t
=c 就是简单速度的规定。后者
作为
dy
dx
是表现于与被称为匀加速运动的展开那种东西的关联之中：但是单纯
的、简单匀速的（即不由运动诸能率之一的较高方幂规定速度的）一个能率，
出现于匀加速的运动的系统之中，那就正如前面说过的，本身是空洞的假定，
只是以方法的习惯成规为基础。方法既然从变量应有增长这一观念出发，那
么，只是一次方幂的函数这样的变量当然也有增长。假如现在为了求出微分
而必须认为由此而发生的第二个方程式与已知的方程式有区别，那么这种运
算的空虚就表现出来了；因为前面已狸讲过，在运算以前和以后，对于所谓
增长和对于变量本身，方程式都是相同的。
（2）以上所说，明确了需要处理的方程式的本性，现在要举出来的，是
这种处理的兴趣所在是什么。这样的考察所能给予的，只是已知的结果，就
形式说，这些结果尤其是像拉格朗日所理解的那样；但是我为了剔除那里混
杂着的异质的规定，所以提出的说明，完全是很基本的。——上述种类的方
程式的处理的基础，显示出方幂在它自身之内被认为是一个比率，是一个比
率规定的系统。方幂在以上被表述为数，它之所以能够如此，是因为它的变
化是由它自身规定的，它的环节、即单位与数目，也是相同的，——如以前
所指出的，方幂在平方中也就很完全了，而在更高的方幂中，不过是更形式
的，在这里无关宏旨。现在方幂作为数（虽然人们较喜欢用“量”这一名词，
以其较为一般，但是方幂本身总之仍旧是数），既然是一个数量，也表现为
总和，那么，它在自身之内可以被除为任何数量的数，这些数除了一共等于
它们的总和而外，其彼此之间和对总和便都没有别的规定了。但是方幂也可
以被除为那些由方幂形式规定的差分的总和。假如方慕披当作总和，那么，
它的方根数，或说方根，也被当作总和，至于除它的倍数也是任意的，但是
这种倍数却是漠不相关的、经验的、量的东西。方根应当是总和；总和归到
它的单纯规定性，即它的真正普遍性时，就是二项式：一切更多的项的增加
都仅仅是这个同一规定的重复，因此也就是某种空虚的东西。①问题所在，只
是这里由被认为是总和的方根乘方而生的诸项之质的规定性，这种规定性完
全包含在乘方这一变化之中。于是这些项便完全是乘方和方幂的函数了。把
数表现为这样的诸项（它们就是乘方的函数）一定数量的总和，然后兴趣就
在于找出这些函数的形式，并随即从这些项的数量找出总和，因为要找出总
和唯一必须依靠西数的形式，——这就构成大家知道的特殊的系列论。但是
这里重要的是，把更有兴趣之点区别出来，即作为基础的大小本身（因为它
是一复合体，在这里就来，即是一个方程式，其规定性自身就包括了一个方
幂）与其乘方函数的比率。完全除去了前面所说的对总和的兴趣，这种比率
就将表现出它是真正科学所产生的唯一观点，微分计算便是把这种观点放在
最前列的。
① 假如对于方冪的展开，拿（a＋b＋c＋d＋?）n 来代替（a＋b）n，那也不过是解析所必须要求的普遍性
那种形式主义而已。别的许多地方也是这样做的，维持这样的形式，可以说仅仅是为了卖弄普遍性的假象，
事情其实在二项式便已经穷尽了，由二项式的展开，便找到了规律，而那个规律却是真正的普遍性，不是
规律的表面的、仅仅空洞的重复，这种重复完全是由那个a+b＋C＋d+… 所引起的。——黑格尔原注
但是对以上所说，还必须先加上一种规定，或者不如说必须除去其中所
包含的一个规定。我们曾经说过，变量（方幂就在它的规定之中）在它自身
以内被认为是一个总和，而且是各项的系统，由于各项是乘方的函数，所以
方根也当然被认为是一个总和，其形式被简单地规定为一个二项式：
xn=(y+z)n=(y+nyn-1z+??).
