7.对任一集合，都可以作出其幂集；即任一给定集合中的所有子集的全体也是一个集合（这个过程可以无限次重复，即我们可以把任一给定集合中所有子集的集合看成一个新的集合；这个集合的幂集就是一个新的集合）。
8.选择公理。
9.x 不属于x。
对于这些公理，特别值得注意的是它们不允许考虑全包容集合，因而大概可以避免悖论。但是它们含有足够的经典分析所需的集合论的全部性质，建立在集合论上的自然数的发展可以很容易地实现了。康托尔在1885年就宣称纯数学可以归结为集合理论，并且事实上怀特海和罗素已经这样做了，尽管他们研究集合的方法要复杂得多。从关于整数的数学中可以得出所有的数学，其中包括几何学，只要这种几何学是建立在解析几何基础上的。因此集合论可以作为所有数学的基础。①
① 后来哥德尔（1940 年）和伯奈斯（1937 年）改进了策梅罗-弗兰克尔系统，用以区别集合与类。他们还简化了冯?诺伊曼于1925 年的表述。集合可以属于其他集合，所有的集合都是类，但并不是所有类都是集反复强调的是，避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够的性质作为分析的基础。到目前为止还没有人从集合论公理理论中得出悖论，策梅罗宣称没有任何人会得出。后来的集合论公理化主义者也毫无疑问地确认了这一点，因为策梅罗和弗兰克尔非常严格地建立了集合体系，这种体系避免了在早期研究集合及其性质的工作中的不明确性。然而集合论公理化的相容性还是没有得到证明，而集合论公理化主义者对此一直未加注意。对于这个悬而未决的相容性问题，彭加勒用他惯用的嘲讽语气评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈里有没有狼。”
像其他派系一样，集合论公理化主义者受到了众多的批评。选择公理的使用受到了很多人的攻击。早在本世纪头10 年，逻辑本身和它与数学的关系就在研究之中了，而集合论公理化主义者却宁愿忽视这些逻辑原则。当然，他们对相容性的盲目自信被一些人视为幼稚，与康托尔发现麻烦前一样地幼稚（见第九章）。还有一种批评认为集合论的公理相当武断和做作，它们是为了防备悖论而设计出来的，但其中一些却是不自然的或是建立在直觉基础上的。既然连集合论公理化主义者都推测出了逻辑原理，那么为什么不能从算术本身开始着手呢？
尽管如此，策梅罗-弗兰克尔的集合论公理至今仍被一些数学家当作建立所有数学的理想基础。它是建立分析和几何的最普遍、最基本的原理。
实际上，正像各个头领在发展并促进他们自己的哲学的同时也使其他的数学方法赢得了众多的支持者一样，集合论公理化方法也是如此。一些逻辑学家，例如奎因就满足于集合论。一批以布尔巴基为集体笔名的卓越的德高望重的数学家在1936 年详细地证明了大多数数学家所相信的事实，那就是，若接受策梅罗-弗兰克尔的，尤其是经伯奈斯和哥德尔修改过的集合论公理以及一些逻辑原则，那么就可以在其基础上建立所有数学。但是对于布尔巴基派来说，逻辑是从属于数学公理的，对于数学是什么或数学家做些什么它不起支配作用。
布尔巴基派在《符号逻辑杂志》（1949 年）的一篇文章中表明了他们对逻辑的看法：“换句话说，逻辑，就我们数学家而言，是我们使用的语言的语法，而语言早在语法建立前就已经存在了。”数学将来的发展可能要求对逻辑有所修改。这在引入无穷集合时就已经这样做了，我们将看到，在讨论非标准分析（见第十二章）时，我们还得这样做。这样，布尔巴基派就脱离了弗雷格、罗素、布劳维和希尔伯特。逻辑的修改利用的是选择公理和排中律，尽管它们是用希尔伯特的技术方法推导出来的。布尔巴基派不屑于研究相容性问题，他们说：“我们仅仅意识到，当所有异议都被排除，并且推理的正确性没有疑义时，这些困难也就都被解决了。”矛盾在过去产生过并且已被解决了，将来也会是这样。“过去的25 个世纪，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到数学是更加丰富了而不是更加贫乏了；这就使他们有权力去展望未来。”布尔巴基派在他们对集合论公理化方法的研究中出版了约30 卷著作。
合。类不能属于更大的类，类与集合之间的区别意味着不允许有奇形怪状的集簇属于其他的类。这样，康托尔的不相容集合就可以被剔除。策梅罗-弗兰克尔系统中的任何一个定理也是哥德尔-伯奈斯系统中的一个定理，反之亦然。实际上，在集合论的公理系统中有很多的变体。——原注这样，到1930 年，四种彼此独立的、截然不同的并且或多或少有些冲突的关于数学基础的方法都已亮相。并且可以毫不夸张地说，他们彼此的追随者也都处于对峙状态。一个人再也不能说一条数学定理是被正确地证实了，因为到1930 年，他必须加上一句，即依照谁的标准它被认为是正确的。除了直觉主义者认为的人的直觉能保证相容性外，数学的相容性，这个激发了新方法的重要问题，根本就没有得到解决。
数学在19 世纪尽管没有在逻辑发展中获得成功，仍不失为一种完美的科学，而且是通过可靠的、毫无疑问的推理方法建立其结论的科学，它拥有的不仅是可靠的理论，而且是关于我们宇宙的真理，像一些人所认为的，是任何可能的宇宙的真理。但现在，数学不仅失去了其自诩的真理性，而且在各个关于数学基础的派系及关于正确的推理原则的断言的矛盾冲突中被玷污了。人类理性的自豪受到了严峻的考验。
数学家贝尔（EricT．Bell）在1930 年这样描述了当时的状况：经验告诉大多数数学家，那些对于上一代数学家来讲稳固的、令人满意的东西意味着是下一代用更可靠的探究方法破旧立新、拨乱反正的好机会。......所谓建立在数学基础上的合理的共识，在任何意义上似乎都是不存在的。将来会怎么样？正像我们将要看到的，将来会带来许多更严重的问题。
第十二章 灾 难
那无边无际的苦难啊，
像一口鼎沸的大锅，
不惮辛苦不惮烦，
要把一切都化成羹汤。
——莎士比亚《麦克佩斯》
回顾以往，1930 年时数学基础的状况可说是差强人意。已知的悖论已经被解决，但是几个学派为此使用了特定的方法。诚然，对于什么是正确的数学这一问题已不再有一致的观点，然而每一位数学家都能采用他所喜欢的方法，进而依据该方法的原理发挥他的创造力。
但是，两个问题继续困扰着数学界。首先是建立数学的相容性，这恰恰是希尔伯特在1900 年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。另一个问题被称为完备性，一般而言，完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。
通俗地讲，完备性问题就是一个合理的欧氏几何的命题，例如三角形的三条高线交于一点，能否根据欧氏公理证明或证伪。更专业的，在超限数域中，连续统假设（见第九章）又是一个例子。完备性要求根据构成超限数理论基础的公理证明或证伪该假设。类似的，完备性要求根据数论中的公理证明或证伪哥德巴赫（Goldbach）猜想：任一偶数都是两个素数之和。事实上完备性问题包括了许多其他的命题，它们的求证向数学家们所发起的挑战已逾几十年甚至上百年。
对于相容性问题和完备性问题，几个学派采取了稍有不同的态度。罗素实际上放弃了他的逻辑方法中使用的逻辑公理是真理的信念，并且还承认了他的约化公理的人为属性（见第十章）。他的层次论避免了已知的悖论，而且罗素确信它能避免所有可能的悖论。然而，信心不能代替证明，罗素没能解决完备性问题。
尽管集合论公理化主义者自信他们的方法不会引起新的矛盾，但这一信念缺乏证据。同样，人们关注的主要不是完备性，直觉主义者对相容性问题漠不关心。他们认为被人类思维所承认的直觉具有自然而然的相容性，形式论的证明是不必要的，也与他们的哲学不相干。至于完备性，他们的看法是，人类的直觉是如此的强有力，以致于能判明绝大多数有意义的命题的真伪，即使有个别例外。
与之相反，由希尔伯特领导的形式主义学派并没有自鸣得意。在20世纪的最初几年，希尔伯特为解决相容性问题做了一些初步的工作。此后，在1920 年，他的研究工作又一次回到了相容性和完备性问题。在他的元数学中，希尔伯特找到了相容性的证明方法。对于完备性，在1925 年的论文《论无限》中，他再次从根本上对1900 年巴黎演讲所表明的观点进行了阐述：“每一个明确的数学问题必须能被正确地解决”。在1925 年的文章中，他进一步强调了这一观点：
作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！
在1928 年波伦亚（意大利一城市）国际数学家大会的发言中，希尔伯特批评了以前的完备性证明，因为它们使用了元数学所不允许的逻辑原理。但他对自己系统的完备性则充满了信心：“我们的推理并不具有任何秘密的技术，它只不过按照确切、清楚的规则进行而已，正是这样的规则保证了判断的绝对客观性。”他还说，每个数学家都相信，任何明确的数学问题必是可解的。在1930 年的论文《自然知识和逻辑》中，他又这样说：“我认为，孔德（Comte）没有能找到一个不可解的问题的真正原因是，本来就不存在不可解的问题。”
在1927 年完成，1930 年发表的《数学的基础》一文中，希尔伯特详细论述了他1905 年的观点：使用他的元数学方法（证明论）来建立相容性和完备性。他断言：
我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，即把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严格推导的公式。经过这样治理的数学所推导出来的结果就会无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。我相信我能用证明论达到这一目标，尽管为此还要做大量工作。
显然，希尔伯特对于用证明论解决相容性和完备性问题是非常乐观的。
截至1930 年，人们已取得了若干关于完备性的结果。希尔伯特自己构造了一个只包括算术且具有一定人为色彩的系统，进而建立了它的相容性和完备性。不久其他人也得到了类似的局部结果，从而相对平凡的公理系统（例如命题演算）被证明是相容的，甚至是完备的。这些证明中的一部分是由希尔伯特的学生完成的。1930 年，后来成为普林斯顿高等研究院教授的哥德尔证明了包括了命题和命题函数在内，一阶谓词演算的完备性①。所有这些成果使形式主义者倍受鼓舞。希尔伯特本人也确信，他的元数学和证明论将会成功地确立全部数学的相容性和完备性。
但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子②。这篇题为《论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统》（1931 年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都可以接受。无怪乎魏尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。
① 它还是相容的并且它的公理是独立的，这是由希尔伯特等人给出的。——原注
② 源出古希腊神话，比喻灾祸的来源。——译注
上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，其称为哥德尔不完备性定理。它表明，如果一个形式理论T 足以容纳数论并且无矛盾，则T 必定是不完备的③。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句S，使S 和非S 用这个理论都证明不了。因为S 或非S 总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。尽管哥德尔并不十分清楚所涉及的公理系统的分类，但事实上他的定理不仅适用于罗素-怀特海系统、策梅罗-弗兰克尔系统、希尔伯特的数论公理化，而且事实上是一个被广泛接受的公理系统。很明显，相容性是以不完备性为代价的。我们可以通过那些超越前面所提到的形式系统的逻辑的证明，也就是推理的规则，来说明某些不可确定的语句。
就像人们猜测的，哥德尔并非很轻易地就得到了他那令人惊异的结果。他的方案是将数与逻辑主义者和形式主义者的数学方法中所用的符号及符号的顺序相联系。进而，对于任何构成证明的命题或者命题集合，他同样确定一个哥德尔数与之对应。
更明确地讲，他的算术化在于为数学概念指派自然数：1 指派给1，2指派给等号，对希尔伯特的否定符号，指派3，加号指派5 等等。于是符号串“1=1”就变成了整数符号1，2，1。然而，哥德尔并不是将1，2，1指派给公式1=1，而是一个单一的，但却能表明各个指数的数。他选取了最小的三个素数2、3、5，从而得到21?32?51=90，所以对“1=1”他指派了自然数90。注意到90 只能唯一地被分解为21?32?51，因此我们能够再次得到符号1，2，1。
对考察的系统中每一个公式，哥德尔都指定了一个数，而且对构成证明的整个公式序列，他同样指定了一个数，该数的各个指数正是每个公式的数值，尽管它们本身并不是素数，可与它们相对应的底数都取素数。例如，2900?390 就是一个证明的哥德尔数，此证明由公式900 和公式90 构成。于是，从一个证明的哥德尔数出发，我们可以重新构造出构成这一证明的公式。
在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔数，一个元数学语句的数，与此同时，它还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。
使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断G，用元数
学语言来说就是，具有哥德尔数m 的陈述不可证明。但是G 作为一串符号，具有哥德尔数m，于是，G 对自己说：“我是不可证明的”。但如果纯粹的算术论断G 是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之，如果G 是不可证明的，那么正如它所断言的，G 就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断G 确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。
③ 这一结论同样适用于二阶谓词演算（见第十三章），不完备性并不会使可以证明的定理失效。——原注
人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察这样的陈述，“这句话是假的”，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的”。于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当不可证明时这个陈述为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。
在展示了他的不可判定陈述之后，哥德尔将“算术是相容的”这一元数学陈述表述为一个算术陈述A，而且他证明了A 蕴涵G。因而如果A 是可证明的，那么G 也是可证明的；既然G 是不可判定的，那么A 就是不可证明的，也就是不可判定的。这一结果表明，能被转换为算术系统的任何方法或逻辑原理，对于证明相容性都是无能为力的。
看上去似乎可以通过向形式系统加入逻辑原理或数学公理来避免不完备性。但哥德尔的方法表明：如果新加入的语句可以按他的方案，即对符号和公式指派一个哥德尔数，用算术术语表示，那么，不可判定的命题仍能被构造出来。唯一可行的方法是，使用不能被“映射”为算术的推理原理来避免不可判定的命题并证明一致性。下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。
哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论，即公理化的能力具有局限性，与19 世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以，哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳维弄清楚了直觉上明确的东西不及经典数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能性，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。哥德尔的两个结果都是毁灭性的。相容性不能证明给予希尔伯特形式主义哲学以沉重打击，因为他计划了以元数学为工具的这样一种证明，而且相信它能成功。然而，灾难大大超出了希尔伯特的方案，哥德尔关于相容性的结论表明，我们使用任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理证实相容性，已提出的各种方法概莫能外。这可能是本世纪某些人声称的数学的一大特征，即其结果的绝对确定性和有效性已丧失。更为糟糕的是，由于相容性的不可证明，数学家们正冒着传播谬误的危险，因为不定什么时候就会冒出一个矛盾。如果真的发生了这种情况，而且矛盾又不能消除，那么全部数学都会变得毫无意义。因为对于两个相互矛盾的命题，必定有一个是假的，并且被所有的数理逻辑学家采用的蕴涵的逻辑概念，称为实质蕴涵，都允许一个假命题推出任何命题，因而数学家们正工作在厄运即将来临的威胁之下。不完备定理则是另一场沉重打击，这里又一次直接牵涉到希尔伯特，虽然这个定理适合于所有关于数学的形式化方法。
尽管数学家们一般并没有像希尔伯特那样自信，可他们确实希望解决任何明确的问题。例如证明费马大定理（其断言没有大于2 的整数满足xn+yn=zn）的努力，到1930 年为止，已经产生了数百篇冗长而深奥的论文。
也许这些努力完全是徒劳的，因为其很可能是不可判定的。
在某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。我们相信一个命题非真即假，从现代数学基础的观点看，这意味着依据该命题归属的特定学科的逻辑规律和公理，它或者可以证明，或者可以证伪。但是哥德尔表明，有些命题既不能被证明，也不能被证伪。这是有利于直觉主义者的又一论据，他们是从其他角度出发反对排中律的。
依然存在着证明相容性的可能，只要人们能够用不同于哥德尔的方法，给出一个包含了不可判定命题的系统。这是因为，根据前面提及的理由，关于实质蕴涵有：如果存在一个矛盾，任何命题都是可以证明的。但是迄今为止并没有得到上面的结果。
希尔伯特不相信他的失败，他是一个乐观主义者，对人类推理和理解的能力具有无限的信心。这种乐观主义给他以勇气和力量，但却阻止了他去了解可能存在的不可判定的数学命题。对希尔伯特来说，在数学领域中研究者除了自身的能力之外，没有任何其他的限制。
哥德尔1931 年的结果发表的时候，希尔伯特正在和伯奈斯合作写一本关于数学基础的书（1934 年第一卷，1939 年第二卷）。因此，在第二卷的前言中作者们提出下面的观点：人们必须扩充元数学中的推理方法，其包括超限归纳法①。希尔伯特觉得，这些新原理仍旧是直观上可靠的，并且会被普遍接受。他坚持了这一方向，却没能取得新的成果。
在经历了严酷的1931 年之后，进一步的进展使情况更加复杂，进而挫败了任何定义数学及何为正确结果的企图。但其中的一项工作还是值得一提。根茨（GerhardGentzen），希尔伯特学派的一员，他放宽了在希尔伯特元数学中对证明方法的限制，例如使用超限归纳法，在1936 年设法确立了数论和分析中一些受限制部分的相容性。
根茨的相容性证明为一些希尔伯特主义者支持和接受，他们认为根茨的工作并没有超出人们乐于接受的逻辑的限制。于是，为了捍卫形式主义，人们必须从有限的布劳维逻辑发展到超限的根茨逻辑。根茨方法的反对派争辩说：“可接受”的逻辑是如此地深奥莫测，而且我们对算术相容性的怀疑竟然可以用同样值得怀疑的元数学原理来缓解，这太不可思议了。事实上，对于超限归纳法早在根茨使用之前就有过争论，并且一些数学家尽量在任何可能的场合从证明中消除它。这不是一个直觉上使人信服的原理，正如魏尔评论的那样：这样的原理降低了有效推理的标准，且把原本可靠的东西变模糊了。
① 通常的数学归纳法对全部有限正整数证明一个定理为真，而超限归纳法则把同样的方法推广到超限基数的良序集合。——原注
哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。
为了具体化一个判定程序的概念，让我们考察一个很普遍的例子。为判定一个整数是否能被另一个整数整除，可以进行除法，如果没有余数，回答就是能。这同样适用于多项式的整除。类似的，对于判定方程ax+by=c是否有整数解，同样存在一个明确的方法（这里a、b、c 是整数）。在1900 年巴黎国际数学家大会的著名演讲中，希尔伯特提出了一个非常有趣的问题：人们能否通过有限步骤判定丢番图方程是否有整数解（希尔伯特第十问题）。由于方程ax+by=c 涉及两个未知数且解必须为整数，所以它属于丢番图方程，而希尔伯特第十问题则更加一般化。在任何情况下判定问题都大大复杂于希尔伯特第十问题，但人们往往喜欢称这一类判定问题为希尔伯特第十问题，因为在希尔伯特问题上取得成果这一事实本身就使得该成果引人注目。何为有效的程序？普林斯顿大学的教授丘奇(AlonzoChurch)用递归函数，或者说可计算函数，给出了它的概念。让我们考察递归性的一个简单例子：如果定义f(1)=1，f(n+1)＝f(n)+3。那么， f(2)=f(1)+3=1＋3=4，f(3)=f(2)+3=4+3=7。依次类推，我们能连续地计算f(n)的值，函数f(x)就称为是递归的。丘奇对递归性的定义更加一般，但等价于可计算性。1936 年，丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此，对一个特定的断言，我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明，然而这样的证明能否被发现事先并没有检验标准。于是，数学家们尝试求证什么是不可以证明的可能是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题，马蒂塞维奇（YuriMatyasevich）于1970 年证明：一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定，但不存在有效的程序，这意味着对今天大多数的数学家而言，没有一个递归的程序（不必是上面所描述的那一个）能预先告诉我们它是否可解。
