这种分数加法在其他情况下也是有用的。一个借助电话搞推销的商人在第一天的五个推销电话中成功了三次，第二天七次成功了四次，他把这些记录下来。为了得到正确的成功率，他必须把3/5 和4/7 按平均击中率的那种方法计算，这两天中他的记录是在总共12 个电话中成功了7 次，这样7/12 就是3/5＋4/7，假设加号意味着分子相加和分母相加。
再举一个更为一般的例子。假设一辆汽车用2 小时走了50 英里，用3小时走了100 英里，那么两次旅行的平均速度是多少呢？你可以说这辆车用5 个小时走了150 英里。因此它的平均速度是每小时30 英里。然而，分别计算每次的平均速度通常总是有用的。第一次旅行的平均速度是50/2，第二次是100/3，如果将这两个分数的分子相加、分母相加，则也得到正确答案。
一般来说4/6=2/3，然而在上面讨论的分数相加中，例如2/3＋3/5，就不能用4/6 代换2/3。因为前者结果为7/11，后者则为5/8，而这两个答案并不相等。更进一步，在通常的算术中，5/1 和7/1 就像整数5 和7一样，在我们的新算术中，将5/1 和7/1 作为分数求和，我们得到的是12/2，而不是12/1。
这些可以称之为棒球算术的例子确实说明可以引进与以前我们熟悉的运算不同的运算，这样就创造了一个实用的算术。事实上也确实存在许多其他的算术，然而，一个真正的数学家绝不会凭一时的兴致去发明一种代数。一种代数总是为了表示一类物理世界的现象而创造的，正像我们上面的分数加法适用于两次击球平均率的合成。我们可以通过定义适合于这类物理现象的运算很方便地对物理世界发生的事情进行研究。只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象，这样就不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。当然，由于代数和分析是算术的延伸，它们也不是真理体系。
因此，数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界普适法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。
对许多富有思想的数学家来说，数学不是一个真理体系这一事实实在是难以接受。似乎上帝想用多种几何和代数来使他们困惑，正如他曾用不同的语言困惑了建筑巴别塔①的人们那样。因此他们拒绝接受这些新的发明。
哈密尔顿毫无疑问是一位杰出的数学家，在1837 年他表达了他对非欧几何的不满：
没有哪一个坦白的、有智力的人会怀疑两千年前欧几里得在他的《几何原本》中提出的平行线的主要性质，尽管他可能会希望看到它们以更明确更好的方式来叙述。这些性质中没有任何令人费解或含混不清之处，没有任何你可以怀疑的地方，虽然可以经常动动脑筋改进它们的表达方式。
① 这是《圣经》中的一个故事：从前，世界上所有的人都说一种语言。他们打算在巴比伦王国建造一座通天塔。在塔快建成时，上帝发现了，他把人们分配到世界各地，搞混他们的语言，于是人们不得不停止建造这座塔。——译注
凯莱在1883 年就任英国科学促进协会主席的演说词中强调：
我本人的观点是欧几里得的第十二公理（通常称之第五公理或平行公理）的普莱费尔形式不需要证明，它是我们的空间概念的一部分。这里指的是我们经验中的物理空间——我们通过经验来了解这个空间。但它的表示是建立在所有外部经验基础之上的......注意到欧氏空间长期以来一直被当作是我们经验的物理空间，所以几何学的命题对于欧氏空间不仅仅是近似的真实的，而且是绝对真实的。
F?克莱因（Felix Klein），近代的一个真正伟大的数学家，表达了差不多是同样的观点。尽管凯莱和F?克莱因本人都从事过非欧几何工作，他们却把非欧几何看作是在欧氏几何中引入人为的新的距离函数时产生的奇异结果。他们拒绝承认非欧几何和欧氏几何一样基本和实用，他们的立场在相对论时代以前看来还是无懈可击的。
罗素也相信数学的真实性，尽管他在某种程度上限制了这种真实性。上个世纪90 年代他提出了这样的问题：空间的哪些性质对经验是必需的，而且是由经验假定了的。也就是说，如果在这些先验性质中有任何一条被否定，那么经验就变得毫无意义了。他在《关于几何基础的随笔》（1897年）中，赞同欧氏几何不是一门先验知识这一见解。他断言，就一切几何学来说，倒不如认为射影几何①是先验的。这个结论在1900 年前后，从射影几何的重要性的观点来看，是可以理解的。然后他就把欧氏几何和一切非欧几何所共有的公理，当作先验的东西添加到射影几何中去，加进去的那些东西（空间的齐次性，维数的有穷性以及距离的概念）使得度量成为可能。罗素还指出，定性的考虑必须在定量考虑之前，而这一观点加强了射影几何的先验性。
至于说到度量几何，即欧氏几何和几种非欧几何，它们可以由射影几何通过引入某个特定的度量概念而导出，这一事实罗素认为只不过是一种技术上的成就而没有什么哲学意义。无论如何，它们持有的那些特殊定理并不是先验的。在对待这几种基本的度量几何上，罗素不同于凯莱和克莱因。他认为它们都处于同等的逻辑地位，因为具备上面那些性质的度量空间只有欧氏空间、双曲空间的和单、双椭圆空间，所以罗素认为所有可能的度量空间只有这几种，而欧氏空间则当然是仅有的确实可用的空间，其他那些空间在证明可能存在别的几何学时，有其哲学上的重要性。现在我们回过头来看，可以说罗素无非是用一种射影癖代替了欧几里得癖。罗素多年以后承认，他的《随笔》是他年轻时代的一部著作，其观点是无法站得住脚的。然而我们后面将会看到，他和其他人为了建立算术的真实性而确立了一个新的基础（见第十章）。
① 射影几何研究的是一个平面上的图像投影到另一平面上时所得图像的公共性质，如果在一个手电筒前放置一个圆，那么在屏幕或墙上就会看它的影子。影子的形状随着圆偏离或趋近垂直方向而发生改变。而圆及其各种不同的形状有关相同的几何性质。──原注
数学家对某种基础的真理的执著探索是可以理解的。多少世纪以来，用数学去描述和预测物理现象一直取得辉煌的成功，这使得任何人，尤其是那些被他们自己的发明陶醉得飘飘然的人来说，要他们接受“数学并不是一堆天然的钻石，而不过是人工宝石”这一事实的确是很难的。然而数学家们还是逐渐开始承认，数学公理和定理并不一定是物理世界的真理。某些领域的经验启发特定的公理，在这些领域，这些公理及其逻辑结果能够非常精确地作有价值的描述。但是，一旦这一领域扩展了，这种适用性就可能会失去。就对物理世界的研究而言，算术仅仅提供了理论或者模型，而当经验或实践证明一种新的理论能比旧理论提供更加一致的描述时，新的数学理论就取代了旧的理论。1921 年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精采的叙述：
只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。......但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。
既然数学家们已经放弃了上帝，他们就应该相信人，而这正是他们所做的。他们继续发展数学和探索自然法则，他们知道自己所阐明的并非是上帝的设计而是人的工作。昔日的成功使他们对正在进行的工作充满信心，而且幸运之神总是欣然来到。使数学永远充满活力的灵丹妙药是它自己调配的——在天体力学、声学、流体力学、光学、电磁理论和工程中取得的巨大成就，以及其预言的难以置信的准确程度，一定有某种原始的也许是魔力蕴含其中，才能使得一门学科尽管是在战无不胜的真理之旗下发展，还是凭着它内在的神奇力量确实达到了自己辉煌的顶点（见第十五章）。于是，数学的发明和在科学中的应用得以更快的步伐前进。
数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩。让我们首先看一个数学作用于科学的结果。从伽利略时代开始，科学家们就认识到，科学中的基本原理与数学原理相反，必须来源于实践。尽管两个多世纪的时间里他们相信他们所发现的是自然界的设计之中所固有的，但是到了19 世纪初他们认识到科学定理并不是真理，甚至数学的原理也是来源于经验而且并不能肯定它们的真实性。这一认识使科学家们意识到只要他们使用数学的公理和定理，他们的理论就更加脆弱。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙的法则制定者。自然法则是人的描述而不是上帝的命令。
这场灾难的影响几乎涉及了我们文化的所有领域。在数学和数学物理中貌似真理的成就使人们期望也能获得所有其他知识领域中的真理。笛卡尔在1637 年的《方法谈》中表达了这种期望：
这一长串的推理简单而又容易，几何学家正是用它来达到那些更难证明的定理。这使我想到，凡人的认识所及的事情也许会与此情况相同，只要我们拒绝接受那不真的事情为真，并且遵守必要的演绎程序从一个结论推到其他，那就不会有什么遥远而我们不能达到的事情，也没有什么因为深奥而不能为我们揭示的事情了。
笛卡尔写这些话的时候数学探究的成功还很少。到18 世纪中叶数学成就如此巨大而深远，知识界的领袖人物都深信，他们能够通过应用推理和数学找到所有领域中的真理。达兰贝尔这样评价他的时代：
......宇宙的奇观激起我们某种思想的升华......带来了生气勃勃的各种思潮。这种活跃的思潮尤如冲破了堤岸的河水，传播到自然界的各个方面，以势不可挡之势冲击着现有的一切事物和它们一直以来存在的方式。从一般科学的原理到宗教启示的基础，从哲学问题到欣赏志趣，从音乐到道德，从神学家们故弄玄虚的争辩到贸易问题，从贵族的法律到平民的法律，从自然法则到国家专政的律法......一切事物都被讨论和分析，或者至少被人们提及。
所有领域中的真理都将被数学不是真理这个认识动摇了。人们可能仍然希望或者相信能够找到政治、伦理、宗教、经济和其他诸领域中的真理，然而这种希望的最有力的支持没有了。数学向世界证明了人能获得真理，然后又毁掉了这个证明。正是非欧几何和四元数这两个推理的重大胜利导致了这场灾难。
正如W?詹姆斯所说：“人的智力生命几乎完全取决于他的理性知识取代其感性知识的程度，我们的经验正是来自于这样的感性知识。”而这种理性知识并不是感性知识的真实表述。
人的精神支柱、推理框架以及所有已建立的思想权威都随真理的丧失而失去了，“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。历史的教训是，我们最坚定的信念不是凭主观所作出的论断。事实上它们是最不可信的，它们标示的不是我们的成功而是我们的局限性。
对数学真理信仰的历史可以用华兹华斯的“永恒的暗示”来做最好的总结。1750 年数学家们可以这样夸耀他们的发明：
沐浴着上帝的光芒，我们走向四面八方。
到了1850 年，他们不得不沮丧地承认，不管我走到哪里，
尘世中这条路已不再荣光。
但是这段历史并不会令人失望。伽罗瓦这样评论数学：“（这门）科学是人的心智的工作，它注定要去探索而不是知道，去追求真理而不是发现真理。”也许真理本质上就是难以捉摸的，或者如罗马哲学家塞涅卡(LuciusSeneca)所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密。”
第五章 一门逻辑学科不合逻辑的发展
我们将不会悲伤，
在隐藏着的背后
我们找到的是力量。
——华兹华斯
两千多年来，数学家们一直相信他们已十分成功地揭示了自然的数学设计，然而现在他们却不得不承认数学定律并非真理。在这两千年里数学家们还认为他们一直遵循着古希腊人的方法来得到真理，即将演绎法推理应用于数学公理中，从而确保推论与公理一样可靠。而正由于科学的数学定律相当准确，少数几个对某些数学论点正确性的疑惑虽然确实存在，但也不被理睬。即使最敏锐的数学家也确信推理上的任何瑕疵是很容易去除的。然而，数学家们在推理上的这种安然心态，却在19 世纪有了改变。数学家们睁开双眼，他们看到了什么？他们又是如何认识到他们并没有合理地进行推理的呢？在19 世纪上叶，对微积分的合理性的攻击并没有遭到令人满意的反击，这已动摇了一些人。但最主要的是由于在原理上很类似的非欧几何和四元数的发明，迫使数学家们放弃了他们对真理的追求，并使大多数科学家看到了这一逻辑所处的可悲状况。
对非欧几何的研究是不断地参照欧氏几何里类似的定理和证明的，这是十分自然的，同时也产生了令人吃惊的意外发现：两千年来一直为专家们所称誉的严格证明的典范——欧氏几何竟然是建立在一个有着严重缺陷的逻辑基础之上的。以四元数开始的新代数学（见第四章）的产生，困扰着数学家们，并迫使他们不得不重新检查普通实数和复数的算术和代数学的逻辑基础，但他们的目的仅仅只是想重新使他们自己相信，这些数的性质是十分牢靠的。然而，在这一领域的发现却令人吃惊：他们曾一直认为是高度逻辑化的科学实际上完全是不合逻辑地发展着的。
反省过去是洞察力最丰富的源泉。正是这些新发现所提供和磨砺的洞察力，使科学家们最终看到了前人所没有看到的，或者是看到了，却因他们那种想达到真理的冲动欲望而掩饰了的东西。当然，数学家们并不是要放弃他们的科学。数学，除了一直在科学中发挥着巨大的作用以外，它本身即是一种知识体系。自柏拉图以后，许多数学家都把它当作是一种超感觉的实在，因此，他们认为能够做的仅仅是重新检查一下数学的逻辑结构，并且补充或重新构造那些有缺陷的部分。
我们知道，演绎数学起源于古希腊，其第一个似乎十分合理的结构是欧几里得的《原本》。欧几里得是以定义公理和演绎得到的定理开始的，让我们先来看看欧几里得的几个定义：
定义1.点是没有部分的那种东西；
定义2.线（现在的术语称为曲线）是没有宽度的长度；
定义3.直线是同一线上各点平齐的线。
亚里士多德指出：对某一概念的定义必须用已知的概念来描述，因为不可能有无源之水。所以他断言，必然有未定义的概念做为开始。尽管许多迹象表明公元前300 年左右生活在亚历山大里亚的欧几里得十分清楚古希腊人以及亚里士多德的学说，但他仍然定义了他所有的概念。
对于这一缺陷有两种可能的解释，一种可能是欧几里得未必赞同必须有未定义概念；另一种可能是像他的一些支持者所说的，他意识到了一定会存在未定义概念。他只是希望，他的原始定义能给出它们所定义的概念的直观意义，由此即可判断他们所遵循的公理是否正确的了。然而，即使是后一种情况，欧几里得也不应该把这些定义放到他的正文中去。但无论欧几里得的目的是什么，实际上从他以后，两千多年来追随他的数学家们都无一例外地忽略了未定义概念的必需性。帕斯卡曾在《几何精神论》（1658年）中要求人们注意这种必需性，但他的提醒并未被人们所理睬。
欧几里得的公理是一种什么样的情况呢？他可能是依据亚里士多德的观点，阐述了五条可普遍应用于推理的公理，和五条仅用于几何学的公设。第一条公理是说，等同于同一事物的事物彼此相等。欧几里得把“事物”这个词解释为长度、面积、体积和整数。当然，“事物”一词未免过于模糊。另一个使人误入歧途的公理是这样的：彼此重合的事物是相等的。他运用这一原理证明两个三角形全等，因为他认为通过将一个三角形放在另一个三角形之上，加上另外一些给定的条件，可以发现这两个三角形是一致的。但是，在将一个三角形放在另一个三角形上面的过程中他必须移动这个三角形，而在这一过程中他假定了运动中三角形不改变性质。实际上这个公理就是说，我们所处的空间是各向同性的，也就是说，无论放在哪，图形的性质始终不变。这或许是一个合理的假设，但却是一个额外的假设。除此之外，运动的概念定义中也没有涉及到。
