美-M?克莱因-数学：确定性的丧失
序言
人类对于宇宙以及数学地位的认识已被迫作出了根本性的改变，本书要讨论的正是这一点。现在我们知道，数学已不再受到普遍尊重和景仰。数学曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙设计的真理。那么，人类是如何认识到这种观点是错误的，我们现在的观点又是什么，这正是本书的主题。引论中将简要陈述这些主题，部分材料可由详尽的数学史略拾一二。但是，对于普通读者来说，一种直接的、非专业性的探讨更便于接受和理解。
许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公开曝光这些困难也许会出现不好的效果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至毁灭。
（以下为致谢部分，从略）
M?克莱因
布鲁克林，纽约
1980 年1 月
引论
若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。
——H?彭加勒
战争、饥荒和瘟疫能引起悲剧，然而，人类思想的局限性也能引起智力悲剧。本书论及的不幸事件降临在人类最为卓著且无与伦比的成就，对人类的理性精神具有最持久和最深刻的影响——数学的头上。
换句话说，这本书在非专业层次上探讨数学尊严的兴衰。看到数学现在的宏大规模，日益增多甚至呈繁荣之势的数学活动，每年发表的数以千计的研究论文，对计算机兴趣的迅猛飞涨，以及尤其是在社会科学和生物科学中对定量关系的广泛研究，数学的衰落何从谈起？悲剧存在于何处？要回答这些问题，我们必须首先考虑是什么为数学赢得了巨大的声望和荣誉。
作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，自它诞生之日起的两千多年来，数学家们一直在追求真理，而且成就辉煌。关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。
在数学以外的领域，数学概念及其推论为重大的科学理论提供精髓。尽管通过数学和科学的合作才获得的知识用到了自然定律，但它们看来似乎与绝对的数学真理一样绝对可信，因为天文学、力学、光学、空气动力学中的数学所做的预测与观察和实验相当吻合。因此，数学能牢固把握宇宙的所作所为，能瓦解玄秘并代之以规律和秩序。人类得以趾高气扬地俯瞰他周围的世界，吹嘘自己已经掌握了宇宙的许多秘密（实际上是一系列数学定理）。拉普拉斯的话概括了数学家们一直在不懈地寻求真理的信念。他说，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他已发现了它的规律。
数学依赖于一种特殊的方法去达到它惊人而有力的结果，即从不证自明的公理出发进行演绎推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出显然是毋庸置疑、无可辩驳的结论。数学的这套方法今天仍然沿用，任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。这种数学方法所取得的成功吸引了最伟大的智者，数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以他们猜测，为什么不能把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如在哲学、神学、伦理学、美学及社会科学中去寻求真理呢？人类的推理能力，在数学及自然科学中，是如此的卓有成效，肯定也将成为上述其他领域思想和行为的主宰，为其获得真理的美和美的真理。因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务中。
洞察力最丰富的来源是后者。19 世纪初的创造，包括令人奇怪的几种几何学和代数学，迫使数学家们极不情愿地勉强承认绝对意义上的数学以及科学中的数学真理并不都是真理。例如，他们发现几种不同的几何学同等地与空间经验相吻合，它们可能都不是真理。显然，自然界的数学设计并不是固有的，或者如果是的话，人类的数学都未必是那个设计的最好诠释。开启真理的钥匙失去了，这一事实是降临到数学头上的第一个不幸事件。
新的几何学和代数学的诞生使数学家们感受到另一个宇宙的震动。寻求真理的信念使数学家们如醉如痴，总是迫不及待地用严密论证去追求那些虚无飘渺的真理。认识到数学并不是真理的化身动摇了他们产生于数学的那份自信，他们开始重新检验他们的创造。他们失望地发现数学中的逻辑形容枯槁，惨不忍睹。
事实上，数学已经不合逻辑地发展。其不仅包括错误的证明，推理的漏洞，还有稍加注意就能避免的疏误。这样的大错比比皆是。这种不合逻辑的发展还涉及对概念的不充分理解，无法真正认识逻辑所需要的原理，以及证明的不够严密；就是说，直觉、实证及借助于几何图形的证明取代了逻辑论证。
不过，数学仍然是一种对宇宙的有效描述，而且在许多人心里，特别是在柏拉图主义者看来，数学自身当然还是一个颇具魅力的知识体系，一个因具真实性而受到青睐的部分。因此，数学家们决定弥补丢失了的逻辑结构，重建有缺陷的部分。在19 世纪下半叶，数学的严谨化运动格外引人注目。
到1900 年，数学家确信他们已实现了自己的目标。尽管他们不得不满足于数学仅能作为宇宙的一个近似描述的观点，许多人甚至放弃了宇宙的数学化设计这一信念，但他们的确庆幸他们重建了数学的逻辑结构。然而，他们还没来得及炫耀自封的成功，在重建的数学中就发现了矛盾。一般称这些矛盾为悖论，这是避免直接说矛盾而破坏了数学逻辑的委婉用语。当时那些领头的数学家几乎立刻就投身于解决这些矛盾，结果他们构想、阐述甚至推出了四种不同的数学结构，每一种都有众多的追随者。那些基础的学派不仅努力解决已有的矛盾而且力争避免新的矛盾出现，就是说，建立数学的相容性。在这些基础研究中又出现了其他的问题，某些公理和演绎逻辑推理的可接受性也成为几个学派采取不同立场的重要原因。到1930 年，数学家已满足于接受几种数学基础的一两个，并且宣称自己的数学证明至少和这些学派的原则相符。但是，灾难再次降临，形式是K．哥德尔的一篇著名论文。哥德尔证明了那几个学派所接受的逻辑原理无法证明数学的一致性。这还不包括论文里其他一些意义重大、影响深远的结果。哥德尔表明，对已取得的成功提出质疑不能不用到非常可疑的逻辑原理。哥德尔定理引起一场巨变。随后的发展带来了更大的麻烦。例如，就连过去极度推崇的、被认为是精密科学方法的公理化——演绎方法看来也是有缺陷的。这些新的发展给数学增加了多种可能的结构，同时也把数学家分成了更多的相异群体。
数学的当前困境是有许多种数学而不是只有一种，而且由于种种原因每一种都无法使对立学派满意。显然，普遍接受的概念、正确无误的推理体系——1800 年时的尊贵数学和那时人的自豪——现在都成了痴心妄想。与未来数学相关的不确定性和可疑，取代了过去的确定性和自满。关于“最确定的”科学的基础意见不一致不仅让人吃惊，而且，温和一点说，是让人尴尬。目前的数学或是故作深沉，或是对广泛承认的真理，所谓完美无缺的逻辑的拙劣模仿。
有的数学家认为，关于接受什么作为真正数学的不同观点，有一天会统一起来。这些人中比较有名的是一群署名为布尔巴基的法国领头数学家：
长期以来，对数学原理的重要修正几乎无一不在不确定性时期之后，而不确定性确实使矛盾出现了并且一定得被解决。......至今已有25 个世纪之久的这段时期，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到了这门科学欣欣向荣，而不是枯竭衰败。这使他们有权力对未来充满希望。
然而，更多的数学家并不乐观。本世纪最伟大的数学家之一，H.魏尔在1944 年说：
数学的终极基础和终极意义尚未解决，我们不知道沿着什么方向可以找到最终答案，或者甚至于是否有希望得到一个最终的、客观的答案。“数学化”很可能是人类原始创造力的一项创造性活动，类似于语言或音乐，其历史观点否认完全客观的合理性。
用哥德的话说：一门科学的历史就是这门科学本身。
对于正确的数学是什么所存在的分歧以及不同基础的多样性不仅严重影响数学本身，还波及到最为生机勃勃的自然科学。我们将看到，最先进的自然科学理论（即这种理论的结论可以在感觉上或实体上体现出来。例如假设我们一点也不懂电磁波是什么，但我们却能听到收音机中传出的声音），全都是数学化的。因此，没有亲自对数学基础下过功夫，而又不打算花费数年时间研究不完美的数学的科学家，一定会关心什么样的数学能被理直气壮地应用。
真理的丧失，数学和科学不断增加的复杂性，以及何种方法用于数学是最保险的不确定性，已使大多数数学家放弃科学。风声鹤唳，草木皆兵，数学家们不得不退回到证明方法看起来似乎很安全的数学领域。他们还发现人为编造出来的问题比自然界提出来的问题更富魅力，处理起来更加得心应手。
因完美的数学是什么而产生的危机和矛盾还阻碍了数学的方法在许多其他文化领域中的应用，如哲学、政治科学、伦理学、美学。找到客观、正确的定律和标准的希望变得微弱了，理性时代已经过去。
尽管数学令人不满意，方法复杂多变，对可接受公理持不同意见，还有随时可能出现的新矛盾，都会殃及大部分数学，但是，一些数学家仍然把数学应用于自然现象中，而且事实上把应用领域扩大到经济学、生物学和社会学。数学的继续有效给我们两点启示。第一点是这种有效性可用作判别正确性的准则，当然这个准则是暂时性的。今天认为正确的，也许下次应用时就会证明是错的。第二点涉及到未知。真正的数学是什么？对此并无定论。为什么数学依旧有效？我们是在用不完美的工具制造奇迹吗？如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学命令吗？显然不会。而且，正是凭借建立在数学之上的技术，人类成功地登上了月球，探测了火星和木星。这难道不是对宇宙中的数学理论的证实吗？那么，数学的人为因素与变幻莫测又何从谈起呢？当心智和灵魂迷惘不定的时候，躯体能生存下去吗？当然对于人类本身及数学，确实如此。因此我们应该去研究为什么会这样。尽管数学的基础尚不确定，数学家们的理论亦彼此冲突，而数学却已被证明成就辉煌，风采依然。
第一章 数学真理的起源
极度幸福的灵魂，
是为谁而激发！
为了这些真理，
去度量闪烁的星空！
他们用思想的缰绳，
驯服了桀傲的天体。
过去扑朔迷离的天空，
现在变得清清楚楚。
——奥维德
任何值得一提的文明都探索过真理。思索的人们尽管不能，但总是试图去理解复杂多变的自然现象，去解开人类如何定居在这个地球上的谜题，去弄明白人生的目的，去探索人类的归宿。在所有早期文明中，这些问题的回答都是宗教领袖给出的，并为人们所普遍接受。只有古希腊文明是个例外。希腊人发现（人类所作出的最伟大的发现）了推理的作用。正是古典时期（公元前600 年至前300 年间的鼎盛时期）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维（有时佐以观察或实验），能够发现真理。
是什么导致希腊人作出这个发现，这个问题不大好回答。把推理用于人类活动和思维的始祖曾生活在爱奥尼亚——古希腊人在小亚细亚的一个定居处。许多历史学家试图依据政治和社会环境对此作出解释，比如，爱奥尼亚人有更大的自主性去无视统治欧洲希腊文明的宗教信仰。但是，我们所知的在约公元前600 年以前的希腊历史过于零碎，无法作出明确的解释。
当时希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其他许多方面。他们的主要的、决定性地影响了后代文明的贡献是接受了对推理的最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在作出这个贡献以前，希腊人和古代其他文明时期的人们认为自然是混乱、反复无常，甚至是恐怖的。自然现象是无法解释的，或者是神的意志决定的，只有用祈祷、祭祀和其他宗教仪式来解脱。其卓越的文明可追溯到公元前3000 年的巴比伦人和埃及人，他们确实注意到了日月运动的周期现象，并据此设立了历法，但却没有更深入地研究它们。这些极少的偶然的观察没有改变他们对自然的态度。
希腊人敢于正视自然。他们的精神领袖（如果不是普通民众）摒弃了传统观念、超自然力、迷信、教条和其他思想束缚。他们是最早检验并试图理解各种谜一般的复杂的自然活动的人们。他们以思维与似乎瞬息万变的宇宙现象抗争，将理性之光洒于其上。
他们有着永不满足的好奇心和勇气，他们提出和回答了许多人遇到过、但却极少人试图解决，并且只能被具有最高智力水平的人所解决的问题。整个宇宙的运转是有计划的吗？植物、动物、人类、星系、光和声，仅仅是物理现象还是一个完美设计的一部分？由于希腊人总梦想着提出新见解，所以他们建立了后来统治整个西方思想中关于宇宙的概念。希腊的智者们对自然采取了一种全新的态度。这种态度是理性的、批判的和反宗教的。神学中上帝按其意愿创造了人和物质世界的信仰被摒弃了。智者们终于得出了这样的观念：自然是有序的，按完美的设计而恒定地运行着。从星体的运动到树叶的颤动，所有感官能感知的现象都能用一种精确、和谐而理智的形式来描述。简而言之，自然是按理性设计的，这种设计，虽然不为人的行为而影响，却能被人的思维所理解。
希腊人不仅是探索混杂现象的秩序和规则的勇敢的先驱，而且也是以才智发掘出自然现象显而易见所遵循的基本模式的先驱。他们敢于询问并且发现了人类观测到的最壮观的景象的基本规律：朝升夕落的太阳，阴晴圆缺的月亮，光彩夺目的行星，星汉灿烂的夜空，奇妙无比的日蚀、月蚀。正是公元前6 世纪的爱奥尼亚哲学家首先尝试寻求对大自然和宇宙运行规律的合理解释。这一时期的著名哲学家们，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander) 、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克萨哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一个主旨去解释宇宙的构成。比如泰勒斯认为万物都是由气态、液态和固态的水组成的，他试图用水的观点解释许多现象——这是一个不无道理的解释。因为云、雾、露、雨和雹是水的不同形态，而水是生命不可缺乏的，它滋润庄稼，养育动物。现在我们知道甚至人体的90％是水。
爱奥尼亚人的自然哲学是一系列的大胆的观察，敏锐的猜测和天赋的直觉，而不是广泛而细致的科学研究的成果。这些人也许有些过于急切看到世界的全貌，从而匆匆忙忙得到一些泛泛的结论。但他们的确抛弃了一些陈腐的神秘观点，而代之以唯物主义的，对宇宙的设计和运行的客观解释。他们以理性方法取代了幻想和非批判的观点，用推理来论证自己的观点成立。这些人敢于用思维来对待世界，拒绝依赖神灵、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也许能够维护或毁灭自然现象的神秘力量。可以用阿那克萨哥拉的话来表述这种理性观点的精髓：“理性统治着世界。”
摒除故弄玄虚、神秘主义和对自然运动的杂乱无章的认识，而代之以可理解的规律的决定性的一步是数学知识的应用。在这里，希腊人展示出一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的洞察力：宇宙是以数学方式设计的，借助于数学知识，人类可以充分地认识它。最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。虽然他们从盛行的致力于灵魂的净化和将它从肉体的污浊束缚中解脱出来的希腊宗教中汲收了灵感和信条，其自然哲学却是完全理性的。毕达哥拉斯派震惊于这样一个事实，即由定性地看各种各样的现象都表现出相同的数学性质，可推知数学性质必定为这些现象的本质。更精确地，他们从数和数的关系方面发现了这种本质。数学是他们解释自然的第一要素，所有物体都是由物质的基本微粒或“存在单元”根据不同的几何形状组成的。单元的总量实际上代表了实在的物体，数学是宇宙的实体和形式。因而毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数也。”因为数是万物之“本”，对自然现象的解释只有通过数字才能得出。
这种早期的毕达哥拉斯派思想是令人迷惑的。因为对于我们来说，数字是抽象概念，而事物是实际存在的。但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派并未做到。在他们看来，数字是点或微粒。他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。
如图1.1—1.4 所示。
图1.1 三角形数
图1.2 正方形数
图1.3 五边形数
图1.4 六边形数
虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛罗斯(Philolaus)的论述：“如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解......”你不仅可以在鬼神的事务上，而且在人间的一切行动和思想上乃至在一切行业和音乐上看到数的力量。
例如，毕达哥拉斯学派之所以能把音乐归结为数与数之间的简单关系，乃是因为他们发现了下列两个事实：第一，弦所发出的声音取决于弦的长度；第二，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根长的两倍，就会产生谐音。换言之，两个音相差八度。如两弦长为3 比2，则发出另一谐音。这时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。确实，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比。毕达哥拉斯学派也搞出了一个著名的音阶。我们虽然不打算讲许多希腊时代的音乐，但要指出许多希腊数学家包括欧几里得和托勒密，都写过这方面的著作，特别是关于谐音的配合，而且还制定过音阶。
毕达哥拉斯学派把行星运动归结为数的关系。他们认为物体在空间运动时会发出声音，这也许是从绳端吊一东西摆动时发出声音这一方面引起的特例。他们还认为运动得快的物体比运动得慢的物体发出更高的音。根据他们的关系，离地球越远的星，运动得越快，因此行星发出的声音（我们因为从出世之日起就听惯了，所以觉察不出来）因其与地球的距离而异而成谐音。但因这“天籁之音”也像所有谐音一样可以推为数的关系，所以行星运动也是这样。
自然界的其他形形色色特性也可“归结”为数。1、2、3、4 这四个数，叫四象，是特别受重视的。据说毕达哥拉斯学派的誓词即是：“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，长流不息的自然的根源包含于其中。”他们认为自然是由四元性组成的，点、线、面和立体。后来柏拉图强调的则是四种物质元素，土、气、火、水。
四象的四个数字之和为10，所以十是个理想数，其代表宇宙。为了填满这个数字，毕达哥拉斯学派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一侧的反地球。我们看不到中心地球和反地球，因为我们所居住的那部分地球是背朝它们的。我们在这里不打算详细叙述细节，关键一点是毕达哥拉斯学派将天文学建筑在数的关系之上。
由于毕达哥拉斯学派将天文学和音乐“归结”为数，这两门学科就同算术和几何发生了联系。这四门学科都被人看成是数学学科，甚至一直到中世纪，仍被包括在学校课程中，当时号称“四大学科”。亚里士多德在《形而上学》一书中，总结了毕达哥拉斯学派对数的现实世界的认识：
他们似乎察觉到了存在的以及将要形成的事物在数方面的共性，而不仅仅表现在火、土和水上（这样或那样数字的修正是合法的，另一种是精神和推理，再一种则是机会——同样几乎所有的其他事物都可用数字表达）；又因为音阶的修正和比例可用数字表示；还由于其他事物在本质上都能用数字来模式化，数字似乎是整个自然界的先驱。他们认为所有事物里都含有数的成分，整个太空就是一个音阶或一个数字。
毕达哥拉斯学派的自然哲学很难与实际相吻合。美学考虑和对数学关系的穷追不舍相混合，当然会导致超越实际观察的论断。毕派也未使物理科学的任一分支向前发展，可以公正地称其理论为肤浅的。但或是凭运气或是凭天生的直觉，毕派的确言中了后来两条证明是极为重要的信条：第一是自然界是按数学原理构成的；第二是数学关系决定、统一并显示了自然的秩序。实际上现代科学也坚持毕派对数学的强调，虽然，正如我们将看到的，现代理论是毕派理论的更为高级的形式。
毕派之后的哲学家更加关注现实世界的本质和基本的数学设计。留基伯(Leuccipus)和德谟克里特(Democritus)由于更加清晰地确定了原子论而闻名于世。他们的共同哲学观点是：世界是由无穷多个简单的、永恒的原子组成的。这些原子的形状、大小、次序和位置各有差异，但每个物体都是由这些原子以某种方式组合而成的。虽然几何上的量，如直线段，是无限可分的，原子却是终极的，不可再分的质点。形状、大小等只是原子的特性，其他性质如味、热则非原子所固有而来自观察者，所以感性认识不可靠，因它随观察者而异。原子论者也和毕达哥拉斯学派一样，认为隐藏在自然界不断变化着的万象之下的真实性是可用数字来表示的，而且认为这个世界上所发生的一切是由数字规律严格确定了的。