不可判定的命题与不存在判定程序的问题之间存在着某种微妙然而却是明确的区别。不可判定的命题在一个特定的公理系统内是不可判定的，它们存在于任何有意义的公理系统中。例如，欧几里得平行公理就不能依据其他平行公理判定，另一个例子是断言实数是满足通常实数公理性质的最小集合。
还未得到解决的问题也许可判定，但这不总是能预先决定的。尺规作图的三等分角问题至少有数百年被错误地看作是不可判定的问题，可它已被证明是不可能做到的。丘奇定理表明，不可能预先确定一个命题是否能证明或证伪，或许二者都不能，即该命题不可判定，但这可不像已知的不可判定命题那么明显。哥德巴赫猜想目前仍没有得到证明，也许依据数论的公理它是不可判定的，但现在还没能明显地看出这一点，这与哥德尔的例子恰恰相反。于是，不知什么时候，它或许能被证明或证伪。
尽管哥德尔对不完备性所做的工作及不可能证明相容性所带来的震撼已经过去十年了，但它们还没有从数学界完全消散，而新的震撼又一次来临。仍旧是哥德尔，他发表的一系列研究论文引起了更大的困惑：什么是正确的数学，它又正在向什么方向发展？我们再一次回想起起源于本世纪初的数学方法之一：在集合论的基础上构建数学大厦。正是基于这一理由，策梅罗公理系统获得了发展。
在《选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性》（1940年）一文中，哥德尔证明，如果策梅罗-弗兰克尔系统在除去选择公理后仍是相容的，那么加上这条公理以后这个系统也是相容的。这就是说，选择公理不能被证伪。同样地，康托尔的连续统假设（没有基数存在于à与2à0之间，后者是实数集的基数①）与策梅罗-弗兰克尔系统（即使将选择公理包括进去）是无矛盾的，换言之，这些断言不能被证伪。为了证明他的结果，哥德尔构造了包含这些断言的模型。
在一定程度上，选择公理和连续统假设的相容性是令人信服的，就像对待其他的策梅罗-弗兰克尔系统的公理那样，人们至少是在充满自信地使用着它们。
然而，数学家们的自得，如果存在的话，被接下来的进展击得粉碎。哥德尔的结果并没有排除这样一种可能性，选择公理或是连续统假设（或者两者都）能够基于其他策梅罗-弗兰克尔公理得出证明。选择公理不可能在此基础上证明的思想至少可以回溯到1922 年，从这一年开始的几年中，包括弗兰克尔在内的几个人，证明了选择公理的独立性。但是他们每一个人都发现，为了得出证明，必须向策梅罗-弗兰克尔系统加入某个辅助公理，并且以后其他人的证明也存在同样的缺陷。哥德尔在1947 年推测连续统假设同样独立于策梅罗-弗兰克尔公理以及选择公理。
然而，在1963 年，斯坦福大学的数学教授柯恩（PaulCohen）证明了选择公理和连续统假设二者同时独立于其他策梅罗-弗兰克尔公理，如果后者是相容的。换言之，这两个论断并不能基于其他策梅罗-弗兰克尔公理得出证明，而且，即使把选择公理保留在策梅罗-弗兰克尔系统中，连续统假设，也包括一般的连续统假设，还是不能证明（然而，不包括选择公理的策梅罗-弗兰克尔系统，如果加入一般的连续统假设，都蕴涵了选择公理）。这两个独立性结果意味着在策梅罗-弗兰克尔系统中，选择公理和连续统假设都是不可判定的。特别是，对于连续统假设，柯恩的结果表明了有可能在à0 和2à0。（即c）之间存在某个超限数，即便没有任何已知的集合具有这样一个超限数。
从原理而言，柯恩的称为力迫法的方法，与其他的独立性证明并没有什么不同。由此人们可能会联想到，为了表明平行公理确实独立于其他欧氏几何公理，人们必须要找出一个解释或者模型，它能满足除去存有疑问的平行公理之外的所有其他公理①。这一模型必须相容，否则它也许会满足存有疑问的公理。相对于弗兰克尔、哥德尔等人早期的证明，柯恩的改进在于他仅仅使用到了不包括任何辅助公理的策梅罗-弗兰克尔公理。还有，与选择公理的独立性存在早期证明（尽管不尽人意）相反，连续统假设的独立性在柯恩的工作之前一直悬而未决。
① 一般的连续统假设是，一个基数为(n 的集的全体子集所成集的基是2(n，即(n+1。康托尔已经证明了2(n＞(n。——原注
① 在群论中乘法交换公理独立于其他公理，某些模型满足它，如普通正整数和负整数；某些模型不满足它，如四元数。——原注
因此，为了在集合论基础之上（甚至在逻辑主义基础之上或是在形式主义基础之上）构造数学，人们可以有几种不同的做法。一种做法是避免使用选择公理和连续统假设，这将会限制一些能够证明的定理。《数学原理》在它的逻辑原理中就没有包括选择公理，可是确实在一些定理的证明中用到了，这时该公理得到了明确的表述。事实上，在现代数学中它是一个基本的定理。另一种做法是或者承认或者否认选择公理以及连续统假设。否认选择公理，可以假定即使对集合的可数族也不存在明确的选择；否定连续统假设，可以假定2à0=à2 或à3 柯恩正是这样做的，并且他给出了一个模型。
存在许多种数学，集合论（除去其他的数学基础）可以向许多方向发展。进而，人们可以只对集合的有限族使用选择公理，也可只对集合的不可数族使用选择公理，自然，还可以对任何集合族使用选择公理。这种种做法，均有人尝试过。
由于柯恩的独立性证明，数学陷入了类似于非欧几何所造成的混乱那样的窘境。众所周知（见第八章），平行公理独立于其他欧氏几何公理的事实，使几种非欧几何的构造成为可能。柯恩的结论提出了如下的问题：面对这两个公理，数学家们该做何种选择？即使只考察集合论公理化的方法，选择的多样性也同样令人不知所措。
这种选择之所以不能轻易做出，其原因是在每种情况下都会产生正面的和反面的后果。就像已经提及的，克制不用这两个公理，将会严格地限制能够被证明的定理，并且迫使人们排除许多在现存的数学中一直被认为是基础的东西。即使是证明任何无限集合S 具有可数无穷子集，也需要选择公理。需要选择公理才能证明的许多定理在现代分析、拓扑学、抽象代数、超限数理论以及其他一些领域中都是基础性的定理，因此，不接受选择公理会使数学家们举步维艰。
与之相反，如果承认选择公理，那么某些证出的定理至少是违反直觉的。著名的巴拿赫-塔斯基（Banach－Tarski）悖论即是其中之一，其可以描述如下：两个实心球体，一个大小与篮球相仿，另一个大小与地球一样，它们能够分别被分割成互不重叠的有限份，而且使得大球体的每一份与小球体的每一份对应全等。或者也可这样描述：可以把整个地球分成有限份，然而重新拼装成一个篮球大小的球体。1914 年发现的这个悖论的一个特例表明，一个球面可以分割成两部分并重新组合成两个完整的球面，每个新球面的半径都与原球面相同。与19 世纪集合论碰到的悖论不同，这些新发现的悖论并不存在矛盾，它们只不过是集合论公理与选择公理的逻辑推论。
否定一般化的选择公理也导致了新奇的结论。一个技术结果或许对专家们更有意义，即每个线性集合都是可测的。换言之，既然选择公理蕴涵着不可测集合的存在，那么通过假定每个线性集合都可测就能否定选择公理。此外还有关于超限基数的新奇结论。至于连续统假设，无论承认它还是否认它，人们都冒着进入未知领域的风险，可是，有意义的结论迄今没有得到。但是，一旦假定2à0=à2，那么每个实数集合就都是可测的了。当然，还可以推导出其他的新结论，可是它们都不甚重要。
就像对平行公理的研究将几何学领到了一个十字路口那样，柯恩对这两个有关集合的公理所做的工作将以集合论为基础的数学也领到了错综复杂的交叉路口。这开创了数学的几个发展方向，但却没能给出任何明显的理由来说明哪个更为优越。事实上，自从柯恩1963 年的工作以来，在策梅罗-弗兰克尔集合论中发现了如此众多不可判定的命题，使得人们对选择（使用基本的策梅罗-弗兰克尔公理再加入一条或多条不可判定命题）的多样性无所适从。选择公理和连续统假设的独立性证明就好比告诉一个建筑师，只要稍稍改动他的图纸，就可以用一个城堡取代他原来要建造的办公楼。
当前集合论的研究者希望他们能按照某种可靠的方式修改集合论公理，借此能确定是否可以从一组能够为数学家们广泛接受的公理出发推导出选择公理以及连续统假设。按照哥德尔的观点，这些可能性应该是可以实现的，为此人们已付出了巨大的努力，但迄今为止没有成功。或许在未来的某一天，对于使用什么样的公理最终会取得一致的意见。
困挠数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及柯恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆(LeopoldL?wenheim）1915 年开始的，通过从1920 年到1933 年之间斯科伦（Thoralf Skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的勒文海姆-斯科伦定理。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论，建立了合乎逻辑的数学公理，对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型，都能满足这些公理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在à0 个整数，则存在着与整个实数集合（甚至在超限的涵义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。
这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻划了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型，因此，数学真理性不可能一丝不苟地与公理化一致①。非预期的解释之所以可能，原因之一在于每个公理化系统内部都有未定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的，可事实上公理并没能做到这一点。因此，未定义概念的概念必须以某种非预期的方式加以更改。
① 旧课本“证明”了基本系统是无条件的，换言之，所有关于基础公理系统的解释同构——本质相同而表述不同。但这些“证明”即使用希尔伯特元数学所禁止使用的逻辑原理来衡量，也是不严密的，并且公理化基础也没有像今天这样仔细地系统阐述。没有什么公理集合是无条件的，即使是希尔伯特所“证明”的还是其他什么。——原注
勒文海姆-斯科伦定理与哥德尔不完备性定理同样惊世骇俗。对于发端于20 世纪初的公理化方法而言，它无疑是另一次沉重打击。直到不久前公理化仍被认为是唯一可靠的方法，而且仍被逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者使用着。
从总体上来看，勒文海姆-斯科伦定理并不出人意料。哥德尔不完备性定理表明每个公理化系统都是不完备的，即存在着不可判定的命题。假定P 就是一个这样的命题，那么不管是P 还是非P 都不能从这些公理中推导出来。因而人们可以接受一个更大的公理系统：原来的公理集合加上命题P 或是命题非P。由于解释不会是同构的，所以这两个公理系统也不是无条件的，也就是说，不完备性是有条件的。但勒文海姆-斯科伦定理是以一种更强硬也更根本的方式否定了无条件性。它证实了对于一个给定的公理系统，可以存在完全不同的解释或模型，而这无须加入任何新的公理。当然必须得出不完备性，否则的话，完全不同的解释是不可能的。而且为了不被所有的解释所共同包容，关于某个解释的一些有意义的陈述也必定会是不可判定的。
经过对自己的结论再三考虑之后，斯科伦在1923 年的一篇论文中表示，对于把公理化方法当作集合论的基础他是持反对意见的。即便是冯?诺依曼也在1925 年表示赞同他自己的公理以及其他关于集合论的公理系统全都贴上“不真实的标记，??集合论不可能无条件地公理化。??既然算术、几何等不存在公理体系，而对集合论却没有这样假定，那么也就必定不存在无条件的公理化无穷系统。”这一情况，他继续写道，“对我而言，是有利于直觉主义的又一论据。”
数学家们试图通过回想非欧几何的历史使他们自己平静下来。在对平行公理争论了几个世纪之后，罗巴切夫斯基和鲍耶创立了他们的非欧几何，黎曼也给出了另一个几何学。数学家们起初倾向于抛弃这些新生的几何学，这有若干理由，其中之一是它们必定是不相容的，可后来的解释表明它们是相容的。例如黎曼的双椭圆几何学，与人们开始的意愿（应用于普通平面的图形）完全不同地按照球面上的图形得到了解释（见第八章）。然而，这个解释或模型的发现是受欢迎的，它证实了相容性。而且黎曼最初的期望与后来的解释在研究对象的数目上并没有引入什么不同，无非是点、线、面、三角形等等而已。用数学的语言来讲，这两个解释是同构的。然而，勒文海姆-斯科伦定理所适用的公理系统的不同解释并不同构，它们是完全不同的。
关于数学的抽象性，彭加勒曾经说过，数学是一门为不同事物起相同名字的艺术。例如，群的概念就可以表示整数、矩阵以及几何变换的全部特性。勒文海姆-斯科伦定理支持了彭加勒的观点，然而却改变了它的含义。人们并不期望群公理能表明所有解释具有相同的适用范围和特性（群公理不是无条件的；如果忽略平行公理，欧氏几何也不是无条件的）；与此相反，数学家们原以为适用勒文海姆-斯科伦定理的那些公理系统只指明一个特定的解释，于是，当它们适用于完全不同的解释时，令数学家们茫然不知所措。
上帝打算毁灭某些人，首先是使他们发疯。也许是上帝仍不相信哥德尔和柯恩的工作，或者是勒文海姆和斯科伦还打算施展什么诡计，他们又开始了进一步的发展，似乎要使数学家们陷入绝境。在探讨微积分时，莱布尼茨引入了无穷小量（见第六章）。他认为无穷小量比1，0.1，0.01，??以及其他任何正数都小，但不是零。进一步他认为，人们可以像使用其他普通数一样使用无穷小量。虽然它只是一种理想的元素，或者说是一种虚构的东西，但确实是有用的。事实上，对莱布尼茨而言，微积分学的基本概念——导数，就是两个无穷小量的比值。莱布尼茨还像对普通数值那样，也使用了无穷大量。
在整个18 世纪，数学家们一直为无穷小的概念争论不已。一方面，他们任意地、甚至是不合乎逻辑法则地使用它们；另一方面，他们最终又把无穷小作为没有意义的东西而扔掉。柯西不仅拒绝无穷小量而且想努力消除它们，然而，无穷小是否合理的问题依旧存在。米塔格-莱夫勒（G?staMittag-Leffler）有一次问康托尔，在有理数与实数之间是否存在另外一类数，后者坚决予以否认。1887 年，康托尔又证明了无穷小量在逻辑上是不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米得公理，即对于任意实数a，总存在一个整数n，使得na 大于另一给定的实数b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。罗素在他的《数学原理》中对此表示赞同。
然而，即便是伟人的号召，也不会得到非常迅速的响应。从亚里士多德时代以及从那时起很长的一段时间里，地球是球体的观念被众多思想家认为是荒诞不经而遭摒弃。因为如果是那样，生活在地球另一面的人就会在空中倒垂着他们的头颅。可事实上，球体才是正确的观念。同样地，尽管莱布尼茨关于无穷小量的证明必须摒弃，依然有许多人试图为它建立一个合乎逻辑的推论。
杜布尔-雷蒙、斯笃兹（OttoStolz）和克莱因的确认为基于无穷小的相容理论是可能的。事实上，克莱因指出，为了得到一个这样的理论，就必须放弃阿基米得公理这一关于实数的最基本的公理。斯科伦也在1934年引入了不同于普通实数的一种新数，超整数，而且给出了它们的一些性质。若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而最重要的贡献则是由罗宾逊（AbrahamRobinson）作出的。
称为非标准分析的新系统引入了超实数，它包括原有的实数以及无穷小。正像莱布尼茨所做的那样，一个正无穷小被定义为小于一切普通的正数而大于零的数值；类似的，一个负无穷小则大于一切负实数而小于零。这些无穷量都是固定的数值，从而它们既不是莱布尼茨意义上的变量，也非可以逼近零的变量，而是柯西有时使用这个术语时所表示的含义。更进一步，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数r 可表成x+a 的形式，其中x 是一个普通的实数而a 是一个无穷小量。
有了无穷小的概念，人们就可以说两个超实数无限接近了，这意味着它们的差是一个无穷小量。于是每个超实数都无限地接近于一个普通的实数，因为差恰好是无穷小。人们可以随心所欲地使用超实数，就像使用普通的实数那样①。
① 如果使用实数通常的公理性质，那么摩托尔和皮亚诺的证明是正确的，这条必须修正以容纳超实数的性质即为上面描述的阿基米得公理。R*，这个超实数的系统，在通常意义上是非阿基米得的，但如果我们允许超实数系统的数a*的无穷多倍，它就是阿基米德的。——原注
使用新的超实数系统，人们可以引入其值既可以是普通实数又可以是超实数的函数。根据这些数，人们还可以定义函数的连续性：如果x-a 是无穷小量，那么f(x)-f(a)也是无穷小量，此时称f(x)在x=a 处连续。我们还可以用超实数定义导数和其他微积分的概念，进而证明分析的全部结论。最主要的一点是：超实数系统使人们能以一种精确的方式取得微积分学的成果，而先前人们正是因为不清晰甚至无意义而拒不接受微积分②。
使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是又开创了一条新路，而这正是一些数学家所渴望的。事实上，关于非标准分析的论著已经并正在不断涌现，而另外一些人则因为这样或那样的原因而责难这种新型的分析。但是，物理学家们确实得救了，因为即便是在知道了柯西已摒弃无穷小之后，为了方便起见，他们仍旧在使用着这一有益的工具。
1900 年以来数学基础的进展是令人迷惑的，即使在目前，数学的状况仍旧杂乱无章，前进的道路上不再有真理的光芒。曾被普遍赞赏和普遍接受的数学，其证明尽管有时需要校正，但曾被认为是可靠推理的极致，到现在，这种看法改变了。对待数学可以采取相互矛盾的态度，在逻辑主义、直觉主义和形式主义的基础之外，集合论的方法又独立地给出了众多的选择。一些有歧义的甚至是矛盾的观点在其他学派内也是可能的。正由于此，在直觉主义哲学内部，可构造化运动又分成了许多小派别。对形式主义，什么样的数学原理可以使用存在众多有待取舍的选择。而非标准分析，虽然并不属于任何一个学派，却允许采取在分析中会引起歧义甚至是矛盾的观点的态度。无论如何，以前曾被当作不合乎逻辑的和应该摒弃的，现在却被一些学派认为是逻辑上可靠的而接受。
至此，旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。是接受公理化方法，还是接受非公理化的直觉主义方法，如果接受公理化方法又接受哪些公理，对这一切再也不会存在一致的看法了。数学是建立在各自的公理集合之上的一组结构，这一流行的观点不足以包含数学所应该包含的东西，另一方面又包含了比它应该包含的更多的东西。不一致甚至殃及到推理，排中律不再是毫无疑义的逻辑原理，争论的焦点是存在性证明中不允许计算其存在性正被确立的量及是否可用排中律证题，为此，完美推理的观念必须放弃。显然不同的数学将导致选择的多样性，因此，近期数学基础研究所谓取得突破性的进展不过是邂逅了又一片荒野。
我们上面描述的自1931 年以来取得的这些成果，使得逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者彻底绝望，而唯有直觉主义者对此保持了某种程度的镇定和乐观。使用逻辑符号和原理所做的全部工作，即使对最睿智的伟人的思想也构成了责难，对直觉主义者却是风马牛不相及。数学的相容性是显然的，因为直觉的意义保证了这一点，至于选择公理和连续统假设，他们并不承认。并且布劳维在1907 年已对此讲得相当多了，不完备性和不可判定命题的存在不仅没有使他们感到困扰，而且他们还振振有词：我早就这样跟你讲过了。然而，即使是直觉主义者也不希望抛弃在1900年之前建立的那部分不合乎他们标准的数学。他们已经断言，通过使用排中律确立数学的存在性是不能接受的，只有允许人们按照希望的精确度对其存在性正被证实的量实施运算的那些构造，才是令人满意的。因此，他② 例如，根据非标准分析，在系统R*中存在无穷小的比值，就是2x+dx，其中dx 是一个无穷小量。也就是说， 是一个超实数，导数2x 是这个超实数的标准部分。类似的，定积分是无穷多个无穷小量的和的标准部分，而被加数的个数本身是一个非标准的自然数。——原注们仍在争论着构造性的存在性证明。总之，没有哪个学派有权力宣称它就代表了数学，而更加不幸的是，正如海丁在1960 年评论的，从1930 年开始，无休无止的论战取代了友好合作的精神。
在1901 年，罗素说到，“现代数学最主要的成就就在于发现了什么是
真正的数学。”这些话至今仍能自然而然地打动我们。除了几个学派在作为今天的数学什么是可以接受的问题上存在分歧之外，人们可以对将来给予更多的期望。现存的学派一直在忙于证明当前的数学是正确的，但如果注意到希腊数学在17 世纪和19 世纪的遭遇，人们就会发现戏剧性的巨变。这几个现代学派试图证明20 世纪数学的正确，可它们能符合21 世纪数学的要求吗？直觉主义者确实在思索着数学的成长与发展，可是他们的“直觉”有能力给出或产生历史上没有的东西吗？当然，即便在1930 年，回答也是否定的。因此，对数学基础的修正看上去总是必需的。
一个寓言恰如其分地概括了本世纪有关数学基础的进展状况。在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们认为，正是蛛网支撑着整个城堡。
第十三章 数学的孤立
我已决定只放弃抽象几何，即放弃对仅有智力训练意义的问题的思考。而这是为了研究另一种以解释自然界现象为目标的几何。
——笛卡尔
数学史中充满了光辉的成就，但它同时也是一部灾难的记录。真理的丧失当然是最重大的悲剧，因为真理是人类最珍贵的财富，即使丧失一个也足以令人扼腕。对数学的另一个打击是意识到人类推理的成就所展示的结构绝非完美，而是有着种种缺陷，对任何时候发现的灾难性的悖论都不堪一击。但这还不是伤心的唯一原因。深深的怀疑以及数学家们之间的分歧来自于在过去一百年中研究方向的不同。大多数数学家从现实世界中退缩而关注于数学之中产生的问题。他们放弃了科学。这个方向作为应用数学的对立面而被称为纯数学。但是应用的和纯粹的这些术语并不能十分精确地说明所发生的变化。