另外，欧几里得还运用了大量他没有阐述的公理。高斯注意到这样一个现象，欧几里得提到了位于其他点之间的点和位于其他线之间的线，但是他却没有解释“位于之间”这个概念和它的性质。显然，欧几里得将他头脑中的几何图形引入了他的推理并取代了实际图形所具有的特性，但是并没有在公理中体现出来。图形是一种帮助思考和记忆的手段，但它不能做为推理的基础。欧几里得还用到了另外一个没有明确提出的公理，涉及到专业上称为连续性的问题。莱布尼茨注意到了这一点。欧几里得用到了这样一个事实：A，B 两点分别位于线l 的两侧（图5.1），连接A，B 两点的线必然和l 有一个公共点。在图上当然是很明显的，但是并没有任何公理能够保证这个公共点必然存在。我们甚至不能说线l 的两侧，因为这也需要公理作为保证。
图5.1
除了定义和公理方面的缺陷外，《原本》一书还有许多不完全的证明。一些定理的证明也是错误的，另外一些则仅能证明定理所断言的某一特殊情形或某一特殊构造。后一种缺点相对来说比较小，因而容易补救。欧几里得自以为对不严密的作图给出了精确的证明，但是当人们从整体上看待欧几里得的工作时，却又发现他实际上是对精确的作图给出了不严密的证明。简而言之，欧几里得的著作有着糟糕之极的缺陷。
尽管《原本》一书存在如此众多的缺点，但在1800 年以前，最优秀的数学家，科学家和哲学家却把它作为严格证明的理想典范。在他的《思想录》一书中，帕斯卡说道：“几何的精神实质胜于一切能进行完美分析的学科。它从公理入手得到推论，而推论的正确性可以由普适的逻辑规律所论证。”巴罗，牛顿在剑桥大学的老师，也是他的前任，列出了八条理由说明几何的确定性：概念清晰；定义明确；我们的直觉保证了其公理的普遍正确性；公理浅显易懂，且易于想见；公理少；大量定理的可接受性；流畅的论证次序；以及回避掉了一些未知的事物。像这样的鉴定书还可以列出许多，直到1873 年，还有一位著名的数论学家，亨利?史密斯(Henry，J.S.Smith)这样说道：“假如几何不严密，那它就什么也不是......。在严密性这一点上，得到普遍首肯的欧几里得的方法是无懈可击的。”然而，对非欧几何的研究却揭露了欧氏几何许多的缺陷，人们不再崇拜欧氏几何逻辑的完美了。非欧几何正是导致欧氏几何之船倾覆的暗礁。曾经被确信是坚实的土地，如今却被证明是一片沼泽。
欧氏几何当然只是数学的一部分，自1700 年以来，关于数字的数学成为数学的主要部分。让我们看看数字的逻辑发展是如何进行的吧。古埃及人和巴比伦人早已使用了整数、分数，甚至像2和3这样的无理数，在实际应用中他们使用无理数的近似值。但是，因为他们的数学，甚至包括公元前4 世纪以前的古希腊人的数学是建立在直觉和经验的基础之上的，因而无法褒贬他们的逻辑结构。
我们知道，对整数的逻辑处理始见于欧几里得《原本》的第七篇、第八篇和第九篇。在这几篇中，欧几里得给出了如下定义：单位元是指借助于它，我们可以把诸多存在的事物中的每一个称作为一，一个数则是由多个单位元的合成。显然，这是不充分的，更不用说，他在这里同样也忽视了需要未定义概念这一事实了。在推导整数的过程中，欧几里得继续运用了上面提到的公理，不幸的是，他的一些证明也是错误的。但是，古希腊人和他们的子嗣们却坚信整数的理论有一个令人满意的逻辑基础做后盾。他们甚至毫不费力地谈到整数的比例，后人称之为分数。然而比例的概念也是没有定义的。
但是，在数的逻辑发展中，希腊人却的确遇到了一个他们无法克服的困难。我们知道，公元前5 世纪的毕达哥拉斯学派最早强调了整数和整数的比例在自然研究中的重要性，他们坚持认为整数是度量一切事物的“尺子”。当他们发现一些无法用整数表达的比值时，例如等腰直角三角形的斜边和一腰的比，感到惊讶而又迷惑。他们把那些可以用整数表达的比称为可公度比，那些不能这样表达的，则称为不可公度比。这就是为什么我们把无理数2称作不可公度比的原因。不可公度比的发现归功于米太旁登的希帕苏斯(Hippasus)，有关他的一个故事是这样的：毕达哥拉斯派的信徒正在海上，他们把希帕苏斯从甲板上扔了出去，因为他在宇宙间弄出了一个与毕达哥拉斯的教义相悖的元素。这种教义认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数的比。
毕达哥拉斯派证明了2和1是不能公度的，即2是无理数。他们采用了亚里士多德所说的归谬法，即间接证明法。这一证明指出，如果等腰直角三角形的斜边与一腰可公度，则同一个数将既为奇数又为偶数，显然，这是站不住脚的。证明过程如下：设斜边和腰的比为a/b，其中a，b均为整数，并且，若a和b有公共因子则约去。设a / b = 2，则a2 = 2b2，由于a2 是偶数，a 必然也是偶数，因任一奇数的平方必为奇数①，而比a/b 是最简形式，a 是偶数，b 必是奇数，既然a 为偶数，故可设a=2c，则a2=4c2，又因为a2=2b2，则4c2=2b2，即2c2=b2，所以b2 是偶数。若b 是奇数，则b2 为奇数，因此b 为偶数，但同时b 是奇数，因而产生了矛盾。毕达哥拉斯派门徒和古希腊人普遍不愿接受无理数，因为无理数的概念的理解使他们困惑。毕达哥拉斯派的证明指出， 2不是整数的比，但并没有指出无理数是什么，他们肯定不知道他们的小数近似值不可能得到精确值。人们也许会赞赏他们的大胆精神，但数学家绝不会。古希腊人具有与众不同的智力结构，他们不满足于近似。
① 任一奇数可表示为2n+1，n 为整数，则(2n+1)2=4n2+4n+1，此数必为奇数。——原注
无理数的发现，提出了一个问题，这成了希腊数学关注的焦点。柏拉图在《规律》一书中呼吁关于不可公度数的知识。这个问题被欧多克斯所解决，他曾经是柏拉图的学生。他把所有的量从几何角度加以考虑，如果都用数字表示的话，在长度、角度、面积和体积中都会产生一些无理数，因而可用几何的方法进行处理。例如，欧几里得用以下的形式来表述毕达哥拉斯定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，通过求平方的和他表述了这样一个意思：在几何上，两块面积的和等于以斜边为边的正方形面积，求助几何的方法很容易被人们所理解。当1和2被当作是长度，也就是线段时，它们之间就没有什么区别了。
无理数带来的问题要比上面所说的只是用数字表示长度、面积和体积所带来的问题大得多。因为二次方程，例如x2-2=0 的根，极有可能是无理数，所以古希腊人用几何的方法来解方程，这样方程的根就可以看作是线段，并且回避了使用无理数。这一发展被称之为几何代数学，而欧几里得的《原本》正是代数与几何的汇集。
除了整数理论外的所有的数学向几何学的转换导致了几个重大的结果。一是它将数和几何彻底地分开，因为只有几何才能解决不可公度比的问题。从欧几里得以后，数学的这两个分支被严格地区分开。同时，由于几何包容了数学的大部分内容，它成为了几乎所有“严格”数学的基础，这种状况至少持续到了1600 年。我们现在仍把x2 称为x 的平方，把x3 称为x 的立方，而不说x 的二次方或x 的三次方，因为普遍的量x2 和x3 曾仅仅只有几何意义。
用几何方法来表示数和对数进行运算当然是不切实际的，也许把2? 3视为一矩形的面积在逻辑上是令人满意的，但当我们想知道这一乘积的数字表示时，显然这一方法就不够用了。对于科学和工程学来说，几何图形远远没有数字结果那么有用，数字结果在任何需要小数处理的地方都能计算出来。应用科学和工程学必须是定量的，当一艘船想知道它在海上的位置时，它必须知道数字的结果，用纬度和经度来表示。要高效地建造房屋、桥梁、船只和堤坝，我们必须知道所用到的长度、面积以及体积的定量的测量值，这样每一部分才能很好地结合在一起；事实上这些定量的数据必须在建造前知道。但是古希腊人却认为准确的推导具有无上的重要性，他们反对数学在商业、航海、建筑和历法推算中的应用，而对他们自己用几何解决无理数困境的方法感到十分满意。
继古希腊文化后，约在公元前300 年产生了亚历山大里亚希腊文化（见
第一章）。这是古典希腊文化、埃及文化和巴比伦文化的混合体，从逻辑
发展的观点来看，它产生了一种演绎学和经验数学奇妙的混合物。其主要的数学家阿基米得与阿波罗纽斯，着手于欧几里得《原本》中的公理化的演绎几何，甚至在他的力学论文中，阿基米得也是从公理着手证明定理。但是受埃及人和巴比伦人实用观念的影响，亚历山大里亚人将数学投入应用中去，我们可以发现，在亚历山大里亚时期出现了许多对长度、面积以及体积进行定量测量的公式。亚历山大里亚的埃及工程师海伦在他的《量度》一书中给出了一个求三角形面积的公式：
s(s- a)(s- b)(s- c)这里，a，b，c 分别为三边长，s 是周长的一半，这个式子给出的值常常是个无理数。这个特殊的公式是很了不起的，古希腊人认为三个以上的数的乘积是没有意义的，因为这一乘积没有任何几何意义，而海伦却没有这一种顾虑。在亚历山大里亚希腊人发展的许多纯科学和应用科学中，如历法推算、时间测量、航海、数学、光学、地理学、气体动力学和流体静力学（见第一章）中，无理数被人们随意地使用。
亚历山大里亚人最突出的成就是由喜帕恰斯和托勒密建立的定量的天文学，这一以地球为中心的天文学使人们可以预测行星、太阳及球的运动（见第一章）。为了发展这门定量的天文学，喜帕恰斯和托勒密创立了三角学。数学的这个分支使人们可以通过三角形已知部分的信息求出未知的部分。托勒密解决三角问题的方法与现在有所不同，他必须计算圆的弦长。尽管他在建立其有关弦之间的关系的基本结论时采用了演绎几何的方法，而紧跟着却用了算术和代数的方法计算弦长，而这恰恰是他最终关心的东西。大部分弦是无理数，托勒密对得到有理数的近似值感到满意，而他在研究的过程中却从未对使用无理数有过丝毫犹豫。
亚历山大里亚希腊人自由地使用从埃及人和巴比伦人那里继承来的、没有逻辑基础的算术和代数。托勒密和其他亚历山大里亚希腊人普遍持有埃及人和巴比伦人的态度，即不加批判地使用类似π， 2， 3之类的无理数，并且在需要的地方就取近似值。例如，无理数的一个最著名的应用就是阿基米得计算出π在3 和之间。无论他是否知道π是无理数，
1
17
3
10
71
为了得到这一近似值他计算了所有他确信其根为无理数的数的平方根。从现今的角度出发，和自由使用无理数同样值得注意的就是埃及和巴比伦代数独立于几何的复兴。其杰出代表是海伦和另一个亚历山大里亚希腊人丢番图。他们都将算术和代数独立处理，而不依靠几何引出或依靠几何做为逻辑依据。海伦完全是采用算术的过程，用公式表述或解决代数问题。例如，他处理这样一个问题：给定一个正方形，其面积和周长的和为896 英尺，求边长。为解决所论的这一二次方程式，海伦在式子两边同时加上4，配成完全平方，再求平方根，他没有证明而只是描述了怎么做，在海伦的著作中这样的问题还有许多。
在《几何》一书中，海伦提到了加上面积、周长和直径这样的话，他这么说的意思自然是指加上它们的数值。同样，当他说一块面积乘一块面积时也是指两个数值的乘积。海伦还将许多古希腊几何代数法翻译成为算术和代数过程。他和他的继承者们的一些问题，恰恰是曾在公元前2000年巴比伦人和埃及人的文本中出现过的。希腊代数著作是用文字的形式写下来的，并没有任何符号，也没有给出任何过程的证明。从海伦以后，那些导出方程的问题，又成为了一般形式的迷题了。
亚历山大里亚时期的希腊代数在丢番图时达到高峰，关于他的生平我们几乎一无所知。他的著作虽然远远超过了与他同时代的人，但可惜出来得太晚，而没能给他们那个时代带来太大的影响，因为一股毁灭性的浪潮（见第二章）已经开始吞噬这一文明。丢番图写过几本现已全部失传的书，现在我们还能看到他的巨著《算术》中的第六篇。据丢番图说，这本书共有十三篇。《算术》和埃及的莎草纸文稿一样，是个别问题的汇集，在题献中说这是一本帮助他的一个学生学习这门学科而写的练习集。
丢番图走出的重要一步是在代数中引入了一些符号，由于我们看到的都是13 世纪以后很晚的一些本子，而不是他的亲笔手稿，所以无法知道确切的符号，但他的确用到了一些相当于我们现在的x，x2 到x6 的幂和1/x之类的符号。符号的出现自然是一件了不起的事，但使用三次以上的高次幂更为非凡，因为正如我们刚才提到的那样，对于古希腊人，含有三个以上的因子的乘积是没有任何意义的，但在纯算术的基础上这个乘积却是有意义的。丢番图所采用的正是这样一个基础。
丢番图的解题步骤是像我们写散文那样逐字地写的，他的运算是纯算术的，即不借助于几何来说明或证实他的结论。因而(x-1)(x-2)也是像我们今天一样用代数方法解出，他还使用了像a2-b2=(a-b)(a+b)这样的或是更为复杂的代数恒等式。严格地说，他采取了应用恒等式的步骤，但是这些恒等式本身并没有出现。
丢番图代数的另一个非同寻常之处，是他对不定方程的解决。例如：在一方程中有两个未知数，在先前毕达哥拉斯派关于x2+y2=z2 的整数解法和其他著作中，这种方程都曾被考虑过。丢番图则对此进行了广泛的研究，他成为了这门代数分支学科的创立人，而现在人们确实把这门学科称为丢番图分析。
尽管丢番图在其代数的应用上卓有声誉，但他只承认正的有理根，而对其他所有根都置之不理。甚至当一元二次方程式有两个正的有理根时，他也只给出较大的一个。当方程很明显将解出两个负根或是无理根或虚根时，他就放弃这一方程式并认为这一方程是不可解的。在有无理根情况下，他就折回去重算并说明如何通过改变方程来得到一个存在有理根的新方程。这一点上丢番图与海伦和阿基米得有所区别。海伦是一个工程师，他求得的量可能是无理数，因此，他接受了这些数，而为了得出有用的数值，便取近似值。阿基米得也寻求准确解，当这些解是无理数时，他就用不等式来限定其范围。我们并不知道丢番图是如何获得他的方法的，他没有借助于几何，因此，他不大可能是将欧几里得的方法进行转化来解二次方程。另外，不定问题没有在欧几里得的理论中出现，而在丢番图的学说中成为一个新的类别。因为我们对亚历山大里亚时期后期的思想的连续性了解甚少，所以在丢番图之前的希腊人著作里，我们找不出多少丢番图研究工作的痕迹。实际上，他的方法和巴比伦的方法更加接近，有一些含糊的迹象表明他的方法受到巴比伦人的影响。但和巴比伦人不同的是，他采用了符号表示法并着手进行不定方程的求解。从整体上说，他的工作是代数学上的一座里程碑。
就算术和代数来说，海伦和丢番图，阿基米得和托勒密的著作读起来就像埃及人和巴比伦的程序化的课本，只告诉我们如何去做。欧几里得、
阿波罗纽斯和阿基米得几何的那种有条不紊的演绎证明全然不见了。所解的问题，都是归纳性质的，就是说他们所指明的解具体问题的方法，虽或能应用于一般性的一类问题，但并未规定应用的范围能有多广。各种不同类型的数，整数、分数和无理数（除了欧几里得关于整数的不完善的工作外）都没有确切的定义，也没有一套公理基础来建立演绎结构。
因此，古希腊人留给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支。
一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实，而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑结构，因此其出现成了数学史上一个巨大的反常现象。
在阿拉伯人最终毁灭了亚历山大里亚希腊文明以后，印度人和阿拉伯人成为数学的执牛耳者。他们愈发违背了古希腊的数学概念。他们当然应用了整数和分数，另外，他们也毫不犹豫地使用了无理数。实际上，他们引入了一种全新而正确的加减乘除无理数的法则。既然这些法则并没有一个逻辑基础，那它们是如何被制定出来，又如何知道其正确与否呢？答案是印度人和阿拉伯人用类推法推导出这些法则。法则对所有的和都是成立的，因为很明显是正确的。事实上，印度人ab = a b
a b 36 = 4 9
认为根式可以同整数一样处理。
