建立模型最重要的是明确Ψ、Φ两个变量和S的关系。我们以Ψ、Φ两个变量组成底平面，S为垂直坐标，在SXΨXΦ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒是稳定的。我们在讨论Ψ、Φ是如何影响S的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在A点，第二个洼的中心位置在B点。只要系统处于A点或B点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态A时，系统的势函数就相应增大了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态A。在图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回A点。同样，另一个洼B点，中，描述S和Ψ、Φ关系的是一曲面，我们称之为"行为曲面"。
知道了行为曲面的形状，就知道Ψ、Φ怎样决定S了。但由于我们不知道势函数G(S、Ψ、Φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，Ψ越大，Φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当Φ越大，Ψ越小时，代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解函数G（S、Ψ、Φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其行为曲面如图41所示。行为曲面上任一点表示不同的Ψ、Φ值下封建王朝所处状态。行为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于B状态，即大一统状态；折叠的下半叶表示A状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由B到A突变过程的不稳定状态。当Ψ和Φ都很小时，折叠消失在Q'点七，就是说Φ和Ψ趋于0时，社会组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边Q'M'在底平面上的投影为QM，另一边Q'N'的投影为QN。我们将QN称为"建朝边界"，QM为"动乱边界"。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态K，随着Ψ、Φ两个量的变化，社会状态沿着KK'曲线在曲面上变化，一旦到达Q'N'边界上，分裂割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的L点，表示大一统的新王朝建立。K'点相应的Ψ和Φ值正好在QN线上，也就是说QN线表示一条边界，只要Ψ、Φ值一旦达到它，新王朝建立，所以称QN为建朝边界。同样，只要Ψ、Φ值落到QM线上，系统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以QM线称为动乱边界。在底平面图上，QM以下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化了。我们假定，一个新王朝建立时Ψ、Φ的情在a1点上，随着Ψ、Φ两个值的变化，社会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b'd'1运动。到达d'1点上，Φ、Ψ值就到达了动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d'1K线落下来。一旦社会状态脱离d'1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使Φ位迅速变小，也就是说Φ值在社会状态离开d'1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量Φ的值已充分小，使得Ψ、Φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到K点，分裂割据不会出现。系统状态在Φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，Φ值不能迅速变小，Ψ、Φ值不能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局面。
