理者，而转向那些处于后
1/4的管理者。请说明在赞成这种实际方法的出资人的头脑
中，他们的前提假定是什么？或者说，在关于基金连续两期的百分比排名的关系中，
他们认为回归结果应该是什么样的？
答案：
1.截距=0，斜率=1，R2=1
2.截距=0.5，斜率=0，R2=0
3.第50名，由下述计算得到：
y=a+bx＝0.51－0.05(0.15)＝0.51－0.0075＝0.5025
因为R2值太小，可能很难对基金排名作出精确的预测。
4.这些赞成放弃好业绩基金、支持差业绩基金的出资人认为，连续两期内百分比
排名回归分析中的斜率及相关系数皆显著地为负。
A.3.4多因素回归分析
一些基本理论告诉我们，在许多情况下一个被解释变量往往要由好多个独立的解
释变量来决定。对这个概念的明释只需以两变量的情形为例。一个房地产分析家对一
个分散性房地产资产组合的收益给出了一个回归方程：
REt=a+b1REt-1+b2NVRt+et(A-26)
式中被解释变量是
t期的房地产资产组合
REt，模型说明该收益的被解释部分由两
个独立的部分组成。第一个是前期收益
REt-1，表示房地产发展势头的持续性。第二部
分为当期国家的空房率
NVRt。与简单的回归分析一样，
a是截距，即为当解释变量为
零时RE的取值。回归系数（斜率）
b1、b2代表各解释变量对
REt的边际影响。
确定系数的定义与前文一样。干扰项
e的方差与资产组合总方差的比值即为
1.0减
去该方程的确定系数。这里回归系数的估计原则也是使观测值相对于预测值偏差的平
方和达到最小。
A.4假设检验
投资学理论的一个中心假设就是不能被分散掉的系统风险将由一个较高的预期收
益率来补偿。但是这个理论是否得到实证数据的支持呢？考虑表
A-3中股票的超额收
益。超额收益预期的估计（即样本均值）为
8.57%。看上去这已是一个比较大的风险
补偿，但风险本身也是如此—样本标准差的估计为
20.9%。这个正相关的关系是否
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附录A定量计算的复习
767
只是一时的运气而已？假设检验正是要解决这个问题。
假设检验的第一步必须要确定被检验的命题。它被称为原假设，记为
H0。相对于
原假设，我们有一个备择假设命题记为
H1，假设检验的目标就是要通过计算判断出错
的概率而确定是否要拒绝原假设、接受备择假设。
当对一个变量赋予某值时，我们称其为“特定”假设。认为股票溢价为零就是
“特定”假设的一个例子，但通常情况下假设是“一般”意义上的。“股票风险溢价不
是零”这个命题是一个完全一般的假设，而且它就是风险溢价是零这个特定假设的备
择假设。它认为风险溢价可以是任何值，但是，不是零。如果备择假设认为风险溢价
为正，尽管它并不是完全一般的，但它们也不是特定的。虽然有时我们不得不对两个
非特定假设进行检验（比如说，原假设认为风险溢价为零或负，备择假设认为风险溢
价为正），但这种非特定假设确实使确定出错概率的工作复杂化了。
那么，到底什么是可能的错误呢？我们可以把它分为两类，记为第
I类错误和第
Ⅱ类错误。第
I类错误就是指当原假设为真时我们拒绝原假设的事件，第
I类错误出
现的概率被称为显著性水平。第Ⅱ类错误是指当原假设为假时我们接受原假设的事
件。
假定我们为接受
H0确定了一个很宽松的标准，于是我们几乎可以确信我们肯定会
接受原假设。要达到这样，我们会使显著性水平趋于零（零是有利的）。如果我们肯
定不会拒绝原假设，那么当原假设为真时我们也肯定不会拒绝它。同时第Ⅱ类错误发
生的概率就会接近于
1（1是不利的）。如果我们肯定会接受原假设，那么当原假设为
假时我们也会无条件地接受它。
如果我们为接受
H0确定了一个很严格的条件，此时情况就完全相反了：因为我们
现在知道我们几乎肯定会拒绝它。这会使第Ⅱ类错误的发生概率变为零（有利情况）：
因为从不接受原假设，所以当原假设为假时我们肯定会拒绝它。但现在显著水平却变
成了1（不利情况）。如果我们经常拒绝原假设，那么就算当原假设为真时，我们也会