继毕达哥拉斯学派之后，传播这种主张最有影响的，当属由柏拉图领导的柏拉图学派。柏拉图接受了一些毕派思想，他控制了公元前4 世纪这一重要时期希腊人的思想。他是雅典柏拉图学园的创立者，这个学园是一个吸引了当时一流思想家的中心，存在了九百年之久。也许在柏拉图的对话《爱好者》中，其对于宇宙的合理性的信仰表现得最为出色。
（普洛塔库斯简称普，苏格拉底简称苏）
普：什么问题？
苏：他们所说的宇宙是不可推理、杂乱无序的，抑或像我们前人所认为的是由极高的才华和智慧所控制和有序化的。
普：迷茫的苏格拉底，这两种论点截然相反，你刚才的话我认为亵渎了神明，但是一个观点，即思维统治万物，却是极富有价值的。我别无它求。
后来毕派和柏拉图学派在物质世界和理想世界之间产生了尖锐的分歧。物质世界的事物及联系是不完美、变化和衰落的，因而不能代表终极真理。但有一个绝对而不变的真理的理想世界，这些真理正是哲学家们所关注的。对于物质世界我们只可能有观点，可见、可感知的世界只是理想世界的一个模糊迷离、不完美的拷贝。“事物是思想在经验屏幕上的投影。”由于现实可在感觉和实物中找到，因而柏拉图认为一匹马、一间屋或者一个完美的女子并不真的存在。现实只存在于马、房屋、女子的广为接受的形式或观念之中。永恒的知识只能从纯粹理想的形式中获得，这些思想实际上是永恒不变的。关于它们的知识是稳固而坚不可摧的。
柏拉图坚持认为只有从理想世界的数学知识来理解现实世界的实在性和可知性，无疑这个世界是数学化的。普鲁塔克（Plutarch）道出了柏拉图的名言：“上帝终究要将世界几何化。”在《共和国》一书中，柏拉图认为“几何学所要求的知识是永恒的，而不是转瞬即逝或反复无常的。”数学定律不仅是现实的本质，而且永恒不变。数字关系也是现实的一部分，实际事物不过是数字的模拟体。早期毕派认为数字是事物内在固有的，而柏拉图认为数字超越了事物。
柏拉图比毕派前进了一步，他不仅希望用数学来理解自然界，而且要用数学来取代自然界本身。他相信，对物质世界仅用少量决定性的几步推理，即能得到基本的真理。按此观点将只有数学存在，数学将取代物理研究。
普鲁塔克在他的《马塞鲁斯的生平》一书中提及欧多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)（柏拉图同时代的名人）运用实际论据来“证明”数学结果。但柏拉图义愤地贬斥这种证明为几何学的堕落；指责他们利用感性知识来取代纯粹的推理。
柏拉图对于天文学的观点显示了他正在探索这门科学的立场。他认为，这门学科研究的不是可见的天体的运动。天空中星体的排列和明显可见的运动的确奇妙美丽，但仅有对运动的观察和解释远称不上真正的天文学。在接触这门真正的科学之前，我们必须抛开“天体”，因为真正的天文学探求的是数学化宇宙中星体的运动定律，而可见的天体只是其不完美的表现形式。他鼓动人们献身于理论天文学，因为其问题取悦于人的心智而不是视觉，其对象由人的心智就能感受到而不是凭眼睛所看见。天空中呈现出的各种图形只可用作探索更深层真理的辅助图表。我们必须把天文学看成几何学一样，仅仅是由可见事物揭示的一系列问题。柏拉图对航海、历法和计时中的天文学的使用并不感兴趣。
亚里士多德虽然是柏拉图的学生并从老师那儿继承了许多思想，对于现实世界以及数学和现实之间的关系的探究却有着不同的看法。他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。亚里士多德是个物理学家，他相信物质的东西是实在的主体的源泉。物理学乃至一般的科学必须研究现实世界并从中获取真理。真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得的，这种抽象不能独立于人的思维而存在。
亚里士多德的确强调从实物中抽象出的普适的一般的性质。为了获得这些性质，他认为我们应“从可知和可观察的事物出发，向着本质上可为人们认识的逐渐清晰的事物前进。”他抽取物体的明显的感性特征，使之具体化并上升为独立的精神上的概念。
在亚里士多德关于事物的分类方案中，把数字摆在什么地位呢？物理科学是基础科学，数学则从描述形式上的特征（如形状和数量）这方面来帮助研究。它也为物质现象中观察到的事实提供解释。例如几何说明光学和天文学提供的事实，算术上的比例关系能说明产生谐音的理由。但数学概念和原理肯定是从现实世界中抽象出来的，正因为如此，它们也可用于现实世界。思维使我们可以从感性认识获得实物的理想化特征，这种抽象必然是真实的。
对于铸造和构成了希腊思维世界的哲学家的短暂回顾也许有助于说明为什么他们为了了解、欣赏更深层次的内涵，都重视对实质的探讨。而且，从毕达哥拉斯开始，所有哲学家都认为世界是依照数学设计的。在这个经典时期末期，上述观点已经确立，并且开始了对数学规律的探求。虽然这个观点并未影响后世所有的数学家，但一旦为人接受，它就作用于大多数伟大数学家的思维，甚至影响了那些尚未接触过它的人。希腊人这一重要思想的最大胜利是他们认为宇宙是按可为人类思维所能发掘的数学规律运行的。
于是希腊人决定寻求真理，特别是关于自然的数学化设计的真理。人们怎样寻求真理并证明其是真理呢？在此，希腊人也绘出了方案。这个方案在从公元前600 年到公元前300 年这段时期逐渐发展，它是何时由何人最先提出尚无定论，但到公元前300 年，它已经相当完善了。
从广义的、使用数字和几何图形这方面来看，数学早于古典时期希腊
人的研究几千年就开始形成了。广义来讲数学包括了许多已经消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比伦文明）的贡献。除了希腊文明外，在其他文明中数学并不是一个独立体系，它没有形成一套方法，仅为了直接而实用的目的被研究。它是一种工具，是一系列相互无关的、简单的、帮助人们解决日常问题的规则，如推算日历、农业和商业往来。这些规则是由试探、错误、经验和简单的观察得到的，许多都只是近似的正确。这些文明中的数学的最优之处在于，它显示了思维的某些活力和坚韧，尽管不严格，成就也远非辉煌。这类数学的特点可用经验主义一言蔽之。巴比伦人和埃及人的经验主义数学为希腊人的研究工作揭开序幕。
虽然希腊文明没有完全脱离外界影响——希腊思想家们曾在埃及和巴比伦游历学习——尽管现代意义上的数学必须经受希腊的理性氛围的熏陶，希腊人的创造与他们所吸收的知识却有天壤之别。
希腊人已决心探索数学真理，他们不能把工作建筑在前人（有名的埃及人和巴比伦人）粗糙的、经验主义的、有限的、零散的，在很多情况下是不精确的成果之上。数学原本是一些关于数字和几何图案的基本事实，必然是一个真理体系。数学推理旨在推导出关于自然现象，如天体运动的真理，必然得出不容置疑的结论。怎样达到这些目的？
数学的本原应是处理抽象对象。对于创造了希腊数学的哲学家来说，严格的真理只适用于永恒不变的实体以及关系。幸运的是，人类由对事物的感性认识得到的认识可以上升为较高层次的理念，这便是思想，永恒的现实和思想的真实载体。青睐抽象还有一个原因，欲使数学更强有力，就必须在一个抽象概念中包涵它所表示实物的本质特征。从而数学上的直线必须包括拉伸的绳子、直尺边、田地的边界和光线的路径。相应地，数学上的直线没有粗细、颜色、分子结构和绷紧度之分。希腊人明确地指出数学是处理抽象事物的。柏拉图在《共和国》中提及几何学家：
你是否也知道，他们虽利用可见的形象并拿来进行推理，但他们想的并不是这些东西，而是类似于这些东西的理想形象：他们所看到的不是所画的图形，而是绝对正方形及绝对直径......。
他们力求看到事物本质，而这只有用心灵之目才能看到。
因而数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求被定义的概念应有现实的对应物体，或是论证得到或是构造得到。因而人们无法定义三等分角并证明有关它的定理，它可能并不存在。实际上，由于希腊人无法在他们自己提出的作图条件下三等分角，他们就没有引入这个概念。
为了推导出数学概念，希腊人从自明的、无人怀疑的公理入手。柏拉图用他的回忆理论证明了公理的可行性。正如我们前面提到过的，他认为存在一个真理的客观世界。人在出世前有过精神世界的经历，只要激发一下就可以回忆起以前的经历从而认识到几何学公理是真理，这并不需要实践。但亚里士多德并不这样认为，他认为公理是可理解的原理，符合思维而没有什么可怀疑的。亚里士多德在《后验分析》中指出，我们凭着绝对可靠的直觉认识到公理是真理，而且，我们必须以这些公理作为推导的基础。相反，如果使用了一些并未证明是真理的事实，下一步推理就需要证明这些事实，而这一过程是无限循环的，那么这就变成了永无止境的回退。他又区分了公理和公设，公理对所有思想领域皆真，包括“等量加等量还是等量”这样的命题。公设则适用于专业学科，如几何学。从而有，“两点决定一条唯一的直线”。亚里士多德也的确指出公设无需一望便知其为真，但应被其所推出的结果所支持。然而这种不证自得的真理是数学家所需要的。
从公理出发，可用推理得出结论。有多种推理方法，比如，归纳、类比和演绎，其中只有一种能够证明结论的正确性。由一千只苹果都是红的而得出苹果都是红的这个结论，是归纳，不一定可靠。类似的，由于约翰的兄弟已从大学毕业，而约翰受教于同样的老师，所以也应该能从大学毕业，这是由类比推出的推理，当然也是不可靠的。然而，如果假定人终将一死，而苏格拉底是人，则必然接受苏格拉底也会死这样的结论。这里所涉及到的逻辑，亚里士多德称之为三段式演绎法。在亚里士多德的其他推理规则中，还有归谬法（一个命题不可能既真又假）及排中律（一个命题必须为真或假）。他和世人都毫无疑问地承认这些推理原理用于任一前提时，推导出的结果和前提一样可靠。因此，如果前提为真，则结论也为真。值得一提的是，后面我们将要讨论的，亚里士多德从已为数学家所应用的推理方法中抽象出了演绎逻辑法。
虽然几乎所有希腊哲学家都宣称演绎推理是获取真理的唯一可靠方法，柏拉图的观点却有些不同。他虽然不否定演绎证明，却认为没必要。因为数学公理和定理存在于不依赖于人的意志的客观世界，根据柏拉图的回忆理论，人们只须回忆并且承认他们那些毋庸置疑的真理，用柏拉图在《西艾泰德斯》一书中的比喻来说，定理，就像关在鸟笼中的鸟。它们呆在那里，你只须伸手进去抓住它们。学习就是一个收集的过程。在柏拉图的对话《梅农》里，通过巧妙地询问一个年轻奴隶，苏格拉底证实了同底等高的正方形面积是等腰三角形面积的两倍。从而苏格拉底成功地得出结论，即便是没有受过几何学训练的奴隶也可以在适当的提示下回忆起来。认识到人们是多么坚定相信演绎推理是很重要的。假设一位科学家在不同地区测量了一百个形状大小不同的三角形，发现它们的内角和在实验精度允许范围内都是180°，他当然可以下结论，任何三角形的内角和都是180°。但他的证明是归纳而不是演绎，从而在数学上不会被认可。同样，只要你高兴，你可以检验任意多的偶数，发现它们都是两个素数的和，但这种检验也不是演绎证明，因而结果也不是数学定理。那么看来，演绎证明是一种很严格的要求。但是，希腊的数学家们，他们（主要是哲学家）坚持一定要用演绎推理，因为这样可以得到真理，永恒的真理。
哲学家们偏爱演绎推理还有一个原因，他们致力于理解人类和物质世界的广泛知识。为了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有为而生之，从可接受的基本原理进行演绎推理要比用归纳或类比，更加可行。
古希腊人喜爱演绎法的另一个原因应归结于他们的社会构成。富有阶层进行哲学、数学和艺术活动，这些人不干体力劳动。奴隶、非公民和自由手工业者，从事商业和家务劳动，甚至从事最重要的职业。受过教育的自由人不动手，很少进行商贸活动。柏拉图认为商贸活动，对于自由人来说是堕落，他还希望，如果自由人从事了这一行，就要被视为犯罪而受到惩罚。亚里士多德认为在理想条件下公民（与奴隶相对）不应从事任何商业。在毕欧钦人（Boeotian，希腊人的一个部落）中，用商务来亵渎自己的人十年内不得担任公职。对于这种阶层里的思想家，是不用实验和观察的，因此也无法从中获得科学或数学结论。
虽然希腊人坚持运用演绎推理的原因很多，但还有一个问题，即：是哪个哲学家或哲学派别首先提出这个要求的。遗憾的是，我们对于苏格拉底时代以前的哲学家们的学说和著作的认识是零碎的，尽管众说纷纭，却无定论。到了亚里士多德时代，对演绎推理的要求已经确定，因为他阐明了不可定义概念的必要性和推理方法的严格标准。
希腊人欲得到宇宙的数学规律，他们在这方面成就如何呢？由欧几里得、阿波罗纽斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所创立的数学的精华有幸传给了我们。在时间上他们属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前300 年—公元600 年）。在公元前4 世纪，马其顿的菲利浦王着手征服波斯人，后者控制了近东，是欧洲希腊人的世敌。菲利浦被刺后，其子亚历山大继承了王位。亚历山大击败了波斯人，把扩大的希腊帝国的文化中心迁到了一个他谦虚地以自己名字命名的新城市。亚历山大死于公元前323 年，但他发展新中心的计划由其在埃及接受了托勒密王号的后继者继续。可以肯定欧几里得约于公元前300 年生活在亚历山大里亚，在那里教育学生，虽然他自己也许是在柏拉图学院完成了学业。顺便提一句，这是我们所了解的欧几里得个人生活的全部。欧几里得著作具有系统、演绎的形式，是许多古希腊人孤立发现的汇合，他们的主要著作《几何原本》给出了空间和空间中图形的规律。
欧几里得的《原本》是他对空间几何的全部贡献。欧几里得从一本已失传的书中接收了圆锥曲线的理论，在亚历山大里亚学习数学的小亚细亚拍加人阿波罗纽斯，继续其关于抛物线、椭圆和双曲线的研究，并写出了这方面的经典著作《圆锥曲线》。
在亚历山大里亚受教育而生在西西里的阿基米得对纯几何学知识增添了几本著作《论球和圆柱》，论《劈锥曲面体与球体》，《抛物线的求积 》。他都是用欧多克斯（Eudoxus）提出的方法来计算复杂的面积和体积，后来被称作穷竭法。现在这些问题可用微积分来解决。
希腊人对空间和空间图形的研究，作出了一个重要贡献——三角学。这一学科的创始人是喜帕恰斯。他生活在罗德斯和亚历山大里亚，约死于公元前125 年。三角学由梅内劳斯（Mene－laus）发展，并由在亚历山大亚里工作的埃及人托勒密给出完整的、权威的描述。他的主要著作《数学汇编》，阿拉伯人称之为《大汇编》，知名度更广。三角学研究三角形边、角的量化关系。希腊人主要关注球面上的三角形，其边是由大圆（圆心在球心）弧组成的。因为在希腊天文学中，行星和恒星沿大圆运行，所以他们的三角学，主要应用于行星和恒星的运动。同一理论加以改变，又可用于平面上的三角形，这正是我们现在学校里所学的那种三角学形式。三角学的引入要求其使用者具有较高深的算术和某些代数知识。希腊人怎样在这些领域内工作的，我们将在后面讨论（见第五章）。
借助于这样一些发现，数学从模糊的、经验的割裂状态转变成为辉煌的、庞大的、系统化的和充满智慧的创造物。然而，欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米得的经典著作（托勒密的《大汇编》是个例外）所涉及到的空间及空间图形的性质却囿于视野之内，对其中所蕴含的更广泛意义却少有提示。这些著作似乎和揭示自然的真理无关，实际上，他们只是给出了一种形式上的、精练的演绎数学。在这方面，希腊数学课本与现代数学课本和文献没有什么两样。这些书的目的仅仅是为了组织和显示已取得的数学成果，而省略了这些工作的动机，定理的来源和提示及其应用。因而许多研究古希腊科学的人都认为，古希腊这一时期的数学家主要是为了数学本身而探索数学，他们指出并证实了这个论断，并提及欧几里得的《原本》及阿波罗纽斯的《圆锥曲线》这两部当时最著名的著作。然而，就像仅凭二项展开式定理就得出牛顿是一个纯粹数学家的结论，他们仅凭这两部著作就得了这个论断，视野未必过于狭窄。
真正的目的是探索自然。在物质世界的探索中，甚至连几何学的真理也是非常重要的。很清楚，对于希腊人，几何学原理是宇宙的整体结构的体现，空间是其中的基本组成部分。因而关于空间和空间图形的探索是宇宙探索的基本工作，几何学实际上是一门更大的宇宙科学的一部分。比如，当天文学数学化时（在柏拉图时代出现），球体上的几何学研究就着手进行了。实际上，希腊语中的球一词，对毕达哥拉斯派的人来说，就意味着天文学。欧几里得的《现象》就是专门讨论用于天文学的球面几何学的。有了这些证据和对更近代的数学的发展状况更充分的了解，我们也许可以肯定这一点，即科学探讨必然会引起数学问题，而数学是探索自然的一部分。我们不必专门去研究这些，只须检验希腊人在探索自然中做了些什么，以及这些人中包括谁。
物理科学中最伟大的成就是在天文学上取得的，柏拉图很清楚巴比伦人和埃及人做出的大量天文学观测，但却强调说他们没有建立或统一理论，没有对看上去无规律的行星运动作出解释。欧多克斯（柏拉图学园里的一名学生，其纯粹几何学工作包括在欧几里得《原本》的第五篇和第十二篇中）着手解决“整理外观”的问题。他的解答是历史上第一个相当完备的天文学理论。
我们描述欧多克斯的理论，只是为了表明它是完全彻底的数学化理论，并且涉及到天体的相互作用。这些球体，除了那个固定的恒星外，都不是物质实体，而是数学的构想。他也不想尝试去描述引起球体转动的力，他的理论在思想上是极先进的，因为在今天，科学的目的就是为了寻求数学描述而不是物理解释。在欧多克斯之后这一理论为三位最著名的理论天文学家阿波罗纽斯、喜帕恰斯和托勒密所继承，其成果包括在托勒密的《大汇编》一书里。
阿波罗纽斯关于天文学的著作现已失传。他的著作，被希腊人，甚至包括托勒密在他的《大汇编》（第十二篇）中广为引用。他作为一个天文学家是如此著名以致获得了艾普西隆（希腊字母ε的读音）的雅号，因为他对月球运动做了许多研究工作，而ε是月球的记号。关于喜帕恰斯的工作我们只知道一点，他的工作也同样地被《大汇编》引用。
现在我们所承认的托勒密天文学的基本方案在欧多克斯和阿波罗纽斯时代的希腊天文学就已形成。在这种方案中，行星P 以S 为中心作匀速圆周运动，而S 本身以地球E 为中心作匀速圆周运动。S 运动的圆叫从圆，P运动的圆叫周转圆。对某些行星来说，点S 就是太阳，但在其他情形下则只不过是数学上假设的一个点。P 与S 的运动方向可能相符，可能相反，太阳和月球的情况就属于后一种。托勒密也将这套方案加以变化来描述某些行星运动。通过适当选取周转圆和从圆的半径以及天体在周转圆上的和周转圆心在从圆上的运动速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天体运动与那时的观测结果十分吻合。从喜帕恰斯时代起，人们就能预报月蚀，误差不超过一两小时，但对日蚀的预报却不那么准。这种预报之所以可能，是托勒密运用了他称之为专门为天文学而发明的三角学。
图1.5
从探求真理的观点来看，值得提及的是托勒密和欧多克斯一样，充分认识到他的理论只是符合观测结果的方便的数学化描述，而不一定是自然的真正设计。对于某些行星，他有几种可供选择的方案，他选择了数学上较简单的那个。托勒密在他的著作《大汇编》的第十三篇中说，在天文学上，人们应寻求尽可能简单的数学模型。但托勒密的数学模型，被基督教接受为真理。
托勒密的理论提供了第一个相当完整的证据，说明自然是一致的而且具有不变的规律，而且也是希腊人对柏拉图提出的合理解释表观天体运动这一问题的最后解答。在整个希腊时期没有任何一部著作能像《大汇编》那样对宇宙的看法有如此深远的影响，并且除了欧几里得的《原本》以外，没有任何别的著作能获得这样毋庸置疑的威信。
对希腊天文学的这一简短叙述，自然不足以显示即令只是在这里所提到的几位希腊学者工作的深度和广度，并且还略去了其他许多贡献。希腊天文学博大精深，并且应用了大量数学，而且，几乎每一位希腊数学家，包括大师欧几里得和阿基米得，都研究过天文学。
希腊人关于实在的真理的成果并不局限于空间和天文学的数学，他们还创建了力学。力学研究可作为质点处理的物体及经过外延后的物体的运动，还有引起运动的力。在《物理学》一书中，亚里士多德把标志希腊力学顶峰的运动定理归纳到一起。和他的所有物理学一样，他的力学也是建立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，与观测结果完全吻合。虽然这一理论支配世界几近两千年，但我们不打算重述，因其为牛顿力学取而代之。关于亚里士多德运动理论值得一提的是阿基米得关于物体重心的工作和杠杆定律。所有这些，都体现了数学的重要作用，从而更加证实了数学是洞察自然设计的基础。