印度人远比希腊人幼稚，因为他们看不出无理数概念所涉及的逻辑难点。他们对计算的兴趣使他们忽视了那些在希腊思想中被认为是最基本的区别。但是在他们随意地把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中，数学却取得了进展。此外，他们所有的算术都是完全独立于几何的。
印度人引入了负数来表示负债，这一举动加重了数学家们逻辑上的苦恼。在这种情形下，正数就表示资产。据悉最早使用负数的是公元628 年左右的婆罗摩芨多(Brahmagupta)，他只提出负数的四则运算法则，而没有提出任何定义，公理或定理。12 世纪印度数学家的领袖人物婆什迦罗(Bhaskara)指出正数的平方根有两个，一正一负。他提出了负数的平方根问题，但是却说负数无平方根因为其平方为一负数，而负数不可能是一平方数。
负数并没有完全地为所有的印度人所接受。婆什迦罗也说，当把50和-5 做为一个问题的两个解时，“这种情况下第二个值应舍去，因为它不合适；人们不赞成负数解。”然而，自负数被引入后，逐渐地为人们所应用。
印度人在代数上也取得了一些进步，他们用词的缩写和几个记号来表示运算和未知数，这些记号虽然没有广泛使用，但足以使我们认为印度人的代数在这方面要比丢番图的高明些。他们在解题中仅给出了步骤；而没有任何推理或证明。一般说来，人们已承认了二次方程的负根和无理根。印度人运用代数的自由程度远甚于我们刚才所指出的事实。举个例子来说，我们从三角学中获知，当A 为一角时sin2A+cos2A=1。三角学的创立人和系统阐述者之一托勒密认为，这个等式是一个涉及圆上各弦之间关系的几何表达式。尽管像我们注意到的那样，托勒密自由地运用算术来计算与已知量有关的未知长度，但他的基本数学和论证却是几何的。而印度人表示三角关系则多是用了像上面所例举的表达式。此外，当他们要从sinA计算得到cosA 时，他们就直接采用上面的这个等式和纯代数运算。也就是说，在表达和获得角的正弦和余弦关系时，印度人的三角学依靠代数，远甚于依靠几何。概而观之，印度人注重的是算术和计算方面，而不是演绎结构。他们将数学称为ganita，意思是计算的科学。虽然过程完美，技巧纯熟，但却没有任何迹象表明他们曾考虑过证明。他们有法则但显然没有进行过逻辑考虑。此外，在数学所有领域中，印度人都没有得到一般性的方法或新的观点。
可以毫不怀疑地说，印度人并不了解他们对数学的贡献有多么重要，他们有为数不多的一些不错的思想，例如，数字1 到9 用独立的记号表示，将六十进制转化为十进制，负数，以及把0 当作一个数来对待。这些思想都是漫不经心的。他们并没有明显地意识到它们是极有价值的创举。他们对数学价值并不敏感，他们把他们自己提出的完善的思想和埃及人及巴比伦人最粗糙、原始的思想混合在一起。阿拉伯历史学家阿尔比鲁尼(al-B?r?n?)这样评价印度人，“我只能把他们数学和天文学上的著作......比作宝贝和烂枣，或珍珠和粪土，或宝石和卵石的混合物。这些东西在他们眼里没有什么区别，因为他们不能将其自身上升到一个严格的，科学演绎法的高度”。因为他们具有算术上的特殊天赋并把它应用到算术和代数上，所以印度人的工作扩充了建立在经验和直觉基础上的那部分数学。
一方面印度人在实用中忽视了演绎几何，另一方面阿拉伯人对希腊的几何著作做了批判性研究并全力推崇在建立数学的这一分支中演绎证明所起的作用。然而，在阿拉伯数学中占重要地位的算术和代数领域内，阿拉伯人和印度人的发展极为相似。他们和印度人一样满足于在同样经验的、具体的和直观的基础上处理这两门科学。一些阿拉伯人也确实给出了几何论据来证明他们对二次方程求解的正确性，但其主要的解题方法和途径是代数上的，这一点和古希腊人有所不同。在解三次方程时，例如对x3+3x2+7x+5=0，他们仅给出几何图形，因为代数方法还有待于发现。而这些图形，却不能通过直尺和圆规来完成，而且理由也无严格的阐述。在他们活跃在数学舞台上的几个世纪中，阿拉伯人在他们做出的贡献中，勇敢地抵制了严谨推理的诱惑。
印度人和阿拉伯人的数学最有意思的特点是他们这门学科中自相矛盾的概念。埃及人和巴比伦人满足于接受依据经验得来的一点点算术和几何法则，这不足为奇，因为人类几乎所有的知识都有这样一个自然基础。印度人和阿拉伯人对希腊人传播的数学证明的新概念是很清楚的，但在算术和代数中他们却不关心演绎证明。对印度人，也许情有可原。尽管他们也有一些希腊人著作的知识，但却对此并不看重，他们主要是沿袭了亚历山大里亚希腊人处理算术和代数的方法。但是阿拉伯人却通晓希腊几何，并且正如我们所看到的，他们甚至对其做了批判性研究，此外，在两种文明中，有好几个世纪曾存在着有利于纯科学追求的条件。因此，要求产生有实际用途的结论的压力，不大可能会使数学家们牺牲证明，而去追求眼前的应用。那么，这两个民族在对待算术和代数时，为什么和古希腊人以及许多亚历山大里亚希腊人，如此大相径庭呢？
对此，有许多可能的答案，尽管阿拉伯人对演绎几何有所批评，但从整体上看，两种文明均缺乏批判力。因此，对于数学，他们可能是满足于现买现卖，即几何讲究演绎，但算术和代数则可以依据经验或直观启发。第二种可能是两个民族，尤其是阿拉伯人，认识到几何相对于算术和代数而言，具有截然不同的标准，但不知道该如何给算术提供逻辑基础，阿拉伯人在他们解二次和三次方程时，至少曾试图给出几何根据。这一事实似乎可以说明这种解释的合理。
还有其他可能的解释，即印度人和阿拉伯人都对算术、代数和三角关系的代数公式感兴趣。这种偏爱也许正表明了不同的心态或者可能反映了不同文明的不同需求。这两种文明都偏重实际，正如我们在谈到亚历山大里亚希腊文明时指出的那样，实际需要确实要求提供定量的结果，而这就是借助于算术和代数。有这样一个证据有利于说明心态特征有所不同的论断：欧洲人也从印度人和阿拉伯人那里继承了数学遗产，但他们的反应却大不相同。我们以后将看到欧洲人对算术和几何所处的分离地位是大伤脑筋的，不管怎么说，印度人和阿拉伯人从实用出发，大胆地将算术和代数再一次推到前台，并且把它摆在几乎和几何同等的地位上了。
中世纪晚期和文艺复兴时期，当欧洲人通过阿拉伯人和直接由希腊原稿获得已存在的数学知识时，他们努力想正视这两种数学所面临的进退维谷的困境。真正的数学看上去似乎必定是希腊人的演绎几何，而在另一方面，欧洲人也不能否认从古代便开始发展却没有逻辑基础的算术和代数是有效并且实用的。
他们遇到的第一个问题，就是如何处理无理数。意大利数学家帕哥欧里（LucaPacioli），在耶拿（Jena，德国一城市）的著名德国僧侣、数学教授施蒂费尔(MichaelStifel)，医生、学者兼无赖卡丹（JeromeCardan）以及军事工程师斯蒂芬（SimonStevin），这些人沿袭印度人和阿拉伯人的传统，使用无理数并引入了越来越多的种类。斯蒂费尔研究了形如m a + n b 的无理数，卡丹研究了涉及立方根的无理数。韦达（Francois Vieta）的表示π的式子是无理数使用广泛的范例。通过考察单位圆的内接正4，8，16，......边形，韦达发现
2 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
p 2
= ? + ? + + ?
无理数被自由地运用于文艺复兴时期的一个新发明——对数之中。正数的对数是耐普尔（JohnNapier）于16 世纪晚期创造的，其目的是加快算术处理过程的速度。自它发明以后，对数也确是用于这一目的。尽管许多正数的对数是无理数——耐普尔在计算对数的方法中随意地使用了无理数——但所有的数学家都很欢迎这种减轻他们劳动量的工具。
人们随意地使用无理数进行运算，而无理数究竟是不是真正的数也困扰着这些使用者。因此，斯蒂费尔在他的主要著作，主要论述算术和代数的《整数算术》（1544 年）一书中，赞成欧几里得关于量（欧多克斯的几何理论）①不同于数的观点，但随着新的发展，他又考虑用十进制小数来表示无理数。使他大伤脑筋的是，如果用十进制小数表示无理数，那将需要无数个数字。一方面他说：由于在证明几何图形的问题中，当有理数行不通时，无理数取而代之，并且完全证明了有理数所不能证明的结果，......因此我们感到不得不承认它们的确是数，也就是由于使用它们而得到的结果迫使我们必须承认，这些结果在我们看来是真实、可靠和恒定的。另一方面，别的一些考虑又迫使我们全然否定无理数是数。也就是说，当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，......却发现它们无止境地往远跑，使我们没有办法准确地捕捉住任何一个无理数本身。......而本身缺乏准确性的特点，使之不能被称作真正的数。......因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。
① 欧多克斯认为量是表示线段、角、面积、体积，时间这些连续变动的东西，而数是从一个跳到另一个，例如从4 跳到5。——译注
接着，斯蒂费尔指出实数不外乎整数和分数，显然，无理数既非整数又非分数，因此也不是实数。一个世纪以后，帕斯卡和巴罗指出无理数仅仅是记号，它们脱离连续的几何量后便不复存在，无理数的运算逻辑必须以欧几里得关于量的理论为依据，但是，欲达到这样的目的，这些理论不免有些力不从心。
在另一方面，也有些肯定的论断认为无理数是合理的，斯蒂芬承认无理数是数，并且可用有理数来不断逼近，瓦里斯(JohnWallis)在他的《代数》（1685 年）一书中，将无理数看作是地地道道的数。但是，斯蒂芬和瓦里斯都没有对此提供任何逻辑基础。
此外，当笛卡尔在其《几何》（1637 年）一书和费马在他1629 年的手稿中发明解析几何时，他们对无理数也没有清晰的概念。然而，他们都推测在所有的正实数和一条直线上的点之间存在着一一对应关系，也就是说直线上任何一点到某一确定起始点的距离都可以用一个数表示。由于许多数都是无理数，所以尽管并未找到逻辑依据，两个人还是默认了无理数的存在。
欧洲人还面临着负数的问题。在欧洲，人们是通过阿拉伯人的著作知道这种数的，但在16、17 世纪大多数数学家都不承认它们是数，即使承认了，也并不认为它们是方程的根，15 世纪的丘凯(Nicolas Chuquet)和16世纪的斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数。卡丹给出了方程的负数根，但认为是不可能的解，而仅仅是一些记号。他把负数根称为虚构的，正根称为真实的。韦达则全然摒弃负数，笛卡尔也只部分地接受了它们。他把方程的负根称为假根，因为他们代表比没有还要少的数，但是，他又指出给定一个方程，可以得到另外一个方程，使它的根比原方程的根大任何一个数量。于是一个有负根的方程就可以化成一个有正根的方程了。因而他指出：既然我们可以把假根转化为真根，那么负数也是可以勉强接受的，但他始终没有与负数交好。帕斯卡则认为从0 中减去4，纯粹是胡说八道。他在《思想录》中说到：“我了解那些不能明白为什么从零中取出四后还剩零的人。”
帕斯卡的密友，神学家兼数学家阿尔诺(Antoine Arnauld)提出一种很有趣的论据来驳斥负数。阿尔诺对-1:1=1:-1 提出质疑，由于-1 比1 要小，那么较小数与较大数的比怎么可能等于较大数与较小数的比呢？莱布尼茨承认这里存在缺陷，但他又申辩说可以用这种比例来进行计算，因为它们的形式是正确的，正如我们可以用虚量来进行计算一样（我们马上就会看到虚量是早已引入的）。但是他又含糊其词地说，所有没有对数的量都是假想的（不存在的）。这样说来，-1 是不存在的，因为大于1 的数的对数是正的，在0 和1 之间的数的对数是负的，所以没有什么数可以做为负数的对数。实际上，如果存在的话，那么根据对数法则， 就应该等于的一半，但确实没有对数。
log( 1) log 1
log(-1)
- -
-1
最早把负数单独地写在方程的一边的代数学家之一是哈里奥特（ThomasHarriot），但他并不承认负根，在他的遗著《实用分析术》（1631年）中甚至“证明”了这样的根是不可能的。庞贝利（Raphael Bombelli）给出了负数的明确定义，但是他却不能证明负数的运算法则，因为即使对于正数，人们也没有找到其可用的基础①。斯蒂芬则在方程中用到了正的和负数系数并且承认负根的存在。吉拉德(Albert Girard)在他的《代数中的新发明》（1629 年）一书中把负数和正数同等对待，并在二次方程的两个根均为负数的情况下也给出两根。吉拉德和哈里奥特都用减号表示减法运算和负数，但负数是一个独立的概念，而减法则是一种运算，因此，实际上应该用两种分离的记号来表示它们。
总的说来，在16、17 世纪，并没有许多数学家心安理得地使用或者承认负数，更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。当时的人对负数还有一些古怪的概念。尽管瓦里斯超过了他那个时代的人，并接受了负数，但他却认为负数大于无穷大同时小于零。在他的《无穷大的算术》（1655年）中，他论证说，当a 是一个正数时，比值a/0 是无穷大，那么把分母变成负数，即在a/b 中，b 为负数时，这个比就应该大于a/0，因为分母比0 要小，所以这个比就是大于无穷大的。另外一些更先进的思想家，像庞贝利和斯蒂芬提出的主张，则相当有助于整个实数体系被人们完全接受。庞贝利假定在实数和直线上（给定单位长度）的长度存在着一一对应关系，他还定义了长度的四则基本运算，他认为实数及其运算已通过这些长度及对应的几何运算进行了定义。这样一来，实数体系就在一个几何的基础上合理化了。斯蒂芬也把实数看作是长度，他相信，通过这样的解释，无理数的困难也可以迎刃而解了。当然，这种观点仍然将实数和几何紧紧地联系在一起。
当欧洲人还没有从无理数与负数的困境中摆脱出来时，他们又糊里糊涂地陷入了我们现在称之为复数的泥沼之中。他们在把平方根的算术运算推广到所有已出现的数上时，例如，在求解二次方程的过程中，得到这种新数。像卡丹则在《重要的艺术》（1545 年）的第37 章中提出并解决了把10 分为两部分，使其乘积为40 的问题。这一看似荒谬的问题确实有解。因为正如达兰贝尔所说的那样，“代数是慷慨的，它的给予常常超过你的需求。”设为的一部分，方程可以写做，卡丹求得和两个根。接着，他指出，有一些“尽管本身具有独创性，但却没有什么用的诡辩的量”。“不管会受到多大的良心责备”，将和相乘，得到乘积为即后，他这样说：“算术是如此微妙地发展着，而它的尽头，却正如常言所说，是既精致又无用处的”。
x 10 x(10 x) = 40 5+
5
5+
5 25 ( 15) 40
-
- - -
- - - - -
15 15
15 15
① 奥登诗云：负负得正，不言而喻。——原注
卡丹在求解三次方程的代数方法中进一步地和复数打交道，这种代数方法在他的著作中得以体现，尽管他寻求和最后得到的只是实根，但在有复根存在的情况下，他的公式也会给出复根。特别是当所有的根都为实数时，他的公式也将产生复数，并且实根可以由这些复数得到。这样看来，他应将复数的地位提高些，但是，因为他不知道如何求复数的立方根以获得实根，所以他就把这个难点搁置起来了，他用了另外一种方法来求实根。庞贝利也考虑了三次方程的复数解，并且采用了实际上和现代形式一样的公式，来表述复数的四则运算，但他仍认为复数是无用和诡辩的。吉拉德则承认复数至少可以作为方程的形式解，在《代数的新发明》中，他说：“有人会说，这些不可能的解（复根）是什么？我的回答是：有三方面的解释，一是一般法则的必然性，二是没有其他的解，三是因为他们有用。”但是卡丹的先进观点并没有产生什么影响。