数学是什么？对于前人来说，数学首先是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。数学的主要概念、广博的方法，以及几乎所有的重要定理都是在这一过程中推导出来的。科学一直是维持数学生命力的血液。在科学领域中，数学家是物理学家、天文学家、化学家及工程师的热心同伴。
事实上，在17、18 世纪以及19 世纪的绝大多数时间里，数学与理论科学的区别很少被注意到，而且许多杰出的数学家在天文学、力学、动力学、电学、磁学及弹性理论中所做的工作远超过他们在数学中的工作。数学是科学的王后，同时也是它们的女仆。
我们已经叙述了（第一章至第四章）自希腊时期起为了揭示自然界的数学奥秘的漫长努力，这种致力于自然界的研究并没有把所有的应用数学束缚于物理问题的求解。伟大的数学家们时常越过科学中的眼前问题，因为他们大智大慧，深刻了解数学的传统作用，并且能够明确那些在科学事业中被证明是具有重大意义的方向及澄清那些对研究自然有帮助的概念。彭加勒在天文学上投入数年功夫，写出了巨著《天体力学》，他看到了探求微分方程中新的主题之必要性，它也许最终会推动天文学。
有些数学上的研究导致并且完善了一些已被证明有用的学科。如果在一些不同的应用中用到了同一类型的微分方程，则为了发现改进的或一般的解法，或为了尽可能多的了解关于整个解族的情况，数学家们会研究一般类型。正是数学的这种高度抽象的特点，使得它可以表示完全不同的物理现象。因此，水波、声波及无线电波都用一个偏微分方程来表示。事实上，这一方程被称为波动方程。通过对波动方程本身的进一步考察而获得的其他数学知识，首先起源于对于声波的研究。由现实世界中的问题而获得的丰富结构，可以由认识到在不同情况中的相同数学结构及其共同的抽象基础得到加强。
为了保证物理问题的数学方程有解，柯西率先建立微分方程的存在性定理，这样才能充满信心地寻求这个解。因此，尽管这项工作完全是数学的，但它却有着深远的物理意义。康托尔的关286 于无限集的工作导致了纯数学上的许多探讨，但它首先是受他试图解决关于傅立叶级数的极为有用的无穷级数的问题激发的。
数学的发展要求对独立于科学的问题进行探求。我们看到（见第八章）19 世纪的数学家已经意识到许多概念的含混不清以及它们论据的不足。追求严密性的这一广泛运动的本身当然既不是对科学问题进行探讨，也不是几个学派重建基础的尝试。所有这项工作虽然是致力于数学，但显然是对整个数学结构的迫切需要的反应。
简而言之，有许多纯的数学研究完成了或加强了旧的领域，甚至开辟了新的领域，它们对探索应用意义重大。所有这些方向的研究都可以看作是具有广泛意义的应用数学。
那么一百年前就没有单纯地为其自身、而不是为实用而创建的数学吗？有的。一个突出的例子就是数论。尽管毕达哥拉斯认为对整数的研究是对实际物体的构成的研究（见第一章），但是数论很快就由于它自身的原因引起了人们的兴趣——它是费马的主要课题。文艺复兴时期的艺术家们为了获得绘画中的真实感而创建了投影几何，笛萨格从事了这方面的研究。帕斯卡提出了欧氏几何的更高级方法，使之在19 世纪成了纯美学的研究，尽管即使在那时这种研究也是由于它与非欧几何的重大联系。许多其他的研究课题则纯粹是由于数学家发现它们有趣或富有挑战性。
然而，与科学完全无关的纯数学不在主要的考虑之列。从科学引起的更富生命力且令人极感兴趣的问题中分离出来，这只是一种嗜好。尽管费马是数论的奠基人，但他更多的精力是投入到解析几何的发明、微积分问题以及光学（见第六章）。他试图引起帕斯卡和惠更斯对数论的兴趣，但是失败了。17 世纪，很少有人会对这类学科产生兴趣。
欧拉确实在数论上花了一些功夫，但欧拉不仅仅是一个18 世纪卓越的数学家，他也是卓越的数学物理学家。他的研究范围从解决物理问题的数学方法如微分方程求解，到天文学、流体运动、舰船的设计、火炮、制图、乐器理论以及光学。
拉格朗日也在数论上投入了一些时间。但是他也同样把他毕生大部分精力花在了对应用至关重要的数学——分析之上（见第三章）。他的代表作是《分析力学》，讨论数学在力学中的应用。事实上，在1777 年他抱怨道：“算术研究给我带来了极大的麻烦，而且也许毫无价值。”高斯也在数论方面作出了令人瞩目的成就，他的《算术研究》（1801 年）是一部经典名著。如果只看这部著作，则很容易相信高斯是个纯数学家，但他的主要精力却放在了应用数学中（见第四章）。克莱因在他的19 世纪数学史中称《算术研究》为高斯青年时期的作品。
虽然高斯在晚年确实回到了对数论的研究，但他显然不认为这一学科十分重要。证明费马大定理问题即没有大于2 的整数满足xn+yn=zn，常常困扰着他，但在1816 年3 月21 日写给奥尔帕斯(Wilhelm Olbers)的一封信中，高斯称费马猜想是一个孤立的定理，没有什么意义。他还说，有许多既不能证明也不能证伪的猜想，但他是如此繁忙，以至于没有时间去考虑他在《算术研究》中所做过的那类工作。他希望费马猜想也许能在他所做的别的工作基础上得到证明，但那将是最无意义的推论了。
高斯曾说“数学是科学中的王后，而数论是数学中的王后。她经常屈尊降贵为天文学及其他自然科学助一臂之力，但无论如何，她总是处在最重要的位置。”这说明了他对纯数学的偏爱。但高斯的毕生事业并没有遵从这句话。他很可能只在某些闲暇的时候做到了这一点。他的格言是：“你，自然，我的女神：对你的规律，我的贡献是有限的。”富有讽刺意义的是：通过有关非欧几何的工作，他对于数学与自然一致性的一丝不苟的证明，对怀疑数学的真理性起着深远的影响。对于1900 年以前所创建的数学，我们可以得出一般的结论：存在纯粹数学，但不存在纯粹的数学家。一些进展奇妙地改变了数学家们对自己工作的态度。首先是认识到数学并非一个关于自然的真理体系（见第四章）。高斯在几何中使这一点很清楚，而四元数及矩阵迫使人们意识到这一点，亥姆霍兹理解得更透彻——即使是一般的数的数学也并非是可用的先验理论。数学的实用性虽说无懈可击，但对真理的探求不再证明数学的努力全然正确。
此外，像非欧几何和四元数这些重大的发展尽管是受物理思考的启发，显得与自然不一致，但其导出的发明是实用的。人们认识到人为的发明同那些看起来遵从自然界的固有规律的事物一样有意义，这很快成为全新的数学方法的一个论据。因此，许多数学家得出结论：没有必要去研究现实世界中的问题，人为的数学来源于人的大脑并肯定将会被证明是有用的。事实上，不受限于物理现象的纯思维，也许会做得更好。不受任何约束的想象力也许能创造出更为有力的理论，而它们同样能在理解和掌握自然中找到应用。
还有其他的原因使得数学家们逃离了现实世界。数学和自然科学的巨大扩展，使得在两个领域中得心应手变得十分困难，而以前的巨匠们钻研过的科学问题更加难解了。既然如此，为什么不立足于纯数学，以使研究更简单呢？
使得数学家们着手于纯数学问题的另一因素是：自然科学的问题很少能彻底解决。人们可以得到越来越好的近似解，但得不到一个最终的解答。一个基本问题——例如三体问题，即像太阳、地球及月球这样的三个天体，每一个都靠万有引力吸引着其他的两个，它们的运行规律还没有解决。正如培根所言，自然界的精巧远胜于人类智力。另一方面，纯数学允许明确的有所限制的问题，其完全解是可以得到的，把明确的问题与复杂度和深度无限的问题相对立这一点颇为有趣，即使是像哥德巴赫猜想这样的至今尚未征服的少数难题，也有着极富诱惑力的论述上的简洁性。
另一促使数学家从事纯数学问题研究的因素是来自大学之类机构的出版成果的压力。由于应用问题需要除了数学之外的自然科学的丰富知识，这就使那些待解决问题愈加困难，因此，提出自己的问题并尽力解决就容易得多了。教授们不仅自己选择那些易于求解的纯数学问题，还把它们指定给他们的博士，以便他们可以很快地完成学位论文，同时教授们也能够更轻易地帮助他们克服所遇到的困难。
几个现代纯数学所循方向的例子可以使纯数学与应用数学的区别更清楚。一个领域是抽象化。自从哈密尔顿引入了他在思维中赋与了物理应用的四元数后，其他数学家意识到可以有多种代数，而不顾其有无潜在实用性。这一方面的研究结果充斥了今日的抽象代数领域。
纯数学的另一方向是一般化。圆锥曲线——椭圆、抛物线、双曲线——代数上以二次方程来表示，有一些以三次方程表示的曲线也具有实用意义。一般化的研究一下子跳到n 次方程所表示的曲线，而且对其性质进行了详细的研究，尽管这些曲线根本不大可能在自然现象中出现。通常，具有一般性或抽象性的论文毫无实用价值。实际上，大多数这样的论文致力于把当前存在的用具体明确的语言描述的公式用更一般的、更抽象的或新的术语进行重新公式化，而这样的重新公式化对于应用数学的人来说，既不能提供更为有力的方法，也不能提供更深刻的见解。这些增加的术语大部分是人造的，与物理思想无甚联系，但据称能提出新的思想，当然并不是对数学应用的贡献而是阻碍。它是新的语言，但不是新的数学。
纯数学研究的第三个方向是专门化。欧几里得考虑和回答是否有无穷大的素数。现在“自然”的问题则是是否任何七个连续整数中有一素数。毕达哥拉斯引入了亲和数的概念。如果一个数的因子之和等于另一个数，则称这两个数为亲和数。例如，284 和220 就是亲和数。列奥纳多?迪克森，杰出的数论专家，引入了三元亲和数：“我们说三个数构成三元亲和数，如果其中一个数的真因子之和等于另外两数之和。”他还提出了如何寻找这类数的问题。另一个例子是关于强大数(powerful number)的。一个强大数是这样一个正整数，如果它能被素数p 整除，则也能被p2 整除。有没有（除1 和4 之外）正整数其可用无穷多种方法表为两个互为素数的强大数之差呢？
选择这些专门化的例子，是由于它们易于陈述和理解。它们并不能完全代表这类问题的复杂性和深度，然而，专门化已经变得如此广泛，而且问题是如此狭窄，以致于没有几人能弄懂它，就像当初相对论问世时，全世界仅有12 人懂得它。
专门化如此泛滥，以致于并不致力于应用数学的大多数布尔巴基派成员也认为必须提出批评了。许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像彭加勒和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外。
专门化的代价是创造力的枯竭，专门化需要鉴赏力，因为它很少提供有价值的东西。抽象化、一般化和专门化是纯数学家从事的三类活动。第四类是公理化。毫无疑问，19 世纪末的公理化运动是有助于加固数学的基础的，虽然它并没有为解决基础问题划上句号，但一些数学家从此却开始了对新创的公理体系的细枝末节的修改。有些人可以通过重述公理，使表述更为简洁。有人则通过繁琐的文字叙述把三条定理合为两条。还有一些人则选择新的未定义概念，通过重新组织那些公理因此而得到与原来相同的理论体系。如我们看到的，并非所有的公理化都毫无用处，但所能做的这些修修补补实在是意义不很大。解决实际问题要求人们全力以赴，因为必须面对这些问题，但公理化却允许各种各样的自由。它基本上是人们深层次结果的组织，但是人们是否选了这一组公理而不是那一组，是15 条还是20 条，是无关紧要的。实际上，甚至一些杰出的数学家也曾花费过时间来研究过各种各样的变体，它们被贬斥为“微不足道的假定”。
本世纪的最初几十年中在公理化上花的时间和精力是如此之多，以致于魏尔在1935 年抱怨说公理化的成果已经穷尽。尽管他很清楚公理化的价值，他还是恳求人们回到实际问题上来。他提出公理化只是对实在的数学赋于精确性和条理性，它是一个分类函数。
不能把所有的抽象化、一般化、专门化问题以及公理化看作是纯数学。我们已指出这样一些工作及基础研究的价值，我们必须了解这项工作的动机。纯数学的特征是它不具有直接或间接应用意义。纯数学的实质在于问题就是问题，有些纯数学家分辩说，任何数学发展都具有潜在的实用价值，只是没有人能预见到其未来的应用。不过，一个数学主题犹如一块蕴藏石油的土地，表面的黑色坑洼可能提示出一个特定的开采石油的地点，如果发现了石油则这块土地的价值也就确定了。被证实的价值保证了在离它不太远处继续钻井有望找到更多的石油。当然，也可以选择一个离它很远的地方，因为这里钻井比较容易，而且仍然有望获得石油。但人的精力和智力有限，因此应当投入到把握较大的冒险中。如果目标是潜在的应用，那么，正如杰出的物理化学家吉伯斯（Josian Willard Gibbs）所言，纯数学家可以无所顾忌，为所欲为，而应用数学家至少应保持一点清醒的头脑。对纯数学——为其本身意义而存在的数学——的批判可追溯到培根的《学术的进展》（1620 年）。他反对纯粹的、神秘的、自足的数学，说它“完全脱离实际和自然哲学的原理，只是满足了这样一些人的胃口，他们希望阐述和了解对人的头脑并不重要的东西。”他这样理解应用数学：
自然界的许多部分不能没有数学的帮助或介入，必须靠足够的精巧来发明，或足够的娴熟技巧来显示，或足够的熟练来帮助应用，包括透视学、音乐、天文学、宇宙结构学、建筑学、机械学及其他??。因为随着物理学的日新月异的发展及新的公理的推出，它将会在许多方面有求于数学新的帮助。因此应用数学的混合部分就变得益发多了。
在培根的时代，数学家对于物理研究的关注毋须多提，但今天的事实是他们逃离了自然科学。在过去的100 年中，在那些恪守古老的、高雅的数学活动目的——这一目的到那时为止提供了实质性和丰富的主题——的人和那些听凭兴趣所至从事研究的人之间产生了分裂。如今，数学家与科学家分道扬镳，比较新的数学发明少有实用价值，而且，数学家和科学家不再互相理解。令人不安的是随着专门化的日益深化，数学家甚至不再了解其他的数学家。
脱离“现实”，为了其自身原因而进行研究的数学，几乎从一开始就激起了反对。在傅立叶的经典著作《热的分析理论》（1822 年）中，他热情地称颂数学在物理问题中的应用：
对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。它是物筑分析本身的一种手段，也是发现最重要的，自然科学必须始终保持的思想的一种方法。而基本的思想是那些表示自然现象的思想。??
它的主要特征是清晰，没有令人迷惑的符号，它把截然不同的现象放到一起，发现它们隐含的相似性。如果物质绕开我们，比如空气和光，那是因为它们特别稀薄；如果物体被固定在远离我们的无限的宇宙中，如果人类想要了解长时间来天体的运行，如果重力和热能在一个固体球体内部深不可测的地方永恒地作用着，数学分析还是能抓住这些现象的规律，并使它们表面化且可测，就像注定要用人类的推理能力来补偿生命之短暂和感官之不完善；而更奇妙的是，在对所有的现象进行研究时，它遵循同样的方法，为了验证宇宙设计的统一性和简洁性，使统治所有自然事物的永恒秩序更清晰，它用同样的语言来诠释一切。
尽管雅可比在力学和天文学中做出第一流的工作，但他却向他认为至多是一面之词的论点提出了异议。1830 年7 月2 日，他写信给勒让德说：“傅立叶确实认为数学的主要目标是公众的利益和对自然现象的解释；但像他这样的科学家应该知道自然科学的唯一目标是人类精神之荣耀，而且依此为据，数论问题和一个关于行星系的问题同等重要。”
当然数学物理学家们并不偏袒雅可比的观点。汤姆逊(WillianThomson）和泰特（PeterGuthrieTait）在1867 年称最好的数学是由应用提出的，它会产生令人惊讶的纯数学的理论，但那些把自己囿于纯粹分析或几何的数学家们却不能达到那个富饶美丽的数学真理之乡。
许多数学家也为新的纯粹研究的趋势忧心忡忡，1888 年克罗内克写信给数学、物理及医学上都颇有建树的亥姆霍兹说，“你的合情合理的实际经验与有趣的问题造成的财富将给数学家们指明新的方向，注入新的动力。??片面而过分内省的数学思维把人们带向不毛之地。”
1895 年，当时数学界的领袖人物F?克莱因也感到有必要反对这种抽象的纯粹数学趋势：
在现代思维的急速发展中，我们禁不住要担心，我们的科学面临着越来越独立的危险。自现代分析兴起以来，对数学和自然科学双方都有裨益的二者之间的紧密联系，正面临着被破坏的危险。
在他《陀螺的数学理论》（1897 年）中，克莱因又回到了这一问题：当今数学科学中最大的需要是纯数学和自然科学的各个分支——在此以后将找到它最重要的应用——应当再一次建立起紧密的联系，这一联系在拉格朗日和高斯的工作中已被证明是极富成果的。
彭加勒在他的《科学与方法》中尽管对某些19 世纪后期的纯逻辑创造颇有微词（见第八章），但还是承认公理化、不一般的几何及奇特函数向我们显示了当人们的智力越来越多地从外部世界的统治中解放出来，它会创造出什么奇迹。然而他坚持“我们必须把大部分精力投入另一方向，即自然界的那一边”。在《科学的价值》中，他说：
如果不记住了解自然界的欲望在数学的发展过程中所起的最重要的和最令人愉悦的影响，就会完全忘记科学史。??忘记外部世界之存在的纯数学家将会像一个知道如何和谐地调配色彩和构图，但却没有模特的画家一样。他的创造力很快就会枯竭。
稍后，1908 年，F?克莱因由于担心创造任意结构的自由会被滥用，他再次强调说：任意的结构是“所有科学的死亡”，几何的公理“不是任意的，而是切合实际的陈述。它们通常由对空间的知觉引出，其确切内容则依方便而定。”为了给非欧几何一个公正的评价，他指出视觉只在一定限度内验证欧几里得平行公理。另一方面，他指出“任何持有自由之特权的人必须承担责任”。这里的责任，克莱因指的是对自然界进行探索。克莱因晚年曾是数学界的圣城——哥廷根大学数学系的泰斗。他感到必须做一次更有力的抗议。在他的《19 世纪的数学发展》（1925 年）中，他回忆了傅立叶用所能得到的最好的数学方法解决实际问题的兴趣，并把这与纯数学的精雕细刻和把具体概念抽象化相比。他写道：我们这个时代的数学就像是和平时期的一个伟大的兵工厂，橱窗里满是为了吸引行家的巧妙、精致和好看的各种玩艺儿，它们的真正动机和目标——战斗和征服敌人——已经几乎完全被遗忘了。
库朗，继克莱因之后的哥廷根的数学领袖，后来又成了纽约大学库朗数学研究所的头，也为过分强调纯数学而悲哀。在1924 年库朗和希尔伯特的《数学物理方法》第一版的序言中，库朗以这样的评论为开篇：过去，数学从分析的问题和方法与物理学直观思想的紧密联系获取有力的刺激，然而近年来这种联系呈现松散的趋势。数学研究离开了数学的直观出发点，特别是在分析中集中于其方法的精致及概念的准确。许多分析的领袖人物丧失了他们的学科与物理学及其他领域联系的知识。另一方面，物理学家也不再体会数学家的问题和方法，甚至包括他们的语言和兴趣。科学发展的洪流，可能逐渐分流为越来越细小的溪渠，以至干涸。为了摆脱这种厄运，我们必须将数学研究与自然科学联系起来，只有这样，学者们才能为研究工作更进一步的发展打下基础。
1939 年库朗再一次写到：
数学不过是一个从定义和假设中抽取的结论体系，它必须保证一致性，除此以外数学家可以随心所欲地加以创造，这样一种断言蕴含着对科学的生命力的一个严重的威胁。假如这一描述准确，则数学不能吸引任何有知识的人。它将是一个没有动机、没有目标的定义规则和推理的游戏。智力能够任意地推出有意义的假设体系不过是伪真理，自由的思维只有在有机整体的约束之下，受固有必然性的指引，才能获得具有科学价值的结果。
伯克霍夫(George David Birkhoff)，美国数学界的泰斗，在1943 年的《科学美国人》上提出了同样的观点：我们寄希望于未来，越来越多的理论物理学家们能够更深刻地认识数学的原理；而数学家们也不再把自己局限于数学抽象的美学发展中。
辛格（JohnL.Synge），一位数学物理学家，在一篇颇具萧伯纳风格的技术长文的前言中描述了1944 年的情形：
大多数数学家从事于一致认为是绝对数学的思想的研究，他们形成了一个封闭的行会，初入会时必须发誓不逾越行规。他们通常遵守自己的誓言，只有少数几个数学家四处遛达，直接从其他科学领域中产生的问题中寻找动力。在1744 年或1844 年第二类人差不多包含了所有的数学家。在1944 年这只是如此小的一部分，以致于有必要提醒大多数人，还存在着这样的少数人，并且解释一下这种观点。这少数人并不希望被称为“物理学家”或“工程师”。因为他们遵循着一种包括欧几里得、阿基米得、牛顿、拉格朗日、哈密尔顿、高斯、彭加勒等人延续了20 多个世纪的数学传统，这少数人并不希望贬损大多数人的工作，但确实担心，完全依赖于自己的数学会失去其意义。
与世隔绝的数学家们不仅把精力都用于整个数学的未来，而且剥夺了其他科学一直以来所依赖的一项支持??。正是在对自然界的研究中，才产生了（而且完全可能继续产生）比数学家们闭门造车创造出来的结构复杂得多的问题。科学家们一直依赖数学家来解决这些问题。他们知道数学家不只是一个已经造好的工具的熟练使用者——他们自己也可以相当熟练地使用这些工具；他们依赖的是数学家所特有的品质——他的逻辑上的洞察力和从一般中看出特殊及从特殊中找出一般的能力??。
在所有这些中，数学家是指向者，也是约束者。他给出了科学计算的方法——对数、微积分、微分方程等等——但他给的还远不止这些，他给出了一张蓝图，他坚持思维的逻辑性。每一门新的学科出现他都给它——或试图给它——坚实的逻辑结构，就像欧几里得对埃及人的土地丈量所做的。一门学科初到他手时像一块粗糙的石头，丑陋不堪，而离开他手时已是一块闪闪发光的宝石了。
现在，科学比以往任何时候都要活跃，并没明显的衰败迹象，只有最细心的观察者注意到看门人已擅离职守，他并没有去睡大觉，他像以往一样地努力工作，只是他在为自己干活??简而言之，联盟已被打破——当它存在时曾是多么振奋人心??。自然界将会提出有力的问题，但它们永远到不了数学家那里。数学家可能正坐在象牙塔中等待着敌人的枪林弹雨，但敌人永远不会来到他面前。自然界不会为他提供现成的只等着公式化的问题。他们必须用锹和镐来挖，不愿让自己的双手沾上泥土的人永远也找不到它们。
思维中的变化和衰亡就像人类的变化和衰亡一样，不可避免，一个真正热爱真理的数学家是不会掩饰这一点的，人为的力量不可能激发出如此丰富的智力上的动机。有些东西富有想象力，有些没有；而如果没有，它们就没有激情。如果数学家们真的失去了他们曾经有过的普遍的联系，如果他们在精确逻辑的修正上比在星体的运动中更真实地看到上帝之手——那么任何试图诱使他们回到原来的地方的努力不仅仅是徒劳无功，而且是对个人智力自由的权力的否认。但每一个年轻的数学家，如果他有自己的哲学——每个人都有——应该充分地占有事实后再做决定。他应该意识到如果他遵循现代数学的模式，那么他将是一个伟大传统的继承人——但只是部分继承人。其他的遗产将落入他人之手，而他将再也不能得到它了??