继天文学和力学之后，光学成为人们最经久探索的学科。这门数学学科也是希腊人创建的。从毕达哥拉斯派开始，几乎所有的希腊哲学家都致力于光、像和色的性质的探索。我们关心的却是这些方面的数学成就。第一项成就是西西里岛阿格里真坦的伊姆班道克斯(EmpedoclesofAgrigentum)先验地提出的光以有限速度行进的说法。光学的第一批系统性著作是欧几里得的《光学》和《镜面反射》。《光学》研究视像问题以及怎样从视像确定物体的大小。《镜面反射》描述从平面镜、凸透镜和凹透镜反射出来的光的习性以及它对我们视觉的影响。这书也像《光学》一样，是从实际上就是公设的一些定义出发的。定理1（现代教科书上是一条公理）称为反射定律，是几何光学的一条基本定理。这定理说从A 点出发的入射光线与镜面所成角A 等于反射光线与镜面所成角B（见图1.6）。欧几里得还证明了光线照射在凸透镜或凹透镜面上的规律（见图1.7）。在切点处，他以切线来代替镜面。这两本书在内容及编排上都是用数学来处理的，像欧几里得的《原本》一样，定义、公理和定理贯穿始终。
从反射律出发，数学家和工程师海伦（Heron）推出一个重要结论。如果P 和Q 是图1.6 中直线ST 同侧的任意两点，则从点P 到直线再到点 Q的一切路径中，以通过直线上点 R 使线段 PR 和QR 与直线的夹角相等的那条路径为最短，而这恰好就是光线所经过的路径。所以，光线从P 出发经过镜面再到Q 是采取最短路程的。很明显，自然界是很了解几何且运用自如的。这个命题出现在海伦的《镜面反射》一书中，那也是讲述凹透镜、凸透镜和反射镜的组合的①。
图1.6
图1.7
① 我们今天所拥有的版本，也许是包括欧几里得在内，若干人著作的汇编。——原注
有不少著作是论述光线在各种形状镜面上的反射的，其中有阿基米得所著而现已失传的《镜面反射》以及迪奥克斯和阿波罗纽斯所写、书名同为《论点火镜》的两部著作。点火镜是呈球面形、旋转椭球面型（椭圆绕其长轴旋转而生成的形体）和旋转抛物面型的凹透镜。阿波罗纽斯肯定知道，而且迪奥克斯的书里也包含有抛物镜面能把焦点处发出的光反射成平行于镜面轴的光束（见图1.8）的证明。反之，若照射的光线平行于轴，则反射后就聚集在焦点处，这样就可把太阳光聚集在焦点处产生高温，从而有点火镜之名。据说阿基米得就是利用抛物镜面的这一性质把日光集中到围攻他的家乡叙拉古的罗马船上使它们起火的。阿波罗纽斯也知道其他圆锥曲线的反射性质，例如，从椭圆镜面一焦点发出的光经反射后会集中到另一焦点上，他在所著《圆锥曲线》第三篇里讲述了椭圆和双曲线的有关几何性质。
图1.8
希腊人还创建了许多其他学科，著名的有地理学和流体静力学。施勒尼的厄拉多塞(EratosthemesofCyrene)是亚历山大里亚图书馆馆长，被认为是古代最有学问的人。他计算了为希腊人所知道的地球上的许多重要地点之间的距离。他也对地球（大圆）的周长作了一个著名而相当准确的计算，并写了一本书《地理学》。在书中他不但描述了他所用的数学方法，而且给出了地表变化的原因和解释。
地理学最深刻的著作是托勒密那部包含八个篇章的《地理学》，托勒密不仅拓展了厄拉多塞的工作，而且用和我们现在所用的完全类似的经纬度，定位了地球上8000 个位置。托勒密也给出了绘制地图的方法，其中，有些现在还在运用，特别是球极平面投影法。在所有这些地理学工作中，从公元前4 世纪就开始应用的球面图形的几何学是基础。
流体静力学这门学科讨论放置在水中的物体所受到的压力，阿基米得的《论浮体》一书是这方面的奠基作。像我们曾讨论过的所有其他著作，其方法和结论推导都是彻底的数学化。特别的，它包含了现在称之为阿基米得原理的定律：浸在水中的物体受到的浮力，等于其所排开的水的重量。为什么人们能在肆虐泛滥的世俗洪水中免于沉伦，我们也要归功于阿基米得。
尽管对数学的演绎推导和自然定律的数学表示统治了亚历山大里亚希腊时期，我们还应该注意这一时期的人与古典希腊时期的人不同，他们也求助于实验和观测。他们继承并利用了巴比伦人两千多年来所获得的相当精确的天文学观测结果。喜帕恰斯把当时能够观察到的星体制成表格，当时的一些发明物（主要由阿基米得和数学家及工程师海伦完成）包括日晷、星盘、蒸气和水力的运用。
由埃及亚历山大的直接继承者托勒密一世创办的亚历山大里亚艺术宫极为闻名。艺术宫内学者云集，有一个藏书400，000 册的著名图书馆，由于它无法存放所有的手稿，另外300，000 卷便存放在塞拉皮斯的神庙里。学者们也为学生授课。
利用他们的数学成就和许多科学研究结果，希腊人对宇宙是依据数学设计的，给出了充分的证明。数学实质上存在于宇宙万物之中，它是关于自然界结构的真理，或者如柏拉图所说，是物质世界的客观存在。宇宙存在规律和秩序，数学是达到这种有序的关键。而且，人类理性可以洞察这个设计并且揭示其数学结构。
对自然作逻辑的、数学的探索的概念主要来自于欧几里得的《原本》，虽然这一著述旨在研究物理空间，但其编排组织，独创性和清晰度激发了公理演绎方法，不仅适用数学的其他领域，如关于数字的理论，而且适用于所有科学。所有基于数学的物理知识的逻辑化结构通过这本书进入了理性世界。
这样希腊人建立了数学和对现代科学基础的自然设计的探讨之间的联系。直到19 世纪后半叶，对数学设计的探求，即对真理的探求，认为数学规律是自然界的真理的信念为数学吸引了最深刻和最著名的思想家。
第二章 数学真理的繁荣
对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。
——开普勒
宏大的希腊文明被几股力量所摧毁，首先就是来自希腊、埃及和近东罗马人的逐渐侵占。罗马人扩充政治势力的目的并不是要传播它的唯物主义文化，而是使被征服的地区成为殖民地，通过剥削和捐税，可从中搜刮巨大的财富。
基督教的兴起是对异教的希腊文化的另一个打击，尽管基督教的领袖们为使基督教更易于被接受，采纳了许多希腊人和东方的神话和习俗，但他们仍然反对异教徒的学问，甚至嘲弄数学、天文学和物理学。尽管受到罗马人的残酷迫害，基督教仍广为流传并且变得如此强大以至于罗马皇帝君士坦丁大帝(Constantinethe Great)在公元313 年的米兰诏书中将基督教定为国教。后来，狄奥多西(Theodosius)废除了异教并且在392 年发布命令拆毁他们的神庙。
成千上万的希腊图书被罗马人和基督徒所焚毁，在公元前47 年，罗马人纵火焚烧亚历山大里亚港口内的埃及船只，火势蔓延烧毁了藏书最丰富的古代图书馆。在狄奥多西禁止异教的年代里，基督徒摧毁了亚历山大里亚城内唯一保存大量希腊著作的塞拉皮斯神庙，其他许多写在羊皮上的著作也被基督徒刮掉以便写他们自己的著作。
罗马帝国的后期历史也与此类似，狄奥多西将他广阔的疆土分给了他的两个儿子，霍诺留统治意大利和西欧，阿卡丢统治希腊、埃及和近东。西部在公元5 世纪时被哥特人占领，所以其后续历史属于中欧，东部则保持了独立。由于东罗马帝国，也被称为拜占庭帝国，容纳了希腊和埃及，在某种程度上说，希腊文化和希腊著作被保存了下来。
对希腊文明的最后打击是公元640 年新崛起的回教徒对埃及的征服。残剩的图书被焚毁一尽，其理由正如阿拉伯征服者奥玛尔所说的：这些书的内容或许可兰经里也有，那么我们不必读它；这些书里或许有反对可兰经的内容，那我们不准读它。因此在亚历山大里亚的浴室里接连有六个月用羊皮纸来烧水。
回教徒占领埃及以后，大多数学者迁居到当时的东罗马帝国的首都君士坦丁堡。尽管在不友好的拜占庭基督教氛围内没有什么按希腊思想轨迹的活动能兴旺发达，但这些学者及其著作汇集到相对安全的地方，却丰富了几百年后流传给欧洲的知识宝库。
印度人和阿拉伯人使得数学活动得以延续，并且引入了一些对后世有较大影响的思想①。从公元200 年至1200 年，印度人在某种程度上受过希腊著作的影响，对算术和代数做了一些有独创性的贡献。阿拉伯人，在其鼎盛时期，王国已扩充到濒临地中海的所有陆地并伸入近东，包括了许多被回教徒统一的种族。他们吸收了许多希腊人和印度人的成就并取得了一些属于自己的发展，这些成就含有亚历山大里亚希腊人的精神，混和了演绎推理和实验。阿拉伯人对算术、几何、天文学和光学均做出了贡献，他们也建立了旨在传播知识的学院和学校，阿拉伯人值得称道之处在于：尽管他们是他们自己宗教的忠实信徒，但并没有允许宗教的教旨限制他们的数学和科学研究。
① 在第五章我们将更多地讨论印度人与阿拉伯人的工作。——原注
抛开印度人和阿拉伯人都从希腊人建立的坚实的基础中获益的事实不谈，尽管他们发展了希腊的数学和科学，但他们并没有像希腊人那样渴望理解宇宙的结构。阿拉伯人广泛地翻译，评论甚至批判希腊人的著作，但是，没有什么非常重要或有价值的东西去丰富已知的真理。到公元1500年，他们的王国被西部基督徒和东部的内战给毁掉了。
正当阿拉伯人建设和扩大他们的文明时，另外一种文明在西欧产生了。在中世纪的西欧，一种高水平的文化被建立起来，从公元500 年一直延续到1500 年，这种文化被天主教教会所控制。然而，不管其多么精深，值得称道，也不会有利于对现实世界的研究。上帝统治了宇宙，人的作用只是侍奉和取悦于神，这样就可使灵魂得救，从而可在阳光明媚、欢乐幸福的来世永生。今世生活水准无足轻重，并且痛苦和磨难不仅应该忍受而且事实上必须经历，以之来检验对神的忠贞不二。因此，在希腊时代，由于研究现实世界的需要而激起的对数学和科学的兴趣在当时处于低谷就可以理解了。中世纪欧洲的学者虽然是真理的孜孜不倦的探求者，却是到《启示录》和《圣经》中去寻找真理，因此中世纪的思想家没有为自然界的数学设计提出新的证据。然而，后来的中世纪哲学确实承认自然行为的规律性和一致性，尽管这被认为是上帝的意志的结果。
后来，中世纪欧洲被一系列的变革所震撼和改变。在中世纪文明转为现代文明的许多事物中，我们所最关心的是希腊著作的获取和研究。我们知道这是通过阿拉伯人的翻译和完好无损地保存在拜占庭帝国的希腊著作而得到的。事实上，当土耳其人在1453 年征服这个帝国时，许多希腊学者带着他们的著作向西逃窜，正是从这些希腊著作中，睿智的欧洲文艺复兴领袖们知道了自然是依照数学而设计的，而且这种设计是和谐统一、美妙悦人的，它正是自然界的内在真理所在。自然界不仅仅是合理的、有秩序的，而且是依照恒定的，不可抗拒的法则来运转的。欧洲的科学家就像希腊人的孩子一样开始了他们对自然界的探索。
希腊思想的复苏引起了一些人对研究自然的兴趣，但是，数学和科学复苏的速度和强度是由许多其他的因素引起的。使一种文化消亡并且培植了另一种文化的作用力是多方面的而且是极其复杂的。关于科学的兴起已经被许多学者研究过并且许多历史书已经非常确切地描述了其原因，除了引证它们以外，我们在这不必再做什么。
一个自由工匠阶层的产生，紧接着对数学、技能和技术的兴趣引出了一些科学上的难题。以寻找原料和黄金为动机的地理探险导致掌握了一些以前不为人知的陆地和习俗的知识。这些对中世纪欧洲文化提出了挑战，新教变革反对某些天主教义，因而引发了二者之间的论战。清教徒向人们强调工作和知识的用处。火药的引入，引出了新的军事问题。例如抛物体的运动及在海洋上航行好几千英里不见陆地，都促进了对自然的研究。印刷术的发明使过去一直由教会控制的知识的传播成为可能。尽管权威们对到底是哪一个或哪些外力影响了对自然的探求各执己见，但是，这些力是如此之多，足以使我们注意到这样一个被普遍接受的事实，对科学的探索确实是现代欧洲文明的最主要特征。
欧洲人通常并不立即对新的冲击和影响作出反应，在标榜为人文主义的年代中对希腊著作的研究和吸收远甚于对希腊人的目标的追逐，但是大约到了公元1500 年，被灌输了希腊目标的思想——即推理在自然研究中的应用以及对数学设计的根本原因的探索——开始活跃起来。然而，他们面临一个难题，希腊目标与当时盛行的文化产生了冲突。希腊人相信自然界的数学设计，自然界亘古不移地遵守某个理想的方案。而后来中世纪学者把所有的方案和行为都归于上帝，他是设计者和创造者，而且所有的自然界行为都遵循他制定的规则，宇宙是他的杰作，是他的意志的产物。文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中决不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探求自然界的数学法则和谐一致呢？答案就是再增加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。事实上，16、17 世纪及18 世纪的大半，数学家所做的工作都是宗教的需要。这一点我们不久会看得更清楚，探索自然界的数学法则是一种很虔诚的工作，其揭示上帝的杰作的伟大和辉煌。数学知识，即是关于上帝的宇宙设计的真理，就像任何一条《圣经》的经文一样神圣不可侵犯。人类不可能指望像上帝自己那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以以谦恭和虔诚的态度来接近神的思想，这样就可以明白神创造的世界。
人们更进一步断言：存在支配自然现象的数学规律，并且不懈地探求，因为他们还先验地相信，上帝已将这些规律融入了宇宙结构中，每一个自然法则的发现都被视为神的英明的证明而不是证明研究者自己。数学家和科学家例证了文艺复兴时期席卷欧洲的更广泛文化现象。最近重新发现的希腊著作向人们展示了一个极为虔诚的基督教世界，其中每一个教派的领袖都被另一个教派的教条所吸引并相互采纳。
希腊人的宗旨——自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念——上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲，关于这一点最令人信服的证据就是哥白尼和开普勒的工作。直到16 世纪，唯一合理和实用的天文学理论是喜帕恰斯和托勒密的地心说，这套理论被职业天文学家所接受并应用于历法推算和航海。新天文学理论的工作是由哥白尼开创的，他于1497 年入波伦亚大学学习天文学，在1512 年他被任命为东普鲁士瓦尔明佛朗大波尔教堂的教士。这个工作使得哥白尼有足够的时间来进行天文观测并思考与之有关的理论，经过数年的观测和思考，哥白尼形成了一套关于行星运动的新理论，并写入他的经典著作《天体运行论》。这部书的第一版他于1507 年就已完成，但由于担心其将触怒教会，哥白尼迟迟没有发表。这部书于1543 年，即他逝世的那一年问世。当哥白尼开始思考天文学的时候，托勒密的理论变得更为复杂了，更多的周转圆被补充进由托勒密引入的这套系统以使其满足大部分由阿拉伯人获得的不断增长的观察数据。在哥白尼时代，这套理论共需77 个圆来描述太阳，月亮及当时所知的五颗行星的运动。对许多天文学家来说，这套理论就像哥白尼在他的书的序言中所说那样，达到了令人难堪的繁琐。
哥白尼研究过一些希腊著作并且确是依数学及和谐的原理设计的。和谐，要求一套更赏心悦目的理论而不是繁复冗赘的托勒密理论。在读了某些希腊作者，主要是阿里斯塔修斯(Aristar-chus)的著作后，哥白尼认为或许太阳是静止不动的，地球绕太阳旋转的同时自转，他决心研究这种可能性。
哥白尼的推理的要点是他也用托勒密关于周转圆和从圆的图式（见第一章）来描述天体的运动。然而，最主要的区别是，太阳位于每个从圆的中心，而地球成了一颗在圆周上运动，同时自转的行星，他将圆（包括周转圆和从圆）的数目从地心说所需要的77 个减小到34 个，从而极大地简化了地心说。
更加惊人的简化成就是由开普勒(TohannesKepler)所取得的，这是科学史上最不可思议的事情。他的一生经历了许多个人不幸及由宗教和政治事件引起的磨难。1600 年，他幸运地成为著名的天文学家布拉赫(TychoBrahe)的助手。其时布拉赫正致力于自古希腊以来第一桩大的科学工作，即重新进行全面的天文观测，这些观测和其他由开普勒自己完成的观测对开普勒有极大的价值。布拉赫于1601 年死去，开普勒接替他而成了奥地利国王鲁道夫二世（Rudolf Ⅱ，1576—1612 年在位）王宫中的王室数学家。开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白尼一样，开普勒也是个神秘工作者，他相信上帝在设计世界时，遵循了某个简单、优美的数学方案，在他的著作《宇宙的秘密》（1596 年）中他说上帝头脑中的数学和谐性解释了“为什么天体运动的轨道、大小和数目是这样而不是那样。”这种信念占据了他的全部思维。但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是从经验资料提出了科学的基本原则，开普勒因此甘心放弃他最心爱的数学假设，一旦看到这种假设和观测数据不一致，他就以难以置信的固执拒绝容忍任一位当时学者都会忽略的偏差。这导致他可以赞成极端的科学思想。开普勒拥有谦逊，坚忍和毅力等诸多品性，正是这些品性帮助伟人们去成就他们非凡的事业。
开普勒确信存在自然的数学规律，这些规律的追求使他在错误的道路上探索了多年。在《神秘的宇宙》一书的序言中，他说：“我企图去证明上帝在创造宇宙并且安排宇宙的次序时，看到了从毕达哥拉斯和柏拉图时代起就为人们熟知的五种几何正多面体，他按照这些形体安排了天体的数目，它们的比例和它们运动间的关系。”但是，以五个正多面体为基础建立起来的理论所推出的结论与观测的结果不一致，他花了极大的努力以改进了的形式去运用它，但最后还是放弃了这种方法。
然而，他在后来努力寻找和谐的数学关系时，却取得了极大的成功，他最著名也是最重要的成果就是我们今天所说的开普勒行星运动三定律。前两条定律公布在他 1609 年出版的一本书里，这本书有一个很长的名字，通常取其前部分，称为《新天文学》或取其后部分，称为《论火星的运动》。第一条定律尤为著名，因为开普勒打破了两千多年来的传统，即必须用圆或球来描述天体运动。毋须借助于托勒密和哥白尼用来描述行星运动的周转圆和从圆，开普勒发现只须一个椭圆足矣。其声称，每颗行星都沿着椭圆轨道运行，太阳位于这些椭圆轨道的公共焦点上（见图2.1），而另一个焦点只是一个数学点，什么也没有。这条定律使得理解行星运动轨道更加容易因而极富价值。当然，开普勒像哥白尼一样，他指出，地球在绕其椭圆形轨道运行同时也在自转。
但欲使天文学有实际用处的话，它必须再进一步，它必须告诉我们怎样预言行星的位置。如果一个人通过观测得知行星处于一个特殊点，比如说，在图2.1 中的P 点，他可能想知道什么时候，比方说，夏至、冬至或春分、秋分时这颗行星会位于什么位置，人们所关心的是行星以多大的速度绕它们的轨道运行。
在这里，开普勒也迈出了极为大胆的一步，哥白尼和希腊人一直用的是匀速，即行星沿着它的周转圆运动等时间内扫过相同的弧度，同时，每个周转圆的中心又在另一个周转圆或从圆上作匀速运动，但是开普勒的观测结果告诉他，行星并不以匀速绕其椭圆形轨道运动。一个艰苦而漫长的寻找速度规律的工作以胜利而告终。他发现，如果行星在一个月内从P 点移到Q 点（图2.2），比如说，也是一个月内，从P′点到Q′点，则面积PSQ 与面积P′SQ′相等。由于P 点距太阳较P′点近，如果面积PSQ 与面积P′SQ′相同，弧PQ 必须优于弧P′Q′，因此，行星并不是以匀速运动，事实上，它们靠近太阳时运动得快一些。
图2.1 每颗行星都围绕太阳以椭圆形轨道运行
图2.2
开普勒为他发现了第二定律而欣喜若狂，尽管它没有简单到像匀速运动定律那样好用，却证实了他最基本的信念，即上帝是依据数学原理来设计世界的。上帝所选择的可能更为微妙，但数学定律却能清楚地指明行星运动的速度大小。
还有一个重要问题没有解决，从太阳到行星的距离是依照哪一个定律来描述？问题的复杂性在于从行星到太阳的距离不是固定的，因此开普勒想找出一个新的能反映这一情形的原理，开普勒深信，自然界的设计不仅是基于数学原理，而且还基于和谐原理，他认为“和谐”这个词在这里非常贴切。他相信存在关于天体的音乐，其能产生和谐的旋律效果，不是通过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来。开普勒遵循这样的思想，即把数学性与音乐性奇妙地结合在一起。他得出，如果T 是行星的公转周期，而D 是其与太阳的平均距离，那么T2=KD3
此处K 对于所有行星都是一个常数，这就是开普勒在《世界的和谐》（1619年）中得意洋洋地宣布的行星运动第三定律。然后，开普勒对上帝大唱赞歌：“太阳、月亮和群星，用你们无法表达的语言赞颂上帝吧！天上的和谐，你应当理解上帝神奇的创造，给它唱赞歌吧！我的灵魂，你赞美造物主吧！造物主创造了一切，一切又存在于造物主之中，我们最了解造物主和我们虚幻的科学所创造的东西！”
哥白尼和开普勒坚信上帝和谐、简单地设计了世界的程度可以通过他们必须反驳的异议来判断。其他行星按照托勒密理论运动，可以用希腊人的学说这样解释：这些行星是由特殊的很轻的物质所组成，因而很容易运动，但是怎样才能使很重的地球运动呢？哥白尼和开普勒都不能回答这个问题，还有一种反对地球转动的观点认为：如果地球在旋转，那么，地球表面的物体会飞到宇宙中去，就像物体从旋转着的平台掉下来一样。没有人能反驳这种观点。对于更进一步的反对意见，旋转的地球会飞散，哥白尼软弱地反驳说，地球的运动是自然的，因而不会毁掉它自己。然后他反问道，为什么天空不会因为昼夜不停的飞速运转（地心说理论认为的）而飞散？还有另外一种反对意见：如果地球由西向东旋转，那么抛向空中的物体就会坠落于原来位置的西边，因为当地球运动时物体还在空中。更进一步，地球围绕太阳旋转，既然物体的速度与其重量成正比，至少如同希腊人和文艺复兴时期的物理学所认为的那样，那么地球上较轻的物体应留在后边，甚至空气也应留在后边。对这最后一个问题，哥白尼解释说：空气具有“地球性”，所以其富有同情心地跟着地球运动。所有这些反对意见的实质在于：地球的自转与公转不符合在哥白尼和开普勒时代被普遍接受的亚里士多德运动理论。
