３＝１１ ８＝１０００ １３＝１１０１
４＝１００ ９＝１００１ １４＝１１１０
５＝１０１ １０＝１０１０ １５＝１１１１
Leibniz在１６７９年发表的《论二元级数》中，首先提到这种说法。整套系
统到１７０３年才在“皇家学术协会研究报告”中发表，标题为《二元法算术之
解说》。其中，二元系统的加减乘除都举例说明。但是，小标题则继续说：“他
只用零与一，并论其用途，及伏羲氏所使用的数字的意义。”
当时，Leibniz适与一名在华的耶稣会传教士白晋Fr.Joachim Bouvet接触自
１６９７至１７０２年，而白晋对《易经》尤感兴趣关于白晋，见Dehergne１；Pfister
１，pp.４３３ff.。根据二元系统，《易经》中的六十四卦若以阳爻代表一，以阴
爻代表零的话，可解释为数字的另一种写法。这似乎是白晋，而不是Leibniz 首
先发现的。按白晋于１６９８年才引起莱氏对《易经》的注意。但是，等到１７
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０１年４月间莱氏把他的二元数字表寄给白晋时，它们和重卦之间的相同，才被
发现。同年１１月间，白晋寄给莱氏两个完整的图表。其中有一个是“隔离表”
见本章５节图四一，另一个则是配成方形和圆形的图表见Legge９中的摺起图。这些图
表都没有按照大部分版本所遵循的文王八卦次序图。白晋按照伏羲先天八卦次序
图，并不以“乾”，而是以“坤”在首，其次序为二、廿三、八、廿、十六、卅
五、四五、十二等等。这样，图中毗邻两卦便没有反映像或倒置，而整个表便有
一种次序井然的级数和渐增的阳爻数，正和莱氏所需要的符号一样。于是，
“坤”和○○○○○○相应，“剥”和○○○○○一相应；“比”和○○○○一
○相应，“观”和○○○○一一，“豫”和○○○一○○相应，其他诸卦按此类
推。事实上，伏羲先天八卦图的年代根本不古，并且只能追溯到宋代理学家邵雍
及其《皇极经世书》约于１０６０年。H.Wilhelm说，白晋只知道这个图，因为他和
清朝王宫生活的关系极为密切；当时，新儒学理学仍属正统，而顾炎武、胡渭、
张尔岐和王船山之辈对《易经》的新评释，尚不为世所知。就某一观点言，这是
很幸运的。
莱氏发现他用二元符号所写的由６３到０之数目于《易经》六十四卦，自然
大感讶异，因为当时的人都相信《易经》至少是公元前二千年的书。此后他的一
生都继续介绍他和白晋的共同发现，如，他于１７１６年写的那封长信结尾曾论
及中国的哲学；其中第四节的标题是：“创造中国帝国的伏羲氏在其推演的八卦
中曾用二元算术”。他的发现在十八世纪中一直都能引起学者的注意，可于Haupt
１于１７５３年所发表的文章见之。
然而，科学史所真正关怀的是伴随这个故事而来的意义。H.Wilhelm这么写
道：“两个纯属推理的心智，时隔六个半世纪，远在世界的两端，而起点又完全
相异，竟然会获得同样的次序图式，这个现象确使人讶异。我们不得不以为得这
种巧合实非偶然，而两个系统或系出于同样的自然基础。”Waley９在当时１９２
１年
认为六爻是极古的产物，认为莱氏的发现隐含中国人早在公元前一千年就已
对零和位值有所了解。对此虽有Pelliot１５的批评，但仍相信不可能的传说年代的
Olsvanger在他那显系独立重新发现六十四卦中的二元算术中，仍然认为它们隐示
一种对位值和零的了解。
这种说法当然应予弃置。发明六十四卦的人仅关怀于阴阳两个基本要素的所
有排列和组合而已。阴阳既已形成，则数个同样合于逻辑的排列就可能了。而事
实上，其中两个排列式终获显著的地位，虽然其他诸式也可毫无困难地设计出
来，假设重卦或六十四卦是具有数学意义的说法，其主要缺陷，诚如Granet所指出
的，乃古代《易经》的学者的思想，绝无数量的计算。就卜卦者用断线代替连线
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或反之，来处理六十四卦的“变化”而言，他们或可以说是在作二元算术的运
算，但他们确是不知觉的。任何的发明，不管是数理的，或机械的，我们必须要
求发明者自觉地且为利用而发明。如果《易经》的卜者不知觉二元算术，且未曾