笛卡尔也摒弃复根，并造出“虚数”这个名称。他在《几何》一书中说：“真根和假根（负根）并不总是实在的，有时它们是虚的。”他认为负根至少可以在将出现它们的方程转化为有正根的方程后变成“实的”，但对复根却不能这么做，因此，复根不是实的而是虚的；它们并不是数。甚至牛顿也不认为复根是有意义的，极有可能是因为在他那个时代复根缺乏物理意义，实际上，在《普遍的算术》（第二版1728 年）中他说：“正是那些方程的根应该经常出现不可能的情况（复根），才不会使那些本应不可能的问题看起来是可能的。”也就是说，在物理和几何上没有解的问题应该具有复根。
常被人引述的莱布尼茨的一段话反映了对复数缺乏清晰认识的情况：“在那个分析的奇观中，上帝的精神找到了一个超凡的渲泄口，这个奇观是理想世界的怪物，是介于存在和不存在之间的两栖物，这就是我们称之为-1 的虚根的东西。”尽管莱布尼茨已在形式上运用了复数，他还是不理解复数本质。为了证实他和约翰?贝努利在计算中对复数的应用，莱布尼茨指出这样做并无损害。
尽管16、17 世纪人们对复数缺乏任何清晰的认识，但实数和复数的运算步骤却得到改进和推广。在《代数》一书中，瓦里斯说明了如何在几何上表示实系数二次方程的复数根。瓦里斯说，实际上，复数并不比负数更荒诞，由于负数可以在一条直线上表示出来，那么复数也就有可能在一个平面上表示，他确实给出了不很完善的表示法，当方程ax2+bx＋c=0 有实根或复根时，他还给出了其根的几何作图。尽管瓦里斯的工作是正确的，但却被人们所忽视了，因为数学家们不肯接受复数。
在17 世纪，还出现了其他一些数学逻辑的问题，在下一章我们将讨论它们。这里我们将着重讨论18 世纪的数学家们在致力于理解和证实他们有关无理数、负数、复数以及代数的工作中遇到的困难。比如（正）无理数，尽管并未对其下定义，也没有确定其性质，但它们在直观上很容易被接受，因为其性质和整数、分数的一模一样，因此，数学家们自由地使用它们并且没有对其含义和性质提出任何新的疑问。包括欧拉在内的一些人，认为其逻辑基础就在欧多克斯的量的理论中，唾手可得。这一理论在欧几里得的《原本》第五篇中有详细说明。欧多克斯给出的量的比例的理论与几何紧密相连，但它决非无理数的理论。18 世纪的人们虽然在感觉上对无理数十分明了，对其逻辑却知之甚少。负数对数学家的困扰，远甚于无理数，大概是因为负数没有现成的几何意义，并且它的运算规则也非常奇怪。尽管从1650 年以后，负数的运用十分自由，但却因为它的概念和逻辑基础不清楚，数学家们还是继续粗制滥造一些证明，或者是反对其应用。在著名的《百科全书》的“负数”这一词条中，理性时代的伟大学者之一达兰贝尔说：“导致负数解的问题意味着假设的某些部分原本是错误的，但都被假定为正确的。”在他关于负量的论文中，他又说：“得到一个负数解意味着该数的反面（相应的正数）是所需的解。”
欧拉，这位18 世纪最伟大的数学家，写下了人类历史中最杰出的代数课本之一。在他的《对代数的完整介绍》（1770 年）一书中，他证明了减-b 的运算等于加b 运算，因为“免除负债即意味着奉送礼物”。他还证明了(-1)×(-1)=+1，因为其积必为+1 或-1，而他已经指明1×(-1)=-1，那么(-1)×(-1)必为+1。但即便是在18 世纪最好的课本中，表示减法的减号和像在-2 中用来表示负数的负号，仍然常常被弄混。
18 世纪时期仍有许多人反对负数，英国数学家马塞雷(BaronFrancisMaseres)是剑桥大学克莱尔学院的研究员和皇家学会会员，他曾写过一些令人钦慕的数学论文，并发表了一篇关于人寿保险理论方面的重要文章。1759 年，他发表了《论代数中负号的运用》一文，他指出如何通过仔细将二次方程分类来避免负数（除了用来表示而不是实际运算，从较小量中减去较大量以外），特别是负根。那些具有负根的方程都被个别地考虑，并且理所当然地把负根剔除掉。对三次方程他也采取同样的方法。关于负根，他说：......就我们所能判定的而言，它们只会给整个方程理论添乱，并且使那些本来是非常平常简单的事物变得晦涩难懂，玄妙莫测......。因此，我们确实希望负数从未进入代数，或者是重新把它剔除出去。如果能做到这点的话，我们有理由想见，对于那些含糊和被莫名其妙的概念所困扰的代数计算，许多博学睿智之士现在所提出的异议，也将因此而消除；也将可以肯定地说，代数，即普遍算术，就其本身性质而言，是一门同几何一样简单、明晰和易于证明的科学。
关于复数的意义和用途的争论也越来越尖锐。一些数学家引入了负数的对数（以及复数的对数）作为复数，这一举措，使复数处境更为尴尬。从1712 年开始，莱布尼茨、欧拉和约翰?贝努利通过信件与论文在复数的意义，特别是负数和复数的对数问题上争论不休。莱布尼茨与贝努利用笛卡尔的“虚的”一词来描述复数，“虚的”就是说这种数（以及负数）是不存在的，尽管他们两个人都在计算中不可思议地成功运用了这种不存在的数。
莱布尼茨，正如我们所提到的那样，给出了各种证明来说明负数的对数是不存在的。约翰?贝努利认为loga=log(-a)，他还用好几个证明做为其依据，其中一个用了正数的对数定理：
。另外一个证明采用了微积分，也得到同样的结论。莱布尼茨和约翰?贝努利在这几年中有许多通信往来，但其中大多数都是些废话。
log(-a) =
1
2
log(-a) = loga =
loga
2 2 1
2
欧拉找到了真正的答案，其结论在1751 年的一篇论文《方程中虚根的研究》中发表，虽然他的最终结论是正确的，但其证明却是错误的。这一结论适用于所有的复数，也包括实数（因为x+ iy 中，y 等于0 的话，该数就变成了实数）。这一结论是log(x+iy)=log(ρeiψ)=logρ+i(ψ±2nπ)①然而，欧拉的这一论文却不为他的同时代的人所理解。欧拉在1747 年4 月15 日给达兰贝尔的一封信中阐述了其结论，他甚至指出一个正实数有无穷多个对数值，但只有一个实数；这个实对数值就是我们在计算实数的对数时常用的那一个。欧拉的信和论文并没有说服达兰贝尔。在《负数的对数》一文中，达兰贝尔举出各种玄奥莫测的分析学的和几何学的论据来否定这种对数的存在，他使这一问题变得更加神秘。他还说这仅仅是一个措辞的问题，并以此掩盖他与大师欧拉之间的分歧。所有卷入这一论战的人都坚持认为自己的想法是正确的。在18 世纪前半叶，人们还认为一些复数的运算，如复数的复数幂，将会产生一种全新的数。但正是达兰贝尔本人，在《关于风的一般成因的考虑》一文中，证明了复数的所有运算的结果只能是复数。尽管在这一问题上，达兰贝尔迈出了举足轻重的一步，但他的证明确实是由欧拉和拉格朗日所完善的。也许达兰贝尔已意识到了他的关于复数的思想处于一种很混乱的状态，因为在他为《百科全书》写数学条目时，并没有提及复数。
显然，欧拉也仍然没能弄明白复数，在18 世纪最优秀的代数课本，他的《代数》（1770 年）一书中，他说：负数的平方根既不是零，也不是比零小或比零大的数。显然负数的平方根不能被划归为任何可能的数（实数），因此我们必须说它们是不可能的数。而由这种情况，我们将导出这样一种数的概念，它们在本质上是不可能的，并且通常被称为虚数或幻想中的数，因为它们仅存在于想象之中。
对于复数他还犯了一些错误，在他的《代数》中他认为?，因为? 。
-1 -4= 4 = 2 a b = ab
尽管欧拉将复数称为不可能的数，但他又说复数是有用的。他认为复数的作用在于能够告诉我们哪个问题是有解的，哪个问题是没有解的。这样，当我们要求把12 分为两部分，并使两部分乘积为40（卡丹的幽灵）时，我们得到两部分为6 + -4和6 - -4，因此，欧拉指出，我们可以得知这个问题是没有解的。尽管对于复数有如此众多的反对意见，在18 世纪，人们还是像使用实数一样有效地使用复数，数学家们也因此对它产生了一些信心。在数学证明时，运用复数，最后的结果总是正确的，并且复数在其中发挥着显著作用。关于这些证明的有效性，甚至往往是结果的正确性的疑虑依然困扰着数学家们。达兰贝尔在《百科全书》一书中关于负数的表述，反映了人们对待接受几种有些麻烦的数的普遍态度，这些数包括无理数、负数和复数。达兰贝尔的这一条目，写得一点也不清晰，他得到这样一个结论：“不管我们如何看待这些量，负数的代数运算法则已普遍地为人们所接受并被认为是正确的”。
在欧洲人试图去理解各种类型的数的几个世纪中，另外一个重要的逻辑问题变得突出起来。即运用代数的逻辑，第一本汇集了重要的新成果的著作是卡丹的《重要的艺术》。书中给出了如何求解三次方程，如x3+3x2-6x=10 和四次方程，如x4+3x3+6x2+7x+5=0。在约一百年中，代数体系中还增添了大量的其他成果，像数学归纳法，二项式定理，求高次或低次方程的根的近似法等，而主要的贡献者，则是韦达、哈里奥特、吉拉德、费马、笛卡尔和牛顿。但这些成果却未得到证明，尽管卡丹和其后的代数学家庞贝利、韦达确实给出过几何证明以证实他们解三次方程和四次方程的方法，但是，由于他们没有考虑负根和复数，因而其证明实际上并不能称之为证明。此外，引入像四次幂和五次幂这样的更高次方程，即意味着仅限于三维的几何不能作为证明的依据，其他著者的成果，也常常只是一些从具体的例子中提出的结论。
① 欧拉在这里采用了被称为复数的极坐标表示的形式。，ψ是原点到x+iy 的线段与x 轴之间的夹角，若y=0，则ψ=0。——原注
韦达向正确的方向迈进了一步，从埃及人和巴比伦人的时代起，一直到韦达做了这方面的工作为止，数学家们仅解决带有数字系数的线性、二次、三次和四次方程。因而，像3x2+5x+6=0 和4x2+7x+8=0 这两个方程被认为是不一样的，尽管很明显地存在着一种同样的方法来解决这两个方程。此外，为了避免负数，在很长的一段时期中，人们将诸如x2-7x+8=0这样的方程用x2+8=7x 的形式来处理，这样，同次方程中就有许多种类并且每一种都是分别求解的。韦达的一个主要贡献就是引入了字母系数。韦达所受的专业训练是律师，总的说来，他将数学作为一种业余爱好，并自己出资出版发行其著作。尽管以往曾有人零星和偶然地用到了字母，但韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人，字母的主要的新用途不仅是用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数。这样，所有的二次方程可以一下子写成ax2+bx+c=0（我们现在的记法）来处理。在这里， a、b、c 这些字母系数可以表示任何数，x 则代表未知量或要解的未知量。韦达将其新型的代数叫做类型计算，以区别于数字计算，他完全清楚当他研究一般二次方程ax2+bx＋c=0 时，他所处理的是整个一类的表达式。在他的《分析艺术引论》（1591 年）中区分类型计算和数字计算时，韦达划分了算术与代数的界限。他说，代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类型计算。算术和数字系数的方程则是与数打交道，是数字计算。这样一来，通过韦达所走出的这一步，代数成了研究形式的一般类型和方程的学问，因为对一般情况的研究包含了无穷多个特殊情况。
韦达用字母表示一类数的优点在于：如果证明了某种求解ax2+bx+c=0的方法是正确的，那么，这种方法就可以确保求解无穷多个具体方程，如3x2+7x+5=0 的正确性。韦达的贡献在于使代数证明的普遍性成为可能，但是如果想对a、b、c（在这里代表任意的实数或复数）进行运算时，就必须知道这一运算对所有的实数和复数都适用。但因为这些运算都未得到逻辑上的证明，甚至数的类型的确切定义也未曾有明确的表述，所以对普遍的a、b、c 运算的证明也自然不能实现，韦达自己也是摒弃负数和复数的。因此，在他的类型运算中所预见的普遍性也仅能限于某一范围内使用。韦达的思想就算是合理的，也无法解释。一方面，他在运用字母系数上做出了极为重要的贡献，而且，韦达充分认识到这一举措使普遍的证明成为可能，但就其拒绝承认负数和用字母系数表示负数上看，却同样揭示了即使是人类最优秀的头脑，也存在着严重的局限性。负数的运算法则已存在了约八百年，并且以此法则能够得到正确的结果。韦达本不应反对这些法则，因为这些法则差不多就是韦达所处时代的代数所能提供的全部，只是负数缺乏正数所具有的直观性和物理意义。显然，左右数学家们接受什么的并不是逻辑而是直觉，直到1657 年，赫德(John Hudde) 才允许了字母系数既可以代表负数，又可以代表正数，从此以后，数学家们才开始自由地使用它。
在韦达时代，即16 世纪末，代数只是几何的一个附庸。从解决几何和商业中的简单实际问题的目的出发，产生了涉及一个未知数的一元方程和涉及两个未知数的二元方程的解法，直到17 世纪代数的威力才被逐渐认识到。笛卡尔和费马迈出了举足轻重的一步，这就是坐标几何（应该称之为代数几何）的产生。其基本思想是，曲线显然可以用方程来表示。例如，x2+y2=25 代表半径为5 的圆，在证明曲线任意多个性质方面，代数表示法要比古希腊人纯粹的几何法或综合法容易得多。
然而，当笛卡尔于1637 年出版其《几何》时，与费马1629 年的著作（费马去世后出版）一样，却不打算接受负数。因此，代数方法的思想进入了几何，却未充分发挥其作用，这一点是很明显的。但笛卡尔和费马的继承者们却将负数引入了坐标几何，使其成为分析和几何学重要发展的基础。
第二个将代数推向前台的创举是运用代数公式表示函数，正如我们所知的那样（第二章），伽利略引入了用公式描述物体运动的思想。这样，以每秒100 英尺的速度向上抛的物体距地面的高度可用公式h=100t-16t2来表示，关于运动的各种情况都可通过代数方法从这个公式中推导。例如，物体所能达到的最高高度，达到最高高度所需的时间以及物体返回地面所需的时间。实际上，代数的巨大作用很快就被认识到，数学家们开始广泛地运用代数，使其迅速发展成为占主导地位的科学并超过了几何。
代数的自由使用激起众怒，哲学家霍布斯尽管在数学上是个小人物，但在反对“那群把代数用到几何上去的家伙”时代表了许多数学家的意见。
霍布斯说这些代数学家把记号错认为几何，他还称瓦里斯关于圆锥曲线代数处理的著作，是一本无耻的书和“记号之痴”。许多数学家，包括帕斯卡和巴罗都反对代数的运用，因为它没有逻辑基础，他们坚持用几何方法和证明。一些人则相信可以退回到在几何基础上建立代数学的基础，并以此自慰。但我们已说过，这只是一个幻想而已。
虽然如此，出于一种实用的目的，大多数数学家还是自由地使用着代数。代数本身在解决各种实际问题时的价值以及甚至是在处理几何问题时的优越性是如此显著，以致使数学家愈发深入到这一领域中。
笛卡尔始终将代数看作是为几何服务的，而瓦里斯和牛顿的观点却与之不同，他们承认代数的全部功用。虽然如此，数学家们对放弃几何方法还是极不情愿。据编注了牛顿《原理》第三版的潘伯通(Henry Pemberton)说，牛顿不但经常对希腊几何学家表示钦佩，而且还为自己没有比过去那样更紧密地追随他们而自责。在他给J.格雷戈理的侄子D.格雷戈里(DavidGregory)的一封信中，牛顿认为代数学是数学中笨拙者的分析。但在他自己的《普遍的算术》（1707 年）中，却同任何一本著作一样，欲建立代数的权威性。在这本书中，他将算术和代数作为基础的数学科学，并仅在几何能提供证明的地方才允许其存在。但是从整体上看，这本书只是法则的堆砌，很少有证明甚至是直观证据来说明数和代数过程。牛顿的观点是在代数表达式中用字母代表数字，而算术的确定性是没有什么可怀疑的。