一类反对日心说的科学异议来自天文学本身，尤以基于下列事实的为甚：日心说把恒星视为固定不动，然而，地球在六个月时间内要在空中变换它的位置约186，000，000 英里，因此，如果人在某一时间内看到某颗恒星并且在六个月后又看到它，则视差应该可以被观测到，然而在哥白尼和开普勒时代这却做不到。哥白尼争辩说，恒星离我们是如此之远以至于视差太小而难以被观测到。他的解释不能使批评者信服，他们反驳说：如果恒星真的那么遥远，那么它们就根本不会被清楚地看到。在这个问题上，哥白尼的回答是正确的，即使是离我们最近的恒星，在六个月内它的视差也只有0.31 秒，这是由数学家贝塞尔于1838 年首次观测到的，当时，他有一架高级望远镜。
传统主义者又进一步问道，根据新天文学，地球以每秒约18 英里的速度绕太阳转动并以每秒约0.3 英里的速度自转，为什么我们却没有感到任何运动呢？事实上我们的感觉告诉我们是太阳在天空运动，对于开普勒时代的人来说，这样的论证是无可辩驳的，所有这些对地球是在运动的科学异议都很有份量，并且不能视为拒绝接受真理的顽固守旧势力而不予考虑。
哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否定了基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。把太阳置于宇宙的中心，这就威胁了这个慰藉人类的教义，因为它使得人成为可能有的一大群漂泊于寒冷天空的流浪者之一，他不像是为了生前享受荣华富贵，死后荣登天堂，更不像是上帝施恩的对象。哥白尼抨击地球是宇宙中心的说法，他指出，宇宙是如此巨大以至于去谈论其中心是毫无意义的，但是这种逆耳之声在当时影响甚微。
反驳所有反对日心说的意见，哥白尼和开普勒都只用了一个无以辩驳的回答，他们都使得自己的理论臻于数学的理论，更显得和谐，优雅。考虑到上帝设计了宇宙并且显然会采用更优秀的理论，那么日心说就一定是正确的。
对他们所发现的，并认为是正确的理论，在哥白尼的《天体运行论》及开普勒的许多著作中都有毋庸置疑的证明。比方开普勒，评价他的椭圆运动理论时说：“我从内心深处感觉到这个理论的真实性，我以难以置信的欣喜之情欣赏它的美妙。”开普勒1619 年发表的著作，就取名为《世界的和谐》，其中洋溢着他对上帝不尽的赞颂，表达了对上帝辉煌的数学设计的钦佩之情，也表示了他自己对此坚信不疑。
起初只有数学家支持新理论是不足为奇的。因为只有那些确信宇宙数学化并且简单化地设计的数学家才具备坚定的信心去蔑视那些盛行的哲学上的，宗教上的和科学上的异议，而欣赏这种革命性的天文学数学。只有对数学在设计宇宙中的重要性坚信不移的人才有勇气去面对强大的反对力量而证实一种新理论。
对新理论的支持来自于一个意想不到的发展。早在17 世纪，望远镜就被发明出来，伽利略听说了这项发明之后马上自己建造了一架，然后用于天体观测，这令他的同时代人大为震惊。他看到了木星的四颗卫星（我们现在能看到12 颗），这一发现表明，每个行星都可以有卫星，伽利略还观察到月亮粗糙的表面及山峰，他还观察到太阳和围绕土星赤道的一条隆起带（现在我们称之为土星光环）。他的发现进一步证实：行星都同地球相像，它们肯定不是像希腊人和中世纪的思想家所认为的由轻飘飘的物质所构成的理想球体。用望远镜可以发现原先在天空中像一条宽宽的光带的银河是由无数颗恒星组成，因此天空中还含有其他的太阳，也许还有其他的行星系。哥白尼预言，假如人类的视力更锐利一些，我们就能观测到金星和水星的相位，就像我们能用肉眼看出月球的相位一样。借助望远镜伽利略确实观测到了金星的相位，他的观测结果使他确信哥白尼的理论是正确的，而且他在其经典著作《关于两大世界体系的对话》（1632 年）中竭力为之辩护。日心说之所以被接受还由于其使得天文学家、地理学家及航海家计算起来更为简便。到17 世纪中叶，科学界也愿意在日心说的基础上继续发展，而数学法则对真理的要求也得到了极大的加强。
坚持地球既围绕太阳旋转同时又自转的学说在17 世纪早期的理性氛围中绝不是偶然的。伽利略被罗马天主教宗教法庭审判早已众所周知，虔诚的天主教徒帕斯卡发现自己的著作被列入禁书之列，因为他不知天高地厚地诋毁基督耶稣，在他的《致外省人书》中，帕斯卡声称：“对于伽利略的地动学说，即使你得到了罗马教廷否定伽利略的判决也是徒劳的，因为这并不能说明地球是静止不动的......。”
哥白尼和开普勒毫无疑问地接受了希腊人关于自然是按数学设计的信念及天主教关于上帝创造和设计了宇宙的信条。笛卡尔(RenèDescartes)着手建立系统的、清晰的和有说服力的新科学哲学。尽管笛卡尔被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。他的哲学极为重要，因为它主宰了17 世纪人们的思想甚至影响到牛顿和莱茨这样的巨人，他的基本目标是要找到在所有领域内建立真理的方法，这贯穿了他的基本著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（1637 年，简称《方法论》）。
通过只接受那些确凿无疑的事实，笛卡尔开始他的哲学体系的建立工作。那么他是怎么区分哪些是可接受的论据，哪些是不可接受的呢？在他的《思维指导法则》中（写于1628 年，但他死后才得以出版），他指出：“对于我们要研究的对象来说，我们不仅不应该研究他人已经想出的，而且也不应研究我们自己臆测的东西，而应研究我们能清楚明了的看出或可靠地演绎出的东西，因为知识不可能用别的方法得到。”使头脑有能力直接获得清楚和明晰的基本原理，极其敏锐的直觉和对结果的演绎——这就是笛卡尔认识哲学的实质。笛尔卡认为思维只有两种方法，它们能使得我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。在《法则》一书中，笛卡尔对直觉给予很高的评价：“直觉是纯粹的专注的思维的可靠概念，它仅由理性之光产生，而且比演绎更可信一些。”
在《方法论》一书中，他证实了思想的存在以及由思想包含的确切无疑的知识，通过他的基本的直觉，笛卡尔在《方法论》一书中匆忙地证实了上帝的存在。而且后来在围绕着循环推理的争论中，他自己确信，直觉和演绎的方法一定是正确的，因为上帝不会欺骗我们。他说，“上帝是永恒的，不可改变的，独立自主的，全知的和全能的，并且包括我自己在内的万物都是上帝创造的。”
对于数学本身的真理来说，就像他在《哲学原理》（1641 年）一书中指出的那样“对于属于算术和几何以及一般的纯抽象数学的图形、数字以及其他一些符号来说，我认为它们是最可靠的真理，对此我感觉得一清二楚。”“自从数学家从最容易的和最简单的东西开始研究后，只有他们才能找到确知的真理及相关的事实。”数学的概念和真理并不是由人们从感觉得来的，它们自从我们出生就深藏于我们思想之中了，这是上帝安排的，对一般三角形的感性认识永远也不会使人联想起理想三角形的概念。同样对心智很清楚的人来说，三角形的内角和一定是180°。
笛卡尔下一步将目光对准现实世界，他说，对于清清楚楚的直觉以及由之而来的演绎法，我们可以放心地将它们应用到现实中去。他认为上帝是按数学设计世界的，在他的《方法论》中，他证实了可靠真理及观念的存在，前者是上帝在自然界中建立起来的，而后者扎根于我们灵魂之中，一旦我们对它们有足够多的思考，将不再怀疑它们可以在世界上所存在和发生的万事万物中精确地观测到。
笛卡尔进一步证实自然法则是永恒不变的，因为它们是并且仅仅是预定的数学模型的一部分。甚至就在出版他的《方法论》以前，笛卡尔在1630年4 月15 日给一位与数学家过从甚密的神学家梅森(Marin Mersenne)的信中写道：
对于到处宣扬是上帝在自然界建立了这些原则不要害怕，这就像一个最高统治者在他的国家建立法律一样......。而且这就像一个国王，当他不被他的臣民所知的时候更加具有威信一样，我们把国王的伟大看成不可思议时，我们并没有想到我们根本就没有国王。一个人会告诉你如果上帝建立这些真理，他也可以像国王改变他的法律一样来变更他们。对此，人们可能回答到这有可能，只要他的意愿可以改变，但我认为这些真理是永恒不变的，这也同我认为上帝是永恒的一样。
这里笛卡尔否认了通行的信念：上帝在不断地干预宇宙的活动。对于研究客观世界，笛卡尔希望只需数学，就像他在《方法论》中所说的，“迄今为止在所有探求真理的人中，只有数学家成功地进行任何一种证明，即进行明白无误的，确定无疑的推理。”在研究客观世界时，笛卡尔相信数学足够了，他在《哲学原理》中（1644 年）写到：
我坦率承认，在现实物质中，我还不知道有什么其他的物质存在......除了几何学家用数值给它记上符号并且作为其论证的对象的那种物质。对于这种物质，我只考虑分界线、形状以及变化。简言之，除了可以由那些普通信条（它们的正确性毋庸置疑）用在数学证明中所推出的以外，我不相信任何事。而且到现在，通过这种方法我们可以解释自然界的一切现象......我不认为我们还可以承认什么其他的客观原理，或者说我们还有理由再寻找其他任何一条。
笛卡尔在他的《哲学原理》中明确指出科学的实质就是数学，他说他“既不承认也不希望在物理学中还有除了几何上的或抽象数学中以外的什么原理，因为这样才能使所有自然现象都可解释并且可给出确定的证明。”客观世界就是一个静止不动的空间，它具体体现在几何学中，因而其性质可从几何的基本原理中得出（因为那时数学的大部分都是几何学，因而笛卡尔和他的同代人都将几何看成数学的同义词）。
笛卡尔力图解释为什么世界可用数学来解释。他坚持认为物质最基本最可靠的性质就是形状、延展性和在时空中的运动，而所有这些都是可用数学描述的。由于形状可归结为延展，笛卡尔宣称：“如果给我延展和运动，我就能构造宇宙。”他特别强调所有物理现象都是受外力作用的分子机械运动的结果，然而作用力同样也满足不变的数学规律。
既然笛卡尔认为外部世界只是由运动的物质组成，那么他怎么解释味觉、气味、颜色以及音质呢？在这些问题上他援引古希腊人的信条，即德谟克里特的第一性和第二性学说。第一性，物质与运动，存在于客观世界中；第二性，包括味觉，气味、颜色、热、声音的悦耳或刺耳，不过是外界原子与感官互撞时由人们感官中的第一性产生的结果。现实世界是在时空中可用数学描述的物体运动总和，整个宇宙是通过数学原理建立起来的庞大的、和谐的机器，科学以及事实上任何用来建立顺序和测量的原理都可归于数学。他在《思维的指导法则》第四法则中写道：
所有那些目的在于研究秩序和度量的科学，都与数学有关。至于所求的度量是关于数、形、星体、声音或是其他东西都无关紧要。因此，应该存在一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道的秩序和度量，而不必考虑他们在某个特殊学科中的应用。事实上，通过长期使用，这门科学已经有了其专门的名称，这就是数学。......其所以在灵活性和重要性上远远超过那些依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究对象和许许多多别的东西。
笛卡尔对数学本身并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即我们现在所称的解析几何（见第五章），从技术的观点来看，解析几何彻底改变了数学研究方法。
在科学上，笛卡尔的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。他的漩涡理论（见第三章）是17 世纪时的主要宇宙学理论，他是机械论哲学的奠基人。这种哲学认为，所有自然现象，包括人体的作用，但除了灵魂，都可归结为服从力学定律的运动。对于力学来说，他系统地阐述了惯性定律，即现在所说的牛顿第一运动定律：如果没有外力作用，每个物体都保持其静止状态或匀速直线运动状态。
光学，特别是透镜设计，是笛卡尔另一个主要兴趣所在，实际上他的《几何学》一部分和《屈光学》的全部（《方法论》后面的附录）都是讲光学的。他和斯涅耳共同发现了光的折射定律，即光在媒质中传播时，媒质突然变化（如光从空气射到玻璃或水）时光线如何变化。希腊人开始将光学数学化，但笛卡尔的贡献在于他把光学发展成为数学科学。在其他领域他也做出重要贡献，包括地理学、气象学、植物学、解剖学（动物解剖）、动物学、心理学、甚至医学。
尽管笛卡尔的哲学和科学观点背离亚里士多德主义及中世纪的经院哲学，但在一个基本的方面，他还是一个经院主义者：他从自己的心里得出关于存在和实在的本质命题，他相信有先验的真理，而理智本身的力量可以得到对一切事物的完整知识。这样，他在先验推理的基础上阐明运动定律（实际上他在生物学及其他一些领域的研究中作了一些实验，并且从中得出一些重要的结论）。然而，通过把自然现象归结为纯物理现象，他做了许多努力去剔除科学中的神秘主义和超自然力。
17 世纪伟大数学家之一，帕斯卡(Blaise Pascal)毫不怀疑科学中的数学及数学规律是真理。和笛卡尔不同，笛卡尔认为直觉明显地可以被头脑接受，帕斯卡则认为直觉只可以被内心所接受。真理必须是清晰地出现或在心里确定无疑，或者是这类真理的逻辑推论，在他的《思想录》里，他告诉我们：
关于空间，时间、运动和数的基本原理的知识如同我们通过推理获得的任何知识一样可信，事实上，由我们内心和直觉所提供的这种知识正是我们的推理赖以建立结论的基础。对推理来说，要求在接受来自内心的基本原理前就要求其证明是无意义的和荒谬的，就如同对内心来说，在接受由推理所论证的所有命题前就要求其有直观知识一样是无意义和荒谬的。
对帕斯卡来说，科学就是研究上帝的世界，他认为单纯为了娱乐来从事科学工作是错误的。以娱乐为主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因为那种人抱有“一种对学问的不尽贪欲，对知识的恣意挥霍。”“这种对科学的研究出自于对自我为中心的关心，而不是着眼于在周围的自然现象中找出神的存在和光辉。”
在开创现代数学和科学，富有独创精神的思想家中，伽利略与笛卡尔齐名，当然，他也相信自然界是上帝按数学设计的。他在1610 年《试金者》中的论述非常著名：
哲学（自然）被写在那部永远在我们眼前打开看的大书上，我指的是宇宙。但只有首先学会它的语言，把握了它的书写符号以后，我们才能理解它。它是用数学语言写成的，符号是三角形，圆以及其他几何图形，没有它们的帮助，人们一个字也读不懂，没有它们，人们就只能在黑暗的迷宫中游荡。
自然界是简单而有序的，它的行为是规则的而且是必要的，它依照完美并且不变的数学规律运动，神圣的推理是自然界中理性的源泉，上帝把严格的数学必要性置于世界，即使人的推理与上帝有关，人也只有通过艰苦努力才能领悟这种数学必然性。因此，数学知识不仅是绝对真理而且像《圣经》那样，每句每行都不可侵犯，更进一步，研究自然就得像研究《圣经》一样虔诚。“上帝在自然行为中所呈现给我们的，一点不比其在《圣经》中用神圣的字句所表示的逊色。”
伽利略在《关于两大世界体系的对话》（1632 年）中断言：在数学中，人类达到了所有可能的知识的顶峰，这一点他并不比那位神圣的智者逊色。当然，后者知道的和感觉到的数学真理远远比人知道的多，但考虑到客观确定性，少数被人掌握的真理与上帝所知道的一样完善。尽管伽利略是个数学教授而且是宫廷数学家，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革，其中，最著名的就是他的废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——而应去寻求数学描述。这两种目标的不同易于说明：一个物体落到地面，并且，事实上是以逐渐增加的速度下落的，亚里士多德及信奉他的方法论的中世纪科学家则力图解释引起它下落的原因，并假设是力学方面的。伽利略正相反，他仅用数学法则来描述下落，用现代数学记号来表述就是d＝16t2 这里d 指在t 秒内物体下落的英尺数。这个公式一点也没说物体为什么下落，而且与人们想知道的有关这种现象的事更是风马牛不相及。然而伽利略确信我们要探寻的自然知识是可描述的。他在《两类新科学》中写到：“有关下落物体加速运动的原因并不是必然要研究的部分。”更一般的，他指出，他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为什么会这样。正确的科学探索同所谓的寻求最后原因之类的问题要分别开来，而且物理原因的假设应该放弃。伽利略坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。对伽利略的这个方案的核心的第一反应即使在今天也许也是否定的，用公式来描述现象只能说是第一步，亚里士多德派好像实际上已掌握了科学的真正作用，这就是解释这些现象为什么会发生。即使笛卡尔也抗议伽利略的寻找描述性公式的决定，他说：“伽利略关于真空中落体所说的一切都是缺乏根据的，他应该首先确定重量的本质。”更进一步，笛卡尔说，伽利略应该思考终极原因。依照后来的发展，现在我们知道，伽利略追求描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，以后会更明显，就在于把科学置于数学的保护之下。
伽利略的另一个原则就是科学的任一分支都可用数学模型模仿出来，两个基本步骤是，数学从公理即不证自明的真理出发，通过推理建立新定理。所以，任一科学分支都应由公理或原理出发进行推理。更进一步讲，人们应该从公理中尽可能多地推出结论。当然这个原则是亚里士多德提出的，其目的在于用头脑中的数学模型推出科学的推理结构。
然而，伽利略与希腊人、中世纪思想家和笛卡尔在获取基本原理的方法上截然不同。伽利略以前的人及笛卡尔相信基本原理出自心中，心只须对任何一类现象加以思考，就能得出基本真理。心的这种力量在数学中得到明证，像等量加等量结果仍相等，两点决定一条直线等公理，只要一想到数和几何图形，就会立刻呈现出来，而且是毋庸置疑的真理。希腊人也确曾找出一些自明的物理原理，例如“宇宙中所有物体都应有自然位置”这条原理再恰当不过了。静止状态看起来显然比运动状态更自然，欲推动一个物体且使其保持运动，则必须用力，这似乎也是无可辩驳的。相信心能够提供基本原理，并不否认观测能帮助我们获得这些原理，但是观测只能唤起正确的原理。正如看见一个熟悉的面孔，就能想起有关那个人的事情一样。
这些学者就像伽利略所说的，是首先决定世界怎样依照他们预定的原理运作。伽利略认为，在物理学中，与在数学中相反，基本原理必须来源于经验和实验，获取正确基本的原理的方法应是注意自然说了什么而不是我们想了什么。他公开批评那些接受大自然怎样运作符合他们预定原理的规律的科学家和哲学家，他说，自然界并不是首先造出人的大脑，然后再安排世界以便使之可为人的智力所接受。中世纪的思想家喋喋不休地重复亚里士多德的话并且争论它的含义，伽利略批评说，知识来自观测，不是来自书本，关于亚里士多德的争论是无用的。对于沉湎于把科学看成是研究《伊利亚特》及《奥德赛》或者是诠释希腊人著作的人，伽利略称他们是纸上科学家。他说：“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”当然，一些文艺复兴时期思想家及伽利略的同代人弗朗西斯?培根也得出了实验是必要的结论。在他的新方法上，伽利略并不超出他人，但是，笛卡尔却认为伽利略依赖于实验的办法是不明智的。笛卡尔认为感觉只能导致幻觉，理性才能洞察幻觉。从心智所提供的天生的一般原理，我们能推出自然界的特殊现象并且理解它们。确实，如同我们前面提到的，在笛卡尔许多科学工作中，笛卡尔做了实验而且要求理论符合事实，但在他的哲学里他仍然依赖内心的真理。
少数数学物理学家同意伽利略的观点，即靠推理并不能确保物理原理的正确性。基督教徒惠更斯实际上批评过笛卡尔，英国物理学家也抨击过纯理性主义。胡克(Robert Hooke)说，伦敦皇家学会的成员们“面临着这么多致命的错例，这些错例，使人类的大多数人都为之迷惑，因为他们仅仅依赖于推理的力量。而现在，会员们已开始凭感性来校正所有的假设了。”
当然伽利略意识到靠一条不正确的由实验得出的原理，推出的结果也
是不正确的，因此，他建议并且可能做了一些实验来检验他推理的结论以获得基本原理，然而，伽利略做实验做到何种程度却不得而知。有一些他称之为实验的，实际上是理想中的实验，即想象如果真做实验的话，一定会发生什么。然而，他的宗旨：物理学原理必须建立在经验及实验基础上却具有革命性的关键意义。伽利略毫不怀疑一些上帝用来创造宇宙的真实原理可从心里推出，但在从经验出发的角度上，他允许对此持怀疑态度。如果科学的基本原理必须来源于实践，数学公理为什么不行呢？这个问题在1800 年以前对伽利略及他的后人都没引起什么麻烦，数学仍然是一门特权学科。
在他的科学著作中，伽利略聚焦于物质和运动，他清楚地并独立地认识到笛卡尔的惯性原理，即现在所说的牛顿第一运动定律。他也成功地获得作垂直运动、沿斜面运动物体及抛射体运动的规律，他证明抛射体运动轨迹为抛物线。总之，他获得了所有地上物体的运动规律。尽管，在任何一项重大的变革中，都可以找到一些前人的足迹，但还没有人能够像伽利略那样清楚地通晓指导科学研究的概念及原理，而且，没有人像他那样用简单而有效的方式证明了它们的应用。
由于伽利略的对他的时代的重大创新，他的哲学和科学方法论成为牛顿伟绩的开端，后者出生在伽利略逝世的那年。