这种表达，对于方幂的展开，即对于达到方幂的乘方函数，是从总和本身出
发的；但这里问题所在，既不是总和本身，也不是由总和所产生的系列，那
必须从总和取来的东西，只是关系。大小的关系本身，一方面是在抽去一总
和本身加多（p1us）之后所剩余的东西。但是这样的关系之已经被规定，就
在于这里的对象是ym=axn 方程式，已经是较多的（变）量的复合体，它包含
了这些量的方幂规定。在这个复合体中，每一个量都直截被被作是与另一个
量有关系，其意义可以说是对它自身的加多，——被当作是另一量的函数；
它俩互为函数的特点，给了它们加乡这一规定，正因此，这个加多是完全不
确定的，而不是增长、增量以及诸如此类的东西。但是我们也可以把这种抽
象观点放在一边；事情可以完全简单地停留在这样的一点，即已知在方程式
中互为西数的变量，以致这种规定性包含了方幂的比率，在这之后，每一个
乘方的诸函数也就可以互相比较——这第二类的西数，除了由乘方本身规定
而外，并无其他规定。把一个方程式从它的变量的方幂移到它的展开函数的
比率，起初可以就是随意的，或是可能的；这种转变的用处必须在以后的目
的、益处、使用中显示出来；所以要作这种改移，只是由于它的有用。假如
上面是从表达一个量（它作为总和，在自身中是被认为有不同的部分的）的
这种方幂规定出发，那么，这种用处便只是一部分为了指出这些函数是什么
种类，一部分在于求出这些函数的方式。
这样，我们便到了普通解析的展开，它为了微分计算之故，将被理解为
这样，即变量有了dx 或i 的增长，而现在二项式的方幂也由属于二项式的各
项系列而表现出来。但所谓增长不应是一定量，只是一形式，它的全部价值
就在于帮助展开；人们对以前提到的极限观念所愿意承认（而以尤拉和拉格
朗日最为坚决）的东西，只是由变量产生的方幂规定，即增长及增长的方幂
的所谓系数，系列依照这些方幂规定而安排自身，不同的系数也属于这些规
定。这里还可以说只是为了展开的缘故，才假定有一增长，它不是定量，所
以对此用1（一），是最合宜的，因为这种增长在展开中永远只出现为因数，
正是一这个因数完成了虽有增长而无量的规定性和变化这一目的：另一方
面，带着量的差分这种错误观念的dx，以及带着在此处无用的普通性假象的
其他符号，如i，总是有定量及定量方幂的外貌和假托；尔后这种假托又惹
起必须将它取消和省去的麻烦。为了维持一个依方幂而展开的系列形式，指
数的符号作为指标（indices）同样也可风加在一的后面。但是无论如何，必
须抽掉系列和按系数在系列中地位而有的系数规定；这一切之间的比率都是
同一的；第二函数之从第一函数导引出来，也正如第一面数从原始函数导引
出来那样，假如一个函数被算作第二函数，那么第一函数，虽然也是导引出
来的，而对于第二函数说来也就又被算作原始函数了。重要之点是兴趣不在
于系列，而唯一在于从展开所发生的方幂规定，这种规定与对方幂是直接的
量有比率。所以这些方幂并不被规定为展开的首项系数，因为一项是以与系
列中其他后继各项的关系而被称为首项，但是一个作为增长方慕这样的方幂
以及系列本身，却与此无关，假如宁愿要导出的方幂函数，或如以前说的量
的乘方函数这样单纯的名词，那么，它就已经被假定为已知的，“导数”就
以这种方式被认为是包括在一方幂之内的展开了。
假如税现在数学在这一部分解折中的真正开始，不过是求出由方幂展开
而规定的函数，那么，也还有一个问题，即从这里得到的比率该怎么办呢，
这个比率在哪里有应用和使用之处呢，求这些函数，到底是为了什么目的呢。
求出具体对象的比率，可以将它们归结到那些抽象的、解析的比率；微分计
算由此得到很大的兴趣。
关于能否应用问题，借助于指出过的方幂环节的形态，首先从事情本性
出发，还不要从应用事例去推论，也就自然产生如下的结果。方幂大小的展
开（其乘方的函数由此产生），抽掉了较细密的规定，首先便一般地包含着
将大小降低到最近的较低方幂。于是这种运算便可以应用到同样有着这种方