我们的科学始于数学，而且必然在数学从中撤出不久之后
（如果要撤出的话）结束。一个世纪之后将有更大更好的大规模的实验室。这些实验结果是单纯的事实还是成为科学要看它们与数学的实质之间的关系的紧密程度了。冯?诺依曼非常紧张地提出了警告，在时常被引用的论文《数学家》（1947 年）中，他说：
当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接地受到来自“现实”的思想所启发，那么，它就会面临严重困境。它会变得越来越纯粹地美学化，越来越纯粹地“为艺术而艺术”。如果在这个领域周围是互相联系并且仍然与实践经验有密切关系的学科，或者这个学科处于具有非常卓越的审美能力的人们的影响之下，那这种需要不一定是坏事。但是，仍然存在一种严重的危险，即这门学科将沿着阻力最小的途径发展，使远离本源的小溪又分散成许多无足轻重的支流，使这个学科变成大量混乱的琐碎枝节。换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象”的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。起初，风格通常是古典的，一旦它显示出巴罗克①式的迹象，危险信号就发出来了。??总之，每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源，重新注入直接经验的思想。我相信，这是使这门学科保持清新与活力的必要条件，即使在将来，这也是同样正确的。
但纯粹创造的趋势并没有减弱，数学家继续从科学中逃离出来，走他们自己的路。也许是为了自我安慰，他们轻蔑地称应用数学家为迟钝的工匠。他们抱怨说纯数学的甜美音乐尚未奏响便被技术的喇叭声淹没了。然而，他们也感到了必须面对上面所说的那些批评。某些直率者或是忽视或是故意曲解历史，他们分辩说，过去的许多纯粹源于智力兴趣的重大创造，后来都被证明具有巨大的实用价值。让我们来看看这些纯数学家从历史上引证的所谓纯粹的例子究竟是怎样纯粹的？
最普通的例子是希腊人在抛物线、椭圆和双曲线上的工作。纯数学家认为希腊人，特别是阿波罗纽斯仅仅是为了满足数学上的兴趣才研究了这些曲线。而1800 年开普勒发现椭圆恰好是用以描述行星环绕太阳运动所需要的曲线。虽然我们不了解圆锥曲线的早期历史，但权威的历史学家诺依格鲍尔(Otto Neugebauer)提出一种理论认为：它们源于日晷的建造工作。已知古代日晷使用了圆锥曲线的理论，不仅如此，圆锥曲线可以使光线聚焦的事实在阿波罗纽斯对之做出经典性工作很久之前就已为人所知了（见第一章）。物理学将圆锥曲线用于光学（希腊人为之付出了相当多的时间和精力的一门学科），自然推动了对圆锥曲线的研究。
在阿波罗纽斯以前很久，人们就试图通过研究圆锥曲线来解决倍立方体问题，即构造一个立方体，其体积是另一给定立方体的两倍。对希腊几何来说，这是一个重要的问题，即通过构造来证明存在性。确实，阿波罗纽斯也证出了有关圆锥曲线上百条没有立即的或潜在的应用的定理。在这项工作中他与现代人并没有什么区别：发现一个有重大价值的论题并全力解决它，这样做的原因或是上面提过的，对一个有生命力的学科，希望了解得更多，或是当作智力上的挑战。
① 17 世纪欧洲的一种建筑风格，过分雕琢和怪诞。——译注
非欧几何是纯数学中第二个最经常提及的例子，并且后来也发现了它的应用。如果认为数学家们仅仅由于想要看看改变欧几里得平行公理将导致什么结果，因而创立了非欧几何，那么这个论断就抹煞了两千年的历史。欧几里得公理曾被认为是物理空间自明的真理（见第一章），然而，平行公理，尽管欧几里得对它的表述相当慎重和特别，以避免率直的平行线假设，却并不是自明的，这与其他公设有所区别。因此，寻求一个更容易接受的表述的众多努力最终导致人们认识到：平行公设并非必须为真，一个不同的平行公理（结果是一种非欧几何）能同样好地表示物理空间。重要的一点是确认欧氏平行公理真理性的努力并不是“大脑思维的消遣”，而是一种保证几何真理性的尝试，正是这种真理性支承着应用数学中上千条定理。
纯数学家经常引用黎曼的工作，他将那时已知的非欧几何一般化，引入了大量的非欧几何知识，现在称为黎曼几何。这里，纯数学家也坚持认为黎曼创造了这种新几何主要是为了看看能够做什么。但他们的解释是错误的。正如我们所看到的那样，与先前的欧氏几何在表示物理空间性质上一样行之有效的非欧几何产生之时，数学家们试图证明欧氏几何的物理合理性的努力已达顶点。这个意外的事实产生了问题：既然这两种几何学大相径庭，那么真正的物理空间是什么？正是黎曼在1854 年的论文里，为了回答这个问题而创立了更为一般的几何学。从我们有限的物理知识来看，它们在描述物理空间上如同欧氏几何一样有效。实际上，黎曼预言，空间和物质应当一起考虑，那么爱因斯坦发现了黎氏几何学的有效性还值得惊叹吗？黎曼关于几何学相对性的洞察并没有贬损爱因斯坦对于它的巧妙运用，它的适用性是数学家们一直在从事的基本问题，是物理空间实质的研究结果。
也许还应考虑一个例子。现代数学中很活跃的一门分支是群论，纯数学家们探求其内涵。群论主要由伽罗瓦创立，尽管在这以前，拉格朗日和鲁菲尼(Paolo Ruffini)也做过工作。伽罗瓦所处理的问题实际上是数学上最简单最实际的问题，即简单的多项式方程，如下面的二次方程3x2+5x+7=0，三次方程4x3+6x2-5x+9=0以及更高次方程的可解性。这种方程是从大量物理问题中产生的。数学家们在伽罗瓦时代就成功地解决了一至四次方程。阿贝尔证明了不可能用代数方法解出一般形式的五次或更高次方程，如ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0其中，a，b，c，d，e，f 是任意实数或复数。伽罗瓦接着开始证明为什么五次或更高次的一般方程不可能用代数方法求解。在他的工作中，他创立了群论。从多项式方程求解这么基本的问题中发展起来的学科可适用于许多其他的数学和物理问题，这又有什么可惊奇的？当然群论不是独立于实际问题而产生的。
而且，群论的动力并不仅仅建立在伽罗瓦的工作之上。纯数学家们似乎忽略了布拉维（Auguste Bravais）关于晶体，如石英、钻石、宝石的结构的工作。这些物质是由不同的原子通过某种方式在晶体中不断重复排列而成的，并且晶体如食盐和普通矿物，都具有非常特殊的原子排列形式。例如在最简单的情形中，原子虽然是邻接的，但却可以认为它们处在一个立方体的顶点上。从1848 年起，布拉维研究了一种晶体绕另一种晶体的某个轴旋转、平移及关于某个轴的反射能变换成本身的所有可能变换，这些变换组成了各种形式的群。约当（Camille Jordan）注意到了布拉维的这项工作并在他自己1868 年的论文中扩展了它，在他最有影响的《置换专论》一书中把它归入有限群研究的其他动因之一。
布拉维的工作也提示了约当去从事关于平移和旋转的无限群研究。1872 年，F?克莱因在论文中将无限群学科提到重要的位置上来，他把当时已知的不同几何依据在几何中可能的运动群以及在这些运动中仍保持不变的性质来划分。欧氏几何研究的是在旋转、平移以及相似变换条件下仍保持恒定的图形性质。这个区分各种已知几何，以及哪一种几何适合于物理空间的研究工作——那时在数学家的心目中是最重要的问题，没有被视为纯粹数学问题而不予考虑。更多的一些工作则涉及无限连续群和不连续群，以期找到求解微分方程的方法。它们比19 世纪90 年代中形成的抽象群的现代观点更早地进入了数学领域。①
对于那些宣称为纯数学产物的学科——如矩阵理论、张量分析和拓扑学——的研究都揭示了同一问题。例如，现代抽象代数都起源于哈密尔顿创立的四元数（见第四章），其动机是直接或间接的来自物理，而涉及的人则是与数学应用息息相关。换句话说，那些声称是作为纯数学而创立的学科后来都被发现实为应用性学科。而且，历史事实证明，它们都是在研究实际的物理问题或直接与物理问题有关的问题中产生的。常有这种现象产生，最初由物理问题所引发的完善的数学产生了不曾预见的崭新的应用。从而，数学对科学的作用其实是一种还债行为，这种应用是可预料的。本来设计为砍伐木头用的斧子也可以用来将钉子敲入木块，对此我们会感到吃惊吗？数学理论之所以会在科学上有意想不到的应用，是因为它立足于物理基础，而决非因为那些苦思冥想的天才数学家们的预言性的洞察力。这些层出不穷的成功应用决不是偶然的。
哈代是英国数学界的领袖人物，据说他曾做过这样的祝酒词：“祝纯数学永无用处。”迪克森，芝加哥大学的一位权威，经常说：“感谢上帝，数论毫无用处。”
二战时期，哈代在一篇关于数学的文章中写道：我所说的“数学”，意味着真正的数学，即费马、欧拉、高斯和阿贝尔的数学，而不是在工程实验室里沾上数学边儿的东西。我并不只考虑“纯”数学（尽管我最关心的自然是这个问题），我认为麦克斯韦、爱因斯坦、爱丁顿、狄拉克也是“真正”的数学家。
从以上这段话（哈代在《一个数学家的自白》中也重述过）我们可以看出，哈代至少愿意接受一部分应用数学。但他又接着说：我把具有永恒的美学价值的数学知识体系都包括在内，比如说最完美的希腊数学，它是永恒的，因为它最好的部分就像最好的文学作品一样，在几千年后仍不断激发千百万人的满足感。
① 凯莱，曾在1849～1854 年间的论文中提出了抽象群的定义。但在得到更多的具体应用之前，这一抽象概念一直未得到首肯。 — — 原注
哈代和迪克森可以就此而止，因为对他们已有了盖棺定论。他们的纯数学和其他所有为其自身目的而创立的数学一样，几乎肯定没有什么用处。然而，有用的可能性并非不存在。一个在画布随意涂鸦的孩子也许可以匹敌米开朗琪罗（虽然更可能是现代艺术）。而且，正如爱丁顿所指出的，一个乱敲打字键盘的猴子也许会创作出可与莎士比亚相媲美的作品。实际上，在成千上万的纯数学家的工作中可能会偶然得到有用的数学成果，就好像在大街上寻找金币的人有可能会捡到硬币。但是，没有与现实相融汇的智力努力几乎可以肯定是没有结果的。正如伯克霍夫所指出的：“也许，由物理暗示的新数学发现才总是最重要的，因为，从一开始，自然就决定了数学这一自然的语言所必须遵循的模式与道路。”然而，自然并没有大声炫耀这一秘密，她总是喃喃低语。数学家们必须仔细聆听才能将其放大宣扬。
尽管历史事实摆在那里，但仍有一些数学家肯定纯数学的未来应用，实际上，他们宣称将纯数学脱离于科学将使前程更为远大。斯通(MarshallStone)、哈佛、耶鲁和芝加哥大学的一位教授，不久前（1961 年）重申了这一论点。他的《数学革命》一文在赞扬了数学在科学中的重要性以后，接着写道：
从1900 年以来，我们对数学的概念或者说有关的一些观点已发生了一些重要变化，但是真正涉及到思想变革的还是发现它是完全独立于物质世界的??。虽然思维产生于大脑这样的论断隐含着某些含糊和神秘的东西，但除此以外，数学看来与物质世界并没有必然的联系。毫不夸张地说，这个发现标志着数学史中一个最具意义的智力的进步。??当我们再来比较一下今天的数学和19 世纪末的数学时，我们会惊奇地发现我们的数学在数量和复杂程度上的飞速发展，但同时我们也应注意到这些发展与强调抽象概念、与对广泛的数学模型的观察与分析之间存在着密切的联系。其实，通过进一步的研究，我们发现只有把数学与其应用分离开来，才会产生这种新的发展方向。在本世纪内，这个方向已成为其旺盛生命力和发展的真正源泉??现代数学家将会赞同这一观点，即其学科的特点是研究一般抽象体系，每一体系都是由规定的抽象元素所组成，并通过任意的但却有明确规定的内部联系组织建立起来的??。因为数学只有脱离过去那种必须束缚于现实的某一方面的状况，才能成为我们用于打碎枷锁的极端灵活的有力的工具。证明这一论点的例子不胜枚举。??
接着，他又提到了遗传学，对策论以及通迅的数学理论。而实际上，这些都不能使他自圆其说。这些理论都是通过合理应用经典数学得到的。1962 年，在《工业与应用数学评论》刊出的一篇文章中，库朗反驳了斯通的论点：
斯通认为我们生活在一个拥有伟大数学成就的时代，这一成就是前所未有的。“现代数学”的胜利归功于一个基本原则：抽象和数学从物理等学科中有意识地分离，从而数学思维犹如摆脱了沙囊的氢气球，渐渐升高，地面上的一切尽收眼底。我无意贬低或歪曲这位名人的论断和这番说教，但作为一个总括性的断言，作为一个试图给研究，尤其是给教育打上框框的观点，这篇文章似乎是一个危险的信号，并且当然需要增补。热情的抽象主义并未胡说八道，而仅鼓吹些半截子真理，这一点倒也缓解了这个时髦东西的危险。仅代表一个方面的半截子真理是不能将平衡整个真理的其他各个至关紧要方面一扫而光的。当然，数学思维是通过抽象概念来运作的，数学思想需要抽象概念的逐步精炼、明确和公理化。在结构洞察力达到一个新高度时，重要的简化工作也变得可能了。毋庸置疑的是——长期以来人们也一直明确强调这一点——如果人们摒弃了这种形而上学的偏见，即认为数学概念应做为对某种实际现实的描述的话，数学的基本困难将不复存在。
然而，科学赖以生存的血液源于其根基又与所谓的现实有着千丝万缕的联系，这个“现实”可以是力学、物理学、生物形态、经济行为、大地测量学，也可以是有关的其他类似领域的数学实体。对数学来说，抽象化和一般性并不比单个现象的特征更重要，尤其不如归纳的直觉知识。只有这些力量之间相互作用以及它们的综合才能保证数学的活力。我们必须与把数学单方面推向矛盾的极端行为作斗争。
我们不能接受数学的终极标准是“人类理性的光荣”这一陈词滥调，不允许把数学分割为“纯的”和“应用的”两派。它们都只能而且必须是科学的洪流中不可缺少的一股，不允许分出一条细流，让它消失在沙滩里。
分化的倾向是数学中固有的，这是个时刻存在的威胁。狂热的孤立抽象主义者确实是危险的，但不区别对待空洞的假象和精妙的灵感的传统保守分子也是危险的。
库朗没有否定抽象概念的价值，但是，他在1964 年写的一篇文章中认为数学必须从具体的特定实体中汲取动力，以达到现实的某个层次。如果一架飞机进入抽象的高空是必要的，那么它并不是为了逃离尘世，即使飞行员不能控制好返回的全过程，它仍然会重新回到地面。
数学常被比作一棵大树，它的根深深地扎于肥沃的自然土壤中，它的主干是数字和几何图形，从主干上生长出的许许多多的分支代表着发展。有的分枝茁壮兴旺，繁衍了许多有生命力的后代，有的却只有些微不足道的后代，对整棵树贡献甚少，还有的则已死去。但最有意义的却是这棵树扎根于坚实的土壤，每一分枝都经过根和主干从现实中汲取养料。现在人们试图把土壤全部移去而维持树根、主干以及枝条的生存，是办不到的。只有根不断地向肥沃土壤的更深处发展，这许许多多的枝条才可能繁茂。妄图在其上嫁接没有现实做养料的新枝条只能产生毫无生命力的木棍。而少数可能的枝条通过人们足够的努力，或许会以假乱真，混杂在有生命的枝条中，并且看起来像是从主干上长出来的，但实际上它们是死的，不费吹灰之力就能折去而不会对大树生长产生任何副作用。
斯通认为自由地探索纯数学将会为应用数学加强和提供新的方法，但是其他一些论点似乎暗中破坏了斯通的观点。研究纯数学，不管其水平如何高，研究者如何杰出都势必会削弱人们将数学推理应用于实际情况的动力。如果人们致力于抽象数学，就不可避免地受到纯数学氛围的影响，并被那种为了很好地研究它所需的心情所左右。这样，人们也就没有更多时间去了解它在应用上的需求，去制造处理应用问题的数学工具。应用数学家注意抽象数学家追求和获得的成果是有益的，但过多的注意是不好的，它会分散精力。无视应用将导致整个数学的孤立甚至可能是萎缩。
从历史证据来看，斯通当然错了。正如冯?诺伊曼在《数学家》（1947年）一文中所指出的那样：无可否认，数学上某些最了不起的灵感，那些想象之中纯得不能再纯的数学部门中的最好的灵感，全部来源于自然科学??。在我看来，最能从根本上表明数学特点的事实是它和自然科学非常特殊的关系，或者更一般地说，是它和任何一种科学的非常特殊的关系，只要这种科学在解释经验时不限于单纯描述事实。
一流的法国数学家许瓦尔兹毫不犹豫地认为当代最活跃的分支——抽象代数和代数拓朴，毫无应用价值。一些论文用这些领域的语言和概念装扮得貌似有实用性，实际上却无助于解决实际问题。然而，纯抽象数学的支持者并不妥协。杰出的分析学家狄多涅教授在1964 年写的一篇文章中反对这种认为自给自足的数学会因为缺乏养料而停滞不前的主张：
我想强调的是，近来的事实并不像那些伪善的预言家的陈词滥调那样，他们再三告诫我们，数学脱离其应用性和其他科学必将出现灰暗前景。我并不是说，数学与其他科学的紧密联系（如理论物理学）对所有部分毫无益处；但很清楚的是，我所提到的所有令人震惊的发展，除了广义函数论这一可能的例外以外，没有一样与物理应用有关。甚至在偏微分方程理论中，人们也更多地强调其内在的和结构的问题，而不是有直接物理意义的问题。即使把数学与其他人类奋斗的渠道强制隔绝，也会有足够维持若干世纪的精神粮食使我们能够解决科学中仍必须解决的重要问题。
尽管狄多涅本可以看到纯数学中无尽的问题，但公正地说，他并未收回前言，即任何纯数学的产物终将有其实用性。他引证了许多对纯数学，特别是对数论的研究，对此，他说：“真是不可思议，这些结论竟能应用到任何物理问题中。”此外，尽管他为纯数学辩护，但他也认为数学家们鼓吹纯数学对科学的价值“有那么一点欺骗的意味”。他指出，纯数学家可以不辞辛苦地证明问题的解的唯一性，却不去求解。物理学家知道解的唯一性——地球不沿两种轨道运行——而他则力图找到实际的轨道。在探求纯数学价值问题上，另外一个同样有地位的纯数学工作者嘉丁(Frank Lars Garding)在1958 年国际数学家大会上，实事求是地说：
我无法深入研究数学的许多重要分支，如微分方程、系统论
以及量子力学和微分几何的应用。我的专业是偏微分算子的一般理论。它源自经典物理，但对经典物理却没有什么真正重要的应用。物理学是有意义的问题的重要来源，我感到我所泛泛而谈的内容也许还不如对那些未解决的物理问题来个例行回顾有用，这些问题似乎需要新的数学技巧来解决。对专家来说，这一回顾当然不是什么新鲜内容，但仍能为许多数学家提供有价值的问题。很少有人通过有计划的努力来促进物理与数学的联系，这应该是国际数学会议的主要议题之一。
吹嘘纯数学可以脱离现实世界而存在的人坚持认为总有一天他人会认识他们现在所做的无意义的努力，但他们只能是在自己的精神天地奋斗。他们违背了整个历史的进程。他们以为不受科学限制的数学能够产生更丰富多样、更富成果的论题，这些论题的应用将远胜于过去的数学，但这只是空谈。
纯数学的支持者可以也确实这么要求人们承认他们的成果具有内在美学价值和智力挑战性，这些价值不可否认。然而，他们对纯数学的巨大贡献却是值得怀疑的。且不考虑在这个问题上的任何定论，这些价值并未对数学主流即对自然的研究作出什么贡献，美学价值和智力挑战性是为数学而数学的。这些内在价值所得到的肯定，显然多于目前有关数学孤立性的讨论所达的共识。
纯数学的支持者与批评者之间显然在相争，他们作了不少或幽默或挖苦的评论。应用数学家们并不关心严格的证明。对他们来说，演绎推理与物理事件的一致性才是最重要的。其中，代表人物是亥维赛(OliverHeaviside)。他使用了纯数学家看来是不合理的、怪异的技巧，因此，他遭到了强烈的抨击。亥维赛瞧不起那些他所谓的“逻辑伐木工”。他说：“逻辑可以容忍，因为它是永恒的。”后来他使纯数学家目瞪口呆。当时，发散级数是非法的，而亥维赛在遇到某个特殊级数时却说：“哈！级数是发散的，现在我有办法了。”结果表明，亥维赛的技巧是完全严格化的，并且还提供了新的数学论点。为了激怒纯数学家，应用数学家还宣称，纯数学家能发现任何求解中的困难，而他们则能对任何困难求解。
应用数学家再一次地嘲弄纯数学家：应用问题是由物理现象提出的，有关的数学家们应该去解决它，而纯数学家却在创造他们自己的问题。应用数学家称纯数学家是一个在昏暗的大街上掉了钥匙的人，他只跑到路灯下面找，因为那里更亮一些。
为了进一步贬低对手，应用数学家讲了另一个故事。有个人有一大堆衣服要洗，于是到处找洗衣店。他发现一家店的窗口上挂着一块招牌：“此处洗衣”，就走了进去，把他的一堆衣服放在柜台上。店主看上去有点吃惊，问：“这是干什么？”他答道：“我来洗衣服。”“但这里不洗衣服，”店主回答道。这次轮到这个人吃惊了。他指着牌子问：“招牌怎么写的？”“哦，”店主说：“我们是造招牌的。”
纯数学家和应用数学家的论战不断继续，既然现在纯数学家占了上风，他们就可以鄙视那些误入歧途的同行，可以责骂他们了。正如特鲁斯德尔(Clifford E.Tnuesdell)教授所指出的：“对于自认为是‘纯’的数学家来说，‘应用数学’一词是对那些他们认为是不纯的数学家的羞辱。??，然而，‘纯’数学家否定数学发展源于人类感知，这只是小孩子对大人发的忤逆脾气。他们把‘纯’数学做为一个切口以摒弃一切不纯的东西。所有这些，都使它成为上个世纪创造的一个人为的灾难。??”