第三章 科学的数学化
在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。
——康德
科学中的数学定律是真理，体现在上帝对宇宙的设计之中，如果这个信念还须加强，那么它已由艾萨克?牛顿爵士极好地完成。牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，他还被誉为一个物理学家。他的工作提供了一整套新的科学方法，开创了科学的一个新纪元，并因之加强和深化了数学的作用。
哥白尼、开普勒、笛卡尔、伽利略、帕斯卡都证明了自然界的一些现象与数学定律相吻合。他们深信上帝不仅创造了世界，而且其创造与人的数学思维相一致。统治17 世纪的哲学或科学方法论由笛卡尔系统地阐述和发展，笛卡尔甚至认为全部物理学都可以归结为几何学。几何学这个词被他和其他人常常用作数学的同义词。笛卡尔的方法论被大多数牛顿时代以前的人所采纳，尤其是惠更斯，后者认为，科学具有另外一种附加的功能，即提供一个自然现象的物理解释。
希腊人，尤其是亚里士多德，也用物理学术语来解释自然现象的行为。他们的主要理论是，所有的物质是由四种元素：土、气、火和水组成，它们具有一种或多种性质，重性、浮性、干性和湿性。这些性质可解释物体的表现：火向上燃烧是因为火轻，而土质的物质向下落是因为它具有重量。对于这些性质，中世纪的学者们还增加了其他许多性质，如共振和不相容。共振解释了一个物体相对于另一个物体，如铁对磁石的吸引。不相容则解释了一个物体被另一物体所排斥。
另一方面，笛卡尔却摈弃了所有这些性质，坚持认为所有物理现象都能由物质和运动来解释。物质的这些基本属性具有广延性，并且可以度量，因此可以归结为数学。再进一步，由于没有物质，也就没有广延性，因此真空是不可能的。空间充满着物质，并且物质只可能由于直接接触而相互作用。然而，物质是由大小、形状和其他特征各异的不可见颗粒所构成的，正是因为这些颗粒小得不可见，所以有必要对它们的行为作一些假设，以解释人们可以观察得到的大的现象。依据这个观点，空间充满了微粒，它们可以推动更大的物体，如行星绕太阳旋转。这也就是笛卡尔的漩涡理论的精髓所在。
笛卡尔是机械唯物主义的奠基人。法国哲学家，基督教士伽桑狄(Pierre Gassendi)，英国哲学家霍布斯(Thomas Hobbes)和荷兰数学家与物理学家惠更斯(Christian Huygens)继承了他的学说。惠更斯在他的《光论》（1690 年）一书中，假设空气中充满能传递光的运动的以太微粒，从而解释了光的各种现象。事实上这本书的副标题就是：对反射和折射发生原因的解释。在绪论中，惠更斯认为，在真正的哲学中，“人们构想所有自然界作用的原因是机械运动，因此，依我的观点，我们或者是搞清楚所有的物理现象，或者是放弃这一希望。”但另一方面伽桑迪却坚信，原子是在真空中运动。
物理学有关微粒作用的假设确实，至少在大体上，解释了自然界的总体行为。但这些都是心智的创作，而且笛卡尔和他的追随者们的物理学假设是定性的，因此也就仅能解释而已，而不能精确地预言观察和实验中所出现的现象。莱布尼茨称这种物理学假设为一个美丽的神话。
一种关于科学的，与上述哲学完全相反的哲学由伽利略所开创。科学必须寻求数学描述而不是物理学解释，而且，基本理论应由实验和根据对实验的归纳而得出。根据这种哲学，同时受他的老师巴罗的影响，牛顿改变了科学研究的程序。他采用数学前提来取代物理学假设，从而使预言具有培根所倡导的确定性，而这些前提是由实验和观察得来的。
伽利略先于牛顿探讨了物体的下落和抛物体的飞行，牛顿却解答了一个更为深广的问题，一个1650 年左右在科学家们脑海中占据最主要地位的问题：能否在伽利略的地上物体运动定律和开普勒的天体运动定律之间建立一种联系？所有运动现象都应遵循一套定律，这种想法似乎有点过于自信和不凡，但确实在17 世纪严谨的数学家们的头脑中很自然地产生了。上帝设计了宇宙，因此可以推测所有的自然现象都遵循一个总的规划，上帝极可能用一套基本原理来支配相联的事物。对于17 世纪致力于揭示上帝的自然设计的数学家和科学家来说，合乎情理的做法似乎应该是去寻求控制各种地面物体运动和天体运动的统一规律。
在实施他推导宇宙运动规律的计划的过程中，牛顿对代数、几何、尤其是微积分（见第六章）做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。事实上，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。他致力于寻找能导出一个统一地上物体运动和天体运动的定律的科学原理，幸运的是，正如狄德罗所说的，自然界把秘密告诉了牛顿。牛顿当然熟悉由伽利略建立起来的定律，但这些还不够。由运动学第一定律可以很清楚地知道，行星受一个被吸往太阳的力，如果没有这个力，每一颗行星将作直线运动。总是有一个力将行星拉向太阳的想法许多人都有过。哥白尼、开普勒、著名实验物理学家胡克、物理学家和著名建筑学家雷恩(ChristopherWren)、天文学家哈雷(Edmund Halley)以及其他一些人，甚至在牛顿之前就开始了探索的工作。而且有人推想，这种力对一个较远星球的作用必定比对较近星球的要弱，而且随着太阳与星球的距离的增大，力成平方反比减小。然而在牛顿的工作以前，这些有关引力的想法都没有推进到能超过观测结果。
牛顿吸收了他的同时代人所作出的推想，即在任何两个质量为m 和M，相距为r 的物体之间的引力F，可由以下公式F＝G mMr 2给出。在这个公式中，G 是常量，即无论m、M 和r 为何值，它都不变。这个常量的值取决于所用的质量、力及距离的单位。牛顿还将伽利略的地上物体运动定律进行普遍推广，这些推广现在称之为牛顿运动三定律。其中第一定律已由笛卡尔和伽利略所导出：如果一个物体不受力，它将保持静止或做匀速直线运动；第二定律说：如果一个力作用在一个质量为m 的物体上，那么它将给此物体一个加速度，准确一点说，这个力等于质量与加速度的乘积，用公式表示即F＝ma；第三定律则认为：如果物体A 给B 一个作用力F，那么B 给A 一个大小相等、方向相反的作用力F。由这三个定律及万有引力定律，牛顿可以很容易地推断地球上所有物体的运动规律。
就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。在牛顿以前关于行星运动定律的研究工作，曾被认为与地面物体运动无关，现在的结果则表明行星运动遵循与地面物体运动同样的规律。从这种意义上说，牛顿解释了行星运动规律。此外，由于从万有引力定律所推导出来的开普勒定律与观测结果十分吻合，也为万有引力定律的正确性提供了强有力的证据。
用运动定律和万有引力定律所推导出来的这些结果只是牛顿所完成的工作的一小部分。他应用万有引力定律解释了以前一直难以解释的海洋潮汐现象，对大范围的水域来说，引力主要来自于月亮，其次是太阳。由收集到的太阴潮，即由月球所引起的潮的高度的数据，牛顿算出了月球的质量。牛顿与惠更斯计算了地球沿着赤道的隆起度，牛顿还与其他人一起说明了彗星的轨道与万有引力定律保持一致，因此可以认为彗星也是我们太阳系的一个合法成员，而不是什么突发事件或上帝派出来泄怒降灾的天外来客。牛顿接着说明了月亮和太阳对地球赤道隆起带的吸引力使地球的自转轴形成一个周期大于26000 年的锥，其不总指向天空中的同一颗星。地轴轴向的这种周期性变化使每年的春分和秋分都发生些微的变化，这一事实喜帕恰斯早在1800 多年前就观察到了，这样牛顿就解释了岁差。
最后，牛顿用近似的方法，解决了许多有关月球运动的问题。例如，月球运动所在平面略微向地球运动平面倾斜，牛顿能够说明太阳、地球、月球三者之间的相互吸引而引起的这种现象遵循万有引力定律。牛顿和他的直接继承者们推导出了如此浩繁而又杰出的有关恒星、彗星、月球、海洋运动的结果，以至于他的成就在接下来的两百年里被誉为“世界体系的阐述”。
在所有这些工作中，牛顿采纳伽利略的提议去寻求数学描述而不是物理解释。牛顿不仅将开普勒、伽利略、惠更斯的大量实验和理论性成果融汇起来，而且将数学描述和推导置于所有科学描述和预言之前。在他巧妙地命名为《自然哲学的数学原理》（1687 年）一书的序言中，他写道：
古人（如帕普斯所告诉我们的）认为在研究自然事物时，力学最为重要，而今人们则舍弃其实体化的形式和深藏的实质，而力图以数学定律说明自然现象。我在本书中致力于用数学来探讨有关的哲学问题。......因此我把这部著作称为哲学的数学原理，因为哲学的全部任务就在于从各种运动现象来研究各种自然之力，而后用这些力去推证其他现象。本书第一、第二编中的一些普遍命题就是为了这个目的而提出来的。......然后根据其他同样是数学上论证过的命题，从这些力中推演了行星、彗星、月球和海潮的运动。
很明显，数学在这里起了主要作用。
牛顿有充分的理由强调定量的数学定律来反对物理学解释，因为在他的天体力学中，核心概念是万有引力，而万有引力的作用根本不能用物理学术语解释。不管两个物体相距多么遥远，它们仍然相互吸引，这种万有引力的概念简直和亚里士多德派及中世纪的学者们为了解释科学现象而发明“质”的概念一样令人难以置信。这种概念尤其不能为牛顿的同时代人所接受，他们坚持力学的解释并且认为力只有在一个物体“推”另一物体时才有可能发生。这种放弃物理机制而采取数学描述的方法震撼了甚至是最伟大的科学家。惠更斯认为万有引力的想法是荒谬的，因为这种超空间的作用不属于任何一种机械运动。他对牛顿没有根据而不厌其烦地只用万有引力的数学原理作那么多繁琐的计算感到吃惊。其他许多人，包括莱布尼茨，也反对万有引力的纯数学解释。莱布尼茨自1690 年读完了牛顿的《原理》后就开始抨击它直至逝世。伏尔泰(Voltaire)1727 年在出席了牛顿的葬礼后，调侃牛顿把一个真空留在了伦敦，又在法国找到了一个实空(Plenum)，在那儿，笛卡尔的哲学仍然盛行。为解释“超距作用”而作的努力一直持续到1900 年。
即使完全没有物理学解释，而仅仅依靠数学描述，牛顿也使得他那无与伦比的贡献成为可能。作为对物理学解释的替代，牛顿确实有一个有关重力作用定量的公式，这个公式既重要又实用，因此，在他的《原理》开篇中，牛顿说：“我在此只为这些力提供一个数学的概念，并没有考虑他们的物理因果。”在书末他又重复了这种思想：
但是我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法，我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果。......我们说通过数学方法（着重号为牛顿所加），是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。在他1692 年2 月25 日写给牧师本特利博士的信中，牛顿这样写道：至于引力是物质所内在的，固有的和根本的，因而一个物体可以穿过真空超距地作用于另一个物体，毋须有任何一种东西的中间干预，用以把它们的作用和力从一个物体传递到另一个物体，这种说法对我来说，尤其荒谬。我相信凡在哲学方面有思考才能的人决不会陷入这种谬论之中。引力必然是由一个按一定规律行事的主宰所造成的，但是这个主宰是物质的还是非物质的，我留给读者自己去思考。
尽管有牛顿在数学上的成功，但物理机械论的久不出现依然困绕着科学家们，然而他们想得到这样一种物理机械论的努力一直没有实现。贝克莱(Bishop George Berkeley)在他的对话《艾西弗伦》（Alciphron，1732年）中阐述了以下观点：（尤弗拉洛简记为尤，艾西弗伦简记为艾）。
尤：......我请求您，艾西弗伦，不要被那些术语所迷惑，把力这个字放一边吧，把其他任何事情从你的思想里去除，然后看你对力有什么明确的见解。
艾：力是存在于能发生运动和其他可知后果的物体中的东西。
尤：那么力与那些后果是截然分开的吗？
艾：是的。
尤：那我们现在很高兴不用考虑力的主体和后果，而只须考虑力本身的准确概念了。艾：我认为事情并非如此简单。
尤：看来你我都不能用自己才智范围内的语言构造一个力的概念，因为人的思维和才能如此相似，那么我们可以设想其他人也不会有比我们更好的想法了。
牛顿确实希望引力的本质能为人们探究和知晓，但事与愿违，没有人能解释引力是如何作用的，这种力的物理真实性从未得以证明，而只是人类能力试图影响这种力的一个科学幻想。然而，由定量定律得到的数学结论被证明是如此有效，以致于这种方法被认为是自然科学的一个整体部分。科学所做的就是牺牲物理上的可解释性而得到数学上的可描述性和可预测性。
17 世纪的成就常被概括为数学物理学家们构造了一个像机器一样运转的力学世界。当然，如果力学仅仅是指通过作用在微粒及它们的延展而成的物体上的力，用重性、浮性、共振和前面所提及的一些概念解释所产生的运动，那么，亚里士多德及中世纪的科学家们的科学也是力学。然而，17 世纪的人，尤其是笛卡尔及其追随者，摈弃了前人用以解释运动的质量多元性的假设，而将力限定为物质的、明显的：扔出一个物体必须有重量或力。可以称这种牛顿以前的物理学为物质物理学，数学可以描述它但数学不是根本。
牛顿力学和他以前的力学的本质不同不只在于引入了数学来描述物体的状态，数学对物理学的帮助也不只因为它是一种更方便、更简洁、更清晰、更普遍的语言，而是因为它提供了最基本的概念。重力只是一个数学符号的名称，同理在牛顿第二运动定律（F＝ma，力等于质量乘以加速度）中，力可以是使物体产生加速度的任何东西。力本身的性质在物理上也许是不可知的，因此牛顿谈到而且使用了向心力和离心力的概念，尽管他并不知道这些力的机制。
在牛顿力学中甚至质量的概念也是虚构的。确切而言，质量是物质，而物质却如同塞缪尔所“证明”的像踢一块石头一样真实。对牛顿来说，质量最基本的性质是惯性，其意义已在第一运动定律中表述，即若一个物体处于静止且不受力作用时，它将继续保持静止；若它处于运动状态，则它将作匀速直线运动。为什么是直线而不是曲线呢？伽利略将惯性运动理解为曲线运动。那么，为什么会是匀速运动呢？如果没有力的作用，物体为什么总保持静止或做匀速运动？惯性是一个虚构的概念，并非实验事实，质量不可跟所有的力分开。牛顿运动定律中唯一具有物理真实性的部分是加速度，我们可以观察并度量出物体加速度的大小。
但牛顿终于放弃了物理的解释，他用数学概念及量化了的公式，还有能导致公式的数学推导重铸了整个17 世纪的物理学①。牛顿的光辉业绩呈现给人类一个崭新的世界秩序，和一个用一套普遍的，仅用数学表述的物理原理控制的宇宙。这是一个包括了石头下落、海洋潮汐、行星及其卫星运动、彗星挑战性的大尾巴以及恒星辉煌庄严的运动的宏大的规划。牛顿这个规划使世人折服：自然界是依数学设计的，自然界的真正定律即数学。牛顿的《原理》是物理解释的墓志铭。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。
在18 世纪，数学家们，同时也是伟大的科学家们继承了牛顿的想法，拉格朗日的《分析力学》（1788 年）可视作是牛顿数学方法的典范。在这本书中，力学完全数学化地处理，与物理过程无甚联系。事实上，拉格朗日夸口他不需这些，甚至连几何图形也不需要。牛顿力学和天文学的方法，也被用于处理物理学一些较新的分支，如流体力学、弹性力学和电磁学。① 在《光学》里，牛顿确实给出了物理解释，然而其不足以解释所有的光学现象。定量的、数学化的方法构成了科学的本质，真理大多存在于数学之中。
17 世纪的叛逆者们借助于数学描述进行研究，发现了一个量化了的世界。他们将物理世界的具体事物转换成数学公式，从而留给后人一个数学的、定量的世界，这就是繁荣至今的自然的数学化的开始。而当詹姆斯?琼斯爵士(James Jeans)在《神奇世界》（1930 年）中称：“宇宙的伟大建筑师现在看起来似乎是一个纯粹的数学家”时，他至少已落后于时代两个世纪。
虽然如我们所说，单纯依赖于不被物理解释所支持的数学公式，牛顿也颇感不安，但他不仅竭力提倡他的关于自然哲学（物理学）的数学原理，而且确信其是他所描述的现象的真正解释。他为何有这种信念呢？原因是，正如他那个时代的所有数学家和科学家一样，牛顿相信上帝创造的世界与数学原理相吻合。最具说服力的是牛顿在《光学》（1704 年）中，有关上帝作为宇宙框架构造者而存在的一段经典论述：
自然哲学的主要任务是不作虚构假说而从现象来讨论问题，并从结果中导出其原因，直到我们找到第一个原因为止，而这原因一定不是机械的。......在几乎空无一物的地方有些什么？太阳和行星之间既无稠密物质，它们何以相互吸引？何以自然界不作徒然之事，而我们在宇宙中看到的一切秩序和美丽又从何而来？出现彗星的目的何在，并且何以行星都是一样在同心的轨道上运动，是什么在阻止一颗星下落到另一颗的上面？动物的身体怎么会造得如此巧妙，它们的各个部分各自为了哪些目的而设？没有光学的技巧，是否能造出眼睛，没有声学知识，是否能造出耳朵？身体的运动怎样依从意志的支配，而动物的本能又从何而来？......这些事情都是这样井井有条，所以从现象来看，是否好像有一位没有形体的、活的、最高智慧的、无所不在的上帝，他在无限空间中，像在他的感觉中一样，仿佛亲切地看到形形色色的事物本身，深刻地理解并全面地领会它们，因为事物就直接呈现在他的面前？在他的《原理》第三版中，牛顿回答了他自己的问题：
太阳、行星和彗星这个最美丽的系统只能开始于一个有智慧、有能力的人的圣旨和支配。......这个人统治了天下万物，他不仅是世界的灵魂，而且是一切的主宰。
牛顿也确信，上帝是一个全能的数学家和物理学家。他在一封1692年12 月10 日给理查德?本特利的信中写道：
为了形成（宇宙）系统及其全部运动，就得有这样一个原因，它了解并且比较过太阳、行星和卫星等各天体中的质量以及由此确定的重力，也了解和比较过各个行星与太阳的距离，各个卫星与土星、木星和地球的距离，以及这些行星和卫星围绕这些中心体中所含的质量运转的速度。要在差别如此巨大的天体之间比较和协调所有这一切，可见那个原因决不是盲目的和偶然的，而是非常精通力学和几何学的。
科学将揭开上帝辉煌设计的秘密，牛顿在给本特利的同一信中开头如此表达自己的观点：“在我撰写关于我们系统（译注：指太阳系）的著作（译注：指《原理》）时，我曾着眼于这样一些原理，用这些原理也许能使深思熟虑的人们相信上帝的存在；而当我看到它对这个目的有用时，可以说没有别的什么东西能使我更加高兴的了。”牛顿还有许多类似这样的信件。
牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。他相信基督教的教义就是上帝的启示，上帝是所有自然力和万事万物存在与发生的原因，神的意志、引导、控制无所不在。从他青年时代开始，牛顿就做过严格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半生也全部献给了神学。在他的著作《对丹尼尔的预言和圣约翰的启示录的观察》（1733 年）和《古代王国编年史修订本》残存的数百页手稿中，他试图确定《圣经》事件年表。虽然科学研究本身就是要从神秘和超自然中解放出来，但牛顿认为科学也是崇拜上帝的一种形式。牛顿为自己的工作揭示了无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。他重视加强宗教的基础远胜过重视数学和科学成就，因为后者只不过是展示了上帝对宇宙的设计而已。他经常为自己那艰难有时甚至是枯燥的工作辩护，因为这些工作通过提供上帝安排宇宙秩序的证据支持了宗教，他就像拜读《圣经》一样虔诚地工作。上帝的智慧可以通过展示宇宙的结构而被证明，上帝也是天下万事发生的原因，奇迹只是上帝常规活动之外的即兴创作。上帝偶尔也必须修正一些小纰漏，正如钟表匠修理钟表那样。
上帝设计了宇宙，数学和科学的作用是揭示这些设计，如果这一信念还须加强，那么这一工作已由莱布尼茨(Gottfried Wil-helm Leibniz)来担当。像笛卡尔一样，莱布尼茨主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、科学、历史、逻辑学、法律，外交和神学的贡献都是首屈一指的。同牛顿一样，莱布尼茨视科学为一种宗教使命，科学家们有义务去肩负之。在1699年或1700 年的一封没署名日期的信中他写道：“在我看来，整个人类的首要追求目标应该是理解和发展上帝所创造的奇迹，这也是上帝赐给人类地球这个帝国的原因。”
在《神正论》（1710 年）中，莱布尼茨肯定了到那时为止这样一些类似的想法，即上帝是位伟大的智者，正是她创造了这个精心设计的世界。莱布尼茨对现实世界和数学世界的和谐，以及对数学在现实世界适用性的最终辩护是，上帝与世界是统一的，因为上帝已精心计算在先，所以世界就是如此，数学与自然之间，有一种先天的默契。宇宙是尽善尽美的，是所有可能有的世界中最美好的世界，而且是理性的思维揭示了它的规律。真正的知识在我们头脑中是与生俱来的，尽管不是如柏拉图所说，是先验存在的。感觉永远不能教给我们诸如上帝存在，或所有直角都相等之类最起码的真理。因此，数学的公理是先天存在的真理，正如它是力学和光学等推理科学中的基本原理一样。“为了确定被感知的事物，感觉不可或缺，同样，为了确定事实，实验不可或缺。......但证明的力量在于理性的概念和真理，只有它们能使我们识别什么是必需的。......”