同样的，莱布尼茨也注意到了代数增长着的优势并充分肯定了它的有效性，但考虑到缺乏证明，莱布尼茨不得不这么说：“几何学家几句话就能证明的东西，在微积分中却往往是十分冗长的......代数的运用是有保证的，但它并不更好一些。”他把当时的代数研究工作称为“好运气和机遇的混合物”。但欧拉却在《无穷小分析引论》（1748 年）中公开并毫不保留地称誉代数远比希腊人的几何方法优越。直到1750 年，人们才得以放心大胆地运用代数。此时，代数已是一棵枝繁叶茂的大树，但它却没有根。数系和代数学的发展形成了鲜明的对比，几何学是公元前300 年前用演绎的方法建立起来的，后面我们将看到几何中的几个瑕疵也易于纠正。但算术与代数学却怎么也找不到逻辑基础，这样看来，缺少逻辑基础，势必会困扰所有的数学家。但是，精通希腊演绎几何的欧洲人为什么会接受并运用没有依逻辑而建立起来的各种类型的数和代数学呢？
这里有几个原因。人们接受整数和小数的性质时，其基础自然是经验。当在数字中增添新型的数时，建立在经验基础上并已为人们接受的正整数和小数的运算法则就被用于这些新数上，并以几何思想作为得心应手的指导。字母在引入时，仅代表数并如同数一样处理，复杂些的代数技巧，则似乎可以由像卡丹所用的几何证明或由纯粹的特例的归纳推理得以证实。当然，这些程序在逻辑上都是不能令人满意的，即使是在用到几何的地方也没有为负数、无理数和复数提供逻辑。当然，四次方程的解是不可能由几何证明的。
其次，一开始，特别是16 世纪和17 世纪，人们并不把代数看作是一门需要有自身逻辑基础的数学的独立分支，而认为是分析几何问题的一种方法。许多从事代数研究的人，著名的有笛卡尔，都认为代数是一种分析方法。从卡丹的《重要的艺术》和韦达的《分析艺术引论》这两个题目可以看出，他们用艺术这个词，其含义就是今天我们常用于与科学相对的意义。而现在通称为解析几何学的笛卡尔的代数几何学，正反映了人们对待代数的这种态度。直到1704 年，哈雷在英国皇家学会的《哲学学报》上还发表了一篇文章，说代数是一种分析艺术，但笛卡尔的解析几何在使数学家们深感代数的力量这一点上起了至关重要的作用。终于，使用负数和无理数和在科学研究中运用代数产生的结果与观察
和实验的结果吻合得非常好。比如说，在某些科学研究中使用负数时，不管数学家们存在着什么样的疑虑，都将会因为最终数学结果具有物理上的合理性，而得以消除。人们主要关心的是科学运用，因此，任何在工作中能起作用的手段和方法，几乎都被毫不犹豫地接受。科学的需要战胜了逻辑上的顾忌。数学家们把对代数合理性的怀疑抛到了一边，就好像贪婪的实业家把道德准则抛到了一边。他们冒失却又自信地运用新代数，这样一来，代数学就逐渐被他们改造成一门独立的科学，包含并“建立”了数与几何的结论。实际上，瓦里斯也曾断言说，代数的过程和几何过程是一样合理的。
到17 世纪末，数和代数学已被认为是独立于几何而存在的。数学家们为什么没有致力于逻辑上的发展呢？既然有像欧几里得《原本》中所包含的几何的演绎推导结构这样的样本，那么，数学家们又为什么没有发展一个数和代数的演绎推导结构呢？这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看，远比算术和代数的易于接受，画图（在几何中称为作图）可辅助解释结构。但无理数、负数和复数的概念却微妙得多，即使可以得到图形，也无法解释数字作为数和建立于数系基础上的字母表示法的逻辑结构。为数系和代数建立逻辑基础是一个非常困难的问题，远比17 世纪的数学家能体会到的要难，后面我们将有机会探讨它（见第八章）。幸运的是，那时的数学家容易轻信别人，甚至可以说，是很天真的，而并没有在逻辑问题上小心翼翼，因为自由创造须领先于形式化和逻辑基础，数学创造中最伟大的时期已经到来。
第六章 不合逻辑的发展：分析的困境
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。......可以这样说，为了寻求真理，我们是注定要经历挫折和失败的。
——狄德罗
数学家们以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有争议的基础之上的。微积分是全部数学中最微妙的一个学科，一想到我们在较为简单的领域中所发现的那些缺陷，不难想象，微积分中的一系列概念和逻辑结构肯定令数学家们智穷力竭了。事实确实如此。
微积分使用了函数的概念。简单地说，函数是变量之间的一种关系。例如，当一个球从房顶落下时，下落距离和下落时间同时增加。如果我们忽略空气阻力，那么距离和时间这两个变量之间的函数关系可以用关系式d=16t2 来表示，在这里，t 指下落时间，单位是秒；d 指时间t 内下落的距离，单位是英尺①。
任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。然而，直到17 世纪，人们对函数才有了明确的理解。历史的细节并不重要，重要的是这样一个事实：虽然函数的概念易于理解，但即使是最简单的函数也涉及到所有形式的实数。因此，在上面这个例子里，肯定有人会问秒时， 的值是多少。同样，也会有人问当时，的值应该是多少。此时，这是一个无理数，而无理数在世纪时并不被人们充分了解。于是，人们在处理数字时就跳过逻辑，对函数也是如此。然而，在1650 年以前，无理数被人们随心所欲地使用，这种错误也就被掩饰了。
t = d d = 50 t
t = 17
2
50
16
微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数字所需的基础之外，它们还需要逻辑方面的基础。
17 世纪最伟大的数学家们着手处理这两个概念。这些学者中最著名的有开普勒，笛卡尔，卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)、费马、帕斯卡、詹姆斯?格雷戈里(James Gregory)、罗伯瓦尔(Gilles Persone deRoberval)、惠更斯、巴罗、瓦里斯，当然还有牛顿和莱布尼茨。上述每个人都在定义、计算微分和定积分方面做出了各自的贡献。有些人用的是纯几何推理的方法，有些人用的是纯代数推理的方法，还有些人兼而用之。我们关注的是这些人坚持数学推理这一标准的好坏程度，为了达到这一目的，举几个典型的例子就够了。事实上，这其中许多方法都很类似，不值得在这里多说。
① 1 米=3.2808 英尺——译注
正如牛顿所做的那样，理解导数之本质最好的方法是考虑速度。如果一个物体在4 秒内运动了200 英尺，我们可以说平均速度是每秒50 英尺。如果物体是匀速运动的，平均速度也就是4 秒内每一时刻的速度。然而，绝大多数运动都不是匀速的，一个落向地面的物体，一颗从枪中射出的子弹和一颗围绕太阳运转的行星都在不停地改变运动速度。很多情况下，我们必须知道某些特定时刻的速度。例如，当子弹射中人的一瞬间的速度是非常重要的，如果这个速度是零，子弹就会落在地上，如果是1000 英尺/秒，被射中的人就会倒在地上。这里所指的时刻是指长度为零的一段时间。此时，物体移动的距离也为零。因此，如果我们像计算平均速度那样计算瞬时速度，用走过的路程除以时间，结果就是0/0，这是毫无意义的。
17 世纪的数学家们依稀看到了摆脱这种困境的方法，但是并没有抓住它。这种方法也许可以这样描述：假设一个物体正在向地面落去，我们想知道下落后第四秒时它的速度。现在，如果我们考虑用物体下落中时间间隔来代替时刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时间，就得到了这一间隔中物体的平均速度。我们可以计算从第四秒起，在1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒?内的平均速度。这个时间间隔越短，计算出来的平均速度肯定越接近第四秒时的速度。若预先假定我们所要做的就是计算不同时间间隔内的平均速度并且研究它们会趋近于哪一个数，这个数就是我们所要求的第四秒时的瞬时速度。这个方案看起来不无道理，但是我们应当看到事实上还有许多内在的困难。但不管怎么说，如果我们能计算出第四秒时的速度，我们就把它称作d=16t2 在t=4 秒时的导数。
如果使用数学符号来表达上面这段话，我们会更清楚地看到困难所在。这些表达式，尤其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒时的速度。这个小球的运动状态可用d=162 (1)描述。当t=4 时，d=16×42=256，设任意一个时间增量是h，在第（4＋h）秒时，小球会下降256 英尺加上距离增量k，有256+k=16(4+h)2=16(16+8h+h2)或256+k=256+128h+16h2两边都减去256得k=128h+16h2
在时间h 秒内的平均速度为kh=128h +16hh(2)2
幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以h，这样就得到了kh= 128 +16h (3)然后，他令h=0，得到d=128 (4)作为第四秒时的下落速度（符号d 是牛顿发明的）。这里的d 就是函数d=16t2在t=4 秒时的导数。
推导的问题在于：开始，h 不为零，所以才能进行分子、分母同除以h的运算，即(3)式只有在h≠0 时才正确，这样就不能令h=0 而得出结论。而且，对于d=16t2 这样简单的函数，(2)式可以简化为(3)，而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于(2)式的结果，这样，当h=0 时，k/h 就是0/0，这是没有意义的。
费马一直没能证明他所做的这些，事实上，虽然必须承认他是微积分学的创始人之一，但他并没能把这项工作非常深入地进行下去。在他能对正在研究的想法给予充分的证明之前，他总是非常谨慎地不公布任何一般的定理。由于他能给出一个几何的解释，所以他还是满意地得到了正确的推导过程，而且他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。
使微积分的创立者们迷惑不解的第二个概念就是定积分。在计算由图形所围的总面积或曲线下的部分面积，由图形表面围住的体积以及各种不同形状物体的重心时，都要用到定积分的概念。为了弄清楚困难所在，我们来看下面这个问题。即求出一条曲线下的面积。
如图(6.1)所示，曲线GF 的方程为y=x2，求出由弧GF，x 轴上线段DE和垂直线段DG、FE 围住的图形DEFG 的面积。
图6.1
图6.2
这里，我们得通过逐次逼近来求得整个面积，就像17 世纪的数学家们所做的那样。我们把间隔DE 分为等长的三段，每段长h，把分点记为D1、D2 和D3，D3 也就是E 点（图6.2）。把分点处对应的坐标值记为y1、y2 和y3，y1h、y2h、y3h 就是图中所示矩形的面积，它们的和y1h + y2h + y3h (5)就是面积DEFG 的一个近似值。
用更多、更小的矩形，我们就能得到面积DEFG 更精确的近似值。假设我们把DE 分成六段。图6.3 显示出了图6.2 中的中间那个矩形发生的变化，它被两个小的矩形代替了。由于我们用每个分点处的y 值做为矩形的高度，图6.3 中所示的阴影面积就不再是用来表示面积DEFG 的近似值的六个矩形面积和的一部分了。因此，和式y1h + y2h + y3h + y4h + y5h + y6h (6)就比和式(5)更精确地近似于DEFG 的面积。
我们可以对上述近似过程做一个一般性的描述，假设把DE 分为n 等分，就会有n 个矩形，每个宽度都是h，每个分点的y 值为y1，y2，?，yn，省略号表示分割的所有中间y 值。n 个矩形面积的总和就是y1h + y2h +?+ynh (7)
图6.3
这里省略号表示所有中间的矩形面积。考虑如上所述的把DE 细分的效果，可知n 越大，面积和(7)就越近似于所求的DEFG 的面积。当然，n 越大，h越小，因为h=DE/n，于是，我们通过这个例子看出用矩形可实现对曲线下面积的逐渐逼近。
直观地看，矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下的面积。17 世纪的数学家们解决这个问题的办法是让n 变成无穷大。然而，无穷大的含义本身就不清楚。它是一个数吗?如果是，怎样对它进行计算呢？当费马推导出如同(7)式那样的n 个矩形的面积和的表达式时，他肯定发现其中包含如1/n 和1/n2 的项。当n 无穷大时，他认为它们可以忽略不计因而略去了。就像在上述求导数的例子中一样，费马也可以精确地证明，很有可能是用欧多克斯的穷竭法（一种有限而且相当复杂的几何方法，阿基米得用得相当熟练）。
早期用定积分计算面积和体积的工作中，也许卡瓦列里值得一提。因为他是那个时代含糊不清的思考方式的典型，而且影响了许多当时的和后来的人。卡瓦列里把图6.1 所示的面积看做无限多个他称之为不可分量的总和，这种不可分量被预先假设为直线段。然而，卡瓦列里并不清楚所谓的不可分量究竟是什么，他只不过表明：如果把一块面积分割为越来越小的小矩形，就像图6.3 所示的那样，就可以得到不可分量。在他写的一本名叫《六道几何练习题》（1647 年）的书中，他解释说，面积由不可分量组成，就像一根项链由珠子串成，一块布由线织成，一本书由许多页组成。他用这个概念设法比较了两个面积，两个体积，得到了两者之间的正确关系。
卡瓦列里的做法不能令人满意，当时一个叫古尔丁(PaulGuldin)的人指责他不仅没有理解希腊几何，反倒把它搞糊涂了。一位近代的史学家评价卡瓦列里的工作时说，如果有一个专为晦涩难懂而设的奖，那就非他莫属。因为卡瓦列里不能解释无穷个元素，即它的不可分量是怎么组成一个有限物体的，他以拒绝对他的不可分量作任何精确的解释而避不作答。有时他求助于线段的无穷和而不能清楚地解释这种无穷和的本质，有时候，他又说他的方法只是一个避免希腊人复杂的穷竭法的实用方法。更进一步，卡瓦列里争辩说，当代几何学家们对于概念的态度比起他要随便得多，开普勒的《测量酒桶体积的新科学》（1616 年）就是一例。他接着说这些几何学家满足于仿效阿基米得求面积的方法，但又没有给出像伟大的希腊人那样完整的证明。相反，他们满足于他们的计算，只要结果有用就行了。卡瓦列里采用同样的观点，他说，他的做法能引向新的创造，而且他的方法一点也没有强迫人们把一个几何结构看成是由无穷多个部分组成的；除了在面积之间和体积之间建立正确的比之外，没有其他目的。但是这些比保持它们的意义和值，而不管人们对于图形的构成有什么见解。做为最后一招，他把这个概念性问题归结于哲学问题，因此就不重要了。“严密性”，他说，“是哲学所关心的事情，而不是几何所关心的”。
帕斯卡支持卡瓦列里，在他的《致外省人书》（1658 年）中他宣称不可分量的几何与古典的希腊几何是一致的。“凡是能用不可分量的正确法则证明的东西，也能用古人的方式去严格地证明。”更进一步，他说不可分量的方法必定会受到任何一个自称为几何学者的数学家的承认，它和古代的方法只是语言上的不同。然而，帕斯卡对于严密性也有矛盾心理，有时他辩护道，为了做正确的工作所必需的东西是专门的“技巧”，而不是几何的逻辑，正如宗教对皈依的领会高于理智一样。在微积分中出现的几何悖论，如同基督教中那里的荒唐事一样。几何中的不可分量与有限量之间的关系同人类的公正与上帝的公正之间的关系是一样的。
还有，观点的正确与否常常是由心智决定的（见第二章）。帕斯卡在他的《思想录》中写道：“我们不仅靠推理，而且也靠心智来认识真理。正是从这后一个来源中我们认识了基本原理，推理在这一点上无法与心智匹敌。......而且正是基于我们心智和直觉知识基础上的推理建立了其全部结论。”当然，帕斯卡并没有使卡瓦列里的方法变得更清楚一点。