我们可以看到，只要根据王朝各个时期Ψ、Φ两量的变化，就可以通过模型把握王朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，Ψ、Φ两个变量变化到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。
1O.5王朝盛衰方程
我们先分析Ψ、Φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，Ψ、Φ变化的情况是不同的。下面，我们分别进行讨论。
一，统一王朝稳定状态。
这时，Ψ、Φ的变化是连续的，不采取突变的方式。Ψ、Φ两个量的变化可以用微分方程来描述，也就是说，Ψ、Φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表示Ψ、Φ的关系：
dΨ/dt=p(Ψ、Φ）
dΨ/dt=Q（Ψ、Φ）
一般说来，P（Φ、Ψ），Q（Φ、Ψ）是。，Ψ的非线性函数。在每个大一统王朝中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，Ψ、Φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基地考察Ψ、Φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史结论对方程进行考察。
我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以用数学形式表示为；
dΨ/dt=P（Ψ,Φ）>0，且
P（Φ1，Ψ）＞P（Φ电，Ψ）当Φ1＞Φ2时（3）
我们还论证了一体化调节力量越大时，无组织力量越长越慢，这一关系可以表示为：
P（Φ,Ψ1）＜P（Φ,Ψ2）当Ψ1>Ψ2（4）
当无组织力量大到一定程度对，它对一体化调节力量的破坏将加剧。这种关系也可以用数学表示为：
dΨ/dt=Q（Φ1,Ψ）<0当Φ1很大时（5）
方程（1）、（2）是王朝盛衰方程。条件（3）、（4）、（5）是对P（Φ,Ψ）,Q（Φ，Ψ）函数关系的限定。有了（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式，确们就可半定量地讨论王朝寿命。
二，王朝崩溃动乱状态。
王朝崩溃动乱时，Ψ、Φ两个量的变化再也不遵循方程（1）、（2）了。大动乱中，无组织力量和一体化调节力量的变化不是连续的。很难用方程来描述它们。一般说来，大动乱发生后无组织力量就迅速减小，一体化调节力量一开始也是减小的，但只要王朝修复机制不出现障碍，一体化调节力量在减小以后还会增加，这就使得中国历史上多数场合大动乱发生不久，Ψ、Φ状态很快回到建朝边界，新王朝得以重建。
另一种情况是，Φ不能有效地减少，这时将出现某种稳定的分裂局面。
显然，只要引入这一阶段Ψ、Φ两个量变化的数学描述，也应该是可以半定量地讨论正朝崩溃持续的时间，割据出现的可能性等问题。我们在本章不涉及这些问题的讨论。
三，某种稳定的分裂割据局面。
一旦系统跌落到代表分裂割据状态的行为曲面的下半叶，Ψ、Φ两个量的变化和上述两种情况都不一样了。社会上存在着几个相对稳定的相互交战的小国，已不象大动乱时处于完全无序的状态。小国割据及其战争，并不能象大动乱那样杀伤无组织力量，这时如果整个社会无组织力量Φ变化不快，而一体化调节力量Ψ迅速变大，那么系统会进入建朝边界，在分裂割据的基础上实现统一。秦、西晋、隋、宋代的建朝就是这样。如果Ψ量增长很慢，例如魏晋南北朝，这时系统就会长期停留在行为曲面下半叶。
显然，只要进一步引入这一阶段中Ψ、Φ在各种条件下变化的模型，也是可以半定量地讨论分裂割据局面维持的时间、统一发展的过程等问题的。但在本章数学模型中我们不准备讨论它，而仅就王朝稳定阶段Ψ、Φ变化来研究王朝寿命问题。
10．6王朝寿命讨论及其他推论
现在，我们可以用这一模型来导出一些凭直观难以推出的结论。
在此，我们仅限于对数学模型半定量地讨论。所谓半定量地讨论，是指引进变量，但不进行具体的数值运算，只从模型来分析各个量之间的关系。在社会科学研究中进行半定量的讨论，是有价值的。它可以避免大量统计所带来的困难和混乱，又能发挥数学模型的精确判断作用。
一，一个朝代开始时，内部无组织力量越小，王朝寿命就越长。
要计算王朝寿命就必须先求出Ψ、Φ运行轨线。可以在数学上证明，王朝在建朝边界上处的起点位置不同，运动轨迹也是不相交的，如图43所示。如果a1、a2、a3……a6各点为不同朝代起点，a1b1d1等轨线代表各个朝代。数学上可以证明，当王朝建立时无组织力量越小，即越是外部的轨线，相应王朝寿命越长。
这个推论揭示：封建王朝内部无组织力量积累的程度和它的寿命长短有着深刻的内在联系。一个在建朝时看来不那么富裕强盛的王朝，但因其内部无组织力量较小，发展余地倒很大。而一些建朝时十分强大的王朝，其发展余地却很小。