军区别的那些对象上去。假如我们现在考虑到空间规定性，那么，我们便发
现它含有三维，我们为了把这三维与长、宽、高等抽象的区别相区别，可以
称它们为具体的区别，即线、面和整体的空间；我们以最简单的形式，从自
身规定，也就是从解析因次的关系去看待它们时，便有了直线、平面、作为
平方的平面和立方。直线有一经验的定量，但是随着平面，便出现了质，即
方幂的规定；至于较细密的变形，例如随着平面的曲线也出现了质，我们可
以置之不理，因为这里所涉及的，首先只是一般的区别。这里也产生了从鼓
高的方幂规定到较低的过渡以及相反的过渡之需要，因为，例如直线规定便
应当从已知的平面等等方程式导出，或是相反。——此外还有运动；对它所
要观察的，就是它通过的空间及因此所用去的时间的大小比率；运动表现为
各种不同的规定，如简单的匀速、匀加速、匀加速和匀减速的交替、回到自
身等运动；由于各种运动，都是依照其空间、时间两环节的大小比率来表示
的，于是为了这些运动，便从不同的方幂规定，产生了方程式：在这种情况
下，可能需要从另一种运动或另一种空间大小来规定一种运动或与运动相连
的一种空间大小，于是也同样引起运算从一个方幂函数到一较高或较低的方
幂函救的过渡。——这两种对象的例子应当可以满足引用这些对象的目的
了。
微分计算在应用中所呈现的偶然外貌，会因为意识到应用所能有的范围
的本性和这种应用真正的需要与条件而大为简化。但现在的周题是须耍进一
步知道，在这些范围内，数学课题的对象的哪些部分之间有像微分计算特地
建立起来的那样的比率。必须立即提出来说，这里有二种比率须加注意。一
个方程式开方的运算，依其变最所导出函数来考察这一方程式时，所得的结
果，本身真的不再是一个方程式而是一个比率；这个比率是真正微分计算的
对象。正因此也就有了从较高方幂规定（原来的方程式）本身到较低方幂规
定（导出的方程式）的第二种比率。我们在这里先把第二种比率放在一边；
那在以后将是积分计算的特殊对象。
我们先来考察第一种比率，并且对于从所谓应用取得的环节的规定（这
是运算兴趣所在），举一个最简单的曲线例子，这些曲线是由一个二次方幂
的方程式所规定的。大家都知道座标线的比率是由一个有方幂规定的方程式
所直接给予的。基本规定的结果是与座标线有关联的其他直线，如切线、次
切线、垂直线等规定。但是这些线与座标线之间的方程式，却是直线方程式；
整体（这些直线被规定为某部分）就是直线的直角三角形。从包含方幂规 定
的基本方程武到那些直漆方程式的过渡，现在就包含着上述的从原始函数（即
是一个方程式）到导出的函数（即是一个比率，而且当然是被包含在曲线中
的某些直线之间的比率）的过渡。现在须要找出来的，就是这些直线的比率
和曲线方程式之同的关联。
最早的发现者只知道用完全经验的方式来陈述他们的发现，对于仍然是
完全外在的运算不能加以评价，在这里提到一些历史方面的事，并不是没有
兴趣的。我对此暂时满足于举牛顿的老师巴罗为例。他在《光学与几何学讲
义》中，按不可分的方法术处理高等几何的问题，这种方法首先与微分计算
的特点个饲，他也说明了他规定切线的办法，“因为朋友们敦促过他”（第
十讲）。这种说明的情况如何，这种办法如何被陈述为完全像外在的规则那
样，——用的是和以前算术教科书中讲授算法的，‘三数法，”①或更恰当些
的所谓“弃九法”同样的笔调：要对此有适当的概念，须读他的原朽。他划
出一些细微的线（这些棚微的线后来被称为一条曲线的特殊三角形中的增
量），于是立下章程作为单纯的规则，要把随方程式的展开而出现的那些增
量的方慕或乘积诸项当作是多余的，加以省略（因为这些项所值是零，etenim
isti termini nihi1umvlebunt）；同样，假如一些项只六有原未方程式所规
定的大小，它们也必须扔掉（——这就是后来从风增量构成的方程式中减去
原来的方程式）；最后，必调用纵匡标本身宋代替纵座标的增量，用次切线
来代替横座标的增量。