对微积分的创建贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿很少涉及积分的概念，但他广泛地使用导数。他求导数的方法基本就是费马的方法，然而，他对这个基本概念的逻辑正确性更清楚一些，他写了三篇微积分方面的论文，而且他的巨著《自然哲学的数学原理》先后出了三版。在他的第一篇论文中（1669 年）他表述了求导数的方法，他评论这种方法是“简短的解释而不是精确的证明。”在这里他用到了h 和k 是不可分量这样一个事实。在他的第二篇论文中（1671 年），声明他还做得更好些，因为他改变了对变量的观点，先前他认为变量是离散变化的，h 是终极的不可再分的单元，而现在，他认识到变量是连续变化的，他说他已经把在第一篇论文中所用的那些关于不可分量的定义的苛刻条件去除。然而，他在计算流数（关于导数的术语）时，方法与第一篇实质上是一样，在逻辑上毫无长进。
在牛顿关于微积分的第三篇论文《求曲边形的面积》（1676 年）中，他重申他已经放弃了无穷小量（终极不可分量），接着，他批评了扔掉如前面(3)式中含h 的项的做法。他说：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。”然后，对他的流数的含义又做了一番新的解释，“流数，随我们的意愿，可以任意地接近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量，精确地说，它们是最初增量的最初的比，......”当然这样含糊不清的措词无济于事。在计算流数的方法这个问题上，牛顿在第三篇论文中的逻辑如同第一篇论文中同样的粗糙，他略去了所有高于h 的一次幂的那些项，比如说h2，这样就得到了导数。
在他的巨著《自然哲学的数学原理》（1687 年，第一版）中，牛顿对流数做了几种陈述，他舍弃了终级不可分量而用了“消失的可分量”，即能够无穷地缩小的量。在《原理》的第一版和第三版中，牛顿说：量在其中消失的终极比，严格说来，不是终极量的比，而且它与无限减少的这些量所趋近的极限之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。
虽然这种解释根本说不上明白，但这已是牛顿对他所谓的流数给出的最明白的解释了。在这里，牛顿触及到了关键的词“极限”(Limit)，但他并没有深究这个概念。
毫无疑问，他意识到了他对流数的解释是不能令人满意的，于是，可能在绝望之中，他求助于物理意义。在《原理》中他写道：以下关于没有消失量的终极比的观点值得商榷。因为在量消失以前，比就不是终极的，而若量消失了，也就无所谓比了。同样以下观点也值得商榷，即当运动停止时，也没有一个物体到达某一确定位置的终极速度。因为在物体到达某终极位置之前，速度不可能是终极速度，而若物体到达极限位置，终极速度也就为零了。其实答案很简单。最后速度的意思是：它既不是在物体到达最后位置，运动停止时之前的速度，也不是到达以后的速度，而是正到达那一瞬间的速度。即物体以这样的速度到达它的最后位置并且停止。同样的，就消失量的最后比来记，应理解为不是在量消失以前，也不是在消失以后，而是正当它们消失时的比。
既然他的数学研究结果实际上都是正确的，牛顿就没在微积分的逻辑基础上花过多的时间。在《原理》中，他用的是几何方法并且用几何方式给出关于极限的定理。很久以后，他承认他用了分析的方法来发现《原理》中的定理，但是他还是从几何上来系统地证明，以使他的观点像古人那样可靠。当然，这些几何证明一点也不严格，牛顿对欧氏几何充满信心，但没有真实的证据可以显示它能对微积分有所支持。
莱布尼茨研究微积分的方法有所不同，他认为当h、k（他写成dx，dy）减小时，它们成了“逐渐消失的量”或“无穷小量”。此时，h 和k 不为零，但比任何给定的数都要小，因此，h 的任意次幂，例如h2，h3 肯定可以忽略，而且比值k/h 就是我们所要求的量，即导数，莱布尼茨用dy/dx表示。
莱布尼茨用几何表述h 和k 的方法是这样的，当P、Q 是一条曲线上无限靠近的两点时，dx 是它们的横坐标之差，dy 是它们的纵坐标之差（图6.4），而且，T 点处的切线就与弧PQ 重合。因此，dy 除以dx，就是切线的斜率，三角形PQR 称做特征三角形，但这并不是莱布尼茨首创的。帕斯卡和巴罗很早就用过。莱布尼茨研究过他们的著作，莱布尼茨还认为三角形PQR 与三角形STU 相似，而且他用这个事实来证明有关dy/dx 的一些结果。莱布尼茨对积分的概念也做了广泛的研究。他独立地提出了前述(7)式用矩形求和的思想。然而，从有限多个矩形面积和到无限多个矩形面积和这个过程是含糊不清的，他认为当h“无限小”时，就得到了无穷和。他把这记作∫dx，并设法算出了类似这样的积分，而且实际上，独自发现了我们现在所说的微积分基本定理。这个定理表明，可以通过求导数的逆过程求得这个积分和（求原函数）。经过了大约十二年的努力，他终于在1684 年在《教师学报》上发表了他关于微积分的第一篇论文，他的朋友贝努利兄弟对其作了恰如其分的评价，说它“与其说是解释，不如说是谜。”牛顿和莱布尼茨的思想都不够清晰，而且都受到人们的批评。牛顿对于批评无动于衷，莱布尼茨则不这样，他花了大量篇幅尝试去解释，特别是它关于无穷小量的概念。在1689 年刊于《教师学报》的一篇文章里，他说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。在这篇文章中他还分别用几何方法来证明一个高阶无穷小量，比如说(dx)2，相对于低阶无穷小量，如dx，就像一个点对于一条线，而dx 对x 就像一个点对于地球或地球的半径相对于宇宙的半径。他认为两个无穷小量的比就是一个不确定量的商，但这个比值是可以用有限数表示的，例如，在几何中dy 与dx 之比就是纵坐标与次切线之比（如图6.4 中TU 比SU）。
莱布尼茨工作受到了纽汶提(Bernhard Nieuwentijdt)的批评，莱布尼茨1695 年在刊于《教师学报》的一篇文章中对此予以回击。他谈到“过分苛刻”的批评者，并说过分的审慎不应使我们抛弃创造的成果。然后，他说他的方法不同于阿基米得方法之处，只在于所用的表达式，但他自己的方法更好地适用于发明的艺术。“无穷大”和“无穷小”仅仅表示需要多大就多大和需要多小就多小的量，这是为了证明误差可以小于任何给定的数，换句话说，就是没有误差。人们能用这种终极的东西——无穷大量和无穷小量——作为一种工具，正如在代数里用虚根有极大的好处一样（此时我们应该回想一下在莱布尼茨时代虚数的地位）。1699 年，莱布尼茨在给瓦里斯的一封信中给出了稍微有些不同的解释：
考虑这样一种无穷小量将是有用的，当寻找它们的比时，不把它们当作是零，但是只要他们和无法相比的大量一起出现，就把它们舍弃。例如，如果我们有x+dx，就把dx 舍弃。但是如果我们求x+dx 和x 之间的差，情况就不同了。类似的，我们不能把xdx 和dxdx 并列，因此如果我们要微分xy，就可以写出(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy，但这里dxdy 不可比较地小于xdy+ydx。因此，在任何情况下，误差都小于任何有限的量。到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678 年3 月19 日给H?康林(Herman Conring)的一封信中说，这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限也具有同一性质。”在1687 年给培尔(Pierre Bayle)的一封信中，莱布尼茨更充分地表述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最后的终点也可以包括进去。”然后他运用这个原理为抛物线y = x 计算dy / dx，在得到后，他说：“现在，因为按我们dydx2 = 2x + dx的假设，允许在一个普遍的道理下，也包括纵坐标x1y2 越来越向确定的纵坐标x2y2 靠近并最终与它重合的情形（如图6.5）。很明显，在这种情况下dx 成为0 并且应该被忽略掉......”莱布尼茨没有证明当dx 为0 时，应该给予方程左边的dx 和dy 什么意义。
当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别。然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完全的相等或者静止，......而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。......是否这样一个从不等到相等的瞬时过渡......能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认这可能尚未解决。......
如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。
在这些假定下，我们在1684 年10 月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不太麻烦地予以证明。
然后，莱布尼茨就讨论这些规则，但一点也没使它们更清晰。
他提出的连续性原理的确不是，今天也不是一个数学公理。然而他强调它，并且给出许多与其相符的论据。例如在一封给瓦里斯的信中，莱布尼茨为他使用一个没有量的形式的特征三角形，即量缩小为0 之后，特征三角形的形式仍然存在作辩护，而且挑战性地反问道：“谁不承认没有量的形式呢？”类似的，在1713 年给格兰迪(Gvido Grandi)的一封信中，他说，无穷小不是简单的、绝对的零，而是相对的零，即它是一个消失的量，但仍保持它那正在消失的特征。然而，莱布尼茨在另外的时候又说，他不相信度量中真正的无穷大或真正的无穷小。
一直到1716 年他去世，莱布尼兹一直在解释他那些无穷小量及无穷大量的含义，这些解释一点不比上面我们已经看过的更好。对他的微积分学，他自己一直没有清晰的明确的概念或是逻辑的判断力。
牛顿和莱布尼茨的推理竟会如此粗糙，这真令人吃惊。在他们着手研究微积分之前，其他伟大的数学家早已取得了可观的进展，他们两个人也都研读过前人的著作，事实上，牛顿的老师巴罗，就用几何方法得出了一些基础性成果。当牛顿说：“如果说我比别人看得更远些，那只是因为我站在巨人的肩膀上”时，这不只是谦虚而是事实。至于莱布尼茨，他是最伟大的哲人之一，我们已提起过他在许多领域的贡献（见第三章），他智慧的深度与广度可与亚里士多德相媲美。当然，微积分涉及到许多新的，微妙的思想，即使是最富有创造力的头脑也未必能深刻理解他们自己的创造。
由于不能充分弄清楚概念和判别运算的正确与否，二人都依赖方法的多样和结论的彼此一致而大胆地向前推进，尽管并不严谨。莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西的程序性或算法上的价值，在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵，毫不迟疑地认为一门新科学即将诞生。
微积分的基础仍然不清楚，牛顿的支持者继续谈论最初比和终极比，而莱布尼茨的追随者们则使用无穷小的非零量。由于这些不同方法的存在，更增加了建立合理逻辑基础的难度。许多英国数学家也许由于主要是仍然为古希腊几何所束缚，更关心微积分的严密性而不相信这两种方法，其他一些英国数学家选择了牛顿而不是数学做为研究对象，因此朝着严密化的方向没能有什么进展。这样，17 世纪就随着微积分、算术及代数的一片混乱结束了。
尽管面临众多的反对意见，但是，18 世纪伟大的数学家不仅极大地扩展了微积分学而且从中导出了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法及复变函数，这些统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。甚至连那些怀疑论者和批评家也在这些扩充中任意地使用各种类型的数和代数。微积分的运算，仿佛在逻辑基础上不再有任何问题了。
从微积分学到这些新分支的扩展引入了新概念、新方法，使得微积分的严密性问题更加复杂，对无穷级数的处理也许可以用来解释一下这些新添的麻烦。先让我们看一下无穷级数给数学家们带来的问题。
函数可以写作，把二项式定理用于后一种形式，可得
......
1
1
1
1
2
+
+
x
x
(1+ x)
= (1+ x)-1 =1 -x + x2 - x3 + x4 (8)
在这里，点表示这个式子按已列出的几项的形式无穷延续下去。无T 穷级数引入微积分的原义是用它们代替函数进行运算，比如说求导及求原函数，因为从技术上来说，用级数中较简单的项更易于进行这些运算。而且函数，例如sinx 的级数还被用来计算函数的值，在所有这些用法中，最重要的是知道级数是否与函数相等。当x 被赋予一个值时，函数也相应地有一个值，关于级数必须提出的第一个问题是：对于一个给定的x 值，级数会得到一个什么值？换句话说，无穷级数的和意味着什么？我们又怎么去求它？第二个问题是：是否对所有的x 值，级数都表示函数或者最少是对于使函数有意义的值？
在他论述微积分的第一篇论文中（1669 年），牛顿自以为是地引入无穷级数来加快微积分运算的过程。因此，为了求y = 的积分，他用
1
1 + x2
了二项式定理，得到
y=1-x2+x4-x6+x8-......
然后逐项积分，注意到如果用函数的另一种写法y=1/(x2+1)，则用二项式定理得到
y
x x x x
= - + - + 1 1 1 1
2 4 6 8 ......
他接着说道，当x 足够小时，用第一个展开式；但当x 较大时，就用第二个展开式。这样，他就对我们今天所称的收敛性的重要性有了些许认识，但他对此并没有明确概念。
用牛顿对他使用无穷级数的评价可以说明那个时代的逻辑，在1669年的这篇文章中他写道：
任何事情，只要是普通分析（代数学）能够通过有限多项的方程去做的（只要能做的话），也能够通过无限多项的方程（级数）去做，这就使我毫无疑问地把这后一种也称为分析。因为后一种推理的确定性不少于前一种，后一种方程的精确性也不少于前一种。不过，我们这些凡人的推理力量，是局限在狭窄的范围内的，所以既不能表达，也无法去想象方程的一切项，使得能够从中确知所求的量。
这样对牛顿来说，无穷级数只是代数学的一部分，是一种处理无穷多项而不是有限多项的较高级的代数。
在牛顿、莱布尼茨、贝努利家族、欧拉、达兰贝尔、拉格朗日和其他18 世纪的数学家努力研究无穷级数的古怪问题，并把它用于分析之时，他们酿下了各种大错，做出许多错误的证明，因而得出许多错误的结论；他们甚至还给出了一些我们现在看来荒唐可笑的证明，我们可以略举一例以说明他们在处理无穷级数时的迷惑与混乱。
当x=1，表示1/（1+x）的级数(8)
1
1+
= 1- x + x2 - x3 + x 4?(8)
变为1-1+1-1+1?
这个级数的和是多少？这个问题引起了无休无止的争论。把级数写成如下方式
(1-1)+(1-1)+(1-1)+?
看起来似乎很清楚，和就是零，然而，把级数写成另一种方式
1-(1-1)-(1-1)-?
似乎同样很清楚，和为1。但如果用s 代表级数之和，有s=1-(1-1+1-1+?)
或s=(1-s)，
因此s=1/2。这最后一个结果也为其他证据所支持。这个级数是公比为的几何级数，而首项为，公比为的无穷几何级数之和为，在上面这个例子中，和就是，即。
-1 a r
1/ 2
a
1 r
1
1 1 1
-
- ( - )
格兰迪在他的小册子《圆和双曲线的方程》（1713 年）中，用其他的方法得到了第三个结果。他在方程（8）中令x=1，得到
1
2
= 1- 1+ 1- 1+ ?