这个推论与历史事实符合程度如何呢？尽管我们目前还缺乏各王朝建朝时无组织力量大小的统计资料，但仍可以举出一些众所周知的历史事实来印证。
西汉和东汉两个朝代，从历史记载上看，东汉初年无组织力量明显大于西汉初年。汉光武帝不敢触犯豪门士族的利益。东汉寿命比西汉短。历史学家知道，在三国基础上实现统一的西晋王朝，无组织力量——一主要是贵族门阀势力相当强大，其寿命也很短。
因为统计资料的不足，我们很难确定一些王朝建立时无组织力量的大小。但是，我们在前面几章中已讨论过，农民大起义对无组织力量扫荡得越彻底，新建王朝初期的无组织力量就越小，其寿命就越长。这一结论，本章用数学模型半定量分析作出了证明。
二，由封建割据统一起来的王朝寿命较短。
1O．5部分证明分裂割据局面出现时，无组织力量不会减小。当一体化调节力量慢慢增大时，分裂割据局面会实现统一。这种由割据统一的王朝内部保存了相当大的无组织力量，因此这样的王朝一般寿命都很短。这一推论与历史事实相符。
在中国历史上，农民大起义后建立起来的朝代比由封建割据统一起来的朝代寿命要长得多。农民大起义后建立起来的朝代是西汉、东汉、唐、明、清，它们的寿命在二百年上下，有的近三百年。由封建割据统一起来的有秦、隋、晋和北宋。前三个朝代寿命很短，只十几年到几十年的时间。北宋有一百多年历史。北宋的情况很特别，但也不与我们推论矛盾。数学上可以证明，当一个王朝建立，无组织力量相当大，而中央一体化调节力量也相当大时，就可以出现一些象北宋这样的特殊的王朝。
三，存在着三类王朝：盛大王朝、短周期王朝和后期王朝。
图43中建朝边界上a1，a2……a6表示六个不同的王朝建朝的初始状态，从其轨线上看，这些王朝可以分为两类。一类是a1b1d1,a2b2d2，a3b3d3，a4b4d4，这四条轨线起始于建朝边界，后来又一次通过建朝边界，它们与建朝边界有两个交点。另昂类王朝的轨线是a5d5，a6d6，它们自建朝边界开始后再也不和建朝边界相交了。
这两类轨线所代表的王朝是有很大差别的。与建朝边界有两个交点的王朝寿命长，后一类寿命短。此外，前一类王朝的轨线中有一段处于建朝边界以上区域，即处于太平盛世。后一类王朝从开始就处于建朝边界与动乱边界之间的尖角形内。尖角形内区域含有两种可能，即统一或分裂。它暂时处于稳定的统一局面，但动乱的可能性已经威胁着它了。虽然轨线要达到动乱边界时才发生崩溃，但一旦王朝的轨线进三角区内，就表示它已离开太平盛世走下坡路了。因此，第一类正朝经过两个阶段：上升阶段，也可以称为太平盛世阶段；由繁荣走向崩溃的后期阶段。第二类王朝没有太平盛世阶段，建立后马上由鼎盛点走向崩溃。我们把第一类王朝称为"长周期王朝"，或"盛大王朝"；第二类王朝称为"短周期王朝"。中国历史上的西汉、东汉、唐、明、清都属于长周期王朝；秦、晋、隋属于短周期王朝。
除了这两类王朝外，还有没有第三类王朝呢？如果一个王朝建立时处于建朝边界的b1，b2,b3……这些点上，那么它建朝初期内部无组织力量就比短周期王朝的无组织力量还要大，但它的一体化调节力量也很大。因而这样的王朝建立后开始按一个盛大王朝的轨线运行，但它没有经过盛大王朝前期的上升阶段。这类正朝我们称之为"后期王朝"。这种王朝在建立时，Ψ和Φ都足够大，类似一个盛大王朝的中后期情况。这造成了一些独特的历史现象，如商品经济一开始就相当繁荣，出现盛大王朝只有中后期才会出现的某些现象。中国历史上只有一个属于这类的王朝，这就是宋朝。宋朝一建立，某些地区（如四川）土地兼并程度相当高，商品经济发达，农民起义次数相当多、规模也较大。这些现象是一个盛大王朝中后期才突出起来的。理论上可以证明，这种很特殊的后期王朝的寿命，介于长周期王朝与短周期王朝之间。宋朝正是这样。理论分析还证明这类王朝只可能是通过统一割据局面建立起来的，这也与宋朝建立的过程相符合。
四，越是盛大王朝，后期变法越困难。
由于建朝边界和动乱边界呈喇叭口形状，越是盛大王朝其轨线越处于外围，后期无组织力量相当大，又离建朝边界很远。在这种情况下，即使搞变法改革，只能暂时减少无组织力量，根本不可能将社会推回太平盛世区域。越是盛大王朝，其轨线越长，变法也越困难。这一现象我们在前九章中已经做了说明。五，短周期王朝崩溃以后，不太容易形成割据局面，而常产生盛大王朝。
从图43可以明显地看出，短周期王朝崩溃时，Φ、Ψ值离建朝边界较近。这也就是说，只要对无组织力量有足够的杀伤，就能很快回到建朝边界，而且处于无组织力量较小的起始点上。这样的王朝往往是一个长周期王朝。而盛大王朝崩溃后，离建朝边界较远，对无组织力量的杀伤也不太容易，这时出现分裂状态的可能性就较大。
历史学家们早已注意到，在中国历史上，秦以后出现的西汉，隋以后出现的唐朝，这汉与唐是两个最盛大的王朝。这种现象决不是偶然的。另外，中国历史上几次分裂割据局面都出现在长周期王朝之后。如东汉以后的三国鼎立，唐以后的五代十国。