① 指算术中从一比例的三个已知数求弟四未知数之法。——译者
假如这样说可以容许，那么，我们就要说这种办法不
能以小学教师的方式来说明；——后一种代替是假定了纵横座标的增量与纵
座标和次切线有比例，这种假定在普通微分方法中，成了切线规定的基础；
而这个假定在巴罗的规则中，却赤裸裸表现其幼稚。一个规定次切线的简单
方式，是已经发现了的；罗伯伐尔①和费尔马②方法也达到了相似之点，一求
出最大值和最小值的方法（最小值便从这种方法出发），是依靠同样基础和
同样办法的。要找到所谓方法，即那一类的规则，而又把它们搞成神妙莫测，
这在当时曾经是数学的狂热病，这种神妙莫测的东西不仅很容易，而且在某
种情况看来，也是必要的，其理由也同样是它很容易，——这是因为发明者
只找到了一种经验的、外在的规则，而不是方法，即不是从公认原则演释出
来的东西。这些所谓方法，莱布尼蕬从他的时代，牛顿也同样从同一时代并
且从他的老师那里，直接承受下来了；这些所谓方法，由于形式的普遍化和
可以应用，为科学开辟了新路，但也就从而有需要使办法冲破单纯外在的规
则形态，并且有了对它作必要修正的企图。
① 罗伯伐耳，Personne，Gilles， Sieur de Roberval，1602-1675 年。——原编者注
② 费尔馬，法国数学家，是应用微分量米找出切线的第一人。参看本书第284 页原编者注。——译者
我们若仔细分析这个方法，那么，真正的过程就是下面这样。首先，方
程式中所包含的方幂规定（这当然是指变量的方冪规定），降低到它们的最
初导数。但是这样一来，方程式各项的值便有了变化；因为再没有方程式剩
下来，只是在一变量的最初导数与其他变量的最初导救之间产生了一个比
率；代替px=y2 有了px2y,或是代替2ax-x2=y2 有了c-x：y，这就是以后常常
被称为
dy
dx
的那个比率，这方程式是一个曲线方程式，那个比率完全依靠这个
方程式，从那里（这在上面就是按照一个单纯的规则）导出的，却反而是一
个直线的比率，某些直线以此而有比例；p：2y 或a-x：y，本身是从曲线的
直线，即从座标线，参数而来的比率；但是人们从这里还是没有知道什么东
西。有兴趣的事，是要知道关于其他在曲线那里出现的直线，求出适合于它
们的那个比率，即两种比率相等。其次，问题是：由曲线本性所规定的，而
又有这样比率的直线，是什么？——但这是久已知道的东西，由那种方法所
获得的比率，就是纵座标与次切线的比率。古人曾经用聪敏的几何方法求出
这个；近代发明者所发现的东西，只是经验的办法，把曲线方程式如此安排，
以便提供已经知道的那个第一种比率，它等于那包含它所要规定的直线（这
里就是次切线）的比率。方程式的那种安排，一部分是有方法地去理解并造
成的，即取导数（Differentia- tion），一部分却是发明了想像的座标增量
以及由这两个增量与切线的一个同样想像的增量所构成的想像的特殊三角
形，于是由方程式的开方而找到的比率和纵座标与切线的比率两者的比例性
质，不仅不被表述为是经验地从旧知识得来的某种东西，而且是经过证明的
东西。但是旧知识却以上述规则的形式，一般地，极其明白地证明自身假定
是特殊三角形和那种比例性质的唯一的起因和有关的理由。
拉格朗日抛弃了这种假冒的货色，开创了真正科学的道路；理解问题所
在，须归功于他的方法，因为这种方法就在于把为了解决周题而必须作出的
两个过渡分开来，把每一方面都分别加以处理和证明。——在对过程作较详
细的说明时，我们仍然用求出次切线这样初步问题的例子。这个问题的解决，
一部分，即理论的、或一般的部分，即从已知的曲线方程式术出第一函数，
这由它本身就可以调整就绪；这一部分给了一个线的比率，即直线的比率，
这些直线出现于曲线规定的系统之中。问题解决的另一部分，是求出曲线中
有这种比率的那些直线。现在可以用直接的方式（《解析函数论》第二部分
