还有一种数学与物理世界关系的解释，其考虑了某些联系但与通常人们所知的大相径庭。在过去的一百年中，出现了自然的统计学观点，稍具讽刺意味的是，这种观点由拉普拉斯所发起，而他本人却坚信：自然的行为是根据数学定律严格确定的，而自然行为的原因并不总为人知，观察结果只是近似正确而已。因此，人们应运用概率理论确定最有可能的原因和最可能是正确的数据。在这个问题上，他的《概率的分析理论》（第三版，1820 年）是经典之作。概率论和统计学的历史在这里没必要评述，但是在不到一个世纪的时间内，它引出了这样一个观点：自然的行为根本不是确定的，而是相当杂乱无章的。但其中有某个最有可能的行为，平均行为，这就是我们所观察到并认为是由数学定律所决定的行为。正如寿命各不相同的人，有的在婴儿时便夭折了，有的则活到一百岁。对所有的人来说，不只有一种估计寿命，而是在各个给定年龄都有一个估计寿命。根据这些数据，保险公司才能成功地做成生意。近年来自然统计学观点之所以得到了巨大的支持是因为量子力学的发展，按照这种观点，存在没有刚性的、离散的、受限于一定区域的微粒。它们在空间的任何一部分都仅以某一种概率存在，但在某一处概率最大。
无论如何，根据统计学观点，自然的数学定律顶多描述自然是如何以最有可能的方式运作的，但它不排除地球突然迷失于空间的可能性。自然也可能决定不按最有可能的方式运转。当今一些科学哲学家认为数学无法解释的问题仍旧无法解释。这一结论由皮尔斯首先提出：“有些秘密极有可能仍不为人知。”
稍近一些时候（1945 年），薛定谔在《生命是什么》中说，人类发现自然定律的奇迹也许连他们自己也不能理解。另一位物理学家，极负盛名的戴森(FreemanDyson)赞同道：“我们可能仍未达到了解物理世界与数学世界间关系的程度。”这句话还以爱因斯坦的评述作为补充，“关于这个世界，最不可理解的是，这个世界是可以理解的。”
1960 年，维格勒(EugeneP．Wigner)，另一位1963 年诺贝尔物理学奖获得者，在一篇文章里，探讨了有关数学在自然科学中不可思议的有效性问题，他的文章正以此为题，但除了重申论点外未作更多的解释：用以阐述物理定律的数学语言的恰如其分是一个奇迹，它是我们不明白也不应拥有的令人惊叹的礼物。我们应为此感到高兴，不管怎么样，我们希望它在将来的研究中继续有效，并且能继续扩展，变得令我们更满意，就算同时可能会使我们迷惑不解，也以此拓宽了知识面。
最后的几句辩护式的“解释”实在太少，这几句解释承认了它对数学为何有效并未作出回答，但是富有感染力的语言都弥补了这一点。任何关于数学为何有效的解释不论其是否令人满意，认识到自然和自然的数学表示并不相同才是重要的，它们的差别不仅仅在于数学是理想化的产物。数学三角形决非一个物理三角形，数学走得更远。在公元前 5 世纪，伊利亚的芝诺(Zeno of Elea) 提出了若干悖论。不管其目的如何，甚至是第一个关于运动的悖论就昭示了数学的概念化和经验之间存在差异。芝诺的第一个悖论是这样的：一个跑步者永远不可能到达跑道的终点，因为开始他必须跑过全程的1/2，然后跑过剩下路程的1/2，然后再是剩下路程的1/2，如此下去，那么他必须跑过1/2+1/4+1/8+1/16+ ??的路程。于是，芝诺认为，跑无限长的路程必须要无限长的时间。
一种关于芝诺悖论的物理解释，也是最明显的解释是：跑步者可用有限步跑完全程。但是，即使我们接受芝诺的数学分析的话，所需的时间也应是1/2 分钟加上1/4 分钟，加上1/8 分钟，等等，这样，所有这些无限个时间间隔加在一起等于1 分钟。这一分析完全脱离了物理过程，但其结果仍是一致的。
也许，人们只有通过引入极限甚至是人造的概念才能建立起自然的秩序。也许人类的数学仅仅是一个可行的方案，也许自然本身更为复杂或者并没有什么固有设计。但是，数学仍不失为一种探索，是表示和掌握自然的一般方法。在那些数学行之有效的领域，它是我们的全部资本；如果它不是现实本身，它就是我们所能达到的与现实最接近的东西。
尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然某些领域的道路，使我们走得比全部预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的成就，这本身就不可思议。数学解释也许确系人为，它也许是一个童话，但却是一个合乎道义的童话。即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。
数学的成功是有代价的，代价就是把世界用长度、质量、重量、时间等简单概念来看待。这样的解释是不足以表示丰富多彩的体验的，就如同一个人的身高并非此人一样。数学最多只描述了自然的某些过程，但其记号并未容纳所有的一切。
此外，数学处理的是物理世界中最简单的概念与现象，它的研究对象不是人而是无生命的物质，它们的行为是重复性的因而数学可以描述。但在经济学、政治理论、心理学以及生物学领域，数学就无能为力了。即使在物理王国，数学也只研究简单化的事物，这些简单化的事物与现实的接触就如同曲线的切线仅切曲线于一点一样。地球环绕太阳的轨迹是一个椭圆吗？不。只有当把地球和太阳都看作是质点而宇宙中其他天体的影响都忽略不计时才能成立。地球上的四季是年复一年循环的吗？也很难说，我们只能说从其大体上考虑，就像人们能够感受到的那样，四季是这样循环的。
我们能够因为不能理解数学不可思议的有效性而放弃使用它吗？赫维赛曾说：我能因为不知道消化的过程而放弃进食吗？经验驳斥了怀疑者。合理的解释则为自信所不屑。在给予宗教、社会科学和哲学全部应有的尊重，而我们又清楚地认识到数学并不处理我们生活中的这些方面的情况下，数学在给予我们知识方面仍然取得了不可限量的成功。这门知识并不只是建立在其正确性的断言上，在每台收音机到原子能发电厂的工作中，在日食或月食的预言中，在发生于实验室的成千上万的事件中，在日常生活中，每天我们都可以检验它的正确。
数学处理的虽是较简单的物理世界的问题，但在其领域中它获得了最成功的发展。人类从数学中获得的力量促使他们希望自己能占有一席之地。数学治理了自然，减轻了人类的负担，从数学的成功中人们鼓起了勇气。
关于数学为何有效的问题并不仅限于学术范围以内。数学在工程上的运用过程中，人们在多大程度上依赖数学预言和设计呢？设计一座桥梁时，还需要用无穷集的理论或者选择公理吗？桥梁不会倒坍吗？庆幸的是，一些工程项目所用定理有过去的经验作为坚强后盾，人们可以放心使用。人们有意过度设计许多工程项目，于是，桥梁用钢这样的材料建造，但由于我们有关材料强度的知识并不准确，因而工程师便采用较理论要求强度为大的粗索和桁梁。但是，在建造以前从未有过的一类工程时，我们就必须注意所用数学的可靠性。在这种情况下，我们就应采取小心谨慎的态度，在建造本身开始以前采用小规模的模型或其他检验措施了。
这一章的中心是找到一些解决数学和数学家所面临的困境的方法。数学并没有被普遍采纳的体系，各个不同学派所提倡的许多条道路也不可能一一探究，因为这样做将会掩盖数学的真正目的，即促进科学的进步。因此，我们提倡用目的作为标准。我们也已经探讨过由这一过程引发的问题和结果了。然而，当我们强调数学对科学的应用时，并不排除数学王国里其他有价值的，甚至是明智的探求途径。我们确已指出（见第十三章），即使在探求应用数学的过程中也需要各种各样的协助活动，如抽象化，一般化，严格化及方法的改进。除此之外，我们还可证明那些与数学不直接相关的基础研究在科学探索中是有用的。直觉主义者原打算用它们的结构主义方案，取代毫无意义的存在定理，却产生了计算量的方法，而纯粹的存在定理只是告诉我们这些量的存在。为了简单之故，我们举个老例子，欧几里得证明了任意一个圆的面积与其半径的平方之比对于所有的圆都相同。这个比当然是π，于是欧几里得证明了一个纯粹的存在定理。但是知道π的值对我们计算任意给定圆的面积，显而易见是很重要的。还好，阿基米得的近似计算和后来的一些级数展开使我们能够在直觉主义者向纯粹的存在定理发起挑战以前很久就计算出了π值。同样，其他一些已证明其存在的量也应计算出来。因而，结构主义方案应予以贯彻。
进行基础研究还有一种潜在的价值，这就是可以得出可能的矛盾。相容性并未证实，因此，找到矛盾或者找到明显荒谬的定理至少可以淘汰一些现在耗费数学家时间和精力的待选择品。我们对数学地位的解释当然不尽人意，我们剥夺了它的真实性；它不再是一个独立的、可靠的、有着坚实基础的知识体系。许多数学家背弃了对科学的热诚，这在历史上的任何时期都是令人扼腕的事，特别是在应用可能为数学指明了正确的前进方向时尤为可叹。而已应用的数学的惊人力量仍有待于解释。