不对它所服务的客观对象加以考虑，势必导致它的自我终结。纯数学本身不是一个至福境界。数学的目的在于发现值得了解的事物，但是，按照目前的情况，研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义和目标。数学不能被现实的俗物所沾染，厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。
数学家们在争论不休，而物理学家和其他科学家却只能悲叹，因为他们在危难时被舍弃不顾。让我们听听著名的斯奈特（JohnC.Slater）教授的意见，他是麻省理工学院的教授：物理学家从数学家那里受益甚微，每出现一个像冯?诺依曼意识到的这些问题（前面所描述的）并对此做出实际贡献的数学家，就有二十个对此不感兴趣的数学家存在。这二十个人的工作或是与物理相去甚远，或是仅强调数学物理中那些陈旧的或广为人知的东西。无怪乎在这种情况下，物理学家看数学家总感到他们脱离了通向过去的数学高峰的路径，并且感到他们只有坚决地投身于数学物理学的发展主流，才能重新回到这条路上，取得数学发展的丰硕成果??物理学家们深深地感到，这才是今天的数学家们取得成就的唯一途径。
1972 年，戴森（Preeman J． Dyson）教授在对数学家们所做的一次重要演讲中，把对科学的忽视做为中心议题加以讨论。这位声名卓著的物理学家指出，在过去和现在，数学家们有许多参与研究重要的科学问题的机会，但却都放过了。有些问题或问题的某些部分与数学丝丝相扣，可是数学家不明白其起源与物理意义，因而他们漫无目的，也不知道自己得到了些什么。正如戴森所指出的那样，数学与物理的联姻已宣告结束。
这个世纪以来，数学从科学中的分离不断加速，现在常可听到和谈到数学家们关于独立于科学的论调。数学家们现在已经可以毫不犹豫地、随随便便地说，他们只关心数学本身，而对科学没有兴趣。虽然没有精确的统计，但今天活跃在数学舞台上的数学家中，约有90％的人都无视科学并且陶醉于这种至福境地。尽管有历史的佐证和一些反对之声，但是，抽象主义趋势，为了一般化而一般化的趋势以及研究随意选择的问题的趋势愈演愈烈。说什么这是为了更多的了解具体事例而研究一整类问题的合理需要，是为了得到问题的实质而进行抽象化的合理需要，都不过是一个借口，他们的目的只是为了研究一般化、抽象化。
若干世纪以来，人们创立了像欧氏几何、托勒密理论、日心说、牛顿力学、电磁学理论以及近来的相对论和量子论这样的宏伟体系，在所有这些科学以及其他重要的科学体系中，数学被认为是建筑方法、框架乃至本质。数学使我们认识了些许自然，将变化纷纭的现象容括在可理解的解释中。数学理论揭示了人们所认识的自然的秩序与规划，使人们具有统治或部分统治大片领域的能力。
但多数数学家却抛弃了他们的传统和遗产，自然发生的秘密信息现在遇到的只是些紧闭的双眼和迟钝的耳朵。数学家们躺在先辈的功劳簿上，幻想依靠昔日辉煌获得喝彩与支持。纯数学家则陷得更深，他们把应用数学家从同行会中驱逐出去，妄想垄断数学家这个令人景仰的头衔，从而独自攫取先人的名誉。他们丢弃了丰富的思想之源，花费着先人积累的宝贵财富，他们正沿着一丝微光走出这个世界。但确实有些人注意到了曾促进数学发展的光荣的传统，维护了牛顿和高斯应有的荣誉。他们仍坚持从他们的数学研究中发掘出对科学的潜在价值。他们虽声称要为科学创建模型，但并未为此奋斗。实际上，因为大多数数学家不懂科学，他们不可能创建出模型。他们宁可保持童贞，也不愿与科学同床共寝。从整体上看，数学在自陷；在自给自足；而且从过去的情形判断，现代数学研究的大部分都不可能会为科学发展作出贡献。数学现在几乎成了一个自我封闭的体系。它根据自己评判现实意义和完美性的标准来决定自己的前进方向，它甚至满足于自己与外界的问题、动力、灵感相隔绝的状况。数学已不复再有统一性和目标。
当今大多数数学家的孤芳自赏令人扼腕，这里有许多原因。数学的科技应用在飞速地发展着。到了今天，笛卡尔的先见似乎更近于事实：数学代表的是人类智慧的最高成就，代表着推理对经验主义的胜利，代表着基于数学的方法论将永远覆盖所有的科学领域。而正当数学方法逐渐用于如此众多的领域时，数学家们却缩到了一个角落里去了。虽然一百年或更早以前，数学和物理学是密切相关的（当然只是精神上的神往），但从那时起它们开始分离，至今已很明显。数学是有价值的，因为它对人们理解和征服自然作出了贡献。而这一事实已被忽略，当代多数数学家希望将其学科分离出来做单独研究。数学家们分裂成两派，一派忠实于前人以及他们那种可敬的数学研究动机，这种研究动机在过去已结出了最丰硕的果实；而另一派，则在风中游荡，研究那些可能触发他们想象力的东西。多数数学家被一个世纪以来愈发变纯的数学所蒙蔽，已经丧失了理解自然界的能力和愿望。他们转向抽象代数和拓扑学这些领域，转向抽象化和一般化（如泛函分析），转向远离实际应用的微分方程的存在性证明，转向各种思维体系的公理化和枯燥的智力游戏。只有少数人仍在试图解决比较具体的问题，值得注意的有微分方程及相关领域。
大多数数学家对科学的抛弃意味着科学将失去数学？全非如此。少数明智的数学家已经看到，未来的牛顿、拉普拉斯和哈密尔顿将创造出他们所需要的像过去那样伟大的数学。这些人虽名为数学家，实际上却是物理学家。1957 年在理利奇（FranzRellich）的讣告中，库朗写道，如果现在的倾向继续发展下去，“有这样一种危险，未来发展‘应用’数学的将是物理学家和工程师，挂着职业数学家头衔的人将与此无关。”库朗之所以在“应用”一词上打上引号，是因为他实际上意指所有重要的数学。他并不把纯数学和应用数学分开。
库朗的预言正在变成现实。因为数学机构的建立就有利于纯数学，而最好的应用成果现在都是电子工程、计算机、生物学、物理学、化学和天文学方面的科学家做出的。正如格列佛在往飞岛①之行中所见到的数学家们那样，纯数学家们生活在悬空的岛上。他们把地球上的社会问题推给别人。这些人也许会在前人为这门学科所提供的空气中呼吸上一阵子，但他们最终注定要消失在真空中。
① 飞岛，拉普他岛（Laputa）。《格列佛游记》中的一个飞岛，岛上居民多幻想而不务实际。——译注
塔里朗德（Talleyrand）曾指出，理想主义者无法持久，除非他是一个现实主义者，而现实主义者也无法持久，除非他是一个理想主义者。这句话用于数学，就是要把实际问题理想化，进行抽象研究，同时理想主义者的工作如果脱离现实是不会长久的。数学家们既要脚踏实地，又要高瞻远瞩。在抽象概念与具体问题的相互作用中才会产生出有生命的、重要的数学。数学家也许喜欢飞翔于抽象思维的高空，但他们像鸟儿那样必须要回到地面觅食。纯数学就好像饭后的茶点，开胃甚至多少能滋养一下身体，但人不能只靠茶点过活，他还需要肉和土豆（现实问题）做为基本营养品。危险在于人们过多地注重人为的问题，如果照目前这种强调纯数学的趋势发展下去，那么未来的数学将不再是原来人们所推崇的数学，它只是徒有虚名而已。数学是一个卓越的创造，其卓越处在于人的思维能力，它能就复杂而看似神秘的自然现象建立其可被理解的模型，从而给人以启迪与力量。
然而，个人有选择自己道路的自由。荷马在《奥德赛》中讲：“不同的人有不同的快乐方法。”一个世纪后，诗人阿基罗克胡斯也说：“每个人都按自己的方式使自己快乐。”哥德同样认为：“对个人而言，投身于有吸引力的，对自己有益的职业是每个人的自由。”但他又补充道：“对于人类而言，合适的研究是研究人本身。”在这里我们可以解释为：对数学家而言，合适的研究就是研究自然。正如培根在他的《新工具》中所说，“科学真正的、合理的目的就是赋予人类生活以新的创造和财富。”
归根结底，我们必须明确，什么研究才是值得追求的。数学界所应该关注的，并不是纯数学和应用数学之间的差异，而是有着正确目标的数学和那些以满足个人目的与一时之兴为目标的数学之间的差异，是有意义的数学和无意义的数学之间的差异，是重要的和无足轻重的数学之间的差异，是充满生机活力的数学和死气沉沉的数学之间的差异。
第十四章 数学向何处去
孱弱无能的理智啊，你该有自知之明！
——帕斯卡
数学家们在试图决定什么是真正的数学，以及在进行新的数学创造时，应当以什么作为基础，其困惑与日俱增。我们前面的长篇大论揭示出数学当前的困难处境，甚至连数学家们的唯一安慰，即数学对科学的巨大适应性，也不复存在了。因为大多数数学家已经放弃了应用，进退维谷，何去何从？数学家们还指望什么？数学的本质又是什么？
首先，让我们回顾一下数学是如何落到这步田地，其中根本性的问题又是什么。最早创建数学的埃及和巴比伦数学家根本不会有能力预见到他们会建立一个什么样的结构，因此他们没有打下一个坚实的基础，而是直接建立在地面上。那时，地表看起来似乎就提供了一个可靠的基础，他们用来建造数学大厦的材料，即关于数学和几何图形的事实，取自关于土地的一些简单经验。现在我们对术语几何，即土地测量的不断使用就点出了数学的这个起源。
就像一座建筑，其晃动会随着高度增加而愈加明显，而在其上随意添加东西则更加危险。古希腊人不仅看到了这种危险，而且也进行了必要的重建，他们采用了两种方法。头一种方法是选一块坚实的地面，大厦就建在其上，这块坚实地面就是关于空间和正整数的自明真理。第二种方法是把钢筋加入框架之中，这些钢筋就是数学大厦结构中每一部分的演绎证明。
在古希腊时代数学发展的范围内，数学的结构（主要由欧几里得几何构成）被证明是稳固的。暴露出的一个缺陷是：考虑一个直线段，比如说一个直角边为一个单位长的等腰直角三角形的斜边，它的长度是个单位。因为希腊人只承认正整数，不会接受这样的怪物。他们通过排斥无理数，22通过放弃给线段、面积和体积赋予数值的想法摆脱了这种困境。因此，除了整数和可以归入几何学结构的那些以外，他们对算术和代数的发展没有什么贡献。确实，亚历山大里亚时期的希腊人，尤其是阿基米得，确实使用过无理数，但是这些并没有归入数学的逻辑结构之中。
印度人和阿拉伯人为数学大厦增加了新的一层，但他们对大厦的稳固性却充耳不闻。首先，大约在公元600 年，印度人引入了负数。接着，不像希腊人那样挑剔的印度人和阿拉伯人不仅接受了无理数甚至还搞出了一套关于它们的运算规则。文艺复兴时期的欧洲人在最初接受希腊人、印度人和阿拉伯人的数学时还畏缩不前，然而，科学需要胜过一切，欧洲人克服了他们对数学逻辑上的合理性的焦虑。
通过扩展关于各种数的数学，印度人、阿拉伯人和欧洲人为数学大厦建造了一层又一层：复数，各种代数，微积分，微分方程，微分几何以及许多的学科。然而，他们用直觉和物理论据构成的木质栋梁取代了钢筋，但这些材料被证明不堪重负，而墙上裂缝已开始出现。到1800 年，数学大厦再度告危，数学家们又赶紧用钢筋来替换木头。
当数学大厦的上层建筑得以加强之时，其基础——希腊人所选定的公理——却开始塌陷。非欧几何的发明揭示出欧几里得几何公理并非真正坚实的土地，只不过在表面看起来似乎坚实，非欧几何的公理也是如此。数学家们过去认为的自然的真实性——他们相信他们的头脑会对这种认识给出成功的证明——也被证明为不可靠的感觉。更添乱子的是，新的代数学的创立使得数学家们意识到数字的特性比几何的特性并不更真实一些。这样，整个数学大厦包括算术及其扩充：代数与分析就岌岌可危了。现在，高耸入云的数学大厦面临着即将崩溃和沉入沼泽中的危险。
为使数学大厦免于倾覆，就得采取强有力的措施，数学家接受了这个挑战。很清楚，没有能把数学建于其上的坚实土地，因为自然界看起来坚实的地面已被证明是骗人的。但也许能通过建立另一种类型的坚实基础来使大厦变得稳固，这包括精心措词的定义，一整套的公理和所有结论的精确证明，而无论凭直觉看来它们是多么地明显，还须用逻辑上的相容性取代真实性。各种理论相互之间应该紧密衔接，这样整个大厦将会稳如泰山（见第七章）。通过19 世纪后期的公理化运动，数学家们似乎拥有了一座稳固的大厦。因此，虽然数学事实上已经失去其基础，数学却又一次度过了难关。
不幸的是，这种新结构的基础所用的水泥并没有很好地固化，建造者并不保证其坚固性。当集合论的矛盾暴露出来后，数学家们认识到他们的工作面临一个更严峻的危机。当然，他们不打算袖手旁观，坐视几个世纪的努力毁于一旦。因为坚固性依赖于为推理所选定的基础，很明显，只有重建全部基础才能挽大厦于将倾。在重建后的数学基础上，逻辑和数学公理都必须加强，因而建造者们决定将基础打得更深些。不幸的是，在以什么方式，在什么地方加强基础这一点上，他们没能达成一致。每个人都认为自己能确保坚实性，每个人都想按自己的方式重建。结果是产生了一片既谈不上巍然，又无坚实基础，无规无矩，四处展翼的危房，每一翼都自称数学的唯一殿堂，每间房屋都藏有数学思想的奇珍异宝。
我们年少的时候肯定读过七个盲人和大象的故事，每个人摸到了象的不同部分，由此得出了自己关于大象的结论。数学，也许可以说是一种比大象更优美的结构，对于从不同角度观察它的基础建造者来说，呈示出不同的知识体系。
因此，数学发展到了这样一个阶段，逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义，哪一种可以被合适地称之为数学，人们各执己见，而且，每一种数学结构都有某种程度上截然不同的上层建筑。因此，直觉主义者在他们应该接受什么作为基本的、合理的直觉问题上意见不一致：仅仅只有整数还是也包括一些无理数？排中律只适用于有限集合还是也可用于可数集？还有构造性方法的概念问题。逻辑主义者则单一地依赖逻辑，而且对于可约性公理、选择公理及无穷公理还怀有疑虑。集合论公理化主义者则可以沿几个不同方向中的任一个前进，这取决于他们对选择公理和连续统假设的取舍。甚至形式主义者也能遵循不同的路径，其中一些有别于将用于建立相容性的元数学原理。希尔伯特所倡导的有穷性定理不足以证明即使是一阶谓词的相容性，更不用说去建立希尔伯特的形式数学系统的相容性了，因此，用到了非有穷的方法（见第十二章）。还有，在希尔伯特所界定的范围内，哥德尔证明任何有意义的形式系统都包含不可判定的命题。它们是独立于公理之外的，我们可以以这样的命题或者它的反命题作为补充公理。然而，在完成了这种选择后，按哥德尔的结果，这个扩大了的系统仍包含不能判定的命题，因而又可以再进行一次选择。事实上这个过程可以无限进行下去。
逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者都依赖于公理化的基础。在本世纪头几十年中，这种基础被拥为建立数学的可以选用的基础。但是哥德尔的理论表明，没有一个公理体系可以包含属于任何一种结构的所有真理，勒尔海姆-斯科伦定理则表明每一个体系包含的真理比预计的要多。只有直觉主义者才能不在乎公理化的方法所提出的问题。
所有这些关于哪个基础最好这一问题的不一致和不确定性以及缺乏相容性的证明，就像达摩克里斯之剑①一样悬在数学家头上。无论一个人接受哪种数学哲学，他都冒着自相矛盾的危险。
对数学大厦这几种相互抵触的方法揭示了这样一个主要事实：不是只有一种而是有很多种数学，数学这个词应从多种意义上进行理解，也许可用于任何一种方法。哲学家桑塔亚那（GeorgeSantayana）曾经说过，“不存在什么上帝，上帝也是凡夫俗子。”今天，人们可以说，不存在这样一种被普遍接受的科学，而希腊人是其奠基者。事实上，数学家现在所面对的选择多样性可以用雪莱的诗句来描述：
看啊，
在这无边无际的荒原上
思维之翼究竟栖身何方。
很显然，我们还得生活在可预见的未来，其中对所需要的数学是什么并无定论。
关于什么是真正的数学，有许多截然不同的观点。如何使它们一致起来的任何希望——最起码也应使得关于什么是合适的数学发展方向这一问题的众多观点相互调和——在于看清楚是什么问题迫使数学家们接受不同观点。最基本的问题是什么是证明，然后是对于这一问题不同观点的后果，在什么是合理的数学上也有些不一致。
数学证明曾被认为应该总是一个清晰明确、无可辩驳的过程。确实，这一点已被忽略了几个世纪（见第五～八章），但数学家们总体来说还是知道这一事实的。概念就摆在那里，它一直是数学家们或多或少有意识坚持的标准和范例。
是什么引起人们对证明过程的关注，甚至于互相矛盾呢？过去的逻辑观点被普遍接受了两千年，其中由亚里士多德所限定的各种原理都是绝对真理。长时期的似乎可靠的应用使人们对其正确性信心十足。但是数学家们逐渐意识到这些逻辑原理和欧几里得几何公理一样，都是经验的产物。因此他们对什么是合理的原理开始感到不安。这样直觉主义者觉得应该限制排中律的应用，如果过去没有证明逻辑原理是不变的，我们还会认为现在正确的原理将来也一定如此吗？
① 源出古希腊神话，喻大难临头。——译注
在逻辑学派创始后，提出了关于证明的第二个问题：逻辑原理应该包括什么？虽然罗素和怀特海毫不犹豫地在他们的《数学原理》首版中引入了无穷公理和选择公理，他们后来还是理所当然地退缩了。他们不仅承认了逻辑原理不是绝对的真理而且承认了这两个公理不是逻辑公理。在《原理》的第二版中，开头就没有列出这两个公理，而需要用它们来证明一些定理的地方都特别地指了出来。
除了关于什么是可接受的逻辑原理这一问题的不同观点之外，逻辑本身能有多大用处这一问题也在争论之中。我们知道，逻辑学家们坚决主张逻辑足以满足全部数学的需要，然而，就像刚提到的那样，他们后来在无穷公理和选择公理的问题上含糊其辞。形式主义者认为只有逻辑是不够的，为了奠定数学的基础，还得在逻辑公理中加入数学公理。集合论公理化主义者则对逻辑原理漫不经心，有些人甚至不愿提及它们。原理上的直觉主义者干脆省略了逻辑。
还有一个问题是存在的概念。例如，证明每个多项式方程至少有一个根的过程就建立了一个存在定理。任何证明，如果是相容的，就可以为逻辑主义者、形式主义者和集合论公理化主义者所接受。然而，即使一个证明不用排中律，它也不会给出计算存在量的方法，因此，这种存在性证明对直觉主义者来说是难以接受的。直觉主义者也不愿意接受超穷基数和超穷序数，因为它们对人的直觉来说并不明显，而且也不能在直觉主义者的构造性或可计算性意义上得到。这是关于什么构成存在这一问题的不同标准的又一个例子。这个问题，即在什么意义上不仅个体，比如说一个方程的一个根的存在，而且整个数学的存在是个极重要的问题，在本章的后面还要详加讨论。
对什么是合理的数学这一问题的关注起源于另一个原因。什么是可接受的数学公理？一个典型的例子是我们是否使用选择公理。在这个问题上，数学家们进退维谷。不用它或者否定它就意味着放弃数学中的大部分；而用它呢，则不仅导致自相矛盾而且还会导致直觉上不合理的结论（见第十二章）。
数学家们无力证明数学的相容性玷污了数学的理想。矛盾不期而遇，虽然它们都或多或少用可以接受的方法解决了，但新矛盾还会出现的危险使得一些数学家怀疑为保证严密性所付出的非凡努力。
如果数学不是一个独一无二的、严格的逻辑结构，那么它是什么呢？它是人们任何时候都乐于使用，经过逻辑筛选、提炼和组织的一系列伟大的直觉。人们愈是努力尝试提纯这些概念，系统化数学的演绎性结构，数学的直觉性就愈复杂。但数学正是建造在某种直觉之上的，这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。它是一个人为的构造，任何为其寻求绝对基础的尝试注定是要失败的。
数学通过一系列伟大的直觉的进步而发展，这种发展后来通过不断地修正错误，建立起在当时可以接受的证明。终极的证明是不存在的，新的反例总是会逐渐推翻已有的证明。然后这些证明就会得到更正，并且被错误地认为从此可以一劳永逸了。但是历史告诉我们，这仅仅意味着对这个证明关键性的检验尚未来到，这种检验常被人们一厢情愿地推迟。问题不仅在于挑错不会得到什么荣誉，也在于有理由质疑这个定理证明的数学家也许想在他自己的工作中引用这个定理。数学家们更关心建立他们自己的理论而不是找出现有结果的缺陷。
有几个学派曾尽力想把数学纳入人类逻辑的范围之内，但是直觉否认这种思想。在坚实的基础上建立起来的可靠的、无可置疑的一贯正确的数学的概念当然起源于古希腊人的梦想，体现在欧几里得的成果之中。在二十多个世纪之中，这种梦想一直引导着数学家们的思想，但是很显然，数学家被“鬼才”欧几里得误导了。
事实上，数学家并不像通常所认为的那样依赖于严格的证明。他的创造对他来说，其意义超过任何形式化，这个意义赋予其创造的存在性和现实性。从一个公理结构中推导出一个精确结果的尝试在某些方面是有所帮助的，但并不能真正巩固其地位。
直觉甚至比逻辑更令人满意和放心。当一个数学家问自己为什么某个结果应站得住脚时，他寻求的是一种直觉的理解。事实上，如果所证出来的结果没有直觉意义，那么这种严格证明对他来说就一文不值。如果确实是这样，他就会非常挑剔地检查证明，如果证明看来是对的，他才会努力去找出他自己直觉上的毛病。数学家们总想弄清楚一系列的演绎推理之所以成功的内在原因。彭加勒说过：“当一个比较长的论证导出了一个简单的、惊人的结果后，在我们表明了我们可以预见的，即使不是全部结果，至少也是主要特征之前，我们是不会满意的。”
很多数学家更是依赖于直觉。哲学家叔本华表达过这样一种态度：“为了改进数学方法，有必要放弃那种认为证明真实性优先于直觉知识的偏见。”帕斯卡创造了术语“几何精神”和“技巧精神”。他用前者表示思维的力量和正确性，例如强有力的逻辑推理所表现出来的那些；用后者表示思维的广阔，表示看得更深、更远的能力。对于帕斯卡而言，即使在科学中，技巧精神也是远在逻辑之上的一种思想水准，逻辑根本不能与之相比。即使从推理的角度来说，无法理解的东西仍然可能是真实的。
很久似前，其他数学家也宣称过直觉的信念胜过逻辑，就像太阳的灿烂光芒胜过月亮的淡淡清辉一样。依赖于基础性的直觉和适度逻辑的笛卡尔评论道：“我发现对逻辑而言，在谈论我们已知的东西或者未知的东西而不作评价时，它的演绎推理和大多数规则是相当有用的。”不管怎样，笛卡尔喜欢用演绎推理来补充直觉（见第二章）。
那些伟大的数学家在逻辑证明尚未给出以前，就知道某个定理肯定是正确的，有时候只要有迹象表明证明是存在的，他们就满足了。事实上，费马关于数论的大量经典工作及牛顿关于三次曲线的工作甚至没有给出一个表明证明是存在的暗示。自然，数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而不是由那些长于做出严格证明的人们。
这么说，证明的概念不像普遍认为的那么重要，虽然它在公众的头脑中和数学家们的著作中显得那么突出。这些不同的证明标准，互相矛盾的数学哲学的出现，引起了人们对证明价值的极大怀疑。早在1928 年，哈代就用他一贯的坦率语气说过：
严格说起来，根本没有所谓的数学证明；??归根到底，我们只是指出一些要点；??李特伍德（Littlewood）和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽词藻，是讲演时用来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。对哈代来说，证明只不过是数学大厦的门面而不是其结构中的支柱。1944 年，杰出的美国数学家怀尔德（Raymond L．Wilder）再次贬低了证明的地位。他说，证明只不过是对于我们直觉产物的检验??。很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有任何一个这样的证明标准，其独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。在这种情况下，明智的做法似乎就是承认，一般地来说，数学中根本就没有绝对的真实证明这个东西，而无须考虑公众会怎么想。
证明的价值又被怀特海在一次题为《不朽》的讲演中再次攻击：
逻辑被认为是思想发展的充分分析，事实上并非如此。它是一种绝妙的工具，但它还需要有一些常识作背景??。我的观点是：哲学思想的最终形式不能建立在构成特殊学科基础形式的精确阐述之上。所谓精确性本身就是虚假的。
绝对严格的证明以及与它类似的东西都是捉摸不定的，理想化的概念，“在数学的世界中没有它们天然的栖身之地”。什么叫严格？对此本来就没有严格的定义。一个证明，如果被当时的权威所认可，或者是用了当时流行的原理，那么这个证明就可为大家所接受。但现在，并没有一个普遍接受的标准，现在不是数学严密性最辉煌的时代。可以肯定，过去人们认为数学的特征——从明确的公理经过无可辩驳的证明——如今已不复存在了。一切限制人们思维的易谬性和不确定性，逻辑都具备。肯定有人感到惊讶，在数学中，我们习惯性地做了那么多基本假设却从来没有意识到。
哲学家尼采（Nietzsche）曾说过“玩笑是情感的墓志铭”。数学家们为了减轻沮丧的心情，不得不嘲弄他们的学科中的逻辑。“逻辑证明的优点不在于强迫别人相信，而在于提出了怀疑。证明告诉我们何处值得怀疑。”“既要尊重但又要怀疑数学证明。”“我们不再指望一定要是逻辑的，只要不是非逻辑的，就谢天谢地了。”“多些活力，少一些严密。”数学家勒贝格，一个直觉主义者，于1928 年说过：“逻辑可以使我们拒绝某些证明，但它不能使我们相信任何证明。”他在1941 年写的一篇文章中又说，逻辑不能用来使人信服，不能产生自信，而我们对符合直觉的东西充满信心。他还认为，我们对数学研究得越多，这种直觉就越敏锐。即使是完全遵循逻辑化纲领的罗素，也对逻辑极尽挖苦之能事。在他著的《数学原理》（1903 年）中，他写道，“证明的一个主要优点，就是它向我们逐渐灌输对所证明的结果的某种怀疑。”他又说，人们尝试把数学建立在一个由没有明确定义的概念和命题所组成的系统上，正是从数学的这一本质推知：结论可以被矛盾否认，但绝不会被证明。一切都最终依赖于直觉的理解。略后（1906 年），由于当时悖论的困扰，他在他的著作中所说的比他后来所做的要正确得多。当自相矛盾的事物表明那时的逻辑证明并非可靠时，他说：“不确定的因素总是存在的，就像在天文学中的那样。在某个时候，也许这种不确定因素会大大削弱，但对凡人来说永远不犯错是不可能的??”