第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和
纵横座标，也无须给它们以dx 和dy（即那种比率的两端）的规定和那个比
率立刻直接与纵座标及次切线相等的意义。一条线只有在它构成一个三角形
的边之时，它（一个点也如此）才有它的规定，正如一个点的规定也只是在
这样的三角形中那样。顺便可以提一下，这是解析几何的基本命题，它之引
人座标线就像它把力的乎行四边形引人力学中那样（这本来是同一回事），
正因此，平行四边形才完全不需要费许多气力去找证明。——现在以次切线
为一个三角形的一边，纵座标及有关的切线为三角形其他的边。切线作为直
线，其方程式便是p＝aq（加上十b 对于规定并无用处，那只是为了癖好普
遍性的缘故才添上去的）；
p
q
比率的规定便归在q 的系数a 之内，它又是方
程式的有关的第一函数，但一般只需要把它看作是a＝
p
q
，如以前所说，这
是应用于曲线被当作切线的那种直线的规定。再者，现在既然假定了曲线方
程式的第一函数，那么，它同样也是一条直线的规定；进一步说，既然假定
了第一条直线的座标线p 与曲线的纵座标y 是同一的，那么，第一条直线被
当作是切线与曲线相交的一点，也就是由曲线第一函数所规定的直接的起
点，所以应该要指出的是：这第二条直线与第一条重合，即它是切线；用代
数来表示，即因为y=fx，和p=Fq，现在说y=p 所以fx=Fq 而fa＇=Fq＇。现
在被当作切线来应用的直线，与由方程式而来并被其第一函数所规定的直
线，是重合的，所以第二条直线是切线；证明这一点将山横座标的增量i 和
被函数展开的规定的纵座标增量来帮忙。于是这里也同样出现了那个声名狼
藉的增量；但是为了方才所说的目的而引入增量，以及依增量而展开函数，
都必须与以前提到过的为求出微分方程式和为特殊三角形而使用增量，很好
地区别仆未。现在这里的使用是有理由而必要的；这种使用是在几何范围之
内，因为切线与曲线有一共同的相交之点，在这切线与曲线之间，并没有另
外的直线能够同样落在这一点上并通过其间，这是属于切线本身的几何规定
的事。于是切线或非切线的质，便以这种规定而归结到大小的区别，那条线
既是切线，绝对较大的小①便因与此有关的规定而加于这条切线之上。这种似
乎是相对的小，丝毫不包含经验的东西，即不包含依照定量本身的东西：假
如须要比较的大小是依赖于环节的区别，而环节的区别就是方冪的区别，那
么，这种小便是由公式的本性在质的方面建立起来的：由于这种区别归结于
i 和i2 而且这个i 归根到底应当意谓着是一个数，于是便须设想i 是一个分
数，而i2 本身便比i 小；这样，可以把i 当作是一个随意的大小的这种观
念，在此便是多余的，甚至用得不是地方。对较大的小的证明，因此也与无
限小毫不相干，在这里丝毫不须引用无限小。
① 较大的小，即更小，绝对较大的小，即在一定条件下，没有比它更小的，这是指上文所说的增量。——译者
对于笛卡儿的切线法，即使是仅仅为了它的美妙和它的今日已被遣忘但
却是值得享有的荣誉，我也还愿意介绍它：此外，它与方程式的本性也有关
系，关于这一点，以后在另一注释里还要谈到。笛卡儿在他的对别方面也很
有益处的几何学中（第二册，第357 页以下，全集第五卷，古冉版），讲述
了这种独立的方法，在那里，所求的直线规定，也是从同样的导出西数里找
到的，由于他在这种方法中，教授了方程式本性的伟大基础及其几何的结构，
从而在很大程度上把解析推广到一般的几何。在他那里的问题，具有课题的
形式，那就是画一条直线垂直于一条曲线的任何地点，由此而规定次切线等
等；他的发现涉及当时有普遍科学兴趣的对象，这种发现是如此其几何式的，
并由此而远远高出他的竞争者的单纯规则的方法（这种方法，前文已经提到
过）；人们可以体会他在那本书里对这种发现也踌躇满志，他说：“我敢说
这在几何学中，不仅是我所知道的，而且是我从来想要知道的最有用、最一