抛开这些缺点和局限性不谈，数学对人类的贡献还有许多。它是人类最杰出的智慧结晶，也是人类精神最富独创性的产物。音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有这一切。另外，在推理力所能及的方向，数学家们已尽了最大的努力使人类的头脑能维护其结论的合理性。“数学一样的精确”作为一条谚语并非偶然，数学仍然是可用的最好知识的典范。
数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系。在这些努力中，数学也许起到了作用，也许并无作用，但是我们对成功不可抑制的渴望来源于数学。
数学的价值至少不比任何人类创造小。如果所有这些价值不易于或不能广泛地为人们所领悟和欣赏的话，所幸它们均被利用了。如果说攀登数学殿堂较攀登音乐殿堂更为艰巨，那么所得到的报酬也将更为丰厚，因为它包括人类创造可提供的几乎所有的智力的、艺术的和情感的价值。攀登一座高山也许要比攀登一座低矮的山头更为费力，但是高处的视野可延伸到更远的地平线处，而我们能提出的唯一的问题则是哪一个价值更为重要。然而，这个问题各人的回答不尽相同，因为个人的判断、意见和品味已溶于其中了。
就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永远不会达到。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地难于捉摸。然而，理想具有力量和价值，公正、民主和上帝都是理想。的确，也有在上帝的幌子下被谋杀的人，审判不公的案件也臭名远扬，但是，这些理想是千百年来文化的重要产物。数学也是一样，尽管它也仅是一种理想。也许细想这一理想将会使我们更加清楚地认识到在任一领域，我们该选择什么方向才能获取真理。
人类面临的困境实在可怜。我们是广袤宇宙中的流浪汉，在自然的劫后余迹前孤立无援，我们依仗自然提供食物和必需品，在我们为何生于这个世界，又应为什么而奋斗的问题上都被一致化了。人类孤单地生存在一个冷酷的、陌生的宇宙中，他凝视着这个神秘的，瞬息万变的、无穷的宇宙，为他自己的渺小感到迷惑、困扰甚至惊骇不已。正如帕斯卡所说：
究竟为什么人存在于自然界中？无与无穷有关，全体与无有关，对无和全体及无穷之间的点我们一无所知。事物的结束和开始都被全无破绽地隐藏在一个难以洞察的秘密之中。同样，人类也无法知晓他为何来自一无所有，又如何被卷入了无穷无尽。
蒙田（Michel EyquemdeMontaigne）和霍布斯也用不同的语言阐述了同样的观点：人的生命是寂寞的、穷困的、艰险的、野蛮的和短暂的，他是偶然事件的牺牲品。
凭着一点有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感官瞬间揭示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在寻求秩序，他的目的，就是建立与瞬变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他获取有关其生存环境奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物，就是数学。它并不是完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然而，数学是我们与感性知觉世界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数学的基础并不牢固，但是数学仍是人类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保管并节俭使用。它处于理性的前列，毫无疑问将继续如此，就算是进一步的研究复查又发现新的缺陷。怀特海曾写道：“让我们把数学的追求看作是人类精神上神授意的疯狂吧。”疯狂，也许可以这么说，但是，毫无疑问，它是神授的。