在这些对证明的嘲弄中，我们也许可以加上波普（Karl Pop－per），一位杰出的数理逻辑研究者的话：“对一个证明有三种不同层次的理解。最低的一层是抓住了论据后的喜悦之情；其次是再现它的能力；第三层或者说最高的一层是要能反驳它。”
更具讽刺意味的是海维赛所说的相互矛盾的观点。他一贯瞧不起数学家对严密性的过分关注：“逻辑是不可战胜的，因为要反对逻辑还必须使用逻辑。”哥廷根大学是本世纪头25 年数学界的中心；其领导人物克莱因尽管基本上不涉及基础问题，但他看出了关于数学发展的一些东西。在他写的《高观点下的初等数学》（1908 年）中，克莱因对数学发展做了如下描述：事实上，数学已经长得像棵大树，但它不是从最细的根部开始生长的，也不是只向上生长的，相反，在枝、叶扩展的同时，它的根向下扎得越来越深??。那么，我们就能看出，数学中的基础是没有最终结局的，从另一方面讲，也没有一个最初的起点。
虽然彭加勒属于一个不大相同的学派，但他也表达了一个类似的观点：没有完全解决了的问题，只有或多或少解决了的问题。数学家们一直在崇拜一个金犊①——严密、普遍接受的证明，在所有可能的世界中都是正确的——他们相信它就是上帝。但他们现在意识到这是个假的神，而真神拒绝显露真身。现在他们必须质问，上帝是否存在。然而，可以发话的摩西②还未露面，有理由问为什么。
还有一些人，如拉卡托斯（ImreLakatos）对数学基础工作者关于数学基础所做的工作极不耐烦，因而严加批评说，如果数学最终是靠直觉，那为什么我们的研究工作可以一直深入下去呢？
然而，我们为什么不早一点结束这一步呢？为什么不说“最终检验一种方法在算术中是否可接受，必然等于它在直觉中是否有说服力的。”??为什么不老实承认数学的易谬性呢？为什么要尽力保护易谬知识的尊严不受冷嘲热讽的伤害，而不是自我欺骗地说什么我们能够悄悄地修补我们的“最终”直觉的构造中的最后裂缝呢？
有个故事恰当地说明了与证明相对的直觉的价值。故事是这样的：一个物理学家在他实验室的门上挂了一块马蹄铁，一个吃惊的参观者问他这有没有给他和他的工作带来好运，“没有”，这个物理学家回答说，“我不搞迷信，但这样似乎有点用。”
爱丁顿（Arthur Stanley Eddington）曾说过，“证明是数学家自己折磨自己的幽灵。”为什么他们还继续这么做呢？我们不妨问：如果他们知道他们的学科不再是相容的，尤其是他们如果不能再就什么是正确的证明达成一致，那么他们强调推理又有什么用呢？他们真该对严密性漠不关心吗？举起手认输，并且说作为一个体系完好的数学只是一个幻觉？他们难道该放弃演绎证明，而只求助于使人信服的、直觉上合理的论证吗？毕竟，自然科学中用了这样的讨论，甚至于他们在使用数学的地方也不太在意数学家们对严密性的热情。弃而舍之不是可取的路，任何人，只要看到了数学对人类思想的贡献就绝不会牺牲证明的概念。
我们必须承认逻辑也有一定的作用。如果直觉是主人，逻辑是仆人，那么这个仆人对主人有一定的影响力，它制约着如同无缰之马的直觉。虽然直觉确实起着主要的作用，但它也会导致太一般化的结论，所需的适当的限制条件由逻辑来施加。直觉把谨慎抛入云霄，而逻辑则教人要有节制。
① 古代以色列人崇拜的偶像。——译注
② 《圣经》中传说率领希伯来人摆脱埃及人奴役的领袖，犹太教的教义、法典多出自其手。——译注
确实，对逻辑的坚持通常需要用很多的理论和证明，慢条斯理地达到那些用强有力的直觉一下子就能征服的目标。但是直觉所控制的桥头堡，必须通过彻底地清扫那些充满敌意、有可能包围并破坏桥头堡的敌人来进行巩固。
直觉可能是具有欺骗性的。在19 世纪的绝大部分时间中，包括严密性奠基人柯西在内的数学家们认为一个连续函数必有导数，但是维尔斯特拉斯给出了一个无处可导的连续函数而震惊数学界。这样的函数过去不能现在也不能为直觉所接受，数学推理不仅补充直觉——确认或校正它，而且还能偶尔地超过它。
数学推理在数学中的作用也许可以用一个比喻说得更清楚些。假设有一个农夫在荒野中圈了一片地，准备用来耕种。但他注意到四周的树林里有野兽出没，随时都有可能袭击他，因此他决定把这片树林清掉。他这样做了，于是野兽移到了紧靠着新开辟的土地的树林中。这个过程没完没了地进行下去，农夫开出了越来越多的地，但野兽仍在土地边缘徘徊。这个农夫得到了什么呢？最起码，当他开的地越大，野兽被赶得越远时，只要他在地中央耕种，他就越安全。同样的，当我们用逻辑解决一个又一个基础问题之后，我们使用数学的核心的安全性就越大。换句话说，证明保证了我们相对安全。如果我们能证明某个理论是建立在关于数和几何图形合理叙述的基础上（它比那些证明结果在直觉上更易于接受），我们就能确保其正确性。用怀尔德的话来说，证明是我们对于由我们的直觉所提出的思想的检验过程。
不幸的是，一代人给出的证明在下代人眼中总是错误的。就像一流的美国数学家穆尔（E．H．Moore）早在1903 年就说过的那样，“包括逻辑和数学在内的所有科学，都是时代的产物——这里指理想中的各种科学以及它们的成就。”“当时的苦恼就够人受了。”今天，证明的概念还取决于人们坚持什么思想学派。如果一个证明在可以看到的范围内，不涉及矛盾而且在数学上是有用的，那么怀尔德也就心满意足了。例如，他会把连续统假设当成公理使用。他批评多种思想流派的分野降低了证明的重要性。那些人恪守一种流派教条而排斥其他，不就类似那些宣称自己代表了真正的上帝而排斥其他教派的宗教分子吗？
我们现在被迫接受一个这样的事实：没有所谓的绝对证明或者普遍接受的证明。我们知道，如果我们对我们在直觉基础上接受的论述有疑问，那么我们只有接受直觉基础上的其他论述，才能证明它们。如果我们不打算陷入自相矛盾或者其他未克服的困难之中，我们就不能对这些终极的直觉过分深钻，因为其中有一些就是逻辑方面的问题。大约1900 年，著名的法国数学家阿达马说过：“数学中严密性的目的只是承认和整理直觉的成果。”我们已不能再接受这样的判断了。还是魏尔说的更为恰当：“逻辑是数学家用来保持他思想健康强壮的卫生手段。”证明确实起到了一定的作用，它减小了矛盾出现的危险。
我们必须认识到绝对的证明只是个目标而不是现实，是一个我们所追求但很可能永远达不到的目标，它可能只不过是一直为人们所追寻而永远捉摸不定的幽灵。我们应做出不懈的努力加强我们已有，但却没打算加以完善的东西。我们从证明的历史中得到的教训就是：即使我们追求的是一个达不到的目标，我们仍能像过去的数学家一样，取得辉煌的成就。那么如果我们改变对待数学的态度，尽管我们的幻想破灭了，我们仍会更乐于探索这门学科。
这种认识——直觉在保证数学真实性上起了基础性的作用，而证明起了支撑的作用——表明在更大的意义上，数学走了一个大圆圈。这门学科从直觉与经验的基础上开始发展，后来，证明成了希腊人的目标，直到19世纪，才又幸运地回到出发点。这似乎晚了点，但是追求极端严密性的努力却突然把数学引入了死胡同，就像一只狗追逐自己的尾巴一样，逻辑打败了它自己。帕斯卡在他的《感想录》中说得好：“理性所走的最后一步就是承认有无穷多的事物超出了其认识范围。”
康德也承认理性的局限。在他的《纯粹理性批判》中，他说：我们所具有的理性都非常奇特，它总是被一些不能忽视的问题困扰着，因为这些问题源于理性的本质，所以也是无法回答的，它们超出了人类理性的能力。
或者按乌纳穆诺（Miguel de Unamuno）在《人生的悲剧感情》中所说的，“理性的最高成就是引起了人们对其有效性的怀疑。”魏尔对于逻辑所起的作用更为悲观。1940 年他说过，“尽管，或者说因为，我们具有深刻的洞察力，今天我们却比以往任何时候都不能确定数学应建立在什么样的终极基础上。”1944 年，他详述道：数学的终极基础和终极意义这一问题尚未解决，我们不知道沿着什么方向上可以找到最终答案，或者甚至于不知道是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言和音乐，其历史观点否认完全客观的合理化。
按魏尔所说的，数学是一种思维活动，而不是精确知识体系，这一点在历史上看得很清楚。基础的理性构造和重建现在只是对历史的滑稽模仿。
最极端的观点是由波普，一位著名的科学哲学家，在《科学发现中的逻辑》中表述的，数学推理永远不能证实，而只能证伪，数学理论不能以任何方式加以保证。如果没有一个更好的理论，人们就会继续使用已有的理论，就像在相对论出现之前的二百多年，人们一直用牛顿的力学理论，或者说就像在黎曼几何出现之前，人们一直是用欧氏几何。但是要确保正确性是做不到的。
历史支持这种观点：没有固定的、客观的、唯一的数学体系。进一步说，如果历史具有某种指导作用，将会不断有新的内容添入数学之中，因而呼唤新的基础。在这方面，数学就像任何一门自然科学。当与先前的理论相抵触的新现象或新的实验结果出现时，就必须修改这些理论，而且必须将这些新现象、新结果纳入其内，没有时限的对数学真理的描述是不可能存在的。想把数学建造在稳固基础上的尝试都以失败而告终，从欧几里得到维尔斯特拉斯一直到现代的基础学派，不断地试图提供一个坚实的基础，但没有任何迹象能允诺最终的成功。
这些对直觉和证明的作用的陈述表明了数学在今天的景象，但它并不反映关于将来的所有观点。一群以笔名布尔巴基写作的数学家对逻辑重新加以肯定，在《数学原理》（第一卷）的引论中，他们评论道：
历史地讲，认为数学与矛盾无缘肯定是不对的，不自相矛盾是作为一个要达到的目标，而不是向我们保证过的一劳永逸、天赋的特性。从最早的时候起，所有对数学原理的重大更改几乎都是紧跟在一些不确定的时期之后。此时，矛盾暴露出来而且必须加以解决??。经过了25 个世纪，数学家们已经有了改正错误的经验，从而看到数学是更加丰富多彩，而不是逐渐贫乏，这使他们有权利安详地展望未来。
面对历史也许会有某些安慰，但是历史也告诉我们新的危机将会出现。然而，这种前景并未减少布尔巴基派的乐观主义。狄多涅，法国数学家的领袖人物，布尔巴基派的一员，确信出现的逻辑问题总是可以解决的：有人可能又会说，如果有一天发现数学是自相矛盾的，我们应知道是哪一条规则导致了这个结果，然后我们可以取消这条规则或对它进行适当的修改从而避免这种矛盾。简单地说，数学将会改变一下方向但仍不失为一种科学。这不全是一种推测，在发现了不合理之处后，人们总是这么做的。今天，我们把它看作人类精神的最高胜利之一，而远不是对在毕达哥拉斯派数学中发现的矛盾的悲叹。
狄多涅有可能又会提起莱布尼茨关于微积分方法的例子（见第七章），在接受了18 世纪所有对这种方法的批评之后，非标准分析（见第十二章）使它在逻辑主义、形式主义和集合论公理化相容的基础上变得严格起来了。除了布尔巴基派表示出对数学逻辑的修正拥有信心之外，还有些数学家相信存在着一种唯一的、正确的、永恒的数学体系，虽然它也许不能应用于客观世界。他们的观点是：证明的不一致和不确定性源于人类理性的限制，进一步说，人们现有的不一致只是会被逐渐克服的暂时的障碍。康德主义者是这些人中的一部分，他们认为数学深深植根于人类理性之中，以至于对什么肯定是正确的不存在任何问题。例如，哈密尔顿，虽说他发明的这个尤物——四元数——导致了对算术的自然真实性的质疑，但他在1836 年坚持非常类似于笛卡尔的见解。他说：
代数和几何这些纯数学化的科学，是纯粹理性的科学，其从经验中取之甚少，它是孤立的或者至少是孤立于外部世界的偶然现象??。它出自于我们内心的思想。拥有它们只是我们先天能力的结果，是我们特有的人性的展现。
凯莱，一位19 世纪顶尖的代数学家，在英国科学促进会的一次讲演中（1883 年）说“我们??拥有先验认识，它不仅不依赖于某一经验，而且独立于一切经验??。这些认识是思维对于经验的解释做出的贡献。”虽然像哈密尔顿和凯莱这些人认为数学植根于人们头脑中，其他人却认为数学存在于人以外的世界之中。存在一个独立于人的数学真理的客观世界，这种信念可以追溯至柏拉图（见第一章），且被人们一再确认，尤其是莱布尼茨，他区分了理性真理和事实真理，前者适用于所有可能的世界。最先称赞非欧几何重要性的高斯，也确信数和分析的真实性（见第四章）。
优秀的19 世纪分析学家埃尔密特也相信存在一个客观的数学真实世界。在给数学家斯蒂杰斯（Thomas Jan Stieltjes）的一封信中，他说：我相信，数和分析中的函数不是我们精神的任意产物，它们在我们之外存在着，并且和客观实在的对象一样，具有某种必然性的特征。我们找到或发现它们、研究它们，就和物理学家、化学家及动物学家所做的事情一样。
在其他场合他又说过，“在数学中，我们是仆人而不是主人。”
尽管有基础上的各种矛盾，许多20 世纪的学者坚持同样的主张。康托尔，集合理论及超限数的创始者，认为数学家不是发明而是发现概念和理论，它们独立于人类思想之外。他把自己只看作一个报告人和秘书。虽说哈代对人类的证明充满疑虑，但他还是在1929 年的一篇文章中说：在我看来，如果一个数学家不以这种或那种方式承认数学真理的不变性和绝对正确性，那就不会有一种哲学同情他。数学理论是对还是错，它们的真理性或谬误性是绝对独立于我们对它们的认识的。在某些意义上，数学真理是客观现实的一部分。
在他名为《一个数学家的自白》的书中，他表达了同样的观点：
为了避免引起误会，我将不客气地陈述我自己的立场。我确信，数学的现实性不依赖于我们而存在，我们的作用是揭示或观察它，而我们所论证和夸张地命名为我们的“创造”的定理，实际上只是我们观察的记录。
本世纪法国数学家的领袖人物阿达马在他的《数学领域中的发明心理学》中宣称：“尽管这真理还不为我们所知，但它是先验地存在的，而且必然影响我们应该遵循的路径。”
哥德尔也坚持一个超验的数学世界的存在。就集合理论来说，他宣称把所有集合都看成是实体是合理的：
在我看来，假设这样一种实体与假设物理实体一样合理，并且有同样多的理由相信它们是存在的。同样地，它们迫切需要一个令人满意的数学理论，就像自然物体对于一个令人满意的人类感性知觉理论一样必要。在这两种情况下，都不可能把一个人关于这些实体的主张解释为关于“数据”——即后一种情况中突然产生的感性知觉——的主张。
这些断言的一部分来源于本世纪那些对基础不甚关心的人们。使人感到惊讶的是甚至于一些基础工作的领袖们，希尔伯特、丘奇，还有布尔巴基学派的成员都宣称数学概念和命题存在于某些客观意识中，且可以为人类思维所领悟。因此，数学真理就是被发现而不是被发明，逐步完善的不是数学，而是人们的数学知识。
持这种观点的人常被称为柏拉图主义者。虽然柏拉图确信数学存在于独立于人类之外的某种理想世界中，但他的学说中包含很多与当前观点相悖的东西，而且“柏拉图主义者”这个名称不尽相宜。
这些声称一个客观的、唯一的数学体系的断言，没有说清楚数学存在于何处。它们只是说数学存在于某一超常世界中，恰似海市蜃楼，只能为人所感知。公理和定理并不是纯粹的人类创造，它们更像是深藏在地下的珍宝，只有耐心地挖掘，才能使它们重见天日，但它们的存在就像行星的运转一样是独立于人的。
那么，数学究竟是藏在宇宙深处、逐渐被发现的一堆钻石，还是一堆光怪陆离的人造宝石，洋洋自得的数学家们也被弄得眼花缭乱。
更进一步，如果存在一个超感知的、绝对的、本质的世界，而且如果我们在逻辑和数学上的命题只是对这些本质观察结果的记录，那么矛盾和错误的命题不就在同样的意义上与真实的命题相提并论了吗？谬误和自相矛盾的毒草就会与真、善、美的鲜花同样欣欣向荣，也许魔鬼和真理之神一道播种收获。柏拉图主义者当然反驳说，只是因为人类的能力不足以抓住真理，所以才产生了荒谬的命题和矛盾。
第二种观点认为数学纯粹是人类思想的产物，其当然为直觉主义者所支持，这可以追溯至亚里士多德。然而，有些人宣称真理是由思维保证的，而其他人则坚持数学是易谬的人们的创造物，而不是固定不变的知识体。早在现代的争论出现之前，帕斯卡就在他的《思想录》中就这一观点作过一段经典论述：“真理是如此微妙的一个尤物，我们的工具太愚钝了，以至于对它难以捉摸。而当触摸到它时，又将它碰倒并使其偏向于一边，但更多的是偏向错误而不是真实。”海丁（Arend Heyting），一位主要的直觉主义者，宣称今天没有人能谈及真正的数学，正确的、唯一的知识体意义上的真正数学。
汉克尔、戴德金和维尔斯特拉斯都认为数学是人类的创造。戴德金在给韦伯的一封信中宣称：“此外，我们通过数所理解的并不是事物本身，而是一种新的东西，??它是思维所创造的。我们是上帝的儿子，我们拥有??创造的能力。”维尔斯特拉斯用下面这些话表示了他对这种思想的认同，“真正的数学家是诗人。”还有维特根斯坦（Lnding Wittgenstein），罗素的一个学生，凭借自己的能力而成为一位权威，认为数学家是发明者而不是发现者。所有这些人和其他人认为数学是远超出经验的发现和理性推断的束缚的某个东西。支持他们这种立场的是如下事实：比如说无理数、负数这样的基本概念，既不是经验发现的推断，也不是明显存在于某个外部世界的本质东西。
魏尔对于永恒的真理也颇多讽刺。在他的《数学和自然科学的哲学》中，他说：
哥德尔绝对相信先验逻辑。他喜欢认为我们的“逻辑透镜”只是有点散焦，他希望在略加调整之后我们会看得清楚，那时，每个人都会同意我们看到的是正确的。但是不具备他这种信念的人则会被策梅罗系统，甚至希尔伯特系统中的高度武断所困扰??。没有能永远确保我们的相容性的希尔伯特；对能满足现有精巧数学实验的测试的简单公理系统，我们应该感到满意，即使以后出现不一致时，改变基础也为时不晚。
诺贝尔奖获得者、物理学家布里奇曼（Percy W ．Bridgman）在《现代物理学的逻辑》中（1946 年），断然否认存在任何客观的数学世界。“认为数学是人类的发明纯属无稽之谈，这只要稍加观察即可明白。”理论科学是一种制造信念的数学游戏，所有人坚持认为数学不仅是人造的而且深受在它发展中的文化的影响。它的“真实性”就像对颜色的感知那样，是独立于人类的。政治、经济和宗教的信条总是竭力诱使我们相信，它们是客观存在的，是独立于人类的真理体系。相比之下，数学只是部分地使人接受了这一点。它也许独立于任何一个人而存在，但不独立于它所存在的那种文化。魏尔说过，就数学的总体来说，它不是一个孤立的技术成果，而是人类存在的一部分，由此它找到了自己的证明。
支持这种认为数学是人造物观点的人们从本质上说是康德主义者，因为他们将数学的源泉归结于头脑的组织能力。然而，现代主义者却认为数学并非起源于头脑的形态或生理，而是源于头脑的活动，它是用发展的方式组织的。头脑的创造性活动不断形成更新、更高的思想形式。在数学中，人类的头脑有能力清楚地看到它可以自由地创建它认为有意义或有用的知识体系。而且，创造的领域不是封闭的，人们将创立一些适用于现存的或新出现的思想领域的见解。人的头脑有能力设计出这样的结构，并提供一种整理经验数据的模式。数学的源泉就在于思维自身的不断发展。现有的关于数学自身本质的各种矛盾以及今日数学不再是一个被普遍接受的、无可辩驳的知识体系这一事实毫无疑问支持了这样一种观点，即数学是人为的。就像爱因斯坦所说，“谁把自己当作是真理和知识领域的法官，谁就会在众神的哄堂大笑中毁灭。”
颇具讽刺意味的是，理性时代的知识分子却将数学作为人类理性力量和他获知真理能力的证据，满怀信心地宣称推理会解决人类的所有问题。20 世纪的知识分子，虽然他们相信推理力量的作用，但他们不能把数学指定为范例和标准。这一系列事件简直是一场智力的灾难。数学是人类为获得精确而有效的思维而做出的最广博和最深刻的努力，这一点仍是对的；而且数学所取得的成就是人类思维能力的量度，它代表在所有理性领域我们有望获得成果的上限。但在今天，面对着关于什么是有效的数学这一混乱局面，我们颇感不安。这就是为什么希尔伯特如此绝望地试图从客观的、不容置疑的推理意义上重建真理的原因。就像他在1925 年的论文《关于无穷》中所说的：“如果连数学思考都失败了，那么哪里还能找到可靠和真实的东西呢？”
在波伦亚召开的国际数学家大会的报告中，他又重申了这种担心：就我们所有的知识的真理和科学的存在及进步而言，如果数学中没有真理，那么它们究竟会变成什么样子呢？实际上，在今天，专业文献和公开讲演中经常出现对知识的怀疑和失望，这是一种神秘主义，我认为是有害的。
看起来，一种连续不断、永不停息的追求正如很早以前歌德所指出的，这正是人类的可取之处：自救者终将得救。虽然魏依（André Weil）对绝对真理的存在并不那么有信心，但他坚持认为对数学的探求必须进一步深入，即使数学并非人类理性的高塔。正如他所说：
对我们——就是那些被希腊思想遗产的重担压弯了肩膀的人，那些走在由文艺复兴时期的英雄们所开辟的道路上的人——来说，没有数学的文明是不可想象的。正如平行公理，数学得以为继的假设已被抽去“证据”，但是，前者不再必需，而没有了后者我们将寸步难行。
数学的未来从未有更多的希望，其本质也从来没有如此清楚。对于这些明显的东西所进行的微妙分析使得情况越来越复杂，且永不休止。但数学家们将为解决这些基本问题而不懈努力，就像笛卡尔所说的，“我将继续前进，直到我找到某种确定的东西——或者，最起码，直到我能确信没有什么是确定的。”
按照荷马(Homer)所说，在科林斯(Corinth)的国王西西弗斯(Sisyphus)死后，诸神罚他推一块巨石上山，而在他接近顶峰时，又使石头滚落山底，于是重新再推，如此劳作不已。他没有想过有那么一天，他的苦役会结束。数学家有这个意志和勇气，他们几乎是本能地去完善和加固其学科的基础，他们的奋斗也许会永不停息，他们也许将永不会成功。但是现代的“西西弗斯们”将会坚持下去。
第十五章 自然的权威
我祈祷，
我知道，自然永远不会背叛
那热爱着她的心??