般的问题。”①他为解决直角三角形的解析方程式奠定了基础，这个三角形的
形成，由于：（1）曲线上一点的纵座标，而问题中所要求的直线应当在这一
点上垂直，（2）这条直线本身，即垂直线，（3）被纵座标和垂直线所切断
的轴的一部分，即次垂直线。从一条曲线的已知方程式，无论是纵座标或横
座标的值，现在都将在那个三角形的方程式中得到代替，于是便有了一个二
次方程式（笛卡儿并且指出含有较高次的方程式的那些曲线，也怎样还原为
这种二次方程式），在这个方程式中，那些变量只有一个出现，它或是平方，
或是一次方冪；——一个平方的方程式①，它起初看来像是所谓不纯的方程
式。于是笛卡儿有了这样的想法，即：假如在一条曲线上所取之点，被设想
为这条曲线与一圆相切之点，这个圆便将还在另一点与这条曲线相切，于是
对于两个由此产生而不相等的X，便将发生两个方程式，它们具有相同的常
数和相同的形式；——域者说只有一个方程式，但具有不同值的X。但是为
那一个三角形，却只有一个方程式，在那个三角形中，垂直于曲线的，是弦，
或说垂直线；被设想的是：曲线与圆相切的两点是重合的，所以曲线可以与
圆相交。但是这样一来，平方方程式的不相等的方根X 或y 的这种情况也就
消失了。但是在一个有两个相等方根的平方方程式中，未知的方根含有一次
方冪，其所含之项的系数，就是那仅仅一个方根的两倍；这就有了一个方程
式，所求的规定便可由这个方程式找到。这种步骤必须看作是一个真正解析
头脑的天才的把握，反之，次切线和纵座标与纵横座标的所谓应当是无限小
的增量之间全然意断的比例，与上述步骤相比，便完全落后了。
① 上面的引句原为法文。——译者
① 平方的方程式，即二次方程式。黑格尔这里要强调这种方程式的几何性质。故用此不习见的名词，——译者
由上述方式所获得的最后的方程式，它使平方方程式第二项的系数与双
重方根或未知方根相等，这个方程式与用微分计算办法所找到的方程式是相
同的。假如对x2=ax-b=o 求微分便会有一个新方程式2x-a=o；或从x3-px-q=0
得到3x3-q=0。这里也可以说这样导出的方程式，其正确完全不是自明的。
在一有两个变量的方程式中，变量之所以不失其为未知数的这种特色，正因
为它们是可变的，如上面考察过的，其所发生的结果，只是一个比率；这是
由于已经指出过的很简单的理由，因为用乘方函数来代替方冪本身的地位，
方程式两项的值便会变化，至于在这样变了值的两项之间是否还有一个方程
式，这件事就本身说来，却仍然是未知的。
dy
dx
＝P 这个方程式不过表示P 是
一个比率，对
dy
dx
此外并没有赋予什么实在的意义。从这个比率=P，还是同样
不知道它与什么其他的比率相等；只有这个方程式，或说比例性，才对这个
比率给了一种价值或意义。——如前所说，这种意义，即被称为应用的那种
东西，是从别处，即从经验得来的，所以对于这里所谈的由求微分而导出的
那些方程式，必须从别处知道它们是否有相等的方根，以便知道所得到方程
式是否还正确。但是教科书中并没有明白注意到这种情况；当然这种情况是
被消除了的，因为一个带有未知方根的方程式被归结为零，使其直接=y，于
是求微分时，结果当然就只有
dy
dx
这一比率了。函数计算固然应该是和乘方西
数打交道，微分计算固然应该是和微分打交道，但是决不能由此得出结论，
说取了微分或乘方面数的大小，它们本身也应该只是其他大小的函数。在理
论的部分，只指示耍导出微分或说乘方函数，还并没有想到那些被教导要按
这样导出而处理的大小，本身也应该是其他大小的函数。
关于在求微分时省略常数，也还可只注意，取微分在这里意调着常数在
方根相等时，对于方根的规定是不相于的，因为那种规定由于方程式第二项
的系数便已经穷尽了。和前引的笛卡儿的例子一样，常数本身就是方根的平
方，所以方根从常数来规定，同样也可以从系数来规定，——因为常数也一
般和系数同样是方程式的方根的函数。在普通表远中，所谓常数只是用加号