便认为1 就是级数的和。他还认为，由于这个和也可以是，他业已
2
证明，世界能够从空无一物创造出来。
在1713 年的《教师学报》上发表的莱布尼茨写给沃尔夫(ChristianWolf)的一封信中，他也谈到这个级数，他同意格兰迪的结果，但他认为可以不借助于原来的函数求得这个结果。他认为，如果取级数的第一项，前两项的和、前三项的和等等，就得到1,0,1,0,1......可以看出来，1 和0有同样的可能性，因此就应该取算术平均值为和，也就是1/2，这也是最可能的结果，这个证明为贝努利家族及拉格朗日所接受。莱布尼茨承认他的证明中形而上学的成分多于数学的成分，但他接着说，在数学中，存在我们通常承认的更为形而上学的真理。
在欧拉1745 年的一封信和1754 年（或1755 年）的一篇论文中，他探讨了级数求和的问题。一个级数，如果不断增加其项数，它就能越来越逼近一个常数，就说这个级数是收敛的，这个常数就是它的和。按欧拉所说的，当一个级数的各项递减时它就是收敛的。反之，若级数的各项不减少，甚至增加，那么它就是发散的。他说，由于这种级数来自于已知的显函数，我们可以取这个函数的值做为级数的和。
欧拉的理论又导致了新的问题，他处理了下述展开式：
1
1
1 1 2 3 4 2
2 2 3
（
?
+
= + - = - + - +
x
x x x x
)
( )
当x=-1 时，得到
∞=1+2+3+4+......
这个结果似乎是合情合理的。然而，当欧拉接着考虑函数1 的级数
1- x
时，也就是
1
1
1 2 3
-
- + + + +
x
x x x ?
让x=2，那么
-1=1+2+4+8+?
由于这个级数右边各项的和应超过上一个级数各项之和，欧拉得出结论：-1 比无穷大更大。欧拉同时代的一些人则认为负数大于无穷大不同于负数小于零，欧拉不同意这点，并且认为∞正像零一样把正数、负数分隔开来。欧拉关于收敛与发散的见解并不正确，即使在他所处的年代里，从他所讲的意义上说，逐项递减的级数也没有和，而且他自己也用不是从显函数导出的级数进行研究。因此，他的“理论”是不完善的。此外，尼古拉?贝努利(Nicholas Bernoulli)在1743 年给欧拉的一封信中，他一定向欧拉指出了同样的级数可以从不同的展开式中得到，因此按欧拉的定义，必须给这个级数不同的值。但是欧拉在回复哥德巴赫(Christian Goldbach)的一封信中说尼古拉?贝努利没有给出一个例子来，他自己也不相信同一级数会出自两个确实不同的代数式。然而卡莱(Jean-CharlesCallet)真的给出了一个这样的例子，拉格朗日试图去证明对它应当不予理睬，但后来人们看出这个证明是错误的。
再加上其他一些原因，欧拉对无穷级数的处理是不合适的。级数可以被微分或积分，它的微分和积分又导致函数的微分或积分，这样做的正确性必须加以证明。然而，欧拉宣称“无论如何，一个无穷级数可作为某些有尽的表达（函数的公式）的展开而得到，在数学运算中它可以用作与那些表达式等价的东西，甚至对那些使级数发散的变量也是如此。”因此，他说，我们能够保留发散级数的功用，并且保护其免受指责。
其他18 世纪的数学家们也意识到必须区分我们今天所称的收敛级数与发散级数的特征，尽管他们对这种特征是什么一无所知。困难当然是在于他们研究的是一个新概念，像所有先驱者一样，他们必须在丛林中披荆斩棘。当然，为莱布尼茨、欧拉和拉格朗日所接受的牛顿的最初的想法，即级数只不过是长的多项式，因此应归到代数学范围内，是不能用来严格地讨论级数的。
在18 世纪无穷级数方面的工作中，形式的观点占据统治地位。在他们的运算中，数学家们a 甚至憎恨任何限制，例如必须考虑收敛性。他们的工作产生了许多有用的结果而且他们也就满足于得到实用的支持，他们确已超越了他们所能给出正确理由的界限，但他们在运用发散级数时，总的来说，还是谨慎的。
虽然数系和代数学的逻辑处境并不比微积分的更好，数学家们还是聚焦于微积分并试图巩固其松散的逻辑基础。造成这种情况的原因无疑是到1700 年时，各种类型的数看起来都很接近，也显得更自然一些了。然而微积分的概念，仍是陌生、神秘的，似乎难以接受。再说，在数的使用中没有什么矛盾，而在微积分及其扩展无穷级数与其他分支中，确实产生了矛盾。
虽然莱布尼茨研究微积分的方法更流畅也更便于使用，但就严格性来说，牛顿的方法实际上可能更容易些。英国人还认为可以将这两种方法与欧氏几何联系起来，从而保证其严密性，但他们混淆了牛顿的瞬间（moment，不可分割的增量）与他的连续变量的应用。大陆上的数学家们则追随莱布尼茨，并且力图把他的微分概念严密化。解释和评价牛顿与莱布尼茨的方法的书卷帙浩繁且谬误连篇，甚至经不起推敲。
数学家们尽管做出了种种努力来使微积分严密化，一些思想家还是抨击其合理性，尤以哲学家贝克莱为最。他害怕数学激发的机械论和决定论哲学信仰对宗教造成日益增大的威胁。1734 年，他发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家①，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书。“先除掉你自己眼睛里的障碍，你才能看得清去擦掉你兄弟眼中的灰尘”。贝克莱抱怨数学家们的推理晦涩难懂、玄奥莫测，他们对自己的每一步既没有给出逻辑，也没有说明理由。贝克莱批评了牛顿很多的观点，他特别指出牛顿在他的论文《求曲边形的面积》中（用x 作为我们用h 表示的增量）进行了一些代数运算，然后又忽略了含h 的项，因为h 现在是零了（比较(4)式）。贝克莱说，这是对矛盾律②的蔑视，神学中不允许这样的推理。他说，一阶流数（一阶导数）似乎超出了人们的理解能力，因为它们超出了有限的范围。
如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？那能够构想出开端的开端，抑或末尾的末尾的人......或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的......我想，那些能消化得了二阶流数或三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。谈到关于h 和k 的消失，贝克莱说：“在我们假设增量消失时，理所当然，也得假设它的大小、表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之而消失。”至于被牛顿用瞬时量h 和k 的比弄得更复杂的导数，“它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。我们只能称其为消失了的量的鬼魂”。
同样的，贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作《人类知识原理》（1710 年出版，1734 年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：
有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量((dx)2)等，他们总说有无穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物。
他继续在《分析学者》里攻击莱布尼茨：
莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计。
① “不信教的数学家”指哈雷。据传，当时贝克莱的朋友病危但拒绝祈祷，说不信教的哈雷使他很难相信宗教教义。——译注
② 矛盾律是一条逻辑原理：一事物不能同时既属于又不属于一特定的类（如既是桌子又不是桌子），或者既处于又不处于一特定状态（如既是红的又不是红的）。——译注
贝克莱认为，从几何上来看，微分之比应该确定割线的斜率，而不是切线的斜率，忽略了高阶无穷小才消除了误差，因此，“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”，这是因为错误互相抵消的缘故。他还挑中二阶微分，即莱布尼茨的d(dx)作文章，因为d(dx)是dx 的微分，而dx 本身是一个很难识别的量。
关于牛顿和莱布尼茨的方法，贝克莱反问道：“难道我们这个时期的数学家也像科学家一样了吗？只花大气力去应用自己的理论却不设法理解它们。”“在每一门其他科学中，人们用他们的原理证明他们的结论，而不是用结论来证明他们的原理”。
贝克莱用一连串的质问结束了《分析学者》一书，谨摘录若干如下：
那些对宗教如此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的科学吗？他们会不屈从于权威、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和矛盾吗？许多数学家回击了贝克莱的批评，但没人能成功地使微积分严密化。在这方面，欧拉做出了重大的努力。欧拉拒绝把几何作为微积分的基础，他试图纯粹形式地研究函数，即从它们的代数（分析）表达式来论证。他否定了莱布尼茨的无穷小概念，即所谓不等于零却小于任意一个给定值的数。在欧拉的《微分学原理》，1755 年出版的一部18 世纪的微分学经典著作中，他论证道：
无疑，任何一个量可减小到完全消失的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失的量，因为它本身就等于0，这与无穷小量的定义也是协调的，按照无穷小的定义，它应小于任一指定的量，它无疑应当就是无，因为除非它等于0，否则总能给它指定一个和它相等的量，而这是与假设矛盾的。
既然无穷小dx（用莱布尼茨的记号）等于零了，那么(dx)2，(dx)3 肯定也为零，因为按惯例，这些量被称为dx 的高阶无穷小。于是，对莱布尼茨来说，他的无穷小之比dy/dx，在欧拉眼里即为0/0，但0/0 是多值的。欧拉的理由是任何数乘以零还得零，若用零作被除数，有0/0=n。对所涉及的特定函数，通常求导数的方法即可决定比0 的值。他以函数0
y=x2 为例，给x 一个增量h（他用ω），此时，h 不为0（比较前述(1)至(4)），得到k/h=2x+h
此时，莱布尼茨允许h 为无穷小，但不为0，而欧拉说h 就是0，所以在本例中比k / h，即，等于。002x欧拉强调说，这些微分，即h 和k 的最终值，是绝对的0，因为他只知道它们相互的比值最终化为一个有限值，此外推不出任何其他东西。在《原理》第三章中，欧拉更多地谈到这个性质，他在那儿鼓励读者说，导数并不像通常认为的那样隐藏着极大的神秘性，而那种神秘性使许多人心目中怀疑微积分。当然，欧拉求导数的方法的正确程度并不比牛顿和莱布尼茨更高。
欧拉在他那形式的并非正确的对微积分的探讨中所做的贡献是将其从几何学中解放出来，并将其建立在算术和代数的基础上。这至少为最终将微积分的合理性建立在数的基础上开辟了道路。
18 世纪后期，对建立微积分基础最雄心勃勃的尝试来自拉格朗日。像贝克莱及其他人一样，他认为微积分是由于相互抵偿才得到正确结果。在他的《解析函数论》（1797 年初版，1813 年再版）中，他完成了他的重建工作。这本书的副标题是：“包含着微积分的主要定理，不用无穷小或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为有限量的代数分析艺术”（着重号为拉格朗日所加）。
拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：
此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下，仍看作是量。因为对两个量，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。
他同样地不满意莱布尼茨的无穷小量和欧拉的绝对零，这两者“虽然在实践中是正确的，但作为一门科学的基础仍不够清晰，因为科学的确定性应基于自身的证据”。
拉格朗日想给微积分提供类似于古人论证那样的全部严密性，并且他提出要把微积分归结为代数来做到这一点。特别是，拉格朗日提出用无穷级数（级数被认为是代数的一部分，但其逻辑比微积分的逻辑更为混乱）来严格地奠定微积分的基础。然后他“谦虚”地说，他的那种方法竟没有被牛顿想到，实在不可思议。
我们无需去追究拉格朗日所搞的微积分基础的细节，除了完全不合理地使用无穷级数外，他只做了一大堆代数推导，而这些，更不利于让读者明白合理的导数定义有多么缺乏。实际上，他所做的与他的前辈一样的粗糙，拉格朗日确信他已省却极限概念且已将微积分建立在代数之上。尽管他存在错误，其基础仍被他的许多杰出继承者所接受。
在写于1797—1800 年的一部很有影响的三卷本著作《微积分学教程》中，拉格朗日的追随者拉克鲁瓦（Sylvestre-FrancoisLacroix）确信微积分仅仅只是代数的扩充。在《教程》的一卷本（1802 年）中，拉克鲁瓦用到了极限理论（从这点上看，这个理论那时已被理解），但他说只是为了节省篇幅。
19 世纪初的一些英国数学家决心接受先进的大陆的分析工作。巴贝奇(Charles Babbage)、赫歇耳(John Herschel)和皮科克(George Peacock)，他们作为剑桥的毕业生成立了分析学会，翻译了拉克鲁瓦的《教程》一卷本，并在前言中写到：
现在我们将拉克鲁瓦著作的译本献给公众，可以视其为他在微积分学方面伟大工作的缩略，虽然在基本原理的证明中，达兰贝尔的极限理论替代了拉格朗日极其正确的自然的方法，但后者在这本书的三卷本中被采用了......