——威廉?华兹华斯
数学家们能够从许多对立的方面推出新的结果，因为无法从事物本身判断孰是孰非。其中，最重要的原因自然是数学的产生和发展以及数学对科学的作用，这是一种传统的、仍然是最无可非议的原因。人们现在知道数学基础的不确定性以及对于数学逻辑的疑问即使不能够被解决，也可以通过加强它在自然上的应用来回避，用爱默生（Ralph Waldo Emerson）的话说，就是让我们“用物质为思维营造基地”。在先验的基础上，我们不能断言由数学定理产生的结果必定可以直接运用；我们也不能断言，如果将其与合理的物理原理一同使用时，从这些原理中产生的演绎推理可以导致正确的物理结果。但是，应用可以提供一个实用的检验标准，对于那些反复推出正确结果的定理，人们使用它们的信心将会逐步增强。比如说，如果选择公理能在连续的使用中始终得到合理的物理结果，那么对它的疑虑也就自然消除了。
从历史上看，人们求助于应用似乎并不像当今的数学家们那样彻底。概念和公理来自于对自然界的观察，甚至逻辑的规律现在也被普遍认为是经验的产物。那些引发定理的问题，甚至是关于证明方法的提示也都来自于自然界。至少到了75 年前，由公理推导出的结果的价值才由物理世界的肯定而得以证实。仅通过数学的应用来判断其正确性而言，当然谈不上绝对的检验。一个定理也许在n 次情况下都是对的，但却会在第（n＋1）次情况下是错误的。一次差异将使定理不成立。但我们可以修正它以保证使用的正确性，历史上已经做到了这一点。
J?穆勒(John Stuart Mill)提倡数学的经验基础和用经验来检验数学。他承认数学要比许多物理科学更为普遍，但“证实”数学正确性的则是因为其命题比起其他物理科学的定理来，已在更大程度上得以检验和肯定。这样一来，人们便开始错误地认为数学定理与其他科学的假设和定理有质的不同，数学定理被认为是确定的，而物理定理则被认为只是由经验所证实的。
穆勒将其主张建立在哲学的基础上，这是在现代关于数学基础的论战
开始前很久的事。多由于这一原因，许多近代和当代的基础研究工作者们成了实用主义者。正如希尔伯特所说：“从他们的成果中你可以了解他们。”希尔伯特在1925 年又说：“在数学中和在其他地方一样，每个人都遵守成功这个最高法庭的判决。”
莫斯托夫斯基（Andrzej Mostowski）在基础研究中表现得突出而活跃，他赞同希尔伯特的观点，在1953 年波兰举行的一次会议上，他说：这种唯一贯穿始终的观点，倒不如说是一种假设：数的概念——不仅是自然数，也包括实数——的源泉和最终存在的理由来自于经验和实际运用。他不但与正常人的理解力相符合，而且与数学的传统相符合。在经典数学领域所需要的集合论的概念中，情形也是这样。
莫斯托夫斯基更进一步说，数学是一门自然科学，其概念和方法均起源于经验，那些试图建立数学而忽视它在自然科学中的本源、忽视它的运用、甚至忽视它的历史的努力都注定会失败。
也许更令人惊奇的是魏尔这名直觉主义者也赞成通过在自然界中的运用来判断数学的合理性。魏尔对数学物理做出了大量的贡献，尽管他坚决支持直觉原理，但却不愿因为坚持这些原理而牺牲有用的结果。在《数学与自然科学的哲学》（1949 年）中，他勉强承认说：
启发式论据以及其后爱因斯坦广义相对论中的系统结构，或者海森堡-薛定谔的量子力学是多么令人信服并接近事实啊！一种真正的数学应该和物理学一样被当作是真实世界的理论结构的分支，并且我们应该用同样严肃谨慎的态度去对待其基础的扩展，就如同对待物理学的一样。
毫无疑问，魏尔提倡将数学作为一门科学来对待。数学定理和物理学定理一样也可能是尝试性的，并无把握。它们也许还须改造，但是，是否与实际相符是检验其合理性的可靠标准。卡瑞 （HaskellB.Curry）作为一名著名的形式主义者在这方面走得更远，在其《数学逻辑的基础》（1963 年）中，他说道：
数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。为什么我们在未来的日子里不能这样做呢？
奎因（Willard Van Orman Quine）是一位活跃的逻辑学者，他在企图简化罗素-怀特海的原理上做了许多无用功。他也欣然满足于物理合理性，至少现在是这样。在一本名为《现代逻辑的哲学意义》的集子中，有他一篇1958 年的文章，他写道：
我们将采用看待自然科学的理论部分的方式来看待集合论
与整个数学。这些真理或假设与其说是为纯粹的推理所支持，还不如说是对自然科学中经验数据的组织所做的间接的、系统的贡献。
对形式主义和集合论做了基础性贡献的冯?诺伊曼也致力于采取同样的方法打破现有僵局。在一篇著名的文章《数学家》（见B?罗伯特的《思维的创造》，1947 年）中，他认为尽管几个基础学派都没能证明经典数学的正确性，但大多数数学家还是照样使用它：
当所有的经典数学都产生了既优雅又实用的结果后，尽管仍然不能绝对确保其可靠性，但它至少已立足于一个像电子的存在那样合理的基础上了。因此，如果你想要接受科学的话，你最好还是接受数学的经典体系。
然而，数学的地位并不比物理学强多少。
即使是罗素，他虽然在1901 年宣称数学真理、逻辑和物理的大厦是坚不可摧的，但却在1914 年的一篇短文中承认“我们关于自然的几何知识是人为的而非先验的。”这并不是仅从逻辑中得到的结论，在其《原理》第二版中，他进一步承认：逻辑和数学就像麦克斯韦电磁理论方程一样可信，“因为人们已看到了某些逻辑结果的真实性。”
也许更令人惊奇的是哥德尔在1950 年说的一段话：
被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能??。在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基础都是解释性的，而非基础性的。就好像在物理中公理的实际作用是解释该系统中定理所描述的现象，而不是为这些定理提供一个真正的基础。
这些领袖人物都意识到，试图建立一个可普遍接受的、逻辑上合理的数学体系的努力已经失败了。数学是一种人类活动，它受制于人类的各种弱点和过失。除了推理上的因素以外，任何形式上的逻辑的解释只是一种伪数学，一种幻想，甚至是一种神话。
其他许多著名的基础工作者们把检验数学合理性的方法作为一种实用的方法，数学的应用就算不能绝对地，也可稳固地确保数学本身。即使是在需要偶尔修正的地方也一样如此。正如华兹华斯所说：“我们的思想永远只能建立在自然的坚实基础之上。”
面对实用的检验标准，即强调数学在科学中的运用，基础论者似乎已欲放弃自己的原理和信念。考虑到数学的不合逻辑的发展（第五章至第八章），几个世纪以来的数学家们怎么会信仰数学呢？他们认为自己已经证明了一些结论，却没有认识到他们的证明是错误的。但是他们确实知道并无逻辑支持着负数、无理数、复数、代数或微积分，他们依靠的是应用。求助于科学应用，或者说经验证据是值得注意的。欧几里得派理想地假设，从本身是真理的公理开始，经过有效的推理即可推导出进一步的真理。而以物理应用为依据则颠倒了数学的整个概念，如果采用演绎的方法，那么尽管这些公理未必是能得出结论的公理，但至少公理自身是合理的，但在有用的或能应用的数学意义上来说，真理是不可以倒行的。
实际上，几个基础学派的领袖都已将其信念搁置了至少很长一段时间。比如克罗内克，作为直觉主义学派的奠基人之一，在代数学上所做的一些有益的工作并未遵循他自己的准则，因为正如彭加勒所说，克罗内克忘记了自己的哲学。布劳维也是一样，在1907 年的论文中，他提倡其直觉主义哲学，而在随后的十年里，却忽视了直觉主义者的原则而致力于拓扑学的研究和证明。
所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。尽管两千年来，数学一直被看作是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、不可变更的。
如果我们把数学看作是一门科学，那么充分认识科学是如何运作的就显得尤为重要。科学通过观察和实验，然后建立一个定理，这个定理可能是关于运动、光、声、热、电、化合等方面的，这些定理都是人为的，人们通过进一步的观察和实验检验其预言。如果其预言至少能在实验误差允许范围内得以证实的话，该定理就将保留，但以后也许会被摒弃，并且定理始终是定理，而不像那些深含于物质世界中的真理那样。我们习惯于对待科学定理的这种态度，因为我们有许多因为新定理而摒弃旧的科学定理的例子。而人们不接受用这种态度对待数学的唯一原因就是：正如穆勒指出的那样，基本的算术和欧氏几何已有效运用了许多个世纪，以致人们错把它当作了真理。但我们现在必须看到数学的任何一个分支都只提供一个可用的理论。只要它可用一天，我们就须使用它一天，但将来也许会需要一个更好的理论。数学是人和自然的中介，它是我们自身与外界之间的一座充满险阻、令人生畏的桥梁。但当我们认识到无论是在现实中，还是在人类的思想中，这座桥的两端都未牢固地固定时，这是多么地令人悲哀啊！理性对依据其自身方案建立起来的命题具有判断力，尽管理性优先于其所推出的命题，但它必须借助于实验从自然中抽取精华，这正是产生理论以及通过自然的行为决定理论地位的时候。
下述特征可以区分大部分的数学和物理理论。在科学中，理论曾经有过根本性的变化，而在数学中，大部分逻辑、数论以及经典分析已运转了许多世纪，它们一直而且仍然适用。从这个意义上说，数学不同于其他科学。无论这部分数学是否绝对可靠，它们运转得很不错，我们可以把它们称为准经验的。
我们尤其可以从微积分的历史中找到这方面的有利证据。尽管对微积分的逻辑仍有许多悬而未决的争论，但它仍然不失为一种成功的方法。具有讽刺意味的是，非标准分析（见第十二章）证实了莱布尼茨的无穷小量理论，但却并未证实所有的微积分的技巧。
我们甚至可以将可应用性这一标准运用于选择公理。正如策梅罗自己在其1908 年的论文中指出的那样，“皮亚诺是如何得到他的基本原理的呢？??其实他一点也不能证明这些原理。显然，他只是通过分析在历史上已成定论的一些推理的方式，通过指出这些原理在直观上是很明显的，且为科学所需要，就得到这些原理而已。”在为他自己使用选择公理做解释时，策梅罗列举了这一公理所取得的成绩。在其1908 年的论文中，策梅罗引证了这一公理一直（甚至直到那时）在超穷数理论上、在戴德金的有限数理论上以及在分析的技巧问题上，发挥了多么巨大的作用。
不仅仅是受这样一种需要所驱使，即一定要从几种关于基础的理论中进行选择，各种学派的领袖人物都力荐将数学在科学上的运用作为可靠性的指导和检验准则。他们都认识到数学在处理自然现象上的力量与日俱增，即使基础问题被弄清楚了，也不会放弃这种用途。尽管许多由于各种原因变得俗气虚夸却无甚功劳的数学家已摒弃科学达百年之久，但最伟大的近代领袖人物，如彭加勒、希尔伯特、冯?诺伊曼和魏尔仍在坚持不懈地寻求物理应用。
不幸的是，今天的许多数学家并未致力于应用（见第十三章），恰恰
相反，他们仍不断地在纯数学中创造新的结论。我们可以从《数学评论》中获悉当前数学研究工作（纯粹与应用方面）的进展情形。这本杂志扼要地评述新的、或许是重要的数学成果，每期登载约2,500 多条，即每年约30,000 条。
正确的数学所面临的困境是，究竟哪一种学派的思想是最合理的，甚至就是在同一种学派内部还有许多错综复杂的方向供数学选择。这种困境本将给纯粹数学家们一个喘息的机会，使他们在创造新数学前先致力于基础性问题的研究，因为这些新数学可能在逻辑上站不住脚。但他们却轻率地在未被应用的数学领域中产生了新成果。
对此有好几种答案。许多数学家并未重视基础工作，自1900 年以来，他们工作的态度是典型的人类处理许多他们所面临问题的方式。几乎所有的人都在数学大厦的高处筑窝建巢。当基础工作者在勘查其基础以确保大厦安全时，房客们则在其上安居乐业。当基础工作者们越掘越深，已完全消失于视野中时，房客们仍未意识到大厦的基础有什么危险，也不知道大厦即将倒坍。因此他们继续沿袭传统的数学，他们不知道盛行的正统数学正面临挑战，依旧乐此不疲。
另外一些同时代的数学家则意识到了基础中的不确定因素，但他们宁愿采取避而远之的态度对待那些他们所称的哲学问题（与纯粹的数学问题相对）。他们很难相信基础中，至少是在他们自己的数学活动中会有什么严重的利害关系，他们宁愿恪守过时的教条。对这些人来说，潜台词就是：今后的75 年，让我们就好像什么事也没发生过那样前进吧。他们在某种普遍的意义上大谈证明，即使根本没有这种东西。他们撰写和发表文章就好像不确定性根本不存在一样，对于他们来说，文章发表得越多越好。如果说他们还尊重合理的基础的话，那也只能是在星期天他们祈祷我主宽恕的时候或者是为了看看他们的对手正在做什么而停止写新论文的时候。个人的成就是绝对重要的——不管是对还是错。
难道就没有权威可以用基础问题仍需解决的理由来限制事态发展吗？杂志的编辑可以拒收这样的论文。但一般地，编辑与审稿人作为数学家来说，总是立场一致的。因此，有点严格味道——1900 年的严格——的论文都被接受且发表。如果国王不穿衣服，法官们也不穿衣服，那么裸体就不足为怪了，也不会引起什么羞愧。正如拉普拉斯曾经指出的那样，人类的理性在追求进步中遇到的困难要比探求自身时少得多。
总之，基础的问题被许多深入腹地的科学家们束之高阁。数理逻辑学家倒是致力于基础问题，但他们却常常被认为是在数学以外的人。我们不能谴责所有那些忽视基础问题的数学家们。有一些人十分关心应用数学，他们还提倡为其权宜之计寻求历史上的依据，正如我们所看到的那样（见第五、第六章），尽管缺乏数系及其运算和微积分的逻辑基础，并且为此数学家已激烈论战了一个多世纪，但他们仍继续使用原有成果并创造了确实是卓有成效的新的结论。但证明却是粗糙的，甚至根本不存在证明。当发现矛盾时，数学家们就重新检查其推理过程并修正之。经常发生这样的情况：推理虽已改进，但即使是以19 世纪末的标准来看，也仍然是不严格的。如果数学家们要等到推理达到这一标准的话，他们只会一事无成。正像皮卡所指出的，如果牛顿和莱布尼茨知道连续函数不一定可微的话，他们就不会创立微积分学了。在过去的日子里，冒险和谨慎共同取得了重大的进步。
哲学家桑塔亚那在《怀疑论和动物式信仰》一书中指出，怀疑对思维至关重要，而动物式信仰则对行为至关重要。许多数学研究具有极大的重要性，欲使这种重要性长存，研究工作必须继续进行。动物式信仰正是提供了这样的信念。
有一些数学家曾对基础性争论表示关注。鲍莱尔、贝尔及勒贝格明确表述了他们对集合论公理化方法有效性的怀疑。但他们仍使用之，只是对由其产生的结论的可靠性采取保留态度。1905 年，鲍莱尔说他非常乐于沉浸在有关康托尔超穷数的推导中，因为它们有助于一些关键的数学研究。但是，鲍莱尔和其他一些人所选择的这条道路绝非是轻松愉快的。让我们听听现代最深刻、最博学的数学家之一魏尔的话吧：
我们从未像现在这样对数学的基础和逻辑无所适从。像现今世界中的每一个人、每一件事一样，我们也有自己的“危机”，这危机已经存在了近50 年（现在是1946 年）。外表上看来，它似乎并未妨碍我们的日常工作，但至少我承认它已在我的数学生涯中起了相当实际的影响，它将我的兴趣引向那些我认为相对“安全”的领域，并不断地消耗我从事研究工作的热情和决断力。在人类所有忧虑与认识、苦恼与创造并存的情况下，那些关心他们所做的工作的意义的数学家也许会和我有同样的经验感受。
用应用来检验数学的合理性随即产生一个这样的问题，数学的有效性如何呢？就1800 年以前的数学创造和应用而言，我们已经有机会（见第三章）通过多个例子，说明了数学在描述和预言自然界时是多么出色。但是，在19 世纪数学家们引入了一些概念和理论，无论他们的动机是多么值得称道，但是这些概念和理论都不是直接从自然中提炼出来的，甚至看上去有悖于自然。例如，无穷级数、非欧几何、复数、四元数、一些奇异的代数学，各种大小的无穷集以及其他一些我们从未处理过的创造。在先验的基础上，我们没有理由认为这些概念和理论可以得以应用，那么我们先让自己相信这种现代数学是有效的，并且实际上是相当不错的吧。
已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛地运用了现代数学。我们在这里仅讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用。在19 世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个关于这两种现象特性的数学定律问世，19 世纪60 年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一个关于位移电流的方程。对于这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出发，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现在可以通过收音机、电视机接收的频率以及X 射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推断出光是一种电磁现象。
电磁波——由此可以追忆到万有引力（见第三章）——中尤为值得注意的是我们对什么是电磁波并无丝毫的物理认识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创造了收音机和电视机的奇迹。同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力场，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点像水波不断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理本质一无所知，它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、物体的运动，以及现在很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导数描述为消失的量的鬼魂，现代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的公式表示这些在现实中没有明显对应物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果，我们可以得到结论，而当我们用物理术语恰当地解释这些结论时，它们又可以用感性知觉来校验。
爱因斯坦于1931 年强调了现代科学的虚构特点：
按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念来表征的??麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服从偏微分方程，不能对它做机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿以来的一次最深刻和最富有成效的变革??