加以利用的，则莱氏和白晋的发现，仅说明邵雍的描象次序系统，和二元算术
的，刚巧相同而已。莱氏和白晋认为：上帝鼓舞伏羲作卦的这种说法，并不能使
我们信服。
最近，Barde １曾提出似乎更可信的建议。他认卦的阴阳爻，与占卜时所用的
长短蓍草杆无关而与古代中国人所用的算筹有关。如是，则各符号系出于以五为
基数的算学过程。按此，阴爻是具有值一之杆，阳爻乃具有值五之杆。以五为基
数的算术，在初民时期早已存在，这是人类学上众所周知的事实。中国的数字开
头五个像棒字，这或许有也或许无意义；而在罗马数字中，以五为基数的算术的
确有过，因为六是五一，而七是五二等等。古时的乘法在以十为基数的乘法表作
成前，应该需要某些数字的强记——甘五；一四四，和二一六。这些正是《易经
系辞传》中出现的数字。如果这种推测正确的话；占卜的符号该是一个很古算术
的退化。如此推论，六十四卦该是基本的，而八卦倒是后来经过分析思想的结
果，Barde氏搜集汉学上的论据来证明事实确是如此。
此处要附带说明的是：Olsvanger氏和Barde氏利用二元系统或他法，把文王
八卦的次序改成一般的数字，并且发现许多幻术的平方。虽则这种平方在中国的
发现，比在任何处为早，但从《易经》所得的平方相当复杂，因此先圣推演六十
四卦时是否曾作如是之思考，实难令人置信。
若在十多年前，我们或许讨论到此为止。但最近的发展，显示Leibniz氏的二
元算术，绝非仅是历史上的好奇而已。诚如Wiener在他的模控学Cybernetics研究
动物和机械的自动调节系统中所发现的，二元算术最适用于今日的计算机。以二元为
基数，仅用“开”和“关”，不论是用电路开关，或用热游子管，所得的阿拉伯
数字都是Boolean的分类代数，只能选择“是”或“否”在分类之内或之外；用这种
方法来造计算机最方便了。因此Leibniz氏除了发展二元算术外，也是现代数学逻
辑的创立者和制造计算机的先驱，这绝非巧合。下文还要提到，他受中国的影响
颇大，至少他的代数或数学语言的概念，正如《易经》的次序预示二元算术一
样。１６４２年间，BlaisePascal制成了第一部加法计算机，但Leibniz氏在１６
７１年间构想出第一部应该能够做乘法的计算机，虽然这还得等到１８２０年由
Thomas在法国实际制造出来。第一部通用的计算机是Babbage首先于１８３２年在
英国构想出来。但首次的实现，还得等一个世纪后，由Aiken在美国制造成功。无
怪Wiener说：促使数学逻辑发展所需的智慧的冲动，同时也使思想的过程用理想
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的或实际的机械方法得实现，因为两者都是想除去人性的偏见和弱点，以达成最
完美的精确性。
再说，我们还有一个远景在望。今日的计算机，以其连续的开关设计，以及
为自动维持运算的预定计划而设计的反馈系统，被认为是动物的中枢神经系统的
几乎系理想模型。显然，其输入和输出并不需要用数字或图表的形式，但一方面
可以像人工的感官，如感光细胞，PH仪，显微音器和触觉开关等，另一方面也类
似各种辅助器械，像螺线管so１enoid等。这点被忽视了好久，因为生理学家和生
物化学家全视之为能量的来源和用途，而不视为讯号。未来的社会利用庞大的机
械控制，能使整个复杂的工厂作业自动化；这是可以预见的。这种影响不只是在
工业界而已，因为有人指出：高等生物的中枢神经系统之内，神经细胞本身似乎
也就是根据二元算术的原理活动；换句话说就像生理学家所熟知的特性：“全有
或全无的反应”。它们若不是静止不动，就是运动不息。当他们“发动时”，它
们的动作几乎和刺激物的本质和强度无关。当然，这并不是说：有等级别的反应
并不常在神经生理的现象中发现，而只是说：我们有理由相信，这些就是每个遵
照“全有或全无法则”的神经细胞数的总效果。那么，邵雍对《易经》六十四卦
排列的偶然发现，和Leibniz氏悉心研求的二元算术，从某种真正的意义上来看，
已建立在哺乳动物的神经系统之内，远在发现其有用于现代人类伟大计算机之前
也。
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