拒绝它。
两种错误的互相妥协决定了假设检验必须要有合适的显著水平。首先，它必须先
限制第I类错误的发生概率，然后根据已有的条件，理想的检验应该使第Ⅱ类错误发生
的概率减至最小。如果我们要避免第Ⅱ类错误（即当原假设为假时接受了它），那么当
你假设确定为假时，我们就必须拒绝它。避免的概率就是1减去第Ⅱ类错误的发生概率，
我们称其为检验强度。使第Ⅱ类错误发生概率最小化意味着检验强度的最大化。
为对“股票能获得风险补偿”这一命题作出检验，我们写出假设为：
H0：E（R）=0即预期超额收益为零
H1：E（R）>0即预期超额收益为正
H1是一个非特定的备择假设。当原假设和其相对的、完全一般的备择假设进行检
验时，我们称其为双尾检验，因为这时你可能会因为过大或过小的数值而拒绝原假
设。
当两个假设都是非特定假设时，由于计算第
I类错误的发生概率复杂化了，因此
检验也变难了。通常情况下，至少会有一个假设是简单的（即特定的），于是我们就
设其为原假设，这样我们计算检验显著水平时就相对简单了。而在非特定假设为真的
前提下，检验强度的计算仍然是很复杂的；一般情况下我们不能把它解出来。
我们接下来会说明，如果我们把希望拒绝的假设
E（R）=0设为原假设，那么要接
受我们所希望看到的备择假设就相对不易。
在对E（R）=0这一假设进行检验时，我们设定显著性水平为
5%，这就是说，当
原假设为真时，我们拒绝原假设（即认为存在一个正的风险溢价）的概率为
5%或更小。
因此，我们必须找到一个记为
z的边界值（或称为双边检验的边界值），其中
=0.05。
该值将会产生两个区域：接受域与拒绝域。可以参看图
A-8。
768第八部分附录
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图A-8在原假设下样本的平均超额收益应在零周围分布
注：如果真实的平均超额收益为
z，我们的结论为原假设是错误的。
如果样本均值落在临界值的右边（即落在拒绝域），原假设即被拒绝；否则原假
设就被接受。在后一个情况下，正的样本均值就极有可能（也就是大于
5%）是由样本
误差所致。如果样本均值大于临界值，我们就拒绝原假设，接受备择假设。由误差引
起该正的样本均值的概率会小于
5%。
如果和该例一样备择假设是单边（单尾）的，那么接受区域就是负无穷到某区值，
而大于该正值的概率为
5%。图A-8中的临界值即为
z。当备择假设是双边的，
5%的面
积就会平分于两个分布的极端，且各为
2.5%。比较而言，双边检验要更严格一些（也
就是要拒绝原假设更难）。在单边检验中，我们可以根据原假设来预测样本均值偏差
的方向。这一事实将对备择假设更为有利。为了解决该问题，对于显著水平为
5%的单
边检验，我们常用显著水平
a/2＝0.025的双边检验来代替。
假设检验需要对样本均值、样本方差等检验指标的概率分布作出必要的评价。为
此，我们需要对所分析随机变量的概率分布作出一定的假设。这样的前提假设是原假
设整体的一部分，而且常常是一个隐含的条件。
在本例中我们假设股票的超额收益服从正态分布。检验指标的分布是从指标的数
学定义和随机变量概率分布的假设中推出的，这里我们的检验指标是样本均值。
把所有观测值加总（
T＝68），然后乘以
1/T＝1/68，所得的平均值即为样本均值。
每一个观测值都是一个随机变量，它们独立地服从同一个期望为
、标准差为
的概率
分布。所有观测值和的期望就是
T个期望（都等于
）的和，除以
T后即为个体均值的
估计。计算结果为
8.57%，其等于实际期望值加上样本误差。在原假设成立的条件下，
实际期望值为零，于是整个
8.57%都是样本误差。
为了计算样本均值的方差，我们假定所有观测值相互之间是独立的，或者说是不
相关的。因此和的方差即为方差的和，也就是个体方差乘以
T。但是，由于我们对和
一般要进行乘以
1/T的处理，因此我们需要对方差和
T
2除以T2。结果我们得到样本均
值的方差即为个体方差除以
T。样本均值的标准差，一般称为标准误差，为：
1/21/2
0.2090
(样本均值)=
..