莱布尼茨的数学和科学工作广泛而有价值，我们以后还将详述。但有
点像笛卡尔，他的贡献是技术性的。他在微积分及微分方程创立之初所做
的工作，还有他对某些新出现的概念——如我们今天称之为动能——的重
要性的确认，都是第一流的。但莱布尼茨没有贡献任何新的关于自然的根
本性法则，倒是他的以数学为基础的科学哲学认为，在激励人们寻求真理
时，数学最为重要。18 世纪的人们极大地发展了数学和数学科学，使有知识的人确信，数
学和科学中的数学定律是真理，但他们的工作大部分是前人工作的延伸。贝努利家族，尤其是詹姆斯?贝努利(JamesBernoulli)、其弟约翰?贝努利(John Bernoulli)及约翰之子丹尼尔?贝努利(Daniel Beroulli)，还有欧拉、达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯及其他许多人继续对自然进行数学探索，他们都对微积分的技巧有所发展，并创建了一些全新的数学分支，如常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法、无穷级数及复变函数。这些学科本身不仅被作为真理接受，而且为探索大自然提供了更加强有力的工具。正如欧拉1741 年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。”
数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设计。为了继续牛顿描述和预言天体运动的工作，人们在天文学上所做的努力最多。牛顿的主要理论，即行星的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和一颗行星时才正确，他对此也很清楚。但在牛顿时代和几乎整个18 世纪，人们已得知有6 颗行星，每一颗相互吸引而所有的行星又被太阳吸引。更进一步，一些行星，如地球、木星、土星均有卫星，因此椭圆形轨道会受到干扰。那么，真正的轨道又是什么呢？所有18 世纪的伟大数学家们都在考虑这个问题。
问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够设计某种方法以测定第三个物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物体，并可依此类推下去。然而，即使到了今天，就算是三个物体运动的一般问题也还没有确切的解答，不过，人们已经设计出近似程度越来越好的方法。
即便是采用了近似的方法，18 世纪的成就仍然是令人瞩目的。克莱洛(Alexis-ClaudeClairaut)对哈雷彗星回归的预言证明了数学工作在天文学上的精确性，这是最富有戏剧性的论据之一。有好几个人都曾观测过这颗彗星，哈雷在1682 年曾试图测定出它的轨道，他预言说这颗彗星将于1758 年返回。1758 年11 月14 日，在巴黎科学院的一次会议上，克莱洛宣布哈雷彗星将于1759 年4 月中旬返回到它的近日点，可能的误差是30 天。这颗彗星比预料的早到了一个月，一个月的误差似乎很大，但是人们最多只能在几天中看到，而且这颗彗星77 年才能见到一次。
天文学中另一辉煌的成就应归功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。人们观测到月球和行星的运动不很规则，这些不规则的运动可能意味着行星将越来越远离太阳或是移向太阳。拉格朗日和拉普拉斯证明了，人们所观测到的木星和土星速度的不规则是周期性变化的，因而它们的运动基本上是稳定的。这个世纪的天文学工作都收录在拉普拉斯恢宏的科学巨著《天体力学》中，这本书在1799 到1825 年间共出版了五卷。
拉普拉斯实际上将他的全部生命献给了天文学，他将他所涉猎的每一个数学分支都应用于天文学。众所周知的一个事实是，他在他的著作中经常省略一些困难的数学步骤，并且说：“易知...... ”这说明他实际上对数学细节并无耐心，而只管应用。他对数学的许多基本贡献只是他在自然科学的伟大工作中的副产品，而由别人发展起来的。
同样为人们所津津乐道且富有戏剧性的是海王星的发现。虽然海王星迟至1846 年才发现，但是这一发现都是建立在18 世纪数学工作的基础之上的。 1781 年，赫谢耳(William Herscher)通过一个大功率的新式望远镜发现了天王星，但是天王星的轨迹与人们所预测的并不相符。于是，布瓦德(Alexis Bourard)提出这样一个假想：还有一颗未知的行星在干扰着天王星的运动。人们通过观测和计算这颗未知行星可能的大小和轨迹，以试图确定这颗行星的位置。1845 年，亚当斯(John Couch Adams)，剑桥大学的一个26 岁的学生，对这颗假想的行星的质量、位置及轨道做了详细的估算。当得知这一工作时，格林威治皇家天文台台长，著名的艾利(GeorgeAiry)爵士对之不予理睬。但是另外一位年轻的天文学家、法国的列维利尔(Urhain J.J.Leverrier)也独立地推出了和亚当斯相同的结论，并给德国天文学家加勒(JohannGalle)寄去了一套如何找到这颗行星的位置的说明。加勒于1846 年9 月23 日收到了这份资料并于当天晚上发现了海王星，其方位与列维利尔预测的仅差55 分。在预测能够精确到万分之一的情况下，对于使这种惊人的预测成为可能的天文学理论，谁又会怀疑它的真实性呢？
除了天文学以外，光学这门学科甚至在古希腊时代就已经部分数学化了。17 世纪早期显微镜和望远镜的发明极大地激发了人们研究光学的兴趣，并且像古希腊时代一样，17、18 世纪的每一位数学家都致力于这一领域的研究。在17 世纪史奈尔和笛卡尔就已经发现了托勒密求而无获的光折射定律：光通过突然改变的介质时，如从空气到水，会发生什么现象。罗伊默(OlausRoemer)注意到光速是有限的，而牛顿则发现白光是从红到紫所有颜色的光的混合物。这两个事实极大地激发了人们对光学的兴趣。牛顿在《光学》（1704 年）一书中大力提倡这门学科并将其归功于显微镜与望远镜的改进。在这里，数学仍然是主要的工具，而欧拉关于光学的一部三卷著作则是另外一个里程碑。
但光的物理本质却一点也不清楚。牛顿认为光是一种微粒的运动，惠更斯则认为光是波的运动，虽然并不是通常意义的波。而欧拉却是第一个用数学处理光振动并得出光的运动方程的人。他力主光的波动本质并在这个问题上成为唯一反对牛顿的人。19 世纪早期菲涅尔(Augusfin-JearFresnel)和托马斯?扬(ThomasYoung)的工作都为他的理论作了辩护。但是光的本质即便在那时也没有变得更清楚些，数学定律依然占据主导地位。现在被人们普遍接受的光理论、电磁理论，在那时离诞生还有50 年之遥。
18 世纪时，人们还开辟了一些新的研究领域，并且至少取得了部分成功。第一个就是乐音的数学描述和分析。这一过程颇为冗长，其起源于对一根振动弦，比方说，一根小提琴弦发出的声音的研究，丹尼尔?贝努利、达兰贝尔、欧拉及拉格朗日，对此均做出了贡献。但在对其进行数学分析时，他们之间产生了严重分歧，直到19 世纪初傅立叶的工作问世后，这种分歧才得以消除。尽管如此，在18 世纪，这方面的研究仍然取得了巨大的进展。我们现在知道，每个乐音都是基音和泛音组成，泛音的频率，用音乐术语来讲就是音高，都是基音频率的整数倍，这些已在18 世纪大师们的著作中明确指出，在今天的录音及播放设备，如电话、电唱机、收音机和电视机的设计中都是最基本的知识。
还有一个数学物理的分支至少也是起源于18 世纪，即对流体（气体或液体）及流体中物体运动的研究。牛顿考虑过这样的问题：一个物体欲在流体中以最小的阻力前进，应当取什么样的形状？在丹尼尔?贝努利的奠基性著作《流体动力学》（1738 年）中，他顺便提及，这个理论可用于描述人体动脉和静脉中血液的流动。随后，欧拉的一篇重要文章（1755 年），推导出了可压缩流体的运动方程。他写道：
如果我们仍不能透彻领悟有关流体运动的完整知识，那么归结其原因，并非因为我们对力学或对已知的运动原理认识不足，而是因为（数学）分析本身背弃了我们，因为所有的流体运动理论已经归结于分析公式的求解了。
事实上，流体理论比欧拉想象的要复杂得多，以后的70 年，又增加了许多知识。比方说，欧拉忽视了粘体（水是无粘流体，但油，则有些粘性，因而流得缓慢）。然而，可以说，欧拉创立了可用于船舶和飞机运动的流体力学。
大自然是数学化的，而上帝肯定是世间万事万物的设计者且是最有效的设计者，对这种观点，如果说18 世纪的人还需什么另外的佐证外，他们已在其他的数学发现中找到。海伦证明了（见第一章）光经过一面镜子的反射，从P 点至Q 点遵循最短的路线，因为光在此以匀速运动，所以最短距离即最少时间。
17 世纪的费马 (Pierre de Fermat)作为数学巨擘之一，在相当有限的事实基础上，证明了他的最少时间原理。该原理认为，光在从一点到另一点的过程中，总是选择所需时间最短的路径，显然上帝不仅让光服从数学定律，还让其遵循最短路径。当费马成功地从史奈尔和笛卡尔先前发现的光的折射定律中得到这一原理时，他愈发相信他的原理的正确性了。到18 世纪初，数学家们对自然界总试图将某些重要量取成极大或极小值这一事实有了一些很鲜明的实例。惠更斯起初也反对费马的原理，他认为费马原理不能解释光在连续变化的介质中传播时的现象。但甚至牛顿第一运动定律，即一个运动的，不受任何力干扰的物体，将作直线（最短路线）运动，也是自然界力图节约的范例。
18 世纪的人们确信：因为一个完美的世界不能容忍浪费，所以自然的作用应该是花费最少即能达到目的，于是，一个寻找普遍原理的工作开始了。此种原理的第一个公式由莫帕图伊斯(Pierre-LouisMoreau deMaupertuis)提出。他主要是一个数学家，曾率领一支探险队到拉普兰地区（挪威、瑞典、芬兰和前苏联各国靠近北极的地带）丈量沿着子午线一度的长度。他的测量显示了地球确如牛顿和惠更斯通过理论证明得到的那样， 其两极是扁平的。莫帕图伊斯平息了J ? 卡西尼(Jean-DominiqueCassini)及其子亚金(Jacques)相反的论调。莫帕图伊斯因此得了个绰号叫“弄平地球的人”，或者像伏尔泰所说的，他压平了地球和卡西尼们。1744 年，在进行光的理论的研究时，莫帕图依斯在他题为《迄今为止看起来似乎不相容的自然界不同法则的协调性》的论文中提出其著名的最小作用原理。他从费马的原理出发，但考虑到当时的一些不同见解，如光在水中的速度是否比在空气中大（笛卡尔和牛顿的观点），或者比在空气中小（费马的观点），摒弃了最少时间说法而代之以作用的概念。莫帕图伊斯认为，作用是质量、速度及所经距离乘积的积分（在微积分的意义上），而自然界的任何改变都是要使作用最小。莫帕图伊斯多少有点糊涂，因为他没有规定乘积是在什么时间区间上取的，又因为他在光学和某些力学问题的每个应用中对作用赋以不同的意义。
虽然莫帕图伊斯有一些物理实例来支持他的原理，但他提倡这个原理还是出于宗教理由。物质行为的各种规律应具有上帝创造的完美性，而最小作用原理似乎满足这一准则，因为这个原理显示出自然界是经济的。莫帕图伊斯宣称他的原理是自然界的普遍规律，是上帝存在和她富于智慧的第一个科学明证。
欧拉，是18 世纪最伟大的数学家，在1740 年至1744 年间，他一直就这个话题与莫帕图伊斯通信。他赞同后者的观点，即上帝根据某种基本原理建造了宇宙，这种原理的存在即证明了上帝的能力。他用这样的话来表述他的坚信不疑：“宇宙的结构是最完美的，它是一位最为睿智的创造者的杰作。所以，如果没有某种极大或极小的法则，那就根本不会发生任何事情。”
欧拉的观点比莫帕图伊斯更进了一步。欧拉认为所有自然现象之所以表现如此，是因为它们要使某些函数达到极大或极小，因而，基本的物理原理应包括达到极大或极小的函数。无疑，上帝这位数学家比16、17 世纪人们所称颂的更为英明，欧拉的宗教信仰还使他确信，上帝赋予人类的使命是运用人类自身的才能去理解她的法则，自然之书已经打开展现在我们面前，但它是用我们一时半会不能理解的语言写成的，只有用毅力、热爱、坚忍和钻研才能读懂，这种语言便是数学。因为我们的这个世界是最好的，所以其法则也应是最好的。
最小作用原理是由拉格朗日阐明并推广的。作用成为基本能量，从这个基本原理出发，可以推导出更多的力学问题的解答，这个原理成了变分法（由拉格朗日在欧拉所作初步工作的基础上创立的一个新的数学分支）这门学科的核心。英国的“牛顿第二”，哈密尔顿(William R. Hamilton)对这个原理作了更进一步的推广，今天，其是力学中最富内涵的原理，同时也成为物理学其他分支中类似的原理，称为变分原理的范例。然而我们应知道，到哈密尔顿时代，莫帕图伊斯和欧拉关于上帝设计宇宙融合了最小作用原理的推断已被摒弃，一些征兆表明在解释该原理意义时已发生了某种改变。伏尔泰在《阿卡基亚博士的历史》一书中嘲弄了这种证明上帝存在的论点。然而，18 世纪的人们还是坚信这样一个无所不包的原理只可能意味着世界理所当然地是由上帝设计并与这一原理相吻合的。
数学支配一切，18 世纪最伟大的智者对此深信不疑。著名的数学家丹尼斯?狄德罗(Denis Diderot)，编纂《法国大百科全书》的主要参与者，说“世界的真正体系已被确认，发展和完善了。”显然，自然法则就是数学法则。
拉普拉斯还有一段更著名的论述：
我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果和将来的原因。如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动。对他来说，一切都是显然的，过去与未来都将呈现在他眼前。
威廉?詹姆斯(William James)在《实用主义》一书中描述了这个时期数学家们的态度：
当最初数学的、逻辑的和自然的统一体，最初的定律被发现时，它们的清晰、美妙和简洁深深地吸引了人们，使众人相信似乎他们已真正成功地读出了万能之主的真正思想。上帝的心智发出轰鸣，作为对演绎法的回声，她也陷入对圆锥曲线、平方、方根和比例的沉思，像欧几里得那样进行几何研究。她为行星运动确立了开普勒定律，她使落体的速度与时间成比例地增长。她还创造了正弦定律，使光在折射时遵循。......上帝构想出一切物体的原型，设计出它们的变体，而当我们重新发现了其中任何一个神奇创作时，也就是说我们理解了她的原始本意。
坚信自然是上帝依据数学设计的，甚至在诗中也得到了反映，例如，约瑟福?艾迪生(Joseph Addison)在他的《赞美诗》中写道：
高高苍天，
蓝蓝太空，
星汉灿烂，
正是它们本源使然。
太阳东升西落，日复一日，
把她有力的圣光，
洒向四面八方，
这就是万能的主，功德辉煌。......