我刚才所阐述的见解，基础的科学理论原理具有完全的虚构性，决非18、19 世纪盛行的那个观点。而这一见解却逐渐从以下事实中找到根据：在思维中，一边是基本概念和定律，另一边则是必须与我们的经验相关的结论，这两者之间的距离越拉越大。逻辑结构越简单，用以支持逻辑结构而在逻辑上独立的概念成分也就越少。
现代科学通过对自然现象的合理解释消灭了奇想、妖魔、天使，鬼怪、神秘之力以及泛灵论，人们为此而称道它。我们还要补充一点：现代科学正逐渐夺走了直觉和肉体上的满足，这两者都是通过感觉来实现的；它也在逐步消除物质，它采用的是像场和电子这样的虚构的，理想的概念，对于这些概念，我们仅仅了解其数学定律。经过一长串的数学推导后，科学与感性知觉之间只存在着那么一点但却至关重要的联系。科学是合理化的虚构，而正是数学使之合理化。
赫兹(Heinrich Hertz) 这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于电磁波能在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我们无一例外地感受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧超过我们，甚至超过那些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多得多。”
詹姆斯?琼斯爵士也强调数学在自然研究中的作用。在《神秘的宇宙》中，他认为：“根本的事实就是，科学为自然所描绘的所有图象以及那些与实际情况一致的图象，都是数学的图象?? 。”物理概念和机械论被认为构造了数学解释，但似是而非的是，物理辅助看来只是空想，而数学方程却仍是解释自然现象的唯一可靠保障。
在《物理学与哲学》一书中，琼斯重新肯定了这一想法。通过那些感觉可以捕捉的模型和图象，人的思维是不能理解自然运转的方式的。我们绝不可能懂得事件是什么，但我们必须用数学的语言来描述事件的模式。物理上的收获总是一大堆数学公式，物质实体的真正本质永远不为人知。因此，现在看来数学在现代科学中的作用远不只是一种主要工具。用记号和公式将那些通过实验在物理上观察和建立起来的东西一般化、系统化，然后再从公式中推导出另外一些信息，而这些信息无论是和观察或实验，还是和其他易于理解的信息都不太接近，这就是人们所经常描述的数学的作用。但是，对数学作用的这种解释还远远不够，数学是科学理论的实质。19、20 世纪在纯粹的数学结构基础上数学的应用与以前数学家们采用由物理现象直接提取的概念所做的应用相比，更为有力和不可思议。尽管现代科学的成就——收音机、电视、飞机、电话、电报、高保真唱机及录音设备，X 射线、晶体管、原子能（及原子弹），在这里我们提及一些大家熟悉的东西——不能仅仅归功于数学，但是数学的作用比起其他任何实验科学的贡献来说，更为基本，更为重要。
在17 世纪，培根曾对诸如哥白尼和开普勒的天文理论持怀疑态度，他担心他们受到哲学或宗教上信仰的影响——例如上帝对简单的偏爱或者是上帝对数学化安排的自然的设计——而不是出于观察或实验的需要。培根的态度当然是合理的，但现代数学理论已经开始单独占领了物理科学领域，因为它们的作用是如此有效。当然，接受任何一个学科的数学理论都需要与观察相一致。
因此任何关于数学是否有效的疑问都可以得到肯定的回答，但是数学为什么有效却不那么容易回答。在古希腊时期及随后的许多个世纪中，数学家们相信有清楚的指示告诉他们到哪里去寻找黄金——数学是物理世界的真理，逻辑原理也是真理——于是他们抖擞精神，急切而勤奋地挖掘着。他们的成绩是辉煌的，但我们现在知道他们当作是黄金的东西并不是黄金，而只是些贵重的金属，这种贵重的金属仍继续在极其精确地描述着自然的运转。为什么它在确保定量分析上做得如此之好？为什么人们会希望一个独立的、抽象的、先验的“精确”思想体系对自然界施加影响呢？一种可能的答案是数学概念和公理是基于经验提出的，即使是逻辑定律也被承认是基于经验提出的。但这样的解释过于简单，用它来解释为什么 50 只牛加 50 只牛等于 100 只牛大概是足够了。在数和几何领域，经验也许的确提示了正确的公理，所用到的逻辑也只能从经验中学到。但是人类已在代数、微积分、微分方程及其他领域创造了并未由经验提示的数学概念和技巧。
除了这些非经验数学的例子以外，我们应考虑到数学上的直线由一个无穷多个点的集合组成。微积分则用了一个由瞬时组成的时间的概念，这些瞬时就好像实数系里的数那样“汇聚在一起”。导数的概念（见第六章）可以由这样一个物理概念提出：某段无穷小时间内的速度。但是，当导数表示速度时，它只表示某一瞬间的速度。无穷集的种类当然无法由经验提出，但它却可运用于数学推理，它对一个令人满意的数学理论的作用就好像物体对感性知觉一样必要。数学还提供了一些像电磁场这样的概念，对这些概念的物理本质我们一无所知。
此外，尽管逻辑定律和一些物理原理是由经验得到的，在对物理上有
重要意义的结论进行广泛的数学证明过程中，这些定律会反复用到，并且，证明也只能建于这种逻辑之上。纯粹的数学推理导致诸如海王星存在之类的预言。自然遵守逻辑原理吗？换句话说，有这么一种逻辑体系（姑且不论它是如何得到的）能够告诉我们自然是如何运转的吗？那些涉及到成百上千个关于抽象概念的定理和推论的主要理论与现实紧密结合，如同公理与现实的结合那样。这一事实说明了数学具有一种表示和预言实际现象的令人难以置信的精度。这一长串的纯推理为什么会产生如此非凡的应用结论呢？这是数学上最奇特的怪事。
因此，人们面临着双重奥秘。虽然物理现象可通过物理语言理解，但
对那些被证明与公理本身同样运用的推理，为何数学一样有效呢？而在那些我们对物理现象仅有猜想，并几乎完全依靠数学来描述这些现象的领域，数学也一样有效呢？这些问题是不容忽视的。我们的科学技术在很大程度上依靠数学，数学虽然曾在真理的无敌旗帜下作战，但是在这门科学中是否有某种魔术般的内部力量使之获取胜利呢？
这一问题曾被反复提出，著名的有阿尔伯特?爱因斯坦的《相对论侧记》（1921 年）：在这里产生了一个让各个时期的科学家均感困惑的迷题。数学作为独立于经验的人类思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合？没有经验依据，而只靠纯粹的思维，人类就能够发现实际事物的性质吗？??
只要数学的命题是涉及实在的，它就不是可靠的；只要它是可靠的，它就不涉及实在。
他继续解释道，数学的公理化使得这种差别清晰化。虽然爱因斯坦知道数学公理与逻辑原理来源于经验，他仍提出这样一个问题：为什么那些长而复杂的纯推理能产生如此卓著的应用结论呢？毕竟，这些推理是独立于经验的，而且涉及的概念是由人类头脑所创造的。
一种现代解释起源于康德。康德确信（见第四章）我们不懂得也不可能懂得自然，更确切地说，我们拥有的是感性知觉。我们的头脑依据天生的关于空间与时间的先定结构（康德称之为直觉）来支配感知，因此我们依照欧氏几何的定律组织空间感知，因为我们的头脑需要如此。而正是因为如此，所以空间感知继续遵循欧氏几何定律。当然，康德在坚持欧氏几何的问题上是不正确的，但他认为人类思维决定自然行为的观点确有部分道理。思维决定了我们的时空概念，我们在自然中所看到的东西无非是我们的思维事先确定好的东西。
另外一种与康德的观点类似，但进一步扩展了的观点是由爱丁顿所提出的，他是当代最伟大的物理学家之一。按照他的说法，人类思维决定了自然必须如何去运作：
我们发现，科学发展得最快的地方，思维就从自然中重新获得那些原来放进去的东西。我们在未知的彼岸发现了古怪的足迹。为了解释它的起源，我们设计了一个又一个深奥的理论，最终我们成功地找到了足迹的来源。哦！原来是我们自己的足迹。
近年来，康德有关数学为何有效的解释已由怀特海详尽阐述，甚至布劳维1923 年在一篇论文中也对此表示拥护。关键的思想就是：数学并非一门独立于外部世界现象并运用于其上的学科。相反地，它是我们用自己的方式构想这些现象的基础。自然世界并不是客观地呈现在我们面前，它只是建立在人的感觉基础之上的人类的解释或构造，而数学则是组织人类感觉的主要工具。于是，自然而然地，人们用数学来描述人类已知的外部世界。这样，为何多数人都接受同样的数学结构则可以用这样一种假设，即人类的思维可能实际运转起来差不太多来解释。或者解释为以下一种事实：人们出生于某种文化和语言环境中，这种环境制约着他们接受某种特定的数学系统。欧几里得几何尽管并非是关于空间的最后定论，但它仍占据了统治地位，这一事实证明了后一种观点。对于日心说也是一样，因为一开始，它与托勒密理论观察的矛盾并未促使其改进。此外，如果那时托勒密理论能够保持并提炼，与更近一些的观察相吻合的话，无疑它同样也能非常有效，而只是增加些数学上的复杂性罢了。
上述思想的实质可以这样表述，我们试图从复杂的现象中提炼出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，这种抽象化的力量是形成对自然令人惊异的数学描述的原因。另外，数学“透镜”允许我们看到什么，我们就只能看到什么。这一思想还在如哲学家威廉?詹姆斯的《实用主义》中有所表述：“数学和物理科学所取得的所有辉煌成就??来源于我们不屈不挠地希望将世界熔铸成我们头脑中的更加合理的图象，而不是那种由我们的经验杂乱无章地扔在那里的场景。”
一位近代作家用更加诗一般的语言这样描述：“现实是最富魅力的情人，她对你百依百顺，但她决不是你停泊的港湾；因为她只是一个影子，她在你的梦里，只是当你自己的思想照射在自然之上时，她才隐约闪现。”虽然康德解释说我们在自然中看到的东西都由我们的思想事先决定，但它仍未能完全解释数学为何有效的问题。在康德的时代之后，像电磁理论这样的发展很难说是人的大脑的奉献还是感觉经过大脑的产物。收音机和电视机本来是不存在的，因为人脑根据某种内部结构组织感觉，而这种结构则使我们把收音机和电视机作为自然必须如何运作这样的思维概念的结果来体验。
也有数学家认为数学是自主的（第十四章），也就是说，无论其公理是纯推理的产物还是由经验得到的产物，在其后，数学的整个体系都是独立于经验的。那么以这种观点来看，数学又是如何能应用于自然界，特别是物理现象的呢？这里有几种答案。一种是，数学公理使用了未定义的术语，这些术语可以有不同的解释以满足物理情形。举个例子来说，椭圆非欧几何在通常的意义上适用于直线，而在直线就是大圆的球面，它也适用。彭加勒提出一种典型的解释。他倾向于将数学看作是一门纯推理科学，只推导其公理里面所包含的东西。于是人们就采用貌似正确的公理，也许再加上感觉的暗示，建立起欧氏几何和非欧几何。这些几何的公理和理论既不是经验真理，也不是先验真理，它们既非正确又非错误，正如用极坐标而不用直角坐标一样。彭加勒称这些几何为度量物体的老一套，或概念的虚假定义。我们选用最方便的那一种几何，然而，他又坚持说我们应该用直线的通常解释——即拉紧的线或直尺的边缘——来运用欧氏几何，因为这种解释是最简单的。那么为什么我们还应继续运用那些推论呢？彭加勒的回答是我们通过修正物理定律使数学变得合适。
为了说明彭加勒的论点，让我们看一下测绘员是如何确定距离的。他们先选定一条方便的基线AB（图15.1），其长度可以通过直尺实测得到。为确定AC 间距离，测绘员用置于A 处的望远镜对准C 点，然后再转动望远镜直到看到点B，从经纬仪的标度上他可以读出转动了多少角度（这样就测得了角A 的大小）。用同样的办法测得角B，接着，假定从C 到A 和从B到A 的光线都走直线（拉紧的细绳），由于欧氏几何的公理适用于拉紧的细绳，于是，他采用欧氏几何或三角学计算AC 和BC。但是，测绘的结果也许是错的，为什么呢？从C 到A 的光线有可能是按图15.1 所示的虚线前进的，在A 点的测绘员为接收光线就必须将其望远镜对准光线的切线方向，这样，望远镜实际指向的方向就是C′的方向了。尽管此时测绘员在望远镜中看到的是点C。因此，他实际测得的角度是C′AB 而不是CAB。那么接着用欧氏几何就可能导致AC 和BC 的错误结果。图15.1光线是如何行进的呢？某些时候其路径确为直线；但有时光线会由于大气的折射效应变弯。假设测绘员得到的AC 和BC 的结果是不正确的，即使他没有理由相信光线的路径是曲线，他也必须按曲线处理。这样，他才能修正在A 点和B 点角度的测量值，并运用欧氏几何得到AC 和BC 的正确值。
彭加勒的论点——数学可以为符合物理现实而制造，还有另外一个例子。让我们看看他是如何解释地球是否自转这个问题的吧。他认为我们应该把地球自转作为一个物理事实来对待，因为其可以使我们设计一种较为简单的天文学的数学理论。事实上，数学理论的简单性也是哥白尼和开普勒所能提出的用以支持其日心说，反对老的托勒密理论的唯一论据。彭加勒的哲学有其可取之处。我们确实试图采用最简单的数学，为使我们的推理符合物理事实而确有必要时，我们便会变更物理定律。但是，今天数学家和科学家所采用的准则是整个数学理论和物理理论的简单化，如果我们必须用到非欧几何——正如爱因斯坦在其相对论理论中所做的那样——来产生最简单的组合理论，我们也就用之。
尽管彭加勒解释如何使数学行之有效的观点更为明确，但他也确实在一定程度上对康德的解释表示赞同。因为他认为自然与数学的和谐是由人类思维所创造的。在《科学的价值》中，他说：人类理性所揭示的在自然中的和谐是否不依赖于人类理性而存在？毫无疑问，并非如此。完全独立于精神，却又构想它、理解它、探求它的现实是不存在的。如此客观的世界，即使存在的话，我们也永远无法深入其中。我们称之为“客观现实”的东西，严格地说，就是那种为一些思想者所共有，并可能会为所有的人所共有的东西。这种共有的部分，我们将看到，只可能是数学定律表示的和谐。
数学为何有效，还有一种未免有些模糊，也许过于简单的解释。按照这种观点，存在着一个客观的物理世界，人们不断的努力使数学与之相符。在应用过程中，发现数学有歪曲真相或明显错误时，我们便修正数学。希尔伯特在第二届国际数学家大会（1900 年）上的演讲中阐述了这一观点：即使当纯思维的创造力进行工作时，外部世界又开始起作用，通过实际现象向我们提出新的问题，开辟新的数学分支。而当我们试图征服这些新的，属于纯思维王国的知识领域时，常常会发现过去未曾解决的问题的答案，这同时就极有成效地推进着老的理论。据我看来，数学家在他们这门科学各分支中所经常感觉到的那种令人惊讶的相似性和协调性，其根源就在于思维与经验之间这种反复出现的相互作用。
关于数学为何有效的解释越简单，重申那些自古希腊时期一直到1850年左右数学家们所相信的东西就越不可信。一些人仍然相信自然是按数学设计的，他们也许认为许多物理现象的早期数学理论是不完美的。但他们却强调不断的完善它则不但可包含更多的现象，而且还可提供与观察更精确的一致性。因此，牛顿力学取代了亚里士多德力学，相对论则完善了牛顿力学。这一历史是否暗示了确有某种设计存在，而人类正在越来越靠近真理呢？埃尔密特对数学与科学的和谐性做了如下解释：
如果我未被蒙蔽的话，确实存在着一个由数学真理汇集成的世界，就正如存在着一个物理现实的世界一样，我们只有通过我们的智慧去接近它。这两者均为神的创造，是独立于我们存在的，它们之间之所以呈现差别是因为我们力不能及，而在一种更为有力的思考方式下，它们是一体的，是同一种事物。这两者的综合已被部分揭示，这就是在抽象数学与所有物理分支之间存在着不可思议的一致性。
在给可尼斯伯格（LeoK?ningsberger）的一封信中，埃尔密特又说：“这些分析观点是脱离于我们存在的，它们构成一个整体，只有一部分对我们坦露，毫无疑问，它与我们通过感觉所了解的其他事物全体有着神秘的联系。”
詹姆斯?琼斯爵士在《神秘的宇宙》中也接受老观点，即“从上帝所创造的产物的内在证据看来，这位伟大的宇宙建筑师现在似乎是一位纯数学家。”在开始，他认为人类的数学“还未与基本现实接触”。可到了这本书的末尾，他却变得愈发武断：
自然似乎精通纯数学的那一套规则。这是因为，在他们的研究工作中，数学家通过他们自身的内在意识而没有在任何可以的范围内依靠他们对外部世界的经验来阐述这些规则??无论如何，自然和我们有意识的数学头脑是以同样的法则运转的，这一点无可争辩。
爱丁顿在其晚年也开始坚信自然是用数学设计的，在《基本理论》（1946年）中明确地断言说，我们的头脑可以从先验知识中建立一门关于自然的纯科学，这门科学是唯一确定的，任何其他的都会有逻辑上的矛盾。因而从我们的头脑中可以获知光速是有限的，甚至自然中的常数——例如质子质量与电子质量之比——也可以先验地确定。这种知识独立于宇宙的实际观察并且比经验知识更为确定。
伯克霍夫是美国历史上第一个伟大的数学家，他在1941 年毫不迟疑地重复并支持爱丁顿的论点：
??在物理定律的整个体系中，没有什么不能从认识论的考虑出发明确地推出的了，人们通过自身的思维体系将其感官经验进行解释。如果某一理性生物并不熟悉我们的宇宙但却熟悉这种思维体系，那么它也能够得到我们通过经验所得到的所有物理知识，??例如，它可以推知镭的存在及其性质，而不是地球的大小。
爱因斯坦早期也曾表述过一种合理但不十分充分的解释以说明为什么数学与现实符合：
物理学的发展表明，在某一时期，在所有可想象到的构造中，只有一个显得比别的都要高明得多。凡是真正地研究过这问题的人，都不会否认唯一地决定理论体系的，实际上是现象世界，尽管在现象同它们的理论原理之间并没有逻辑的桥梁；这就是莱布尼茨非常中肯地表述的“先定的和谐”。
在《我眼中的世界》（1934 年）中，爱因斯坦表达了他成熟的观点：
迄今为止，我们的经验已经使我们有理由相信，自然界是可以想象得到的最简单的数学观念的实际体现。我坚信，我们能够用纯粹数学的构造来发现概念以及把这些概念联系起来的定律，这些概念和定律是理解自然现象的钥匙。经验可以提供合适的数学概念，但是数学概念无论如何都不能从经验中推导出来。当然，经验始终是检验数学结构的实用性的唯一标准，但是这种创造的原理都存在于数学之中。因此，在肯定的意义上，我当然地认为，像古人所梦想的纯粹思维能够把握实在。
在另一篇文章中，爱因斯坦重新阐述了他的观点，这段关于上帝的话十分著名：“无论如何，我都坚信上帝不是在扔骰子。”就算上帝这样做了，也正如爱默生曾说过的，“上帝的骰子总是灌过铅的①。”爱因斯坦在这里并未断言我们今天的数学定律都是正确的，但是其中有些是正确的，并且我们有望越来越接近它们，正如爱因斯坦所说：“上帝难于捉摸；但并无恶意。”
像爱因斯坦一样，作为伟大的历史学家和科学哲学家之一的皮埃尔?杜恒在《物理理论的目的及结构》中也从怀疑转向肯定。他先是将物理理论描述为“一种以在逻辑上将一堆实验定律概括和分类，但不要求解释这些定律为目的的抽象体系。”理论是近似的、暂时的和“被剥去所有客观注释的”。科学只熟悉那些可觉察的外观，我们应该放弃这种幻觉，在理论化过程中，我们是在“撕去这些可觉察外观的面纱”。而当一个天才科学家给混乱不堪的景象注入数学的秩序和清晰时，他就以不能揭示宇宙的真正本质的抽象符号来取代相对易于理解的概念。但在最后杜恒却这样说：“我们不能想象这种秩序和组织（由数学定理所产生）不是现实的影像。”这个世界是由一位伟大的建筑师用数学设计的，上帝永远在进行几何化，而人类的数学则描述了这一设计。
魏尔肯定数学反映了自然的秩序。在一次谈话中，他说道：
自然界固有一种隐含的和谐，它反映在我们头脑中的影像则是简单的数学定律。这便是为什么自然界现象可以通过观察和数学分析相结合而预知的原因。在物理学史上，这种内在和谐的概念，或者说这种梦想，出乎我们意料地一次又一次被证实。然而，愿望也许是思想之父，因为在《数学与自然科学的哲学》一书中，他补充道：
如果没有一种对真理和现实先验的信仰支持，如果在事实和结构与思想的意象之间没有持续不断的相互作用，那么，科学便会枯萎死去了。
尽管琼斯、魏尔、爱丁顿以及爱因斯坦的观点不容轻视，但他们关于数学与自然的关系的观点并未占统治地位。的确，对自然的数学描述所取得的成功是如此令人震惊，以至于他们提供的解释看上去都是合理的。就如在许多个世纪的数学家们眼中，欧氏几何是不容置疑的真理。但是，在今天，这种对数学化设计的信仰看上去却是牵强附会的。