需要指出的是，短周期王朝西晋以后出现的长期分裂局面，并不构成上述讨论的反例。我们在第七章中指出，西晋灭亡后长期分裂的出现，是由于一体化调节发生了障碍，使得Ψ的值一直很小，大一统的王朝建立不起来。这是和东汉末年、唐朝末年的情况不相同的。
以上五个推论是从数学模型半定性讨论得到的，如果我们仅仅满足于对超稳定系统作非数学的研究，凭直观是不那么容易把握这些结论的。这就体现出数学模型的作用。
当然，这个模型是非常粗糙的，而且距数值运算的要求还差得很远。我们之所以把建立模型的步骤写出来，无非是想说明把数学模型方法引进到历史研究中来并不神秘。它既不是无用的，也不是万能的。应该说，在今后的研究中，它是必须的，它应该成为历史学家得心应手的工具。数学在历史学研究中也要担负起它在其他学科研究中那义不容辞的责任。数学模式将由历史学家从具体而精细的历史研究中抽出，然后再用它清晰的逻辑推理和明确的预见性，来照亮纷繁变幻的历史现象深处的客观规律。
1981年9月完稿于北京友谊宾馆
后记
我们在本书中阐述的基本思想，大约产生于1971年。那时，每逢节假日，一些不同学科的同志凑到一起时，总要热烈地讨论各种各样的问题，常常争论得面红耳赤。其中，中国封建社会长期延续原因的探讨是最吸引人的。我们深感用现代科学方法进一步研究我们祖国的历史，认识我们民族走过的道路，是时代向我们这一代人提出的一个任务。
1974年，我们写出了一份七万多字的提纲。此后，不论我们肩上工作和生活的担子怎样日益加重，我们依然时常讨论这份粗糙的提纲，兴趣不减当年。当人一旦抱定追求探索真理的信念而钻研某一问题时，周围的事务和舆论就很难改变他。我们想，不论研究工作遇到多么大的困难，我们都要坚持下去。任何一种思想，只有将它贯彻到底，获得清晰而又简洁的美感，才有可能接近科学的门槛。
1979年，我们将若干年来研究的结果写成一篇四万多字的论文。论文于1980年初发表以后，引起许多人、尤其是年轻朋友们的兴趣。我们陆续收到了近百封来信。许多来信除了表示对我们的工作的支持外，还希望看到更细致和更深入的分析。1980年夏秋之际，我们开始动笔写这本书。
恐怕任何一个研究者都会有这样一种体会：一旦要把自己多年来思索的观点写下来的时候，都将碰到巨大的困难，这就是思想和概念在定型化过程中会发生某种畸变。本来，对于读者来说，理解作者的思想方法、看问题的角度，以及作者在形成观点过程中所走过的弯路，往往是比读其观点更有兴味的。但是在著作中，作者只能拿出自己思想的结晶，而不能奉献孕育着这些结晶的混沌而又丰富的母液。
1981年9月，我们完成了这部书稿，当时内心的激动难以用语言来表达。我们深知，我们的学识和能力与本书的议题及它所涉及的广阔的中外历史知识。是不相称的。我们也不打算用我们不是专业历史研究工作者，为本书的不成熟之处和尚存在的大大小小的错误疏漏之处辩护。我们之所以敢于公开发表自己的观点，是出于一种责任感。我们认为，对于我们伟大祖国的历史，每一次从新的角度来认识她，不论这种认识是否全面，是否更接近于科学，这种努力和探索都不会是没有意义的。
这本书写得很艰难，它的表达也非常吃力。我们对它并不满意。但是，使我们难以平静的是，它不仅是我们工作的一个结果，而且还凝聚着不少同志、朋友对我们的友谊和期望。在此，我们向那些支持我们工作的学者专家们、编辑们，以及我们的同志和朋友，谨表最诚挚的谢意！
史学界前辈杨向奎先生和黎澍等同志，对我们所作的探索给予了积极的支持，并鼓励我们继续探索和研究有关问题。特别是包遵信同志，他不仅热情支持我们的工作，花费了大量时间和精力通读书稿，提出许多宝贵意见，并且为本书撰写序言。
林甦、李革平、鞠小夏、陈小雅等同志，为本书核实文献资料，整理绘制图表，清理检查文字，做了大量细致而又繁琐的工作。此外，在我们写书期间，她们还给我们以其他各种形式的帮助。
我们还要向全国各地近百名我们素不相识的青年表示感谢。他们或投书致意，或登门拜访，对我们的研究和探索表示了真诚的理解和支持。
这里，我们还要特别感谢湖南人民出版社的有关编辑同志。他们在组稿、审稿和编稿过程中，始终和我们保持密切的联系，并提出了许多具体而又宝贵的修改意见。没有他们的工作和支持，这本书是不可能与读者见面的。
这本书虽然包含着我们多年的思考、研究和探索。但是它只能算一个习作．因此，我们希望读者不要把这本书作为某种固化的既定观点来看待，而注意去追溯作者得到这些看偿的方法。如果读者能从这样的角度来读这本书，并能把现代科学方法贯穿到历史或其他社会科学的研究中去，那么我们将感到十分欣慰。同时，我们也期待着史学界的前辈和研究者们，对本书提出批评，这将是我们研究工作的又一个新的起点。
作者
1982年4月于北京中关村