所有的行星都恪守规矩，
在它们自己的轨道上旋转，
把真理传到每一寸土地上。
到了18 世纪末，数学已如同一棵根深蒂固的参天大树，扎根于现实之中已有两千年之深，它威风凛凛的枝条覆盖了所有其他知识体系，无疑，这棵大树将永远生存下去。
第四章 第一场灾难：真理的丧失
每个时代都有其神话，并称之为更高的真理。
——无名氏
进入19 世纪，数学界正是一派祥瑞景象：拉格朗日仍然活跃在数学界，拉普拉斯正处在他智力的顶峰时期，傅立叶致力于研究他1807 年的手稿，这篇手稿后来并入了他的经典著作《热论》（1822 年）；高斯(Gauss)刚刚发表了他的《算术研究》（1801 年），这是关于数论的一个里程碑，随后他又做出了许多的贡献，为他赢得了数学王子的雅称；高斯的法国同行柯西(Augustin－Louis Cauchy)在他1814 年的一篇论文中显露出超凡的才能。
通过对这些人的工作的简单介绍，可以看出19 世纪前半叶在发现自然设计的奥秘的过程中取得了巨大进步。尽管高斯在数学上做出了巨大贡献——我们很快将要讨论其中之一——但他把大部分时间投入了物理学研究。事实上他并不是数学教授，在将近50 年的时间里，他一直担任天文学教授和哥廷根天文台台长。天文学占去了他的绝大多数时间和精力，而且他对天文学的兴趣可追溯到他在1795—1798 年在哥廷根求学的时候。1801年他获得了他的第一项令人瞩目的成就， 那年1 月1 日皮亚奇(GiuseppiPiazzi)发现了小行星谷神星。尽管能观察到的时间只有几个星期，当时年仅24 岁的高斯却在观察中运用了新的数学方法，并预言了这颗行星的轨迹。这一年的年底的观察结果与高斯的预言十分接近。1802 年当奥伯斯(Wilhelm Olbers)发现另一颗小行星智神星的时候，高斯又一次成功地算出了它的轨迹。在高斯的主要著作之一《天体运动论》（1809 年）中，对所有这些天文学方面的早期工作作了总结。
后来，应汉诺威公爵之邀，高斯对汉诺威进行了测量，奠定了大地测量学，并由此产生了微分几何的创造性思想。在1830 年到1840 年间对理论和实验磁学中的物理研究也获得了巨大的成功，他创造了测量地球磁场的方法。麦克斯韦(James ClerkMaxwell)，这位电磁场理论的奠基人，在他的《电学和磁学论》中说，高斯的磁学研究重新构造了整个科学：使用的工具，观察的方法及对结果的计算。高斯的地磁学论文是物理研究的典范。为了纪念这项工作，磁场的单位叫做高斯。
尽管高斯和韦伯(Wilhelm Weber)并没有首创电报的思想，（因为在此之前其他人已有许多尝试），1833 年他们却设计了一个实用的装置，能使指针向左或向右偏转，转的方向依赖于导线上电流的方向。这只是高斯的若干发明之一。他还从事光学方面的研究，这是一项自欧拉时代以来就一直被忽略的学科。他在1838—1841 年间所做的研究奠定了处理光学问题一个全新的基础。
19 世纪在数学界能与高斯匹敌的就是柯西了，兴趣广泛的柯西数学论文超过700 篇，数量上仅次于欧拉，按现代的版本算是整整26 卷，涉及数学的所有分支。他是复变函数论（见第七章，第八章）的奠基人。但柯西投入到物理问题中的精力至少与投入到数学中的一样多。1815 年由于一篇关于水波的论文使他获得了法国科学院颁发的一项奖励。在小棒及弹性膜（例如金属薄片）的平衡，弹性介质中的波等方面，他都写出了奠基性的著作。他也是数学物理这一分支的创始人。他从事于由菲涅耳创建的光波理论的研究并把这项理论扩展到光的分解和偏振领域。柯西是一流的数学物理学家。
虽然傅立叶的工作与高斯和柯西并不完全在同一领域，但由于他为数学领域热的传导带来了更为实质性的进展，因此他的工作尤其值得一提。傅立叶把这一学科看作宇宙研究中最重要的一环，因为对地球内部的热传导的研究有可能证明地球是从一种熔化状态冷却凝固而形成的，这样就可以对地球的年龄做一些估计。在这项工作过程中他发展了无穷三角级数——现在称为傅立叶级数——的理论，使得它能用于许多其他的应用数学领域中。对他的工作无论用什么词来赞誉都是不过分的。
高斯、柯西、傅立叶以及其他数百人的成就似乎成了不容反驳的明证：越来越多关于自然界的真理正在被揭示。事实是整个19 世纪中数学巨人们一直在沿着先人铺设的道路前进，创造了更为有力的数学方法并把它成功地应用到对自然界的进一步探索中。他们加速寻求自然界的数学定律，他们似乎被这样一种信念所驱使：他们就是神派来揭示上帝意图的。
假如他们对一些同行的行为稍加注意，那么，也许他们会对即将面临的灾难有所准备。培根早就在他的《新工具》（1620 年）中写道：一个群体的观念是与生俱来的，与群体和种族关系甚密。因而人的感觉有时错误地被当作事物的标准。另一方面，所有感觉上的或是心智上的领悟力，依赖于人而不是宇宙。而人的心智就像不平坦的镜面，把自己的性质转赋给了事物。光线原由事物发出，而镜子使之扭曲变形。
在同一部著作中培根倡议用经验和实验作为所有知识的基础，他写道：
推理建立起来的公理不足以产生新的发现，因为自然界的奥秘远胜过推理的奥秘。是什么导致了上帝在设计宇宙中作用的削弱，即使是最忠实的信徒也会无意地在这个问题上发生分歧。
哥白尼，开普勒都将他们的日心说理论看作是上帝的数学智慧的明证。但它却是与《圣经》中人的重要性相冲突的。伽利略、波义耳(RobertBoyle)、牛顿坚持说他们进行科学研究的目的在于证明上帝的意图和存在，但实际上他们的工作中甚少涉及上帝。事实上伽利略在他的一封信中说道：“对我来说从来没有任何关于《圣经》的直接讨论，以前从来没有哪个天文学家或科学家像我这样干过。”当然，正如我们所看到的那样，伽利略是相信上帝的数学设计的，他之所以这样说只是为了说明在解释自然界的奥秘时，不应该引入其他的神秘的或是超自然的力量。在伽利略的时代，万能的上帝能改变他的设计这一信仰占着统治地位。而笛卡尔，这位虔诚的教徒却宣称自然界的法则是不可改变的。这就无疑地限制了上帝的能力。牛顿也相信宇宙的固有秩序，并且指望上帝依照自己的旨意来维持世界运转。他把这比作钟表匠修理钟表来使之正常工作。牛顿有充分的理由相信上帝的创造：尽管他十分清楚由于一颗行星的轨迹受到其他行星的影响从而不是一个真正的椭圆，他却不能从数学上证明这种偏离是由于其他行星对它的引力产生的，因此他认为，除非是上帝按照自己的计划继续使宇宙运行，否则不可能维持其稳定。
莱布尼茨反对这种看法，在他1715 年11 月给牛顿的拥护者、哲学家克拉克的信中，他这样评价牛顿关于上帝经常需要给宇宙修理和上弦的观点的：“上帝似乎并没有足够的远见维持世界的永远运动。......在我看来，世界上的力和能是恒定的，依据自然法则从物质的一部分转移到另一部分而已。”莱布尼茨指责牛顿否认了上帝的能力。实际上，莱布尼茨还指责牛顿使英国的宗教信仰日趋衰弱。
莱布尼茨的话并没有说错，牛顿的工作无意中使自然科学第一次从神学中分离或者解放出来。我们已经提到过，伽利略坚持说自然科学必须与神学相分离，而牛顿在他的《原理》一书中坚持这一原则，朝着对自然现象给以纯数学的解释迈进了一大步。因此上帝越来越多地被排斥在科学理论的数学描述之外了。实际上，牛顿所没能解释的那些反常现象在后来的研究中得到了根本上的解释。
制约天体和地面物体运动的普适法则逐渐统治了整个知识界，而且预言和观察结果的持续一致说明了这法则的完善。尽管在牛顿之后，仍然有人认为这种完美的设计出自于上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的数学法则则成为了焦点。莱布尼茨注意到在牛顿的《原理》中暗示着：不论有没有上帝，世界依然我行我素，于是攻击这本书为非基督徒的。追求纯粹的数学结果的目的逐渐取代了对上帝的设计的关注。虽然欧拉之后的许多数学家仍然相信上帝的存在，相信上帝对世界的设计，以及数学作为一门科学其主要功能是提供破译这个设计的工具，但是随着数学的进一步发展以及其后的更多的发展，数学研究从神那儿得到的启示越来越少，上帝的存在性也变得模糊起来。
拉格朗日、拉普拉斯虽出身天主教世家，却是无神论者。拉普拉斯完全否认上帝是世界的数学设计者。有个著名的故事说，拉普拉斯把他的《天体力学》呈献给拿破仑时，后者说：“拉普拉斯先生，他们告诉我，你写了这本关于宇宙系统的书，却根本没有提到它的创造者。”据说拉普拉斯是这样回答的：“我不需要这种假说。”自然代替了上帝，正如高斯所说：“你，自然，我的女神，我对你的规律的贡献是有限的。”高斯确信有一个无时不在，无所不知，无所不能的上帝，但却认为上帝与数学及宇宙的数学规律探索没有丝毫联系。
哈密尔顿关于最小作用原理的工作（见第三章）也揭示了知识界观点的转变，在1833 年的一篇文章中，他写道：
虽然最小作用定理已立足于物理学最高级定理之林，然而从宇宙经济的基地上看，当时人们普遍拒绝把它作为宇宙规律的主张。对此，拒绝恰恰在于其他理由，事实上伪装节约的都是常常浪费地消耗着......因此，我们不能认为这个数量的节约是由宇宙的神的思想设计的。不过，某种高度的简洁可以被认为是包含在这一思想中。
回顾一下就可以看出，自然是上帝的数学设计这一信条正在被数学家们的工作所削弱。学者们越来越多地相信，人的推理是最有力的工具和最好的证明，因为它是数学家的成功。如果为了正当的理由要去捍卫它们，为什么不能将推理用于评判流行的宗教与伦理的信条呢？幸或不幸的是将推理运用于宗教信仰的基础损害了许多正统观念的根基。宗教信仰因此而从正统观念分化出许多的旁门左系，诸如唯理论的超自然主义、自然神论、不可知论或是干脆的无神论。这些运动对18 世纪那些学识广博的数学家产生了一定影响。正如狄德罗这位唯理论者，反教权主义时代的知识界领袖所说：“让我相信上帝，必须让我能摸到他。”不是所有19 世纪的数学家都否认上帝的地位。柯西这位虔诚的天主教徒指责人们“毫不犹豫地抛弃与已发现的定理矛盾的一切假说。”然而把上帝看作宇宙的数学设计者这样的信仰还是开始衰退了。
这种信仰的衰退不久就产生了这样一个问题，即为什么自然的数学法则一定是真理呢？最早对真理问题提出质疑的人中有狄德罗。在他《自然的解释》（1753 年）中说，数学家就像赌徒：二者都与自己发明的抽象规则赌博。他们的研究主题只是毫无事实基础的规则。学者冯登利(BernardLeBovierdeFontenelle)在他的《世界的多元性》（1686 年）中对此也同样持批评态度。他对天体运动法则不变性的攻击是这样的：只要玫瑰花还在开放，园丁就永远不会死去。
数学家们愿意相信是他们提供了哲学家思想的源泉，但在18 世纪，哲学家们都是否认物质世界真理的先驱。我们略过霍布斯、洛克(John Locke)和大主教贝克莱的教条，这不是由于它们能被轻易地驳倒而是因为它们不像激进的休谟(David Hume)那样有影响力。实际上休谟不仅赞同贝克莱的观点，甚至走得更远。在他的《人性论》 （1739—1740 年）一书中，休谟强调，我们既不了解精神，也不了解物质，两者都是虚幻的。我们只接受感觉，诸如印象、记忆和思想等简单的概念只是这些感觉的模糊反映，任何复杂概念都是简单概念的集合。精神实际上只是我们的感觉和概念的集中，除了可以通过直接经验所感知的事物，我们不能假定任何其他事物的存在，然而经验只能产生感觉。
休谟对物质持同样的怀疑态度。谁能保证有一个永远存在的实物的世界，所有我们能够知道的只是我们对这样一个世界的感觉。重复地感知一张椅子并不能证明这椅子确实存在，时间和空间只是我们产生概念的方式和顺序，同样的，因果关系只不过是概念在习惯上的一种联系而已。无论是时间还是空间，或是因果关系，都不是客观实在，我们被自己的感知能力所迷惑，因而相信了这样的实在：存在一个有确定属性的外部世界。这实际上只是一种无根据的推论，知觉的产生是不可理解的。我们不知道，它是来自于外部事物、心灵深处还是上帝。
人本身不过是单个的感觉和思想的集大成者，他只能这样存在着。“自我”就是不同的感知力的汇聚。任何试图了解自己的尝试最终只能导向领悟。所有其他的人和假定存在的外部世界只是某一个人的领悟，而且没有什么能保证他们确实存在。于是也就不可能有任何关于一个永恒的客观的物质世界的科学法则。这样的法则仅仅是一种感觉的合适的总结。更进一步说，由于因果概念并不是基于科学的证明而不过是一种来自于经常发生的“事件”的通常的顺序的思维习惯，所以我们无法了解，过去感知到的事件将来还会不会再发生。这样休谟就否认了自然法则的必然性、永恒性以及不可破坏性。
否认了外部世界遵循固定的数学定律这一信条，休谟也就否认了代表实在的逻辑推理结构的价值。但是数学中也包含着关于数字和几何的定理，其毫无疑问是从包含数字和几何的假设真理中推出来的。休谟并不否认公理，但却贬损它们以及由之推导出的结果。公理来自于对假定存在的物理世界的感知，定理的确是公理的必然结果，却无非是公理的精确复述。它们是推论，但只是隐含在公理中的论断的推理。因此公理和定理，都是同义重复，并不是真理。
由是休谟回答了“人怎样获得真理”这一基本问题——他否认真理的存在，人不可能区别真理。休谟的工作不仅贬损了在科学和数学上付出的努力和得到的结果，还对推理本身的价值提出了质疑。对于大多数18 世纪的思想家来说，这样一种对人类最高智慧能力的否认是大逆不道的。数学家、人类推理的其他成就如此辉煌以至于到了“不可一日无此君”的地步。休谟的哲学对于18 世纪绝大多数的学者来说是矛盾和令人嫌恶的，而且与数学和其他科学中的惊人的成就是如此格格不入，因此遭到了驳斥。
历史上最受尊敬的可能也是最深邃的哲学家康德发起了这一挑战。但是对康德殚精竭虑所提出的结论进行仔细推敲后发现其并不比其他人的更令人信服。在他的《未来形而上学导言》（1783 年）一书中，康德看来确是站在科学家和数学家一边：“我们可以确切地说：纯粹的先验的综合知识，纯粹数学和纯粹物理学是真实存在也是先天既定的，二者都包含一些被广泛承认、绝对肯定的命题，......而且是独立于经验的。”在他的《纯粹理性批判》（1781 年）一书中，康德甚至使用更为确信的词语作为开头，他肯定所有的数学公理和定理都是真理，但是为什么？康德自问道。他愿意接受这样的真理吗？显然经验本身并不足以证明它们的有效性。如果你能回答一个更大的问题——数学确实是一门科学吗——你也就能回答这个问题了。康德的回答是：时间和空间的形式依我们的心智所定，所谓时间和空间只是我们感知的一种模式。这种感知——康德称之为直觉——的模式由心智对待经验的方式决定。我们依据这些智力形式去感知，组织和理解经验，经验与之相符犹如面团符合于它的模子。心智将这些方式加到感觉、印象上去使感觉与内在的模式相吻合。既然空间的直觉来源于心智，那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径，三点确定一平面以及欧几里得的平行公理。康德称这些真理为一个先验的假设的真理，它们是我们心智构成的一部分。几何学的科学性恰恰在于其揭示了这些真理的逻辑推断，心智正是通过“空间结构”来对待经验这样一个事实说明经验与基本原理和定理是一致的。我们自认为感知到的外部世界的秩序和理性是由我们的精神和我们的思考方式加诸其上的。
康德既然从人的大脑创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让它是欧氏空间。他不能构想出其他的几何空间。这促使他相信，不存在别的空间，由此欧氏几何定理既不是宇宙中固有的，也不是由上帝设计出来的，它是使人的感性认识条理化、理性化的作用结果。至于上帝，康德说上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他的家40 英里以外的地方，然而他却假定他能决定世界的几何形状。科学的数学法则又是如何呢？由于所有的经验都是时间和空间的精神框架所构成的，数学一定吻合于所有的经验。
在他的《自然科学的形而上学基础》（1786 年）中康德承认牛顿定律及其推论是不证自明的。他宣称已知证明了的牛顿运动定律可由纯粹推理导出，而且这些定律也是唯一能使自然界被理解的假设。他说，牛顿所给予我们的，对宇宙如此清晰的领悟，永远也不会改变。更一般地，康德认为科学的世界是一个由精神所组织和控制的，与内在的范畴，诸如空间、时间、因果以及物质等相一致的感官印象的世界。精神包含客体必定符合的结构。感官印象确乎来自于真实的世界，然而不幸的是，这个世界是不可知的，所谓实在只是借助于感知，通过主观分类所了解的。因此除了欧氏几何和牛顿力学，没有别的办法来使经验条理化。随着经验的增加，新的科学的形成，心智并不会从这些新的经验中提取并形成新的原理。而是将沉睡的心智部分唤醒来解释这些新的经验。心智的观察力是靠经验来启发的，这就解释了为什么有些真理譬如说力学定律发现得相当晚，而有些则在几个世纪前就为人们所知了。康德的哲学几乎是毫不掩饰地推崇理性，然而他认为理性的作用不在于对自然界的探索，而在于开发人类心智荒芜之处。由于来自于外部世界的感知提供了精神组织的原始材料，因此经验就作为知识的必然因素而被认可，而数学就是精神的必然法则的揭示者。
数学家们是习惯于“数学是一个先验真理的体系”这一论断的，但大多数人并没有对康德是如何得出这个结论给以足够的注意。否则他的学说——数学家所证明的并非是物质世界固有的，而是来自于人类的精神——会使所有的数学家停止工作。我们实际中所固有的与所感觉的是同一结构吗？这种空间的感知结构一定是欧氏的吗？我们如何知道这一点呢？与康德不同的是，数学家和物理学家仍然相信存在一个受独立于人的精神的法则支配的外部世界。人只是揭示其设计规律并用来预测在这个外部世界中将要发生的事情。
康德的学说既有解放思想的一面，也有束缚思想的一面，由于强调了精神能够组织，我们并不真正了解的世界中的经验，他为创建与当时人们坚信的概念相反的概念打下了基础，但由于他坚持依照欧氏几何法则来组织空间感知，他阻碍了其他观点的接受。如果康德对同时代的数学家的工作多加关注，也许他对这一观点不会那样固执己见了。
对于“上帝是宇宙原则的制定者”这一信仰的漠视甚至否认以及康德的“法则存在于人的精神的结构中”的观点，引起了“神圣的设计者”的报复，上帝决定要惩罚这些康德主义者，尤其是那些自以为是、盲目自信的数学家们。因而他转而鼓励非欧几何，这项发明摧毁了人类自以为推理是自给自足、无所不能的信条。
尽管到1800 年时上帝的存在越来越不被感觉到，而且一些像休谟那样偏激的哲学家否认所有真理，然而当时的数学家们还是相信严格的数学真理和自然界的数学法则。在所有的数学分支中，欧氏几何最受推崇。这不仅由于它是第一个用演绎方法建立起来的，而且在两千多年的时间里，它的定理一直完美地与客观事实一致。“上帝”所攻击的正是欧氏几何。
欧氏几何中有一条公理一直在困惑着数学家们，不是由于他们对其正确性有任何怀疑之处，而是由于它的表达方式。这就是平行公理，或者通常称为欧几里得的第五假设，欧几里得的表述是这样的：
如果一条直线（图4.1）与两条直线相交，使得一侧的内角不都是直角，则如果将这两条直线延长，它们在内角不都是直角的直线一侧相交。
即若＜1＋＜2＜180°，将a、b 充分延长，则它们必定相交。
欧几里得有很好的理由以这种方式表述他的公理。他本可以用另一种方式来叙述：若＜1+＜2＝180°则直线a 与直线b 永不相交，即直线a 平行于直线b，但欧几里得显然是害怕假设有永不相交的无限直线。当然经验并没有提供无限直线的性质，而公理是被认为是关于物理世界的自明的真理。然而他确实以他的平行公理和其他公理证明了平行直线的存在。欧几里得对平行公理的叙述被认为有点过于复杂了，它缺少其他公理的简洁性，显然连欧几里得本人也不喜欢他对平行公理的叙述，因为直到所有可以不用它的定理都被证明出来以后，他才提到它。
一个并没有使许多人不安然而最终却至关重要的问题是能否肯定在客观世界中存在无限直线。欧几里得的措词颇为谨慎，你可以按需要任意延长一条（有限）直线，且延长后的直线仍然是有限的。欧几里得确实暗示了无限直线是存在的：否则在任何情况下也不能按需要任意延长。
早在希腊时代，数学家们就开始致力于解决欧几里得的平行公理所带来的问题了。他们做了两种不同类型的尝试，一种是用看来更加自明的命题来代替平行公理。另一种是试图从欧几里得的其他九条公理中推导出平行公理。如果这一办法可行则平行公理就成为定理，也就无可怀疑的了。在两千多年的时间里，许多著名的数学家曾从事于这两方面的研究。至于那些无名之辈，我们就不去多说了。这段历史相当长而过于专业化，它们中的大部分不在这里重述，因为它们很容易查到而且并不大切题①。在众多的替代公理中有一条是我们今天通常在中学里学习的，因而值得一提：这是普莱费尔(John Playfair) 1795 年提出的平行公理的另一种说法：过不在直线l 上一给定点P（图4.2），有且仅有一条由l 和P 确定的平面上的直线，不与l 相交。
所有的替代公理似乎都比欧几里得的要简单，但进一步考察就会发现，它们并不比欧几里得的叙述更令人满意。其中许多，包括普莱费尔的叙述涉及到空间的无穷远处。另一方面，那些不直接提及“无限”的替代公理，例如，“存在两个相似但不全等的三角形”，看起来比欧几里得本人的平行公理更为复杂，更不可取。
在试图用第二种方法，即从其他九条公理中推出平行公理以解决平行公理问题的努力中，最有意义的是萨谢利(GerolamoSaccheri)的工作。他是一个耶稣会教士，帕维尔大学的教授。他的思想是，如果你使用了一个本质上不同于欧几里得平行公理的公理的话，你将得出与他的其他公理矛盾的定理。这种矛盾意味着否认平行公理——它是唯一存在疑问的公理——是错误的。因此欧几里得的平行公理一定是正确的，即它是其余九条公理的推断。
考虑普莱费尔的公理，它与欧几里得的公理是等价的，萨谢利首先假定①过P 点（图4.3）没有与l 平行的直线，则由这一公理和欧几里得采用的其他九条公理，萨谢利确实推出了矛盾。萨谢利接着又试了其他可能的假设。即过P 点至少有2 条直线p 和q，不管如何延伸总不与l 相交。萨谢利进一步证明了许多有趣的定理，直到他推出一个奇怪而且令人讨厌的结论，他认为它与前面得出的结论是矛盾的。由是萨谢利认为有理由推出结论：欧几里得的平行公理是其他公理的推论，因此将他的书命名为《欧几里得无懈可击》（1733 年）。然而后来的数学家发现萨谢利并未真正推出矛盾，因此平行公理的问题依然存在。花在寻找一个可接受的欧几里得平行公理的替代公理或证明它是其他九条公理的推论上的精力如此巨大而且徒劳无功，以致于达兰贝尔在1759 年称平行公理问题是“几何原理中的家丑”。
① 这段历史可以在波诺那（Roberto Bonola）的《非欧几何》中找到，此书于1906 年用意大利语首次出版，
1955 年，由多佛出版社重印了英译本。——原注
① 以下的描述对萨谢利的原步骤已略加修改。——原注
渐渐地数学家们开始正确地理解欧几里得的平行公理的重要性。1763年克吕格尔(GeorgS．Klugel)在他的博士论文中提出了引人注意的论点：即人们确信欧几里得平行公理为真理是基于经验的，他熟知萨谢利的书和许多试图证明平行公理的方法，后来他成为海姆斯塔特大学的教授。这一论点首次引进的思想是：公理的实质在于符合经验而并非其不证自明①。克吕格尔对欧几里得平行公理能够证明表示怀疑，而且他认识到萨谢利并未得出矛盾，仅仅得到一些奇怪的结果。
克吕格尔的论文启发了兰伯特(Johann Heinrich Lambert)在平行公理上所做的工作，在他的《平行线理论》（写于1766 年，1786 年出版）中，兰伯特类似于萨谢利，考虑了两种不同的情况。他也发现假设过P 没有平行于l 的直线（见图4,3）会导出矛盾，但他与萨谢利不同的是他没有得出假定过P 至少有两条平行线则得到矛盾的结论。而且，他意识到不推出矛盾的任何一组假设都能产生一种可能的几何。尽管这种几何可能与实际图形没有什么关系，但却是一种有效的逻辑结构。