T12
.2.÷..
T12
2.÷===0.0253（A-27）
=T
è
.è
.
T
68
我们的检验指标具有
2.53%的标准偏差，而且，似乎观测值的数目越大，期望估
计的标准误差就越小。但是，注意“方差”下降的比例较大，为
T=68；而“标准误差”
下降的比例仅为
T=8.25，该数值显然较小。
我们得到了样本均值
8.57%和其标准差2.53%，而且知道在原假设成立的条件下其
服从正态分布，现在就可以进行检验了。我们想要做的是确定
8.57%是否已经足够地
大于零。我们先使检验指标标准化，这个过程就是我们对指标减去原假设中的期望值，
然后再除以它的标准偏差。现在这个标准化的指标就可能同标准正态表中的正值进行
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附录A定量计算的复习
769
比较了。我们想问以下不等式是否成立：
R-E(R)
>z
还有一个问题需要解决。检验指标的正态性假设是完全成立的，因为它是许多正
态分布随机变量（根据收益的假设）的加权和；因此它也是服从正态分布的。但是，
以上的分析步骤要求我们知道其方差，而这里我们只是用样本方差来作为实际方差的
估计。
该问题的解决是比较简单的，只需把标准正态分布替换成学生
t分布(Student-t)即
可。和正态分布一样，
t分布是对称的。它依赖于自由度，数值上等于观测数目减
1。
因此，我们只要把z替换成t，T－1即可。
现在的检验变成：
R-E(R)
>t
a,T-1
当我们把样本数据代入上式后，左边就是一个标准化的检验指标，而右边是从
t分
布表中得到的
=0.05，T-1=68-1=67的t值。我们想知道的是该不等式是否成立。如果
成立，我们就以5%的显著水平拒绝原假设；如果不成立，我们就不能拒绝原假设（在
该例中，t0.05,67=1.67）。我们发现：
0.0857-0
=3.39>1.67
0.0253
在该例中不等式成立，因此我们拒绝原假设，并认为备择假设正确，即存在正的
风险溢价。
如果以
1965年至1987年的数据对假设再进行一次检验，你可能会产生一些疑问。
该期间的样本均值为
3.12%，样本标准差为
15.57%，自由度为23-1＝22，这些数字是
否给了你第二种看法？
回归系数的t检验
假设我们以简单回归模型（等式
A-21）来描述政府长期债券资产组合与股市指数
之间的关系。利用表
A-3中的样本数据，我们回归的估计结果为（%每年）：
a=0.9913，b=0.0729，R2=0.0321
我们对这些数字的解释如下：对于当市场指数超额收益为零的时期，我们期望债
券能获得99.13个基本点的超额收益，这是截距的作用。对于斜率来说，只要每年股票
资产组合有1%的收益。债券资产组合就应该能多获得
7.29个基本点的收益。在样本期
内，股权的平均风险溢价为
8.57%。因此债券的样本平均为
0.9913＋（0.0729×8.57）
=1.62%。从相关系数平方这一项可以看出，在债券收益变化中，仅有
3.21%可由股票
的方差作出解释。
但我们是否可以完全相信这些统计数据呢？一个解决方法是进行假设检验，这里
主要是对回归系数b所做的检验。
H0：b=0回归系数为零，这意味着解释变量的变化不能引起被解释变量的变化
H1：b>0被解释变量对解释变量的变化较敏感（两者之间协方差为正）
任何一个像样的回归软件都能对统计数字进行这种假设检验。通常，回归时需要
假设被解释变量和干扰项都服从正态分布，而且都可以从样本中估计出分布的方差。
于是回归系数b也服从正态分布。因为原假设仍为