（＋）减号（一）与其余各项联系，省略这个常数，只是依办法的单纯机械
作用而进行的，为了求出一个棕合表现的微分，便只对变量给与一个增长，
并从原来的表用减去由此而形成的表现。常数的意义及其省略，它们本身在
什么程度上是函数，依照这种规定，它们是有用或是没有用：这些都没有谈
到。
与常数的省略联系起来，关于求微分和求积分这两个名词，可以作类似
于以前对有限和无限的名词所作的说法，即它们的规定所包含的东西，倒是
名词所说的反面。求微分是指建立差分；但是通过求微分，一个方程式反而
降到较低的因次，①而省略常数，又是去掉了规定性的一个环节；如前所说，
假定变量的方根相等，那么，方根间的差分也就取消了。反之，求积分时，
却应该再加上常数；方程式固然因此而得到积分，但是这意谓着恢复了以前
取消过的方根的差分，而被假定相等的东西将再取微分。——普通的名词也
增添了对事物本质的含混朦胧，一切都是用次要的、甚至与主题风焉牛不相
及的观点来提出的，这种观点一部分是无限小的差分、增量以及诸如此类，
另一部分是一般已知的和寻出的函数之间的单纯差分，而并没有标明其特殊
的，即质的区别。
① 微分方程式的项，皆比1 小，故数的大小与其因次高低成反比例。——译者
另一个使用微分计算的主要部门，是力学；关于它的对象——运动——
的基本方程式所发生的不同的方冪函故，其意义已经附带提到过；在这里，
我愿意直接从这些意义谈起。简单匀速的数学表示，即c=
s
t
或s=ct 方程式，
其中所经过的空间依一个经验的单位C，即速度的大小，与所经历的时间成
正比例，这个方程式对于求微分，并没有提供什么意义；系数c 是完全规定
了的，已知的，不能再有更多的方冪展开。——如何解析落体运动方程式
S=at2，在这以前也已经提到过；——
ds
dt
=2at，解析的首项、假如翻译为语
言并连带地移植为存在物，那就是：一个总和（这个概念，我们久已去掉了）
的项应该是运动的一部分，并且这一部分应该这样地加到惯性力（即简单匀
速运动）里去，那就是：运动在无限小的时间部分中是匀速的，但在有限的、
即事实上存在着的时间部分中，是不匀速的。当然，fs=2at，井且a 和t，
的本身意义，都是已知的，这样也就一同建立了运动匀速的规定；既然a＝
s
t 2 ，于是2at=
2s
t
就是普遍的：但是人们丝毫不因此而多知道什么。只是错
误的假定，即2at 是作为一个总和的运动的一部分，给予了一个像是物理命
题的错误假象而已。a 这个因数本身，是一个经验的单位，是一个定量本身，
它须耍归到重力上去；假如要用重力这一范畴，那倒不如说s=at2 这一整体
是结果，或更确切地说，是重力的法则。——从
ds
dt
=2at 导出的命题也是一
样，这命题说：假如重力停止发生影响，那么，物体便将以堕落终止时所达
到的速度，在相等于堕落所费的时间内，通过它所曾经过的空间的两倍。—
—这里包含着一个本身很歪曲的形而上学；堕落的终止，或说物体堕落所终
止的时间部分，它本身总之还是一个时间部分；假如它不是时间部分，那就
是假定了静止，从而也就没有速度；速度的提出，只能按照在一定时间内，
而不是在时间的终止部分所经过的时间。假如现在毕竟要把微分计算应用于
完全没有运动的物理部门，例如光的情况（除了它在空间中的所谓传播之外）
和颜色的量的规定，而将这里一个平方函数的第一导数也叫做速度，那么，
这就必须认为是冒充存在物更要不得的形式主义。
拉格朗日说，我们在物体堕落的经验中找到s=at2，方程式所表示的运
动。在这个运动之后，最简单的运动将是其方程式为s-ct3 的运动，但是自
然界并没有表现过这类的运动；我们还不知道c 这个系数能意谓什么。对系
数c 说，虽然是如此；反之，却有一个运动，其方程式是s3=at2,这就是太阳
系天体运动的克卜勒规律；——这里第一个导出的函数
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