兰伯特和其他人（例如克斯特纳（Abraham G．K?stner），哥廷根大学的教授，也是高斯的老师）的工作都强调一个基本点，就是欧几里得的平行公理不能由其他九条欧几里得的公理证明，那也就是说，它是独立于其他公理的。进一步，兰伯特认为有可能通过引入一条异于欧几里得平行公理的公理来建立一个逻辑上一致的几何，尽管他没有作出这种几何应用的可能性的判断。这样，他们三人都认识到了非欧几何的存在。
从事欧几里得平行公理工作最著名的数学家当属高斯。高斯十分清楚试图证明欧几里得平行公理是徒劳的，在哥廷根这已是常识。事实上，高斯的老师克斯特纳完全了解这些工作及全部历史。数年以后的1831 年，高斯告诉他的一个朋友，早在1792 年（当时高斯只有15 岁），他就已经掌握能够存在一种逻辑几何的思想，欧几里得平行公理在其中不成立。但是直到1799 年，高斯仍然试图从其他更可信的假设之中推导欧几里得平行公理，而且尽管他能够构想出逻辑的非欧几何，他还是相信欧氏几何是物理空间的几何。然而，1799 年12 月17 日，高斯写信给他的同行和朋友，数学家鲍耶(Wolfgang Bolyai)：
至于说到我，我在我的工作中已经取得一些进展，然而，我选择的道路决不能导致我们寻求的目标（平行公理的推导），而你让我确信你已达到。这似乎反而迫使我怀疑几何本身的真理性。诚然，我所得到的许多东西，在大多数人看来都可以认为是一种证明，而在我眼中却什么也没有证明。例如，如果我们能够证明可以存在一个直线三角形，它的面积大于任何给定面积的话，那么我就立即能绝对严密地证明全部（欧几里得）几何。大多数人肯定会把这个当作真理；但是我，不！实际上，三角形的三个顶点无论取多么远，它的面积可能永远小于一定的极限。
① 牛顿也曾有过如此断言，但未着重强调之，因而被忽略了。——原注
大约从1813 年起，高斯开始发展他的非欧几何，最初称之为反欧几何，后称星空几何，最后称为非欧几何。他相信它在逻辑上是相容的，并且确信它一定也是能够应用的。高斯在1824 年11 月8 日写给他的朋友托里努斯(FranzAdolf Taurinus)的信中说：
假定（三角形）内角之和小于180°将导出一种奇怪的几何，它与我们的（欧氏）几何迥然不同，然而却是完全相容的，我已经将它发展得令自己完全满意了。它的定理看起来是矛盾的，但是，如果你从最开始的不习惯开始对它进行平心静气的深入细致的思考，就会发现这里并没有包括什么不可能的东西。在1829 年1 月27 日写给数学家、天文学家贝塞尔的信中，高斯再一次肯定了平行公理不能由欧几里得的其他公理证明出来。
我们在此不讨论高斯创建的非欧几何的细节，他没有写出过完整的推导， 而他所证明的那些定理与我们很快将要讨论的罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)及J?鲍耶的工作多有相似之处。在给贝塞尔的信中他说他也许永远不会发表他在这方面的发现，因为他害怕遭人讥笑，或者如他所说，他害怕波尔第人的嚷嚷（波尔第人是众所周知的一个心智鲁钝的希腊部族）。但人们应记得，虽然一些数学家逐渐达到非欧几何研究的顶峰，然而在整个学术界占统治地位的信念仍然是，欧氏几何是唯一可接受的几何。我们所知道的高斯在非欧几何上的工作，是从他给朋友们的信中透露出来的。1816 年与1822 年《哥廷根学报》上的两篇短评和1831 年的一些注记都是他去世后在遗物中发现的。
两个由于创建非欧几何而获得的荣誉多于高斯的人是罗巴切夫斯基和J?鲍耶。事实上，他们的工作是前人的创造性思想的压轴戏，但是由于他们发表了系统的推导文章，他们通常被称为非欧几何的创立者。罗巴切夫斯基是俄国人，他曾就读于喀山大学，并在1821 年到1846 年间在那里任教授和校长。从1825 年起，他开始在多篇论文和两本书中就几何基础的问题提出自己的观点。J?鲍耶是W?鲍耶之子，系匈牙利军官，他发表了一篇关于非欧几何——他称之为绝对几何——的26 页的论文《绝对空间的科学》，作为他父亲的两卷著作《为好学青年的数学原理论著》的第一卷的附录，尽管这本书是1832—1833 年出版的，但是在罗巴切夫斯基的著作出版之后，J?鲍耶似乎是在1825 年就已经形成了有关非欧几何的思想，并且在那时就已确信新几何不是自相矛盾的。在1823 年11 月23 日写给他父亲的一封信中，J?鲍耶写道：“我已得到如此奇异的发现，使我自己也为之惊讶不已。”
高斯，罗巴切夫斯基和J?鲍耶都认识到欧几里得的平行公理不能在其他九条公理基础上证明，也认识到附加平行公理是建立欧几里得几何所必需的。既然平行公理是独立的，于是至少从逻辑上讲有可能采取一个与此相矛盾的命题，并从新的一组公理来推导出结论。
这几个人所创建的技术内容相当简单，由于他们三人做的工作是同样的，这里我们只叙述罗巴切夫斯基的工作。罗巴切夫斯基果敢地放弃了欧几里得的平行公理并提出自己的假设（与萨谢利的假设一样）。给定一条直线AB 和点P（图4.4），则所有过P 的直线可按与AB 的关系分为两类，即与AB 相交的和不与AB 相交的。第二类中的两条直线p、q 是两类直线的边界。更准确地说，若P 是到AB 垂直距离为a 的一点，则存在锐角A，使得所有与直线PD 夹角小于A 的直线都与AB 相交，与PD 夹角大于等于A的直线不与AB 相交，与PD 夹角为A 的直线p、q 称为平行线，A 叫做平行角。过P 点且不与AB 相交（不包括平行线）的直线称为不相交直线，尽管在欧几里得的意义上它们是平行的。从这个角度来说，罗巴切夫斯基几何允许过P 点有无限多条平行线。
图4.4
他接着证明了几个主要定理。若角等于则得到欧几里得的平行公理。若为锐角，则随着距离趋近于，角增大趋近于；当趋于无穷大，A 减小且趋于0。三角形的内角和总是小于180°，且随着三角形面积的减小而趋近于180°。而且，两个相似三角形必定全等。任何较大的数学分支甚或较大的特殊成果，都不会只是个人的工作。充其量，某些决定性步骤或证明可以归功于个人。这种数学积累发展特别适用于非欧几何。如果非欧几何意味着一系列包括异于欧几里得平行公理的公理系统的发展，那么最大的功绩必须归于萨谢利。即便是他也利用了很多人寻求更易于接受的替换欧几里得公理的工作。如果说非欧几何的创立意味着人们认识到了除了欧氏几何之外还可以有它种几何的话，那么它的创立应该归功于克吕格尔和兰伯特。然而关于非欧几何最大的事实是它同样可以像欧氏几何一样，准确地描述物理空间的性质。欧氏空间不是物理空间所必然有的几何。它的物理真实性不能由任何先验基础得证。这种认识，不需要任何技术性的数学推导（因已有人做过），最早是由高斯得到的。
根据他的一篇传记可知，高斯曾经试图检验这一观点。他注意到在欧氏几何中三角形内角和为180°，而在非欧几何中小于180°，他曾花了几年时间对汉诺威王国进行测量，并记录了数据。因此有可能他用这些数据来测量三角形的内角和。在1827 年写的一篇著名的论文中，高斯注意到由布诺肯山(Brocken)、霍赫海根山(Hohehagen)和英色伯格山(Inselberg)三座山峰构成的三角形内角和为180°15″。这什么也证明不了，因为测量误差远大于15″，也许正确的和不会超过180°，高斯一定意识到这个三角形太小了。因为在他的非欧几何中，三角形内角和与180°的偏离程度正比于它的面积。只有非常巨大的三角形，比如在天文学研究中的三角形，才能显示出明显的偏离。然而高斯还是相信这门新的几何和欧氏几何一样有实用性。
罗巴切夫斯基也考虑了他的几何在物理空间中的应用，而且确实给出了证据，说明它可用于非常大的几何图形。因此，到了19 世纪30 年代，非欧几何已不仅仅是被少数几个人接受了，而且它在物理空间的适用性被认为至少是可能的。最初由高斯的工作提出的问题——哪种几何适合于物理空间——促使了一门新的几何学的产生，它使数学界更加相信，物理空间的几何可以是非欧几里得的。它的创建者是黎曼(GeorgBernhardRiemann)，他是高斯的学生，后来成为哥廷根的数学教授。尽管他并不知道罗巴切夫斯基和J?鲍耶的工作的详细内容，但高斯是知道的，而且黎曼一定知道高斯对欧氏几何的必然适用性持怀疑态度。
高斯指定黎曼把几何基础作为他应该发表的就职演说的题目，这是黎曼为申请获得无薪大学教师（其报酬直接来自学生的学费）资格所应做的演说。黎曼于1854 年给哥廷根的教授集团做了这一演讲（1868 年它以《关于几何学基础的假设》为题发表），高斯也在场。在这篇论文中，黎曼重新考虑了空间结构的全部问题，他首先考虑的问题是，关于物理空间，我们究竟可以确信什么？在我们凭经验确定物理空间可能具有的性质前，什么条件或事实必须预先假定呢？从这些被当作公理的条件和事实出发，他打算推导出更多的性质。这些公理和它们的逻辑结果应该是先验的，绝对正确的。空间的任何其他性质都必须是由经验得到的。黎曼的目的之一是为了证明欧几里得的公理，与其说是自明的，还不如说是经验的。他采用了分析（微积分及其扩展）的方法，因为在几何证明中我们可能会被感觉误导，去假定一些不是显然可以承认的事实。
黎曼处理空间结构的方法极富普遍性，在此我们没有必要对它做详细的讨论。在研究什么可以作为先验知识的过程中，他区别了空间的无界和无限（这样球的表面是无界但不是无限的），这一区别后来变得更为重要。他指出无界比无限具有更大的经验可信度。
黎曼关于空间可以是无界的而不是无限的这一观点启发了另一门重要的非欧几何，现在称为双椭圆几何。最初黎曼自己和贝尔特拉米(EugenioBeltrami)认为这门新的几何只适用于某些特定的曲面（例如球的表面，这里大圆看成是“直线”）。但是后来凯莱(Arthur Cayley)和其他受此思想启发的数学家们认为双椭圆几何与高斯、罗巴切夫斯基和J?鲍耶的几何一样，可以描述我们的三维物理空间，直线的定义是它们的根本区别。在双椭圆几何中直线是无界的但不是无限长的，而且，没有平行直线的概念。由于这门新几何中保留了一些欧氏几何的公理，所以有些定理的叙述是相同的。例如定理“三角形两边及一内角对应相等的两个三角形全等”是新的几何中的一条定理。其他我们熟悉的全等定理也同样成立。然而这门几何中的主要定理异于欧氏几何中的相应定理，也异于高斯，罗巴切夫斯基和J?鲍耶的几何定理。一条是说，所有具有相同的有限长度的直线交于两点。另一条则是，一条直线上的所有垂线交于一点，三角形的内角和永远大于180°，不过当三角形的面积趋于0 时，内角和趋于180°，相似三角形必全等。至于双椭圆几何的适用性，关于先前创立的非欧几何——现在称为双曲几何——的适用性所做的所有讨论，也具有同样的效力①。所有这些奇怪的几何都可与欧氏几何匹敌，甚至有可能取而代之。这种想法乍听起来很是荒谬，但是高斯接受了这一可能性。无论他是否确实使用了他在1827 年的论文中记录的测量方法来检验非欧几何的适用性，他是第一个不仅肯定非欧几何的适用性而且是认识到我们不能确信欧氏几何的真理性的人。他是否受到休谟著作的影响不得而知，而且，他鄙薄康德对休谟的反驳，然而他生活在一个数学法则正在受到挑战的时代，他一定在潜移默化中感受到了这种学术气氛。一种新的学术氛围总是在不知不觉中形成的，要是萨谢利早生100 年，也许他也能得出高斯的结论。
① 后来，F?克莱因指出还有一种基本的非欧几何，其中任意两线交于一点，他将其称为单椭圆几何。——原注
最初高斯似乎得出数学中没有真理的结论，在1811 年11 月21 日写给贝塞尔的一封信中他说：“我们不该忘记，（复变）函数与其他所有的数学构造一样，只是我们自己的创造物，因此当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应该问，如何做出合适的假设，使它继续有意义”。但没有人乐意放弃囊中宝物，高斯显然是重新考虑了数学的真理问题并找到了立足的根据。在1817 年写给奥伯斯(Heinrich W. M.Ol-bers)的一封信中，他说：“我越来越相信，我们的（欧几里得）几何的（物理）必然性是不可证明的，至少不能靠人的推理能力来证明，人的理性也不需要去证明它。也许来世我们将能获得现在所不具备的对空间本质的一种洞察力。而到那时我们已无需将几何与算术置于同一地位，后者是一种纯粹的先验知识，现在我们只能将几何与力学相提并论。”高斯与康德不同，他没有把力学定律视为真理。其实他和大多数人都接受了伽利略的观点，即这些定律是基于经验的。 1830 年4 月 9 日，高斯写信给贝塞尔说：
按照我最深的信念，在我们先验的知识中间，空间理论与纯粹算术占有完全不同的地位，在我们关于空间理论的全部知识中，对作为纯粹算术的特征的必然性（即绝对真理）缺少完全的信念，我们还必须谦卑地说，如果数仅仅是我们思维的产物，那么空间在我们的思维之外有其实在性，它的法则我们不能完全先验地规定。
高斯是在说明，真理存在于算术中，因此也存在于建筑在算术之上的代数和分析（微积分及其扩展）中，因为算术的真实性对我们的心智来说是明显的。
欧氏几何是物理空间的几何，是关于空间的真理，这一观念在人们心中如此根深蒂固，以至于在许多年中，与之相悖的任何思想，包括高斯的，都被拒之门外。数学家康托尔（GeorgCantor）曾这样评述这种无知的保守：一旦错误的结论被广泛接受，那么它将不会轻易地被放弃，而且对它懂得越少，则它的地位越牢固。罗巴切夫斯基和J?鲍耶的著作发表后三十年左右的时间中，除了少数几个数学家外，几乎所有数学家都对其置之不理，它们被视为异端邪说。有些数学家并不否认它们的逻辑上的一致性，另一些则相信它们必定包含着矛盾因而毫无价值。几乎所有的数学家都坚持相信物理空间的几何，必须是欧氏几何。
不幸的是，数学家们已经抛弃了上帝，因此这位“神圣的几何学家”拒绝吐露他是用这些彼此抗衡的几何中的哪一个来设计宇宙的，数学家们只好殚精竭虑以寻求答案。1855 年高斯死后（此时他的声望已无人可比），他的笔记中的材料被公之于众。1868 年黎曼于1854 年写就的论文的发表使得许多数学家相信，非欧几何也可以是物理空间的几何，我们不能再肯定哪门几何一定是正确的。单是还有别的几何存在就已是一个令人震惊的事实了，然而更令人震惊的是你不再知道哪个是正确的，或者究竟有没有正确的。显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误地相信了它们是自明的。数学家们陷入了马克?吐温描述的窘境：“人是宗教动物，他是唯一具有真正宗教的——他们中的少数人。”
非欧几何及其隐含的关于几何真理性的内容逐渐被数学家们所接受。
但并不是由于它的适用性的任何论据被加强了，而是正如普朗克（MaxPlanck），这位量子力学的奠基人在本世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。”
至于说到整个数学的真理，有些数学家赞同高斯的观点，真理存在于数中，它是算术、代数、微积分以及后续学科的基础。当雅可比（Karl GustavJacob Jacobi）说：“上帝一直在进行算术化”的时候，他并没有像柏拉图那样坚持说上帝永远在进行几何化。看起来数学家总算设法拯救并且保住了建筑在算术基础之上那一部分数学的真理性，这一部分到1850 年时在科学上远比那几门几何使用得更为广泛也更为活跃。不幸的是毁灭性的事情接踵而来，为了理解这些我们必须往回走一点点。
从16 世纪开始，数学家们就在使用向量的概念了。一个向量，通常画为一条有向线段，既有方向也有大小（图4.5）。它用来代表力，速度或其他方向和大小都有意义的量。同一平面内的向量可在几何上通过加、减、乘、除的运算而得到一个新的向量。16 世纪还引入了形如a＋bi 的复数，其中i = -1，而a和b是实数。即使对数学家来说，这些数也是深奥莫测。因此当1800 年左右，韦塞尔（Caspar Wessel），阿尔岗（ Jean-RobertAr-gand）和高斯等几个数学家意识到可用平面上的有向线段来表示复数（见图4.6）时，它的表示才变得方便起来。这些人马上看出复数不仅可以用来表示平面上的向量，还可以用来表示向量的加、减、乘、除等运算。即，复数被用作为向量的代数，正如整数和小数用来表示商业事务。因此，不需要用几何进行向量运算而只要代数运算就可以了。这样求两个向量OA 和OB（图4.7）的和，根据平行四边形法则作代数运算可得出向量OC，用复数3＋2i 表示OA，而用复数2＋4i 表示OB，其和5＋6i 就表示向量OC。
图4.5
图4.6
图4.7
这种用复数来表示平面上的向量及其运算的方法到1830 年时已经差不多是众所周知的了。然而，如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。
有许多数学家从事了这一问题的研究。1843 年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15 年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫作出两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。
复数形为a＋bi，其中i = -1，而四元数则形为a+bi+cj+dk
其中i，j，k都与-1有相同特性。即i2=j2=k2=－1
两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d 都对应相等。两个四元数相加只要将对应系数分别相加形成新的系数，这样和本身也是一个四元数。为了定义乘法，哈密尔顿不得不规定i 与j，i 与k 及j与k 的乘积。为了保证乘积是一四元数，并且尽可能多地保留实数和复数的特点，他约定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，这些约定意味着乘法是不可能交换的。这样若p 和q 为四元数，则pq 不等于qp。一个四元数被另一个四元数除也是可以做的，然而，乘法的不可交换性蕴含了用四元数q 去除四元数p 时，可以意味着找到r，使得p=qr 或p=rq，商r 在两种情形下可能不等。尽管四元数并没有像哈密尔顿希望的那样有广泛的使用价值，他还是能用它们来解决大量的物理和几何问题。
四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即 ab=ba。哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼（Hermann GuntherGrassmann）发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。不幸，格拉斯曼只是个中学教师，因此过了许多年他的工作才获得了应有的注意。无论怎样，格拉斯曼工作增添了现在称为超复数的新代数中的多样性。
为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可质疑的。然而，新代数的出现使人们对熟悉的算术和代数中的真理提出了质疑，正如接受了新的文明的习俗的人开始反省他们自己。
对算术真理的最严重的打击来自于亥姆霍兹（ HermannvonHelmholtz），他是个卓越的物理学家、数学家和医生。在他的《算与量》（1887 年）一书中，他认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明，他的结论是只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。
亥姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自于经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数和无理数及其性质。对于这些经验，熟悉的数是适用的。我们认识到存在确实相等的物体，因此我们可以说，例如，两头牛。然而，这些物体必须不能消失、混合或分割。一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴。甚至是相等的概念也不能自动地用于经验。看起来如果物体a=c 而b=c 则一定有a=b。但是有可能两个音听起来都与第三个音相同，而耳朵却可以区别出前两个音。这里与同一事物相同的事物并不相同，同样地，颜色a 和c 看起来都和b 相同，而a 和c却是有区别的。
还可举出许多例子来说明简单地应用算术可能会导出荒谬的结果。如果你将等体积的两份水混合。一份温度为40°F，另一份为50°F，你并不能得到温度为90°F 的两份体积的水。一个频率为100 赫兹和另一个200赫兹的单音叠加，得到的并不是频率300 赫兹的单音，事实上合成音的频率还是100 赫兹。电路中两个大小分别为R1 和R2 的电阻并联，它们的等效电阻是R1R2/（R1+R2）。正如勒贝格（Henri Lebesgue）所调侃的，你把一头狮子和一只兔子关在同一个笼子里，最后笼子里绝不会还有两只动物。
我们在化学中知道，将氢和氧混合就得到水。但是如果将两体积的氢和一体积的氧混合得到的不是三体积而是两体积的水蒸气。同样，一体积氮气和三体积氢气作用生成两体积氨气。我们碰巧知道这些令人惊讶的算术事实的物理解释。根据阿伏伽德罗假设，同一温度、同一压强下，体积相同的任何气体所含分子数相同。这样，如果给定体积的氢气含有10 个分子，则两倍这一体积的氢气含有20 个分子。碰巧氧气和氢气都是双原子分子，即每个分子由两个原子组成。这20 个双原子氢分子中的每个都与10个氧分子中的一个原子结合从而得到20 个水分子，即两体积的水蒸气而不是三体积。由此可以看出算术不能正确描述按体积混合气体的结果。
一般来说，算术也不能正确反映按体积混合液体的结果。一夸脱的杜松子酒与一夸脱苦艾酒混合，得到的不是两夸脱混合物而是稍微少一些。一夸脱酒精与一夸脱水混合得到大约1．8 夸脱的伏特加。对于大多数酒类这一点都是正确的。三茶匙水加上一茶匙盐不会是四茶匙。有些化学混合物不仅不按体积增加，还会爆炸。
不仅是整数的性质在许多物理情况下不成立，许多实际情况中还要用到不同的分数计算。让我们以棒球为例来考虑（这当然是上百万美国人所感兴趣的问题）。假设一个运动员在一场比赛中击球3 次，在另一场比赛中击球4 次，那么他总共击了几次球？这没有什么困难，他一共击球7 次。假设他在第一场比赛中有2 次击球成功，即到达第一垒或更远，在第二场中成功3 次，两场比赛中他一共成功几次呢？这也没有什么困难，一共是5 次。然而，观众和对手本人通常最感兴趣的是平均击中率，也就是击中次数与击球次数的比例。在第一场中比例是2/3，第二场中是3/4。假设该球手或者一个棒球迷想用这两个比例来计算两次比赛的平均击中率，可能有人会以为用通常分数相加的办法就可以了，即
2
3
3
4
17
12
+ + ．
这个结果当然是很荒谬的，他不可能在12 次机会中击中17 次。显然，通常将两次比赛的平均击中率相加来得到两次比赛的平均击中率的办法是行不通的。
我们怎样才能由两次比赛各自的平均击中率求得这两次比赛的平均击中率呢？答案是用一种新的分数加法。我们知道联合的平均击中率是5/7，而单场比赛的击中率分别是2/3 和3/4，我们看到如果把分子和分母对应相加得到新的分数，这就是正确答案，即2
3
3
4
5
7
+ = ，
假设这个加号意味着分子相加和分母相加。