皮科克声称极限理论令人难以接受，因为它把微分的原理与代数分隔开来，赫歇耳和巴贝奇也同意这种观点。
在18 世纪后期，数学界很清楚微积分急需合适的基础。在拉格朗日的提议下，柏林科学院数学分部（1766—1787 年拉格朗日任主任）于1784年设立，并于1786 年颁发一个奖项，以奖励对数学中的无穷问题的最佳解答。这个竞赛的宣言如下：
数学的功用，它所受到的尊敬，“精确科学”这一极为贴切的桂冠，源于其原理的清晰、证明的严密及定理的精确。为了确保知识体系中这一精致部分这些富有价值的优势，需要对其所谓极限问题有一个清晰、精确的理论。
众所周知，高等几何（数学）经常使用无穷大和无穷小，然而，古代的几何学家甚至分析学者煞费苦心地去避开导致无穷的任何事物，一些当代著名分析学者则承认无穷量的术语是矛盾的。因此，科学院期望一个解释来说明为什么从一个矛盾的假设却推出了那么多正确的理论，还希望有一个确切、清晰的描述，简而言之，一个真正的数学原理。它也许可以完全代替无穷，却又不致使按其方法进行的研究过分困难或过分冗长，这就须要处理这个课题时有尽可能的普遍性，尽可能的严密、清晰和简洁。这次竞赛面向除科学院的正式成员以外的所有人，总共有23 篇应征论文，竞赛的正式结果如下：
科学院收到了许多关于这个课题的论文，它们的作者都忽略了解释为什么从一个矛盾的假设，比如无穷大量，推出那么多正确的结论。他们都或多或少地忽略了对清晰性、简洁性的要求，还有竞赛所要求的严密性。多数论文甚至没有看出来所寻求的原理不应局限于微积分，而应扩展到用古代的方法研究的代数和几何中去。
科学院认为我们的问题没有得到满意的答复。然而，我们也发现最接近目标的参赛者是一篇法语论文的作者，他题写的格言是“无穷，是吞没我们思想的深渊”。因此，科学院投票决定他得奖。
获奖者是瑞士数学家惠利尔(Simon L'Huillier)，同年，即1786 年，柏林科学院公布了他的论文《高等微积分的基本评注》。无疑，柏林科学院数学部的判断本质上是正确的，其他论文（除了卡诺的一篇，见第七章）甚至根本就没有尝试去解释为什么从错误的假设出发而建立的无穷小分析的理论是正确的。惠利尔的论文肯定是出类拔萃的，尽管其基本思想毫无新意而言。惠利尔说，他的文章表述了达兰贝尔仅仅构想出一个轮廓的思想（发表于《百科全书》及《杂集》的一篇文章《微分》）的发展。在《评注》开头的一章中，惠利尔一定程度上改进了极限的理论。他第一次在印刷品上引入Lim 作为极限的符号。这样，他把导数dp/ dx 记作Lim△p/△x（我们的k/h），但他对极限理论的贡献是微乎其微的。
尽管几乎18 世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，或至少表示了他们的看法，其中也有一、两个走对了路的，但他们所有的努力都是没有多大用处的。任何棘手的问题都被有意避开或是漠然视之，人们很难区别很大的数与无穷数，看起来似乎很清楚适用于任何有限数n 的理论，当n 无穷时也一定适用。同样，差商k/h（见(3)式）被导数所代替，有限项的和（见(7)式）与积分也很难区分。数学家们在有限与无限之间随意通行，他们的工作可以用伏尔泰对微积分的描述来概括，他称微积分为“计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术。”一个世纪来，尤其是欧拉、拉格朗日这样的大师使微积分严密化的努力的最终结果，误导了他们的同代人以及后来者，并且搞混了他们的思想。总的来说，他们那么明目张胆地犯错，以致于人们对数学家能否弄清他们所涉及到的逻辑感到绝望。
数学家们相信符号远胜于相信逻辑，因为无穷级数对于所有的x 值有相同的符号形式，使得级数发散或收敛的x 值之间的不同看起来并不须要加以注意，而且即使人们承认有些级数，比如说1+2+3+?，和为无穷，数学家们倾向赋予这个和以意义，而不去怀疑其可适用性。当然，他们完全清楚对某些证明的需要。我们已经看到了欧拉的确曾力图证明他使用无穷级数的正确性，而且他和拉格朗日还有其他一些人还尝试建立微积分的基础。但这些求得严密性——其标准随时间而变——的少许努力并没有在这个世纪成功，人们也几乎情愿选择这样一种得过且过的处世哲学。
18 世纪的思想家们所采用的论据的一个奇怪的特点是它们求助于形而上学，人们用它来暗示数学领域之外还存在一个真理体系，如果需要的话，可以用它来检验他们的工作。虽说它究竟是什么还不清楚，但应用形而上学意在给那些不为推理所支持的论点增强可信度。因此，莱布尼茨宣称形而上学的用处比我们认识到的要多。他把1/2 作为级数1-1+1-......的和的证明和他提出的连续性原理，都只不过重申了上述观点。它们被“证明”是形而上学的，仿佛这样就不容置疑了。欧拉也求助于它，认为在分析中也必须默认它，当17、18 世纪的数学家们不能为一个观点提供更好的证明时，他们就惯于说这其中的理由是形而上学的。
因此，在18 世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其他分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中，事实上，可以说微积分基础方面的状况，在1800 年比1700 年更差。数学巨匠，尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础。因为他们是权威，他们的许多同事接受了并不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们所给出的基础上进一步发展。其他稍逊一筹的数学家则对此颇有微辞，但他们充满信心地认为只须稍加澄清或小修小补就可以得到一个完全清晰明确的基础。当然，他们被引上了一条错误的路。
第七章 不合逻辑的发展：19 世纪的困境
噢，上帝，为什么二加二等于四？
——亚历山大?蒲柏
历史进入19 世纪，数学陷入更加自相矛盾的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成功远远超出人们的预料，但是，正如许多18世纪的人所指出的那样，大量的数学结构没有逻辑基础，因此不能保证数学是正确无误的。这种自相矛盾的情况在19 世纪上半叶一直存在，同时许多数学家开始研究自然科学的一些新领域，而且成就斐然。但是数学的逻辑基础问题并没有得到解决，而且，对于负数、复数、代数和微积分及其扩展分析数学的批评仍然在继续。
让我们来回顾19 世纪早期数学所处的困境。我们可以忽略那些依然存在的，对使用无理数的微不足道的反对意见。无理数，可被看作是直线上的点，它在直观上并不比整数、分数更加难以接受，它们和整数、分数遵循同样的规律。对于它的作用，人们没有异议。所以，虽然无理数也没有逻辑基础，却被人们承认了。而真正遇到麻烦，直观上难以被接受的是负数和复数，它们在19 世纪所遇到的攻击和非议，其剧烈程度不亚于18 世纪。
威廉?弗兰德(Willian Frend)，笛?摩根的岳父，曾就读于剑桥大学的耶稣学院，在他的《代数原理》（1796 年）序言中直率地宣称：
“用一个数减去比自身大的数是不可理解的，然而许多代数学家都这样做，他们称小于零的数为负数，认为两个负数相乘，其结果为正数。他们提出每一个二次方程都有两个根，这一点，初学者在任一给定的方程均可验证。他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解，并试图找出一些不可能存在的数，这些数自身相乘后，得到单位元素1。所有这些都是荒诞不经的，并为通常思维方式所排斥。但是，从一开始采用这些理论就像其他虚构的东西一样，拥有了许多坚定不移的支持者，这些人喜欢对新生事物笃信不疑，对正统思想却深恶痛绝。
1800 年在马赛罗(Baron Maseres)出版的一本书中（见第五章）收录了弗朗德(Frend)的一篇文章。弗朗德在此文中批评了方程根的个数与其次数相等这一普遍规律，认为它只适用于所有根为正的少数方程。对那些接受此规律的数学家，他说：“他们在努力找出方程所有的根，但实际上这是不可能的。为了掩盖自己所提出的规律的错误，他们不得不给一些数起一个特殊的名字。这样，至少在字面上可以使他们的规律看起来是正确的......”。
卡诺，法国著名的几何学家，其名著《关于无穷小分析的形而上学的思考》（1797 年第一版，1813 年修订版）被翻译成多种文字，使他在自己的工作领域之外声誉鹊起。他断言存在小于零的数的概念是错误的，作为一种在计算时有用、假想的东西，负数可以被引入代数，然而，它实际上并不是数，并且只能导致错误的结论。
18 世纪关于负数和复数取对数的争论使许多数学家非常困惑，以致于到了19 世纪，他们仍对此喋喋不休。1801 年，剑桥大学的伍德豪斯(RobertWoodhouse)发表了一篇题为《关于一个借助虚构的数得到的结论的正确性》的论文。他在文中说道：“在关于负数和复数取对数的争论中，许多数学家互相攻击对方理论时所指出的矛盾和谬误，都可以作为说明那些数不可用的证据。”
柯西，最伟大的数学家之一，在19 世纪初创立了复变函数理论，也不同意把表达式a＋b -1当作数。在他的名著《分析教程》（1821年）中，柯西认为将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。然而，它们还是说明了实数a、b的一些情况。例如，由方程a + b -1 = c + d -1，可推出a = c，b=d，“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式”。1847 年，晚年的柯西又提出了一个相当复杂的理论，可以用来判断用复数进行运算是否正确。但没有使用-1，对此，他说：“我们可以毫无遗憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数。”1831 年，著名的数理逻辑学家，并在代数领域有所贡献的笛?摩根在他的著作《论数学的研究和困难》中表示了对复数和负数的反对。他顺便说明自己这本书把当时牛津和剑桥使用的最好的书中的一切东西都包揽无遗。他写道：
虚数式-a和负数式- b有一种相似之处，即只要它们中的任一个作为问题的解出现，就说明一定有某种矛盾或谬误。只要一涉及到实际的含义，二者都是同样的虚构，因为0 - a和-a同样是不可思议的。
然后，笛?摩根举一个例子来说明：父亲56 岁，他的儿子29 岁，问什么时候父亲的年龄是儿子的两倍？通过解方程56+x=2(29+x)得到x=-2，这个结果显然是荒谬的。接着他又说如果我们把x 换成-x，然后解方程56-x=2(29-x)就得到x=2。因此，他推断出：最初问题的提出就是错误的，答案为负数表明第一个方程的列法是不正确的。
谈到复数，他说：
我们已经证明了记号-a是没有意义的，甚至可以说是自相矛盾，荒谬绝伦的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖了一个必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则都可以应用于这些式子（复数），而不会导致任何错误的结果。要把这个性质求助于经验，那是与本书开头所写的基本原理相违背的。我们不能否认实际情况确实如此，但是必须想到这只不过是一门很大的学科中的一个小小的孤立部分，对于这门学科的其余一切分支，这些原理将完整地得到应用。
这里的原理，他指的是数学真理应该由公理经过演绎推理得出来。接着，他对负根和复根加以比较：
在负的结果和虚的结果之间有截然不同的区别。当一个问题的答案是负的时候，在产生这个结果的方程里变换一下x 的符号，我们就可以发现形成那个方程的方法有错误，或可证明问题的提法大受局限，因而可以扩展，使之容许一个令人满意的答案。但当一个问题的答案是虚的时候，得到的就不是这样了。
稍后，他又说：
对于支持和反对这种问题（如用负的量等等）的所有论据，我们不赞成采用完全介入的办法来阻止学生的进步，这些论据他们不能理解，而且论据本身在两方面都无确定结果；但是学生也许会意识到困难确实存在，这些困难的性质可以给他们指明，然后他们也许会考虑充分多的（分类处理的）例子，从而相信法则所导致的结果。
哈密尔顿，这位在其他领域也颇有建树的伟大数学家，也不愿意接受负数和复数。1837 年他在一篇文章中表明了他的反对意见：
毋庸置疑，当它从以下的原理出发（正如通常已是如此）时，复数和负数学说，很值得怀疑，甚至是不可相信的：小数可以减大数，其结果小于零；两个负数，或者说两个代表的量小于零的数可以相乘，其结果将是一个正数，即一个代表的量大于零的数；尽管一个数，不论其正负，它的平方（也就是自身相乘）总为正数，但我们却可以找到或者说想象或确定这样一类被称之为虚数的数，虽然其具有负的平方值，并因此而被假定为一类非正非负也非零的数，而它们所被认为代表的量既非大于零，又非小于零，更不等于零，尽管在此基础上逻辑形式可以建立成一个表示式的对称系统，而且通过正确应用有用的以此基础建立的规则，可以学会一种应用的技巧，但在这样一种基础上，哪里有什么科学可言。①
布尔，这位和笛?摩根同负盛名的逻辑学大师，在《思维规律研究》（1854年）中说： -1是一个令人费解的符号，但是如果在三角学中运用它，我们就可以从可解释的表达式经过不可解释的表达式，而得到可解释的表达式。
使数学家们相信复数的不是逻辑，而是威塞尔、阿尔刚和高斯（见第四章）等人的几何表示。但是，在高斯的著作中，仍然能发现他并不愿意承认复数。高斯给出了代数基本定理（每个n 次多项式方程有n 个解）的四个证明。在前三个证明中（1799、1815、1816 年），他处理的是实系数的多项式，他又预先假定复数与笛卡尔平面中的点是一一对应的，尽管没有明确地定义对应。实际上，在实数平面内并不能标出x+yi 的值，只能把x，y 当作一个点的坐标标出。另外，高斯的证明并没有真正用到复变函数理论，因为他将涉及到的函数实部虚部分开了。1811 年，他在给贝塞尔的一封信中更明确地指出，a＋bi 可以用点(a,b)表示，在复平面上从一点到另一点有多条路径可走。如果从这三个证明和其他未出版的著作中显示的思想来判断，高斯无疑仍在关注复数和复函数的地位问题。1825 年12 月11 日，他在一封信中说自己不能从“负数和复数的玄奥中摆脱出来。-1的真正意义始终在我脑海中显现，但是却很难用言辞把它表达出来。”然而，如果说高斯还对自己和其他数学家是否承认复数心存顾忌的话，到1831 年，他已经无所牵挂了。他公开陈述了复数的几何表示，在同年发表的一篇论文中，高斯非常清楚地将a+bi 表示为复数平面中一点，而且用几何方法实现了复数的加法和乘法（见第四章）。他又指出：虽然现在已充分理解了分数、负数和实数。但对于复数只是抱了一种容忍的态度，而不顾它们的巨大价值。对许多人来说，它们不过是一种符号游戏，但是，-1的直观意思完全可以从复数的几何表示中得到，不需要增加其他什么就能将这些数归入算术的范畴。因此，高斯满足于这种直观理解，他认为，如果1， -1， -1不被称为正，负，虚单位，而是被称为直，反和侧单位，人们就不会觉得这些数非常晦涩难懂。他说几何表述将原本深奥的虚数变得清晰明白了。他引入术语“复数”与笛卡尔的术语“虚数”相对应，并用之代替-1。对当时同样重要的另一事实，即高斯自己和他的同时代人随意地使用没有事实基础的实数，高斯却未置一词。
① 我们将在下一章中看到哈密尔顿对由复数所提出来的问题的态度。——原注
在1849 年的一篇论文中，高斯更加随心所欲地使用复数，因为他认为人们已经对复数很熟悉了，对此我们在以后还将提到。但是情况并不完全如此，复变量的复函数理论主要由柯西于19 世纪的头30 年发展起来并应用于流体力学，在这之后很长一段时间剑桥大学的教授们仍顽固反对有争议的-1，而且不惜采用各种麻烦蠢笨的方法避免它的出现和任何可能的使用。
19 世纪上半期，人们又注意到代数也缺乏逻辑基础，主要问题是字母被用来表示各类数并参与运算，好像它们具有正整数的所有令人熟知且易于理解的性质，而且任何数——负数、无理数，复数被字母代替时，运算结果都是正确的。然而，因为此类数还未被真正理解，它们的性质也是缺乏逻辑基础的，所以使用字母代替更不合理，但似乎字母代数表达式有其自身的逻辑性，否则无法理解它的正确性和有效性，因此在18 世纪30 年代数学家们着手处理用文字或符号表达式进行运算的正确性问题。
首先考虑这个问题的是剑桥大学的数学教授皮科克，他区分了算术代数和符号代数，前者是处理表示正整数的符号，所以基础牢固，它只允许运算结果为正整数；而后者，皮科克以为它采取了算术代数规则，但是除去了只适用正整数的限制，在算术代数中推出的全部结果与符号代数中的结果都一样，但算术代数中的表达式在形式上是普遍的，在数值上是特殊的；而符号代数中的表达式，从数值到形式上都是普遍的。例如，在算术代数中，式子ma+na=(m+n)a，当m，n，a 都为正整数时成立，因而在符号代数中，对于所有的m，n，a 均成立。与此类似，(a+b)n 的二项展开式中的n 在代数计算中须为正整数，如果用不带末项的一般形式来表示，就对所有n 均成立。皮科克的论证被称为等价型的永恒性原理，是他在1833年给皇家科学促进会题为《关于分析的某些分支的新近成就和理性的报告》中提出的，他武断地肯定：
无论什么代数的型，当符号在形式上是普遍的，而在数值（正整数）上是特殊的时候是等价的，则当符号在值上和形式上都是普遍的时候同样是等价的。
皮科克特地用此原理去证明复数运算是合理的，他试图依靠“当符号在形式上是普遍的时候”来维护自己的观点。这样，人们就不能陈述仅属于0 和1 的性质，因为这些数具有特殊的性质。皮科克在他的《代数论著》（1842—1845 年）第二版中从公理推出了他的原理。他明确讲到代数如同几何也是一门推理科学，因此代数的步骤必须根据法则条文的完全陈述，这些法则支配着步骤中用到的运算。至少对于代数这门演绎科学而言，运算的符号除了法则给予它的意义之外没有其他意义。例如，加法不过是表示服从代数中加法法则的任一步骤。他的法则是，例如加法和乘法的结合律和交换律，以及如ac=bc 而c≠0，则a=b 这个法则。这里，从所采用的公理证明了型的永恒性原理。
在19 世纪的大部分期间，由皮科克肯定的代数观点被接受了。格雷戈里，笛?摩根和汉克尔在支持它的同时，在小的方面有所改进。这条原理基本上是主观推想的，它借助未必成立的假定来论证为什么不同类型数与整数具有相同的性质。虽然它的成立缺乏严密的逻辑性，但在实践运用上是正确的，所以被人们接受了。显然，皮科克、格雷戈里和笛?摩根认为他们创立了一门源于代数学却独立于实数和复数性质的科学。显然，将一些单凭经验的方法称为原理无助于改善其逻辑状况，正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受。”
型的永恒性原理将代数看作是一门由符号和关于符号组合定律组成的学科，这种基础不仅含糊不清，而且不能变通。它极力主张算术代数和一般算术的严格对等性，照此办理将会破坏代数的普遍性，他们似乎从未认识到一个公式对于符号的一种解释是正确的，对于另一种可能就是错误的。碰巧，这条原理由于四元数的产生而失效，因为这些数（现在称之为超数）不具备乘法的交换性（见第四章），从而代表超数的字母也不具有实数、复数的所有性质，这样，这条原理就不成立了。代数不是只有一种，而是有很多种；只有证明了字母所表示的数具有字母被赋予的所有性质，建立在实数和复数基础上的代数才能成立。上述两个问题，皮科克和他的支持者都没有认识到，而引入四元数后不久就显而易见了。
